Repaso de derivadas

CALCULO DE DERIVADAS
REGLAS BASICAS:




Derivada de una constante:
Derivada de y  x :
Derivada de la suma (resta):
Derivada del producto:

Derivada del cociente:
y  k  y' 0
y  x  y' 1
y  f ( x)  g ( x )  y '  f ' ( x)  g ' ( x )
y  f ( x)  g ( x)  y'  f 'g  f  g '
f ( x)
f 'g  f  g '
y
 y' 
g ( x)
g2
DERIVADA DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES:

Potencias:
y  x n  y'  n  x n1
y   f ( x)  y'  n   f ( x)
n1
n

Raíz cuadrada:
y  x  y '
y

Inversa:

Exponenciales:
 f ' ( x)
1
2 x
f ( x)  y ' 
1
2 f ( x)
 f ' ( x)
1
1
 y'  2
x
x
1
1
 f ' ( x)
y
 y' 
 f ' ( x) 
2
f ( x)
 f ( x)
 f ( x)2
y
y  e x  y'  e x
y  e f ( x)  y'  e f ( x)  f ' ( x)
y  a x  y'  a x  La
y  a f ( x)  y'  a f ( x)  f ' ( x)  La

Logaritmos:
y  Lx  y ' 
1
x
y  L f ( x)  y ' 
1
f ' ( x)
 f ' ( x) 
f ( x)
f ( x)
1 1
y  log a x  y '  
x La
1
1
f ' ( x) 1
y  loga f ( x)  y' 

 f ' ( x) 

f ( x) La
f ( x) La

Funciones trigonométricas:
y  senx  y' cos x
y  cos x  y'  senx
y  tgx  y' sec 2 x
y  sen f ( x)  y'  cos f ( x)  f ' ( x)
y  cos f ( x)  y'  sen f ( x)  f ' ( x)
y  tg f ( x)  y'  sec2 f ( x)  f ' ( x)

Inversas de las funciones trigonométricas:
y  arcsenx  y' 
y  arccosx  y' 
1
1 x2
1
1 x2
1
y  arctgx  y ' 
1 x2
y  arcsenf ( x)  y' 
y  arccos f ( x)  y' 
y  arctgf ( x)  y' 
1
1   f ( x)
1
2
1   f ( x )
2
1
1   f ( x)
2
 f ' ( x) 
 f ' ( x) 
 f ' ( x) 
f ' ( x)
1   f ( x)
 f ' ( x)
2
1   f ( x )
2
f ' ( x)
1   f ( x)
2
ALGUNOS EJEMPLOS
1. y  3  senx  x 
1
 ex  5
3
x
La derivada de una suma o resta de funciones es la suma o resta de las derivadas, luego
basta con derivar cada término. Aquí, hay que tener en cuenta: (a) 3  senx es una
constante (3) por una función, luego su derivada será la constante, 3, por la derivada de
1
senx, que es cos x . En consecuencia, la derivada de 3  senx es 3  cos x . (b) 3  x 3 ,
x
1
luego para derivar 3 basta con aplicar la derivada de una potencia; así, obtenemos que
x
1
3
la derivada de 3 es (3)  x  4  4 . (c) Las derivadas de x y de e x vienen en la
x
x
lista. (d) 5 es una constante (es un número, no depende de x ) luego su derivada,
según la primera regla básica, es 0. En consecuencia, la derivada pedida es
1
3
y '  3 cos x 
 4  ex
2 x x
2. y  e x  cos x 
3
x  senx
2
Para derivar e x  cos x , aplicamos la derivada del producto (la cuarta regla básica),
3
x  senx
tomando
, observamos que
f ( x)  e x , g ( x)  cos x . Para derivar
2
3
x  senx 1 3
  x  senx , es decir, se trata de una constante (1/2) por una función (el
2
2
producto de 3 x y senx ). En consecuencia, su derivada será la constante (1/2) por la
derivada de ese producto; para calcular esta última derivada, aplicamos una vez más la
derivada del producto tomando f ( x)  3 x y g ( x)  senx . Aquí debemos observar que
f ( x)  3 x  x1/ 3 , luego para derivar f (x) aplicaremos la regla de la potencia, es decir,
1
. Reuniendo todo esto, tenemos que la derivada de la
f ' ( x)  1 / 3  x  2 / 3 
3 3 x2
función original es:

1  senx 3
y '  e x cos x  e x senx   
 x  cos x 
2  3 3 x2

3. y 
x
arctgx
Para derivar esta función, aplicamos la derivada del cociente (quinta regla básica)
tomando f ( x)  x , g ( x)  arctg x . En consecuencia, obtenemos:
y' 


1
arctgx
x
1  x 2 arctgx  x

1  x 2 arctgx  x
1 x2  1
1 x2 
1 x2

2
arctgx2
arctgx2
arctgx2
(1  x 2 )arctgx
1  arctgx  x 


Observemos que en el numerador hemos tenido que operar (restar) dos fracciones,
reduciendo previamente a común denominador.
4. y  arcsen x
Se trata de derivar y  arcsenf (x) , donde f ( x)  x . En consecuencia, aplicamos la
regla:
y' 
1/ 2 x
1
Observemos que
mismo índice.

 x
2
1
2 x  1 x

1
2 x  1  x 
x  1  x  x  1  x por tratarse de un producto de radicales del

5. y  L arctg x 3

Se trata de derivar y  Lf (x) , donde f ( x)  arctg x 3 . En consecuencia, aplicamos la
regla, y representamos por arctg x 3 ' la derivada de arctg x 3 . Por tanto:


y' 
arctg x '
3
arctg x 3
Ahora, para calcular la derivada de arctg x 3 , aplicamos la regla del arco tangente (la
última de “inversas de funciones trigonométricas”), es decir
1
f ' ( x)
y  arctgf ( x)  y' 
 f ' ( x) 
2
2
1   f ( x)
1   f ( x)
donde ahora f ( x)  x 3 . En consecuencia,
arctg x ' 
3
3x 2
 
1  x3
Finalmente, la derivada de la función pedida es:
2

3x 2
1  x6
3x 2
6
3x 2
y'  1  x 3 
arctg x
1  x 6 arctg x 3


(Observación: arctg x 3  arctg x ; en el primer caso el arco tangente se aplica al
resultado de elevar x al cubo, y en el segundo, al valor del arco tangente de x )
3