CALCULO DE DERIVADAS REGLAS BASICAS: Derivada de una constante: Derivada de y x : Derivada de la suma (resta): Derivada del producto: Derivada del cociente: y k y' 0 y x y' 1 y f ( x) g ( x ) y ' f ' ( x) g ' ( x ) y f ( x) g ( x) y' f 'g f g ' f ( x) f 'g f g ' y y' g ( x) g2 DERIVADA DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES: Potencias: y x n y' n x n1 y f ( x) y' n f ( x) n1 n Raíz cuadrada: y x y ' y Inversa: Exponenciales: f ' ( x) 1 2 x f ( x) y ' 1 2 f ( x) f ' ( x) 1 1 y' 2 x x 1 1 f ' ( x) y y' f ' ( x) 2 f ( x) f ( x) f ( x)2 y y e x y' e x y e f ( x) y' e f ( x) f ' ( x) y a x y' a x La y a f ( x) y' a f ( x) f ' ( x) La Logaritmos: y Lx y ' 1 x y L f ( x) y ' 1 f ' ( x) f ' ( x) f ( x) f ( x) 1 1 y log a x y ' x La 1 1 f ' ( x) 1 y loga f ( x) y' f ' ( x) f ( x) La f ( x) La Funciones trigonométricas: y senx y' cos x y cos x y' senx y tgx y' sec 2 x y sen f ( x) y' cos f ( x) f ' ( x) y cos f ( x) y' sen f ( x) f ' ( x) y tg f ( x) y' sec2 f ( x) f ' ( x) Inversas de las funciones trigonométricas: y arcsenx y' y arccosx y' 1 1 x2 1 1 x2 1 y arctgx y ' 1 x2 y arcsenf ( x) y' y arccos f ( x) y' y arctgf ( x) y' 1 1 f ( x) 1 2 1 f ( x ) 2 1 1 f ( x) 2 f ' ( x) f ' ( x) f ' ( x) f ' ( x) 1 f ( x) f ' ( x) 2 1 f ( x ) 2 f ' ( x) 1 f ( x) 2 ALGUNOS EJEMPLOS 1. y 3 senx x 1 ex 5 3 x La derivada de una suma o resta de funciones es la suma o resta de las derivadas, luego basta con derivar cada término. Aquí, hay que tener en cuenta: (a) 3 senx es una constante (3) por una función, luego su derivada será la constante, 3, por la derivada de 1 senx, que es cos x . En consecuencia, la derivada de 3 senx es 3 cos x . (b) 3 x 3 , x 1 luego para derivar 3 basta con aplicar la derivada de una potencia; así, obtenemos que x 1 3 la derivada de 3 es (3) x 4 4 . (c) Las derivadas de x y de e x vienen en la x x lista. (d) 5 es una constante (es un número, no depende de x ) luego su derivada, según la primera regla básica, es 0. En consecuencia, la derivada pedida es 1 3 y ' 3 cos x 4 ex 2 x x 2. y e x cos x 3 x senx 2 Para derivar e x cos x , aplicamos la derivada del producto (la cuarta regla básica), 3 x senx tomando , observamos que f ( x) e x , g ( x) cos x . Para derivar 2 3 x senx 1 3 x senx , es decir, se trata de una constante (1/2) por una función (el 2 2 producto de 3 x y senx ). En consecuencia, su derivada será la constante (1/2) por la derivada de ese producto; para calcular esta última derivada, aplicamos una vez más la derivada del producto tomando f ( x) 3 x y g ( x) senx . Aquí debemos observar que f ( x) 3 x x1/ 3 , luego para derivar f (x) aplicaremos la regla de la potencia, es decir, 1 . Reuniendo todo esto, tenemos que la derivada de la f ' ( x) 1 / 3 x 2 / 3 3 3 x2 función original es: 1 senx 3 y ' e x cos x e x senx x cos x 2 3 3 x2 3. y x arctgx Para derivar esta función, aplicamos la derivada del cociente (quinta regla básica) tomando f ( x) x , g ( x) arctg x . En consecuencia, obtenemos: y' 1 arctgx x 1 x 2 arctgx x 1 x 2 arctgx x 1 x2 1 1 x2 1 x2 2 arctgx2 arctgx2 arctgx2 (1 x 2 )arctgx 1 arctgx x Observemos que en el numerador hemos tenido que operar (restar) dos fracciones, reduciendo previamente a común denominador. 4. y arcsen x Se trata de derivar y arcsenf (x) , donde f ( x) x . En consecuencia, aplicamos la regla: y' 1/ 2 x 1 Observemos que mismo índice. x 2 1 2 x 1 x 1 2 x 1 x x 1 x x 1 x por tratarse de un producto de radicales del 5. y L arctg x 3 Se trata de derivar y Lf (x) , donde f ( x) arctg x 3 . En consecuencia, aplicamos la regla, y representamos por arctg x 3 ' la derivada de arctg x 3 . Por tanto: y' arctg x ' 3 arctg x 3 Ahora, para calcular la derivada de arctg x 3 , aplicamos la regla del arco tangente (la última de “inversas de funciones trigonométricas”), es decir 1 f ' ( x) y arctgf ( x) y' f ' ( x) 2 2 1 f ( x) 1 f ( x) donde ahora f ( x) x 3 . En consecuencia, arctg x ' 3 3x 2 1 x3 Finalmente, la derivada de la función pedida es: 2 3x 2 1 x6 3x 2 6 3x 2 y' 1 x 3 arctg x 1 x 6 arctg x 3 (Observación: arctg x 3 arctg x ; en el primer caso el arco tangente se aplica al resultado de elevar x al cubo, y en el segundo, al valor del arco tangente de x ) 3