Facultad Regional Rosario

Facultad Regional Rosario
Universidad Tecnológica Nacional
Cátedra: ANALISIS MATEMÁTICO I
Carrera: ISI
Coordinadora: Mg. Alicia Tinnirello
MODELIZACIÓN CON FUNCIONES REALES
DE UNA VARIABLE REAL
Ing. Mónica Dádamo
Año 2013
Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario MODELIZACIÓN CON FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
1. Introducción.
El objetivo de este material es lograr la modelización matemática mediante funciones reales,
con un enfoque que conjugue la modelación, la visualización apoyada en los sistemas
computacionales y los sistemas dinámicos.
Esta forma de estudiar las funciones, poderosa herramienta de amplia aplicación en la
industria, la ingeniería y, en general, en la ciencia, combina los métodos analíticos con la
modelación matemática, las aplicaciones del campo de la ingeniería con las de la física, las
de la geometría con las de la informática.
La matemática y sus aplicaciones abundan en ejemplos de fórmulas mediante las cuales
cantidades de variables se relacionan unas con otras. El lenguaje y la notación de funciones
son ideales para este propósito. En realidad, una función es un concepto sencillo; si no lo
fuera, la historia lo hubiese reemplazado por otro más fácil de usar.
La palabra función, en su sentido matemático, por lo general se le atribuye al filósofo,
matemático, jurista, bibliotecario y político alemán Gottfried Wilhelm Leibniz, a veces von
Leibniz (1646-1716), uno de los pioneros en los métodos de cálculo; su cuidado en la
notación es una de sus grandes contribuciones al progreso científico, por lo cual seguimos
utilizando su notación en los cursos de cálculo actuales.
En efecto, este capítulo prepara el camino para el cálculo al analizar las ideas básicas
referentes a las funciones, sus gráficas y las maneras para transformarlas y combinarlas. Se
considerarán los tipos principales de funciones que se presentan en el cálculo y se describirá
el proceso de usarlas como modelos matemáticos.
Cuando vea el símbolo ۞ significará que se aplican herramientas informáticas; en
particular, el uso del software Mathematica.
2. Definición y notación de función.
Las funciones surgen siempre como una relación de variables en el estudio de un sistema
físico, químico, ambiental, etc.
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 1 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario Considera las siguientes situaciones:
a) El área A de un círculo depende del radio r del mismo. La regla que relaciona r con A se
expresa mediante la ecuación A= π r². Con cada número positivo r existe asociado un valor
de A, por lo que A es función de r.
b) La población humana de Estados Unidos P, depende del tiempo n. En la Tabla 1 se dan
estimaciones de la población de dicho país, P(n), en el tiempo n, para ciertos años.
Población
Año
estimada
(en millones)
1900
76
1910
92
1920
106
1930
123
1940
131
1950
150
1960
179
1970
203
1980
227
1990
250
2000
281
Tabla 1.- Población mundial estimada. Período: 1900-2000
Por ejemplo P(1960) ≅ 179.000.000 . Para cada valor de tiempo n existe un valor de P
correspondiente, por lo que P es una función de n.
c) El costo C de enviar por correo una carta depende de su peso w. Aún cuando no existe una
fórmula sencilla que relacione w con C, la empresa de correos tiene una relación para
determinar C cuando se conoce w.
d) La aceleración vertical a del suelo originada por un sismo, según la mide un sismógrafo
durante un terremoto, es una función del tiempo transcurrido t.
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 2 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario Fase fuerte del movimiento
Fig. 1.- Componentes principales de un acelerograma
En la Fig.1 se muestra una gráfica de actividad sísmica medida por un acelerograma. El eje
de las abscisas mide el tiempo t en segundos, y el eje de las ordenadas mide la escala de
aceleración en cm/seg² (PGA: valor de aceleración pico del terreno).
En cada uno de estos ejemplos se describe una regla por la cual, dado un número (r, n, w ó t)
se asigna otro número (A, P, C ó PGA). En cada caso, el segundo número es función del
primero.
Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D un único
elemento, llamado f(x), de un conjunto R. El conjunto de D de todos los valores de
entrada es el dominio de la función, y el conjunto R de todos los valores de salida es el
rango o imagen de la función.
El método más común para visualizar una función es su gráfica. La gráfica de la función
y= f(x) es el conjunto de todos los puntos (x, f(x)), x en el dominio de f. Se colocan los
valores del dominio a lo largo del eje x o eje de las abscisas, con los valores de su rango o
imagen en el eje y o eje de las ordenadas, para obtener pares ordenados que producen la
gráfica de y= f(x).
3. Función seccionalmente definida
Son aquellas funciones definidas por leyes distintas en diferentes partes de su dominio.
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 3 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario ۞
A partir de la definición:
t[x_]:=x2/;x<0;
t[x_]:=x/;0<x<1;
t[x_]:=1/x/;x>1
Utilizando el comando Which:
c[x_]= Which[x<0,x2,0<x<1,x,x>1,1/x]
Plot[{t[x],c[x]},{x,-2,4},AxesLabel→{"x","y"},PlotRange→{-2,2}]
2
y
1
-2
-1
1
2
3
4
x
-1
-2
4. Combinación de funciones; traslaciones y cambios de escala en gráficas
4.a) Traslaciones verticales En la Fig. 2 se observa una secuencia de gráficos donde se muestran las traslaciones
indicadas. Comparando las gráficas de m( x ) , m( x ) + 1 , m( x ) − 1 , observamos que la
distancia entre ambas parábolas es 1.
En general, la gráfica de y = m( x ) + c , es idéntica a la de m( x ) , pero trasladada c unidades
hacia arriba ( c > 0 ), o hacia abajo ( c < 0 ).
