Integral de Línea

1 – Métodos Matemáticos I
Parte II
Integrales de lı́nea y superficie
Parte: Integrales de lı́nea y superficie
I.T.I. en Mecánica
2 – Métodos Matemáticos I : Integral de lı́nea
Tema 3
Integral de lı́nea
3.1
Caminos y curvas en
n
IR
Definición 66.- Sea [a, b] ⊂ IR , diremos que α: [a, b] −→ IRn es un camino en IRn si α es continua
en [a, b].
A los puntos α(a) y α(b) de IRn los llamaremos extremos del camino. Si los extremos coinciden,
es decir, si α(a) = α(b), diremos que el camino es cerrado.
Observación 67.- Las funciones α que determinan los caminos son funciones vectoriales de variable
real, luego α es continua y diferenciable si lo son sus funciones componentes. En este último caso,
como las componentes de α = (α1 , . . . , αn ) son funciones reales de variable real, son diferenciables
si son derivables y, en consecuencia,
³ suele usarse la
´ expresión α es “derivable” en lugar de decir
0
0
0
diferenciable y se escribe α (t) = α1 (t), . . . , αn (t) .
Ejemplos 68.- La función α: [0, 1] −→ IRn dada por α(t) = x + t(y − x) es continua en [0, 1], luego
es un camino en IRn .
α(0) = x y α(1) = y , y la imagen de α en IRn es el segmento que une los puntos x e y de
IRn . Suele denotarse por x y ó [[x, y]].
La función α: [0, 2π] −→ IR2 definida por α(t) = (cos t, sen t) es continua en [0, 2π], por serlo
sus funciones componentes, y α(0) = (cos 0, sen 0) = (cos 2π, sen 2π) = α(2π). Luego es un camino
cerrado en IR2 .
Su imagen α([0, 2π]) son los puntos de la circunferencia unidad x2 + y 2 = 1.
4
Definición 69.- Dos caminos α: [a, b] −→ IRn y β : [c, d] −→ IRn se dice que son equivalentes, y se
escribe α ∼ β , si existe una aplicación biyectiva u: [c, d] −→ [a, b] continua en [c, d], de clase 1 en
(c, d) y u0 (t) 6= 0 para todo t ∈ (c, d), tal que β = α ◦ u en [c, d].
Nota: Es claro que, si u es continua en [c, d] y u0 es continua y no se anula en (c, d), la función
es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, luego u es inyectiva, por lo que basta con
asegurarse que u es suprayeciva o sobreyectiva, es decir, que Img(u) = [a, b].
Además, si α ∼ β , tienen el mismo conjunto imagen pues α([a, b]) = β ([c, d]).
Ejemplo 70.- Los caminos α: [0, 2π] −→ IR2 y β : [0, π] −→ IR2 , con α(t) = (cos t, sen t) y β (t) =
(cos 2t, sen 2t), son equivalentes.
En efecto, la función u: [0, π] −→ [0, 2π], dada por u(t) = 2t, verifica que
(α ◦ u)(t) = α(u(t)) = (cos u(t), sen u(t)) = (cos 2t, sen 2t) = β (t);
es continua, de clase 1 y u0 (t) = 2 6= 0, para todo t ∈ (0, π); y es biyectiva, pues si s ∈ [0, 2π], existe
t = 2s ∈ [0, π] tal que u(t) = 2t = 2 2s = s, luego es sobreyectiva.
4
Proposición 71.- La equivalencia de caminos verifica las siguientes propiedades
1.- Si α ∼ β , entonces β ∼ α
2.- Si α ∼ β y β ∼ γ , entonces α ∼ γ .