۞
m[x_]=x2
a1=Plot[{m[x]},{x,-3,3},PlotRange→ {-2,5},
PlotStyle→RGBColor[1,0,0],Frame→True,AxesLabel→{"x","y"}
,PlotLabel->"m(x )
",DisplayFunction→Identity];
a2=Plot[ m[x ] +1,{x,-3,3}, PlotRange→ {-2,5},
PlotStyle→RGBColor[0,0,1],Frame→True,AxesLabel→{"x","y"},
PlotLabel->" m(x) +1 " ,DisplayFunction→Identity];
a3=Plot[m[x]-1,{x,-3,3}, PlotRange→ {-2,5},
PlotStyle→RGBColor[0,1,0],Frame→True,AxesLabel→{"x","y"}
, PlotLabel->" m(x)-1
",DisplayFunction→Identity];
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 4 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario Show[GraphicsArray[{a1,a2,a3,Show[a1,a2,a3]}],DisplayFunc
tion→$DisplayFunction]
mHx L y
5
4
3
2
1
0
x
-1
-3 -2-1 0 1 2 3
mHx L+ 1 y
5
4
3
2
1
0
x
-1
-3 -2 -1 0 1 2 3
mHx L−1 y
5
4
3
2
1
0
x
-1
-3 -2-1 0 1 2 3
mHx L y
5
4
3
2
1
0
x
-1
-3 -2 -1 0 1 2 3
Fig. 2.- Traslaciones verticales
4.b) Traslaciones horizontales
y = h(x+c)
Desplaza hacia la izquierda la gráfica de f c unidades si c>0
La desplaza hacia la derecha |c| unidades si c<0
En la Fig. 3 se observa una secuencia de gráficos donde se muestran las traslaciones
indicadas.
۞
h[x_]=Abs[x]
a1=Plot[h[x],{x,-2,6},PlotRange→{−3,3},
PlotStyle→RGBColor[1,0,0],Frame→True,AxesLabel→{"x","y"},
PlotLabel->"h(x )
",DisplayFunction→Identity];
a2=Plot[h[x+1],{x,-2,6},PlotRange→{-3,3},
PlotStyle→RGBColor[0,0,1],Frame→True,AxesLabel→{"x","y"},
PlotLabel->" h(x+1)
",DisplayFunction→Identity];
a3=Plot[h[x-1],{x,-2,6}, PlotRange→ {-3,3},
PlotStyle→RGBColor[0,1,0],Frame→True,AxesLabel→{"x","y"},
PlotLabel->" h(x-1)
",DisplayFunction→Identity];
Show[GraphicsArray[{a1,a2,a3,Show[a1,a2,a3]}],DisplayFunc
tion→$DisplayFunction]
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 5 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario 6
5
4
3
2
1
0
-1
hHx L y
hHx + 1 L y
4
3
2
1
0
-1
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
hHx −1 L y
4
3
2
1
0
-1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
6
5
4
3
2
1
0
-1
hHx L y
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
Fig. 3.- Traslaciones horizontales
4.c) Compresión, dilatación y reflexión
Para c>1
y = cf(x)
Dilata o estira verticalmente la gráfica de f por un factor de c
y = f(x)
Comprime verticalmente la gráfica de f por un factor de c
y = f(c x)
Comprime horizontalmente la gráfica de f por un factor de c
y = f(x/c)
Dilata o estira horizontalmente la gráfica f por un factor de c
Para c = -1
Reflexión
y = - f(x)
Refleja la gráfica de f a través del eje x
y = f(-x)
Refleja la gráfica de f a través del eje y
Si f(x)= sen x, x ε [-π,π], con c=2, c=1/2, se presenta la siguiente visualización
۞
f[x_]=Sin[x]
a1=Plot[f[x],{x,-Pi,Pi},PlotRange→{-3,3},
PlotStyle→RGBColor[1,0,0],Frame→True,
AxesLabel→{"x","y",PlotLabel->"f(x)
",DisplayFunction→Identity];
a2=Plot[2 f[x ] ,{x,-Pi,Pi}, PlotRange→ {-3,3},
PlotStyle→RGBColor[0,0,1],Frame→True,AxesLabel→{"x","y"}
,PlotLabel->"
2f(x)
",DisplayFunction→Identity];
a3=Plot[ 0.5 f[x],{x,-Pi,Pi}, PlotRange→ {-3,3},
PlotStyle→RGBColor[0,1,0],Frame→True,AxesLabel→{"x","y"}
,PlotLabel->"1/2f( x)
",DisplayFunction→Identity];
Show[GraphicsArray[{a1,a2,a3,Show[a1,a2,a3]}],
DisplayFunction→$DisplayFunction]
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 6 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario 3
2
1
0
-1
-2
fHxL y
3
2
1
0
-1
-2
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
2fHxL y
3
2
1
0
-1
-2
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
1ê2fHxLy
fHxL y
3
2
1
0
-1
-2
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
Fig. 4.- Dilata y comprime verticalmente
En la Fig. 4 se observan las transformaciones verticales antes definidas. Para obtener la
gráfica de y = c f ( x ) , basta
(si c > 1 ), o “comprimir” (si
“dilatar”
0 < c < 1 ),
verticalmente la gráfica de f , según el factor |c|. Si c < 0, la transformación debe
completarse, con una reflexión según el eje x.
f(x)= sen x, x ∈ [- π, π]
۞
f[x_]=Sin[x]
a1=Plot[{f[x]},{x,Pi,Pi},PlotRange→{-3,3},PlotStyle→
RGBColor[1,0,0],Frame→True,AxesLabel→{"x","y"},PlotLabel->"
f(x)
",DisplayFunction→Identity];
a2=Plot[f[2 x ] ,{x,-Pi,Pi}, PlotRange→ {-3,3},
PlotStyle→RGBColor[0,0,1],Frame→True,AxesLabel→{"x","y"},
PlotLabel->"
f(2 x)
",DisplayFunction→Identity];
a3=Plot[ f[0.5 x],{x,-Pi,Pi}, PltRange→ {-3,3},
PlotStyle→RGBColor[0,1,0],Frame→True,AxesLabel→{"x","y"},
PlotLabel->"
f(1/2x)
",DisplayFunction→Identity];
Show[GraphicsArray[{a1,a2,a3,Show[a1,a2,a3]}}],
DisplayFunction→$DisplayFunction]
3
2
1
0
-1
-2
fHxL y
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
3
2
1
0
-1
-2
fH2 xLy
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
3
2
1
0
-1
-2
fH1ê2 xLy
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
3
2
1
0
-1
-2
fHxL y
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
Fig. 5.- Dilata y comprime horizontalmente
En la Fig. 5 se observan las transformaciones horizontales antes definidas Para obtener la
gráfica de h(x)= f(c x), basta
horizontalmente
“comprimir” (si c >1), o “dilatar” (si
la gráfica de f, según el factor c.
0 < c < 1),
Si c<0, el desplazamiento debe
completarse, con una reflexión según el eje y.
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 7 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario Generalizando:
Las reglas de dilatación, desplazamiento, compresión y reflexión de la gráfica de una
función pueden resumirse en el siguiente diagrama:
Combinando las reglas anteriores, podemos observar cómo se obtiene la gráfica de
y = 2 x2 – 3, a partir de la de j(x) = x2, ver Fig. 6.
۞
J[x_]=x
2
a1=Plot[j[x],{x,-3,3},PlotRange→{-5,6},
PlotStyle→RGBColor[1,0,0],Frame→True,
AxesLabel→{"x","y"},PlotLabel->"m(x )
",DisplayFunction→Identity];
a2=Plot[2 j[x ],{x,-3,3}, PlotRange→ {-2,5},
PlotStyle→RGBColor[0,0,1],
Frame→True,AxesLabel→{"x","y"},PlotLabel->" 2 j(x)
",DisplayFunction→Identity];
a3=Plot[2 j[x]-3,{x,-3,3}, PlotRange→ {-2,5},
PlotStyle→RGBColor[0,1,0],
Frame→True,AxesLabel→{"x","y"}, PlotLabel->" m(x)-1
",DisplayFunction→Identity];
Show[GraphicsArray[{a1,a2,a3}],
DisplayFunction→$DisplayFunction]
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 8 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario jHx L y
6
4
2
x
0
-2
-4
-3-2 -1 0 1 2 3
2 jHx L y
6
4
2
x
0
-2
-4
-3 -2-1 0 1 2 3
2 jHx L−3 y
6
4
2
x
0
-2
-4
-3-2 -1 0 1 2 3
jHx L y
6
4
2
x
0
-2
-4
-3 -2-1 0 1 2 3
Fig. 6.- Combinación de funciones
Este es otro ejemplo donde se pueden comparar las gráficas de las funciones y = x 2 − 1 ,
(
)
y = 4 x 2 − 1 e y = (4 x )2 − 1 , ver Fig. 7.
۞
2
j[x_]=x -1
Plot[{j[x], 4j[x ],j[4 x]-1},{x,-1.5,1.5},PlotRange→ {5,8}, PlotStyle→{RGBColor[0,0,1],RGBColor[0,1,0],
RGBColor[1,0,0],Frame→True,AxesLabel→{"x","y"}]
y
8
6
4
2
0
x
-2
-4
- 1.5
- 1.0
- 0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
Fig. 7.- Composición de funciones
5. Modelización con funciones
En el cálculo existen diversos tipos de funciones; funciones lineales, funciones de potencias,
polinomiales, racionales, algebraicas, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, entre
otras.
Una de las metas fundamentales de las ciencias experimentales es la obtención de modelos
explicativos de los fenómenos que estudian. Un modelo matemático es una descripción
matemática (con frecuencia mediante una función o una ecuación) de un fenómeno del
mundo real (ejemplo: el tamaño de una población, la demanda de un producto, la rapidez de
caída de un objeto, la concentración de un producto en una reacción química, la expectativa
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 9 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario de vida de un hombre cuando nace, el costo de la reducción de emisiones, etc). Estos
fenómenos, en muchos casos aparentemente sencillos, suelen ser muy complejos y depender
de multitud de factores.
Fig. 8.- Flujo del proceso de modelado, empezando con un análisis de los datos del mundo real
La Fig. 8 muestra el proceso de modelado matemático. Una vez que se especifica un
problema del mundo real, la siguiente tarea consiste en formular un modelo matemático,
identificando y dándole un nombre a las variables independientes y dependientes, así como
hacer supuestos que simplifiquen, lo suficiente, el fenómeno como para hacer que sea
susceptible de rastrearse en forma matemática.
El propósito del modelo matemático es entender el fenómeno y quizás hacer predicciones
con respecto al comportamiento futuro; constituyen una idealización de los fenómenos del
mundo real, y rara vez son representaciones completamente exactas. A pesar de que todos
los modelos tienen limitaciones, pueden ser lo suficientemente precisos para proveer
conclusiones valiosas. Es importante darse cuenta de los límites del modelo. En las
secciones siguientes se mostrarán ejemplos de funciones que pueden usarse para modelar
correspondencias que se observan en el mundo real y atenderá ejemplos de situaciones
modeladas en forma apropiada por medio de esas funciones.
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 10 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario 5.a) Modelado con funciones lineales
Cuando uno dice que y es una función lineal de h quiere dar a entender que la gráfica de la
función es una recta; de tal manera puede usar la forma pendiente/intersección de la
ecuación de una recta para expresar la función como
y = f ( h) = m h + b
donde m es la pendiente de la recta, y b es la ordenada al origen y.
Una característica representativa de las funciones lineales es que crecen en una proporción
constante
Ejemplo 1: A medida que el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se enfría. Si la
temperatura del suelo es 20ºC y la temperatura a la altura de 1 Km es de 10ºC,
a) exprese la temperatura T en ºC como una función de la altura en h (en Km) suponiendo
que es un modelo lineal adecuado
b) Trace la gráfica de la función del inciso a) ¿Qué representa la pendiente?
c) Cual es la temperatura a una altura de 2.5 Km?
Solución:
a) Como se supone que T es una función lineal de h, se puede escribir
T ( h) = m h + b
Si T= 20 cuando h= 0, así
20 = m .0 + b = b
En otras palabras, la ordenada al origen y es b = 20.