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3.1 Caminos y curvas en IRn
3 – Métodos Matemáticos I : Integral de lı́nea
Demostración:
a) Si α ∼ β , entonces existe u: [c, d] −→ [a, b] tal que β = α ◦ u. Por ser u continua y
biyectiva en [c, d] existe la función inversa continua y biyectiva u−1 : [a, b] −→ [c, d]; y por
ser u de clase 1 y u0 (t) 6= 0 para todo t ∈ (c, d), por el teorema de la función inversa, la
función u−1 es de clase 1 y con derivada distinta de cero en (a, b). Además, se verifica que
β ◦ u−1 = (α ◦ u) ◦ u−1 = α ◦ (u ◦ u−1 ) = α .
b) β = α ◦ u y γ = β ◦ v , entonces γ = β ◦ v = (α ◦ u) ◦ v = α ◦ (u ◦ v) = α ◦ w , donde
w = u ◦ v es continua y de clase 1 por ser composición de funciones continuas y de clase 1.
Además w0 (t) = u0 (v(t))v 0 (t) 6= 0 para todo t.
Definición 72.- Al conjunto de todos los caminos equivalentes entre sı́ y, más comúnmente, a la imagen
común de todos los caminos equivalentes, se le llama curva en IRn . De cada uno de estos caminos,
se dice que es una parametrización de la curva o que la curva está descrita o recorrida por dicho
camino.
Observación 73.- Si α y β son equivalentes, la función u que da la equivalencia es estrictamente
creciente o estrictamente decreciente, según que la derivada sea positiva o negativa. En consecuencia,
para u: [c, d] −→ [a, b], si u0 > 0 entonces u(c) = a y u(d) = b y si u0 < 0, se tiene que u(c) = b y
u(d) = a.
Definición 74.- Sean α y β caminos equivalentes con β = α ◦ u. Si u0 > 0 se dice que α y β son
positivamente equivalentes y si u0 < 0 se dice que son negativamente equivalentes.
Se dice entonces, que α y β recorren la curva en el mismo sentido si son positivamente equivalentes
y en sentidos contrarios si son negativamente equivalentes.
Proposición 75.- Sea α: [a, b] −→ IRn , entonces el camino α − : [a, b] −→ IRn dado por α − (t) =
α(a + b − t) es negativamente equivalente a α .
Demostración:
Sea u: [a, b] −→ [a, b] la función dada por u(t) = a + b − t.
? La función u es continua, derivable y u0 (t) = −1 para todo t ∈ (a, b), luego la derivada es
continua y u0 < 0 en (a, b).
? Es sobreyectiva, pues cada c ∈ [a, b] es imagen por u del punto a + b − c ∈ [a, b], es decir,
u(a + b − c) = a + b − (a + b − c) = c.
Como α − (t) = α(a + b − t) = α(u(t)) para todo t, los caminos α y α − son negativamente
equivalentes.
3.1.1
Longitud de una curva
Sea C una curva parametrizada por α: [a, b] −→ IRn , P = {a = t0 < t1 < · · · < tm = b} una
partición de [a, b] y xi = α(ti ) ∈ IRn para i = 0, . . . , m. Construimos la poligonal ΠP que pasa por
los sucesivos puntos xi de C . Como la longitud de cada segmento [[xk−1 , xk ]] es kxk − xk−1 k, la
longitud de toda la poligonal
L(ΠP ) =
m
X
k=1
kxk − xk−1 k =
m
X
kα(tk ) − α(tk−1 )k
k=1
será una aproximación (por defecto) a la longitud de la curva.
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3.1 Caminos y curvas en IRn
4 – Métodos Matemáticos I : Integral de lı́nea
α(t3 )
α(t2 )
α(t4 )
α(b)
α(t1 )
α(a)
Fig. 3.1. Aproximación por poligonales
Si Q es una partición de [a, b] más fina que P , se verifica que L(ΠP ) ≤ L(ΠQ ), pues si t0 ∈ Q y
no a P se tiene que ti−1 < t0 < ti para algún i y, entonces,
°
°
°
°
kα(ti ) − α(ti−1 )k ≤ ° α(ti ) − α(t0 )° + ° α(t0 ) − α(ti−1 )° .
Es decir, particiones más finas producen mejores aproximaciones a la longitud de la curva.