Además, T = 10 cuando h = 1, de modo que
10 = m .1 + 20
Por lo tanto, la pendiente de la recta es m = 10 – 20 = -10 y la función lineal requerida es:
T ( h) = −10 h + 20
b) La pendiente de la recta es m = -10º C por Km, y esto representa la relación de cambio de
temperatura con respecto a la altura, ver Fig. 9
۞
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 11 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario T[h_]=-10 h+20;
Plot[t[h],{h,0,6},AxesLabel→{"h","T"}]
y
20
10
1
2
3
4
5
6
h
-10
-20
-30
-40
Fig. 9 a.- Variación de la temperatura (°C) con repecto a h (Km): T= -10 h + 20
c) A una altura h = 2.5 Km, la temperatura es
۞
t[2.5]
-5
T ( 2.5) = −10 ( 2.5) + 20 = − 5°C
Si no existiera una ley física o un principio que ayude a formular un modelo, se construye un
modelo empírico, el cual se basa por completo en la información recabada. Se busca una
curva que “coincida” con los datos en el sentido de que capte la tendencia fundamental de
los puntos de los datos.
Ejemplo 2: Frecuentemente, en economía un modelo lineal se utiliza para la demanda de un
producto como función de su precio.
Precio por caja(p) 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 Cajas vendidas(v) 38320 33710 28280 26550 25530 22170 18260 Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 12 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario Estos datos describen un modelo lineal par la demanda (cajas vendidas por semana) como
una función del precio por caja (en pesos). La fuerza y dirección de la correlación es lineal
(y=-15.350 p + 73.620). Este modelo permite pronosticar las ventas semanales, por ejemplo,
si el precio se baja a $ 2 o se eleva a $ 4 por caja.
۞
puntos1=ListPlot[{{2.4,38.320},{2.6,33.710},{2.8,28.280},
{3.0,26.580},{3.2,25.530},{3.4,22.280},{3.6,18.260}},Plot
Style→{RGBColor[1,0,0],PointSize[0.03]},
AxesLabel→{"p","v"},DisplayFunction→Identity];
f[p_]=-15.350 p+73.620
f[2]
42.900
f[4]
12.190
rp=Plot[f[p],{p,2,4},PlotStyle→RGBColor[0,0,1]]
Show[rp,puntos1,DisplayFunction→$DisplayFunction,
AspectRatio→1]
v
40
35
30
25
20
2.5
3.0
3.5
4.0
p
Fig. 9 b.- Diagrama de dispersión y recta de regresión
La Fig.9 b muestra el diagrama de dispersión de los datos de la tabla junto con la recta de
regresión rp. Puede verse que la recta ajusta bien a los valores.
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 13 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario Nuestra meta es pronosticar las ventas semanales para precios de $ 2.00 y $ 4.0 por caja. Se
presenta una venta de 42.900 cajas cuando se vende a $ 2, y cuando sube el precio a $ 4 las
ventas caerán a alrededor de 12.190 cajas semanales.
f[2]
42.900
f[4]
12.190
5.b) Modelado con funciones polinomiales
A una función P se la llama polinomio si
P(x) = an xn + an-1 xn- 1+ an-2 xn-2 + . . . + a2 x2 + a1x + a0
donde n es un entero no negativo y los números a0, a1, a2, . . . an son constantes que se
conocen como coeficientes del polinomio.
El dominio de cualquier polinomio es ℜ = (-∞, ∞). Si el coeficiente principal an ≠ 0,
entonces el grado del polinomio es n. Ejemplo: la función P(x) = 5x7 – 2x4 + 7x - 9 es un
polinomio de grado 7.
Un polinomio de grado 2. Tiene la forma P(x) = ax2 + bx + c. Se lo llama función
cuadrática. Su gráfica siempre es una parábola que se obtiene al cambiar la parábola y= ax2.
La parábola se abre hacia arriba si a>0 y hacia abajo si a<0.
Un polinomio de grado 3 tiene la forma P(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Se lo llama función
cúbica.
Ejemplo 3: Un recipiente rectangular para almacenamiento, con su parte superior abierta,
tiene un volumen de 10 m3. La longitud de su base es el doble de su ancho. El material para
la base cuesta 10 $/m² y el material para los lados 6 $/m². Exprese el costo C del material
como función del ancho de la base.
Solución:
Definiendo w y 2w al ancho y la longitud de la base, respectivamente, y como h a la altura
del recipiente, el área de la base es (2w)w= 2w², de modo que el costo del material para la
base es 10(2w²). Dos de los lados tienen el área wh y el área de los otros dos 2wh; así el
costo del material para los lados es 6[2wh + 2(2wh)]. En consecuencia:
2
C = 10 (2 w ) + 6 [ 2 w h + 2( 2 w h)]
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 14 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario Para expresar C como función sólo de w se necesita eliminar h, lo que sucede al aplicar el
hecho de que el volumen es 10 m3. De este modo, w(2w)h = 10 lo cual da h=10/2w²=5/w²
Si se sustituye esto en la expresión para C
C ( w) = 20 w2 + 36 (
5
180
) = 20 w2 + 2
2
w
w
este modelo expresa C como función de w
۞
c[w_]=20 w2+36 ( 5/w2)
Plot[c[w],{w,1,8},PlotRange→{0,2000},AxesLabel→{"w(ancho
)","c(costo)"}]
cHcostoL
2000
1500
1000
500
1
2
3
4
5
6
7
8
wHanchoL
5.c) Modelado con funciones de potencia
Una función de la f(x)= k . x a donde k y a son constantes ≠ 0, se llama función potencia. La
constante a es la potencia y k es la constante de variación o de proporcionalidad.
i) Si a=n, donde n es un número positivo, la forma de la gráfica dependerá si n es par o
impar. Si n es par la gráfica tendrá forma de parábola; conforme aumenta n, la gráfica se
hace más plana cerca de 0 y más pronunciada cuando |x| > 1 , ver Fig. 10.
۞
Plot[{x2,x,x3,x4},{x,-5,6},
PlotRange→{-15,15},AxesLabel→{"x","y"},
GridLines→{{1.5},{1.5}}]
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 15 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario 15
y
10
5
-4
-2
2
4
x
6
-5
- 10
- 15
Fig. 10.- Funciones potenciales f(x)= xn
۞
ListAnimate[Table[Plot[{x2,xh},{x,2,2.5},
AxesLabel→{"x","y"},PlotRange→{-5,5}],{h,1,5}]]
y
-2
y
4
4
2
2
-1
1
2
x
-2
-1
1
-2
-2
-4
-4
ii) Si a= 1/n, donde n es un entero positivo, la función f(x) = x1/n =
n
2
x
x es una función raíz,
ver Fig. 11.
Se debe ejecutar la siguiente serie de comandos:
۞
Unprotect[Power];
Power[x_,Rational[n_,3]]:=(n
Abs[x]^(1/3)) /;x<0;Protect[Power];
1/3
1/4
Plot[{x,Sqrt[x],x ,x },{x,0,2},AxesLabel→{"x","y"},
GridLines→{{1.5},{1.5}}]
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 16 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario y
2.0
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
x
Fig. 11.- Funciones potenciales: f(x) = x1/n
iii) si a=-1 entonces f(x)= x-1= 1/x.
Ejemplo4:La ley de Boyle indica que el volumen de un gas encerrado varía en forma
inversamente proporcional a la presión a la que es sometido, a temperatura constante.
V=k/P
T cte
۞
v[p_]=1.2/p
Plot[v[p],{p,0.1,5},PlotRange→{0,2},
AxesLabel→{"presión","volumen"}]
volumen
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0
1
2
3
4
5
presión
5.d) Modelado con funciones racionales.
Una función racional f es una razón de polinomios
f ( x) =
P( x)
Q( x )
donde P y Q son
polinomios. El dominio consiste en todos los valores de x tales que Q(x)≠0.
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 17 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario Por este motivo, las funciones racionales están definidas en todos los números que no anulan
el polinomio denominador, es decir, en el cuerpo de coeficientes menos una cantidad finita,
que será igual al número de raíces reales del polinomio denominador. Una función racional
está definida en todo el cuerpo de coeficientes si el polinomio denominador no tiene raíces
reales.
Ejemplo 5: El cambio de temperatura T de un cable de aluminio varía inversamente con su
masa m y directamente con la cantidad de energía calórica E transferida. La temperatura de
un cable de aluminio con una masa de 0.1 kg aumenta a 5°C cuando se le aplican 450 julios
(J) de energía calórica. ¿Cuánta energía calórica debe ser transferida a un cable de aluminio
con una masa de 0.2 kg para aumentar su temperatura a 20°C?
5.e) Modelación con funciones algebraicas
Las funciones algebraicas se construyen a partir de polinomos usando operaciones
algebraicas. Las funciones racionales son casos especiales de las funciones algebraicas. Se
verá que su gráfica adopta diversas formas; se ilustran dos posibilidades, las Fig 12 y 13.
۞
Plot[(x2 -3 x-4)/(x2 -4),{x,-6,8},
PlotRange→{-5,5},AxesLabel→{"x","y"},
GridLines→{{2},{1}}]
3
2
Plot[{(x -2 x)/(2 (x -5)),1/2
x },
{x,-6,8},AxesLabel→{"x","y"},PlotRange→{-5,5}]
y
y
4
4
2
-6
-4
2
-2
2
4
6
8
x
-6
-4
-2
2
-2
-2
-4
-4
Fig. 12.- f ( x) =
4
6
8
x
x2 − 3 x − 2
x3 − 2 x
Fig.
13.f
(
x
)
=
x2 − 4
2( x 2 − 5)
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 18 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario Ejemplo 6: En la teoría de la relatividad surge un ejemplo de funciones algebraicas. La masa
de una partícula con velocidad v es
m0
m = f (v ) =
1−
v2
x2
donde m0 es la masa en reposo de la partícula, y c = 3.0 x 105 km/seg es la rapidez de la luz
en el vacío.
5.f ) Modelado del comportamiento periódico con sinusoidales
Cuando se trabaja en el cálculo con funciones trigonométricas, la convención es que se
utiliza la variable en radianes. Por ejemplo, cuando se usa la función f ( x) = sen ( x) se
,
supone que sen x significa el seno del ángulo cuya medida en radianes es x. Por
consiguiente, las gráficas de las funciones seno y coseno son las que se ilustran en las Fig.
14 y 15.
۞
Plot[Sin[x],{x,-2 Pi,2 Pi},AxesLabel→{"x","y"},
PlotRange→{-2,2}]
Plot[Cos[x],{x,-2 π,2 π},AxesLabel→{"x","y"},
PlotRange→{-2,2}]
y
2
y
2
1
1
-6
-4
-2
2
4
6
x
-6
-4
-2
2
-1
-1
-2
-2
Fig. 14.- f ( x) = sen ( x)
4
6
x
Fig. 15.- f ( x) = cos ( x)
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 19 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario Observar que tanto para la función seno como coseno el dominio es (-∞, ∞) y la imagen es
el intervalo cerrado [-1, 1]. En estos términos, para todos los valores de x se tiene
-1 ≤ sen x ≤ 1
o en términos de valores absolutos, |sen x| ≤ 1
-1 ≤ cos x ≤ 1
|cos x| ≤ 1
Además, los ceros de las funciones seno surgen en múltiplos enteros de π, es decir,
sen ( x) = 0 donde x = nπ (n es un número positivo).
Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones periódicas y
tienen período fundamental 2π. Esto significa que para todas las funciones de x,
sen ( x + 2 π ) = sen( x)
cos ( x + 2 π ) = cos( x)
Una función es una sinusoidal si puede escribirse en la forma
f ( x) = a sen (b x + c) + d
en donde a, b, c y d son constantes , con a ≠ 0, b≠ 0.
Hay un vocabulario especial para describir algunas transformaciones gráficas cuando se
aplican a las sinusoidales. Los alargamientos y las compresiones horizontales afectan al
período y a la frecuencia; los alargamientos y las compresiones verticales afectan a la
amplitud y las traslaciones traen consigo un cambio de fase. Todos estos términos están
asociados con ondas, y las ondas están asociadas naturalmente con sinusoidales.
El período de una sinusoidal f ( x) = a sen (b x + c) + d es Similarmente, el período de f ( x) = a cos (b x + c) + d es
2π
b
2π
.
b
b
La frecuencia de una sinusoidal f ( x) = a sen (b x + c) + d es
Similarmente, la frecuencia de f ( x) = a cos (b x + c) + d es
2π
b
2π
.