Definición 76.- Sea C una curva parametrizada por α: [a, b] −→ IRn . Diremos que la curva C es
rectificable si existe M > 0 tal que L(ΠP ) ≤ M para toda partición P ∈ P([a, b]).
Existe, entonces, el valor L(a, b) = sup L(ΠP ) que llamaremos longitud de la curva.
P ∈P([a,b])
Observación 77.- Es obvio que la longitud no puede depender de la parametrización elegida.
Si α ∼ β existe u tal que α = β ◦ u y, para cada partición de [a, b], los valores si = u(ti ) son
una partición de [c, d] tal que xi = α(ti ) = β (u(ti )) = β (si ); y viceversa.
También es claro que si a < c < b, se tiene que L(a, b) = L(a, c) + L(c, b).
Proposición 78.- Sea C una curva descrita por α: [a, b] −→ IRn . Si α es de clase 1, entonces C es
rectificable y L(a, b) =
Z b
a
kα 0 (t)k dt.
Demostración:
Sea P ∈ P([a, b]), entonces
L(ΠP ) =
m
P
k=1
kα(tk ) − α(tk−1 )k
y, como α es derivable en cada
intervalo [tk−1 , tk ], existe ek ∈ [tk−1 , tk ], tal que
α(tk ) − α(tk−1 ) = α 0 (ek )(tk − tk−1 ).
Luego
m °
m °
m °
X
X
X
°
°
°
0
0
°
°
°
°
° α 0 (ek )° (tk − tk−1 ).
L(ΠP ) =
α (ek )(tk − tk−1 ) =
α (ek ) |tk − tk−1 | =
k=1
k=1
k=1
Por otra parte, kα 0 k : [a, b] −→ IR es continua por serlo α 0 y, si mk y Mk son respectivamente el
mı́nimo y máximo de la función kα 0 k en [tk−1 , tk ], se tiene que
°
°
mk ≤ ° α 0 (ek )° ≤ Mk
de donde
°
°
L(° α 0 ° , P ) ≤
m
X
° 0
°
° °
° α (ek )° (tk − tk−1 ) ≤ U(° α 0 ° , P )
k=1
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I.T.I. en Mecánica
5 – Métodos Matemáticos I : Integral de lı́nea
3.2 Integral de lı́nea para funciones reales
y, por tanto,
Z b
° 0°
°α ° =
a
sup
¡° °
¢
L ° α 0° , P ≤
P ∈P[a,b]
sup L(ΠP ) ≤
P ∈P[a,b]
inf
P ∈P[a,b]
¡° °
¢
U ° α 0° , P =
Z b
° 0°
°α ° .
a
Luego C es rectificable. Además, como kα 0 k es integrable (por ser continua), la integral superior e
inferior coinciden, y se tiene que
L(a, b) =
sup L(ΠP ) =
P ∈P[a,b]
Z b
° 0
°
°α (u)° du.
a
Definición 79.- Sea(C una curva rectificable descrita por α: [a, b] −→ IRn . La función s: [a, b] −→ IR
0, si t = a
se denomina función longitud de arco de la curva C .
definida por s(t) =
L(a, t), si t > a
Proposición 80.- Sea C una curva descrita por α: [a, b] −→ IRn de clase 1, entonces
1.- s(t) =
Z t
a
kα 0 (u)k du, para cada t ∈ [a, b].
2.- s es derivable en (a, b) y s0 (t) = kα 0 (t)k, para todo t ∈ (a, b).
Demostración:
1.- Aplicando la proposición anterior a cada intervalo [a, t] con t ≤ b, se tiene que, para cada
t ∈ [a, b], s(t) = L(a, t) =
2.- Por ser
kα 0 k
Z t
a
kα 0 (u)k du.
continua y el teorema fundamental del cálculo integral.
α 0 (t2 ) ©
*
Observación 81.- Si α es una parametrización de la curva C y
es derivable en t, el vector α 0 (t) es un vector tangente a la curva
C en el punto α(t).
El sentido de ese vector tangente indica el sentido del recorrido de
la curva y la norma indica, en un cierto sentido, cuánto se “curva”
cerca de ese punto.