.
La amplitud de una sinusoide f ( x) = a sen (b x + c) + d es |a|.
Similarmente, la amplitud de f ( x) = a cos (b x + c) + d es el valor absoluto de a (|a|).
Gráficamente, la amplitud es la mitad de la altura de la onda.
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 20 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario La naturaleza periódica de estas funciones las hace adecuadas para modelar fenómenos
repetitivos como por ejemplo, las mareas, los resortes vibratorios, las ondas sonoras, el
número de horas de luz diurna durante el año en un sitio geográfico, etc.
Ejemplo 7: La construcción de una sinusoidal con propiedades específicas es a menudo un
paso clave en el modelado de situaciones físicas que exhiben un comportamiento periódico.
Si por ejemplo, se pide que construya una sinusoidal y = f(x) que tenga un valor mínimo de
y = 5 , cuando x = 0 y un valor máximo y = 25 cuando x = 32 .
El proceso puede resumirse de la siguiente manera:
1) Determine el valor máximo M y el valor mínimo m. La amplitud A de la sinusoidal es
A = (M - m) / 2 y el cambio vertical es C = (M + m)/2.
2) Determine el período p, el intervalo de tiempo de un ciclo sencillo de la función
periódica. La compresión (o el alargamiento) horizontal es B = 2π/p.
3) Elija una sinusoidal apropiada para un comportamiento en un momento dado T. Por
ejemplo, en el momento T:
f(t) = A cos (B (t-T)) + C alcanza su valor máximo
f(t) = -A cos (B (t-T)) + C alcanza su valor mínimo
f(t) = A sen (B (t-T)) + C está a la mitad entre un valor mínimo y uno máximo
f(t) = -A sen (B (t-T)) + C está a la mitad entre un valor máximo y uno mínimo.
Se aplica este procedimiento para modelar los altibajos de una marea
El día 4 de Julio, en una localidad marítima determinada, hubo marea alta a las 9:56 AM. En
ese momento, el agua, al final del muelle estaba a 2.7 m de profundidad. Hubo marea baja a
las 3:48 PM y a esa hora el agua estaba a 2.1 m de profundidad. Suponga que la profundidad
del agua es una función sinusoidal del tiempo cuyo período es la mitad de un día lunar
(aproximadamente 12 horas, 24 minutos)
Se necesita modelar la profundidad D como una función sinusoidal del tiempo t. La
profundidad varía de un máximo de 2.7m a un mínimo de 2.1 m; entonces la amplitud
A=(2.7-2.1) / 2 = 0.3 y el desplazamiento vertical es C= (2.7 + 2.1) / 2 = 2.4. El período es
de 12.4 horas, entonces B = 2π / 12.4 = π / 6.2
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 21 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario Se necesita una sinusoidal que tenga su valor máximo a las 9:56 AM (lo que equivale a 9.6
horas después de la medianoche, un conveniente tiempo 0). Se elige el modelo coseno. De
esta manera:
D(t ) = 0.3 cos(
π
6.2
(t − 9.6)) + 2.4 ۞
Plot[(0.3Cos[π/6.2(t-9.6)])+2.4,{t,0,24},
AxesLabel→{"t","D"},AspectRatio→0.54]
D
2.7
2.6
2.5
2.4
2.3
2.2
5
10
15
20
t
Fig. 16.- Comportamiento de la marea
Función tangente
La función tangente f(x)= tan x, se relaciona con las funciones seno y coseno por medio de
la ecuación tan(x) =
sen( x)
cos(x)
۞
Plot[Tan[x],{x,-2 π,2π},AxesLabel→{"x","y"},
PlotRange→{-2,2}]
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 22 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario y
2
1
-6
-4
-2
2
4
6
x
-1
-2
Fig. 16.- f(x) = tan x
Es indefinida siempre que cos x = 0, es decir, cuando x = +
π
2
+
3π
2
..... Su intervalo es (-∞, ∞).
A diferencia de las sinusoidales, la función tangente tiene un denominador que puede ser cero, lo
que hace que la función sea indefinida en ese caso. Eso ocurre un número infinito de veces; en
todos los valores de x para los cuales cos x = 0. Es por eso que la función tangente tiene asíntotas
verticales en esos valores. La función tangente es cero justo donde la función seno también es
cero; en todos los múltiplos de π , ver Fig. 16.
۞
Plot[{Sin[x],Cos[x],Tan[x]},{x,2π,2π},
AxesLabel→{"x","y"},PlotRange→{-2,2}]
Plot[{Sin[x],Cos[x],Tan[x]},{x,-2π,2π},
AxesLabel→{"x","y"},PlotRange→{-2,2}]
y
2
1
-6
-4
-2
2
4
6
x
-1
-2
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 23 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario 5.g) Modelación con funciones exponenciales
Las funciones exponenciales son funciones de la forma f(x)= ax, donde la base a es una
constante positiva. Si a >1 la función será creciente, ver Fig. 17; y si 0<a<1 será una curva
decreciente , ver Fig. 18.
۞
Plot[2x,{x,-2,4},AxesLabel→{"x","y"}]
Plot(1/2)x,{x,-2,4},AxesLabel→{"x","y"}]
y
y
4
15
3
10
2
5
-2
-1
1
1
2
Fig. 17.- f ( x) = 2
3
4
x
-2
-1
1
2
3
Fig. 18.- f ( x ) = (1 / 2)
x
4
x
x
En particular, la función f(x)= ex es una de las funciones básicas y es una función de
crecimiento exponencial (La letra e es la letra del apellido de Leonhard Euler (1707-1783),
quien introdujo la notación)
Las funciones exponenciales resultan útiles para modelar muchos fenómenos naturales,
como por ejemplo: El crecimiento de una colonia bacteriana, el de una población humana o
de animales, como el decaimiento radiactivo, etc.
Ejemplo 8: Sea P(t) la población de una comunidad, t años después de 1990.
Año
Población
1990
782248
2000
895193
Suponiendo que P es exponencial, P(t) = P0 . bt, donde P0 es la población inicial (1990) de
782.248 habitantes.
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 24 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario P10= 782.248 b10 = 895.193. Por lo que,
b = 10
895.193
= 1.0136
782.248
y P(t) =782.248 . 1.0136 t
5.h) Modelación con funciones logarítmicas
Las funciones logarítmicas fueron desarrolladas alrededor de 1594, como herramientas
computacionales, por el matemático escocés John Napier (1550-1617). Originalmente los
llamó “números artificiales” pero cambió el nombre por el de logaritmos, que significa
“números de cálculo” o “números para calcular”.
Una función exponencial la forma f(x) = bx con b>0 y b≠1 tiene una función inversa; esta
función inversa es la función logarítmica con base b, expresada por logb x.
Una consecuencia inmediata y útil de esta definición es la relación entre dichas funciones:
Si x > 0 , entonces
y = logb x ⇔ by = x
( por definición de logaritmo)
Ejemplo 9: Un avión a reacción al despegar es 100 billones de veces más ruidoso que un
suave susurro. La unidad de medida original para la intensidad del sonido fue el bel (B), que
resultó ser inconvenientemente grande debido al amplio rango de intensidades de sonido;
por eso fue reemplazado por el decibel (dB), un décimo de bel; se utilizan logaritmos
(potencias de 10) para comparar qué tan fuertes son los sonidos. El bel fue llamado así en
honor a un escocés naturalizado estadounidense Alexander Graham Bell (1847-1922),
inventor del teléfono.
El nivel de intensidad del sonido, medido en decibeles es
β = 10 log (I/I0)
donde β es el número de decibeles, I es la intensidad del sonido medido en W/m², e
I0 = 10-12 W/m² es el umbral de audición humano (la intensidad de sonido más baja audible).
¿Qué tan fuerte es el sonido de un tren en un túnel subterráneo, sabiendo que la intensidad
del sonido del tren es de 10-2 W/m²?
β = 10 log (I/I0)
β = 10 log (10-2 / 10-12)= 100 dB
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 25 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario El nivel de intensidad del sonido de un tren dentro de un túnel subterráneo es de 100 dB.
Movimiento armónico simple
En la resolución de muchos problemas de Ingeniería, como por ejemplo en el estudio de
todo tipo de vibraciones, aparecen movimientos, llamados armónicos simples.
Los modelos que describen un movimiento vibratorio no amortiguado son de la forma
x(t)
= A cos(ωt) ó x(t) = A sen (ωt), donde A es la amplitud del desplazamiento y su período t
=2π/ω.
۞
x[t_]=Sin[t];
Plot[{x[t],1/3f[t],f[2t]},{t,0,3 Pi},PlotStyle→
{RGBColor[0.25098,0.501961,0.501961],RGBColor[1,0,0],RGBC
olor[0.611765,0.784314,0.215686]},AxesLabel→{"t","x"}]
y
1
0.5
x
2
4
6
8
-0.5
-1
graficas=Table[p[m]=Plot[{Sin[t],x[mt]},{t,0,2Pi},
PlotStyle→RGBColor[Random[Integer],Random[Integer],
Random[Integer]],Background→RGBColor[0.266667,0.733333,
0.721569],DisplayFunction→Identity],{m,1,3,1}]
Show[graficas,DisplayFunction→$DisplayFunction];
Partition[graficas,3];
Show[GraphicsArray[%,GraphicsSpacing→0.5,DisplayFunction
→$DisplayFunction]]
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 26 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario 2
1
2
4
6
8
10
12
-1
-2
Fig. 19.- Desplazamientos no amortiguados para distintos valores del período
graficas=Table[p[h]=Plot[{Sin[t],hx[t]},{t,-2Pi,2Pi},
PlotStyle→RGBColor[Random[Integer],Random[Integer],
Random[Integer]],Background→RGBColor[0.266667,0.733333,
0.721569],DisplayFunction→Identity],{h,1,3,1}]
Show[graficas,DisplayFunction→$DisplayFunction];
Partition[graficas,3];
Show[GraphicsArray[%,GraphicsSpacing→0.5,
DisplayFunction→$DisplayFunction]]
2
1
1.0
0.5
- 0.5
- 1.0
2 4 6 8 1012
4
2
-1
-2
3
2
1
2 4 6 8 10 12
2 4 6 8 10 12
-2
-4
2 4 6 8 10 12
6
4
2
4
2
-2
-4
-2
-3
2 4 6 8 10 12
-4
-6
2 4 6 8 10 12
Fig. 20.- Desplazamientos no amortiguados para distintos valores de la amplitud
En las Fig. 19 y Fig. 20 se exhiben una serie de respuestas, para distintos valores de los
parámetros, t y A de estos desplazamientos no amortiguados.
Cuando el movimiento corresponde a vibraciones amortiguadas, se obtienen modelos de
desplazamiento, como
x(t ) = e −bt (cosω t + senω t )
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 27 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario donde los parámetros son b y ω
۞
x[t_]= (-0.011 t) (Cos[t]+Sin[t])
Plot[{x[t]},{t,0,50},PlotStyle→{RGBColor[0.25,0.5,1]},
AxesLabel→{"x","t"}]
Plot[{x[t]},{t,0,150},PlotStyle→{RGBColor[0.25,0.5,1]},
AxesLabel→{"x","t"}]
t
t
1.0
1.0
0.5
0.5
10
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
20
30
40
50
x
20
-0.5
-0.5
-1.0
-1.0
xHtL
t
0 1 2 3 4 5 6
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
2 xH tL
t
0 1 2 3 4 5 6
40
60
80
100
1ê2xHtL
2
1.5
1
0.5
0
t
-0.5
-1
-1.5
0 1 2 3 4 5 6
120
140
x
xHtL
2
1.5
1
0.5
0
t
-0.5
-1
-1.5
0 1 2 3 4 5 6
Fig. 21.- Vibraciones amortiguadas
En la Fig. 21 se observa el comportamiento de la función de estos desplazamientos
amortiguados para distintos valores de los parámetros mencionados.