© rX α 0 (t3 )
XX
z
α (t2 )
s
r©
α 0 (t1 )
7
¶
r¶
α (t1 )
s
Ejemplo 82.- Hallar la longitud y la función longitud de arco de la cicliode parametrizada por
α: [0, 2π] −→ IR2 con α(t) = (t − sen t, 1 − cos t).
Solución:
p
¯
¯
En [0, 2π], se tiene kα 0 (t)k = k(1 − cos t, sen t)k = 2(1 − cos t) = 2 ¯sen 2t ¯ = 2 sen 2t , luego
Z t
Z t
³
° 0
°
t´
u
°
°
s(t) =
α (u) du = 2
sen du = 4 1 − cos
0
3.2
0
2
2
y L(C) = s(2π) = 8.
4
Integral de lı́nea para funciones reales
Definición 83.- Sea C una curva de IRn parametrizada por α: [a, b] −→ IRn de clase 1 y ϕ: C −→ IR
acotada. Se define la integral de ϕ respecto a la longitud de arco a lo largo de C y recorrida
en el sentido dado por α , como
Z
C
Parte: Integrales de lı́nea y superficie
Z
ϕ=
ϕ ds =
Z b
a
ϕ(α(t))s0 (t) dt =
Z b
a
°
°
ϕ(α(t)) ° α 0 (t)° dt.
I.T.I. en Mecánica
6 – Métodos Matemáticos I : Integral de lı́nea
3.2 Integral de lı́nea para funciones reales
Proposición 84.- Sea C una curva de IRn y ϕ: C −→ IR acotada. Si α: [a, b] −→ IRn y β : [c, d] −→
IRn son dos parametrizaciones de C equivalentes, entonces
Z b
a
°
°
ϕ(α(t)) ° α 0 (t)° dt =
Z d
c
°
°
ϕ(β (t)) ° β 0 (t)° dt.
Es decir, la integral no depende de la parametrización elegida.
Demostración:
°
°
Si β (t) = α(u(t)) en [c, d], se tiene ° β 0 (t)° = kα 0 (u(t))u0 (t)k = kα 0 (u(t))k |u0 (t)|, luego
Z d
I=
c
°
°
ϕ(β(t)) °β 0 (t)° dt =
Z d
c
¯
°¯
°
ϕ(α(u(t))) °α0 (u(t))° ¯u0 (t)¯ dt.
Haciendo el cambio u = u(t), se tiene que du = u0 (t) dt. Entonces, si u0 > 0 se tiene que |u0 (t)| = u0 (t),
u(c) = a y u(d) = b, de donde
Z d
I=
c
°
°
ϕ(α(u(t))) ° α 0 (u(t))° u0 (t) dt =
Z b
a
°
°
ϕ(α(u)) ° α 0 (u)° du;
y, si u0 < 0, se tiene que |u0 (t)| = −u0 (t), u(c) = b y u(d) = a, de donde
I=
=
3.2.1
3.2.1.1
Z d
°
°
ϕ(α(u(t))) °α0 (u(t))° (−u0 (t)) dt = −
c
Z b
a
Z a
b
°
°
ϕ(α(u)) °α0 (u)° du
°
°
ϕ(α(u)) °α0 (u)° du.
Aplicaciones
Cálculo de áreas
Sean C una curva en IR2 , parametrizada por α: [a, b] −→ IR2 de clase 1, y ϕ: C −→ IR una función
acotada y positiva. Si consideramos la curva C ∗ = {(x, y, ϕ(x, y)) : (x, y) ∈ C} de IR3 , el área de la
superficie vertical S encerrada entre C y C ∗ , viene dada por
Z
A(S) =
Z
C
ϕ=
ϕ ds =
Z b
a
°
°
ϕ(α(t)) ° α 0 (t)° dt.