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 28 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario PROPUESTA PARA REALIZAR EN EL LABORATORIO
1.-En los siguientes modelos funcionales:
⎧x
⎩2 - x
a) f ( x) = ⎨
si 0 ≤ x ≤ 1
si 1 < x ≤ 2
⎧1 - x
g ( x) = ⎨
b)
⎩ x −1
si - 1 ≤ x < 1
si 1 ≤ x ≤ 4
Establece su dominio natural
Representa gráficamente
Hallar los siguientes valores de función (si existen): f(1) y f(1.5); g(-1) y g(1.5)
2.-Dada la función f ( x) = x
a) Representa gráficamente f (x) , f ( x) + 2 , f ( x) − 3 .
¿Cómo afecta las transformaciones del tipo “ f ( x) + a ” a la gráfica de la función?
¿Cómo influye que “a” sea positivo o negativo?
b) Representa gráficamente f (x) , f ( x + 2) , f ( x − 3)
¿Cómo afecta las transformaciones del tipo “ f ( x + a) ” a la gráfica de la función?
¿Cómo influye que “a” sea positivo o negativo?
c) Representa gráficamente
1
f ( x) , f (x ) y −3 f ( x ) .
3
¿Cómo afecta las transformaciones del tipo “a f(x)”?
¿Cómo influye que “a” sea positivo o negativo?
x
2
d) Representa gráficamente f (2 x) , f (−2 x) , f ( ) .
¿Cómo afecta las transformaciones del tipo “f(a x)”?
¿Cómo influye que “a” sea positivo o negativo?
3.- Encuentra la amplitud de cada función y utilice el lenguaje de transformación para
describir cómo se relacionan las gráficas
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 29 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario a) f1 ( x) = cos ( x)
b) f 2 ( x) = 1 / 2 cos ( x)
c) f 3 ( x) = −3 cos ( x)
4.- Determina el período de cada función y utilice un lenguaje de transformaciones para
describir cómo están relacionadas las gráficas
a) f 4 ( x) = sen ( x)
x
b) f 5 ( x) = −2 sen ( )
3
c) f 6 ( x) = 3 sen (−2 x)
5.- Encuentra la frecuencia de la función f(x) = 4 sen (2x/3) e interprete su significado
gráficamente. Grafica en la ventana [-3π, 3π] por [-4, 4].
6.- Determina para las funciones y= sinc (x) , [sinc(x) = sen(x)/x]
a) dominio y conjunto imagen
b) realiza las siguientes transformaciones:
con k ≤ 1 ,
con salto de 0.5 unidades
II) y=k e x sen(x) , con k ≥ 1 ,
con salto de 0.5 unidades
I) y=k sinc (x),
c) mostrar todas las gráficas posibles a partir de las transformaciones anteriores.
Comenta en cada caso las transformaciones realizadas.
7.- Obtiene:
a) la función coseno a partir de un corrimiento de fase de la función seno.
b) la función seno a partir de un corrimiento de fase de la función coseno.
8.- Construye una sinusoidal con período π/5, amplitud 6, y que pase por el punto (2,0).
9.- Grafica estas funciones, una a la vez, en la ventana de visualización [-2π, 2π] por
[-6, 6]. ¿Cuáles son periódicas?
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 30 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario f1 ( x) = 3 sen( x) + 2 cos ( x)
f 3 ( x) = sen(7 x / 5) + cos (
f 2 ( x) = 2 sen(3 x) − 4 cos (2 x)
7x − 2
) f 4 ( x) = 2 sen( x) − 3 cos ( x)
5
f 5 ( x) = 2 sen(5 x + 1) − 5 cos (5 x)
f 6 ( x) = 2 sen(7 x) − 3 cos (2 x)
10.- Determina si cada una de las siguientes funciones es o no una sinusoidal:
a) f 7 ( x) = 3 sen( x) + 5 cos ( x)
b) f 8 ( x) = sen(3 x) + cos (5 x)
c) f 9 ( x) = 3 cos(2 x) − 2 cos (3 x)
11.- Sea f10 ( x) = 2 sen( x) − 5 cos ( x) a) Encuentra el período de f.
b) Estima la amplitud y el corrimiento de fase gráficamente (al centésimo más cercano).
c) Proporciona una sinusoidal a sen (b(x-h)) que se aproxime a f(x).
12.- Muestra que f(x)= sen2x + cos3x es periódica pero no sinusoidal. Grafique un período.
13.- En el procedimiento médico conocido como angioplastia, los doctores insertan un
catéter en una vena cardiaca (a través de una gran vena periférica) e inflan un pequeño globo
esférico en la punta del catéter. Suponga que el globo es inflado a una velocidad constante
de 44 milímetros cúbicos por segundo.
a) Determine el volumen al cabo de t segundos.
b) Cuando el volumen es V, ¿cuál es el radio?
c) Escriba una ecuación que proporciona el radio r como función del tiempo. ¿Cuál es el
radio después de 5 segundos?
14.- En la clase de física se recolectaron datos de un planeador que oscila entre dos resortes.
Los alumnos determinaron a partir de los datos que la ecuación:
y= 0.22e −0.065 t cos(2.4t )
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 31 Laboratorio Informático de Ciencias Básicas Facultad Regional Rosario modela el desplazamiento y los resortes respecto de su posición original como una función
del tiempo t.
a) Identifica el factor de amortiguamiento y menciona dónde ocurre el amortiguamiento.
b) Aproximadamente, ¿cuánto tiempo toma para que el resorte se amortigüe, de modo que
– 0.1 ≤ y ≤ 0.1?
15.- La siguiente tabla muestra datos respecto de la población del mundo en el siglo xx, esto
nos sugiere un crecimiento exponencial, cuyo modelo esta dado por la siguiente expresión:
P = 0.00807926 (1.013731)
t
Año
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
Población
(millones)
1650
1750
1860
2070
2300
2560
3040
3710
4450
5280
6080
Grafica la dispersión para el crecimiento de la población mundial y su modelo exponencial.
16.- Grafica f(v) para distintos valores de m0 del Ejemplo 6.
17.- Resuelve el Ejemplo 5 y verifica que el modelo es una expresión algebraica.
Alicia Tinnirello‐ Mónica Dádamo 32