Generalizando esto, si ϕ1 , ϕ2 : C −→ IR , con ϕ1 ≤ ϕ2 en C , entonces el área vertical S encerrado
C∗
C
Fig. 3.2. Área vertical entre curvas.
entre las curvas C1∗ = {(x, y, ϕ1 (x, y)) : (x, y) ∈ C} y C2∗ = {(x, y, ϕ2 (x, y)) : (x, y) ∈ C} es
Z
A(S) =
Z
C
Parte: Integrales de lı́nea y superficie
(ϕ2 − ϕ1 ) =
(ϕ2 − ϕ1 ) ds =
Z b³
a
´°
°
ϕ2 (α(t)) − ϕ1 (α(t)) ° α 0 (t)° dt.
I.T.I. en Mecánica
7 – Métodos Matemáticos I : Integral de lı́nea
3.2 Integral de lı́nea para funciones reales
Ejemplo 85.- Calcular el área de la superficie S del cilindro x2 + y 2 = 4 limitada por los planos
z = 0 y x + z = 2.
Solución:
La curva C base de la superficie es C = {(x, y) : x2 + y 2 = 4} y α: [0, 2π] −→ IR2 con α(t) =
(2 cos t, 2 sen t) una parametrización suya; la función ϕ: C −→ IR viene dada por la altura de cada
punto del plano x + z = 2, es decir, ϕ(x, y) = z = 2 − x. Entonces
Z
ϕ ds =
A(S) =
3.2.1.2
Z 2π
0
°
°
ϕ(α(t)) °α0 (t)° dt =
Z 2π
0
(2 − 2 cos t)2 dt = 8π.
4
Aplicaciones a la mecánica
Si consideramos un alambre delgado que tiene la forma de una curva rectificable C en IRn (n = 2 ó
n = 3), α: [a, b] −→ IRn es una parametrización de C y la densidad del alambre en cada punto x ∈ C
viene dado por una función ϕ: C −→ IR , entonces:
la masa total de alambre se obtiene de
Z
M=
ϕ(x) ds.
El centro de masa del alambre ξ = (ξ1 , . . . , ξn ), de
Z
1
ξk =
M
xk ϕ(x) ds;
para cada 1 ≤ k ≤ n, con n = 2 ó n = 3.
El momento de inercia al girar alrededor de la recta L, por
Z
δ 2 (x)ϕ(x) ds,
IL =
donde δ(x) es la distancia del punto x ∈ C a la recta L.
Ejemplo 86.- Un alambre tiene la forma de la circunferencia x2 + y 2 = a2 . Determinar su masa y su
momento de inercia respecto a uno de sus diámetros, si la densidad en cada punto (x, y) es |x| + |y|.
Solución:
Una parametrización del alambre es α: [0, 2π] −→ IR2 , donde α(θ) = (a cos θ, a sen θ), y ϕ(x, y) =
|x|+|y| es la función densidad. Entonces, ϕ(α(θ)) = |a cos θ|+|a sen θ| y kα 0 (θ)k = k(−a sen θ, a cos θ)k =
a, luego
Z
M=
ϕ(x, y) ds =
Z 2π
0
Z
π
2
2
(a |cos θ| + a |sen θ|)a dθ = a 4
0
cos θ + sen θ dθ = 8a2 .
Si tomamos L el diámetro y = 0, se tiene que δ(x, y) = |y|, luego
Z
2
IL =
δ (x, y)ϕ(x, y) ds =
=a
4
=a
4
Z 2π
0
ÃZ
+
Parte: Integrales de lı́nea y superficie
0
2
sen θ |cos θ| dθ + a
π
2
0
Z 2π
(a sen θ)2 (a |cos θ| + a |sen θ|)a dθ
4
Z
Z π
0
2
0
3π
2
2
sen θ cos θ dθ −
Z 2π
π
2
sen θ sen θ dθ −
2
sen θ cos θ dθ +
Z 2π
π
sen2 θ |sen θ| dθ
Z 2π
¶
2
3π
2
sen2 θ cos θ dθ+
sen θ sen θ dθ = 4a4 .
4
I.T.I. en Mecánica
8 – Métodos Matemáticos I : Integral de lı́nea
3.3
3.3 Integral de lı́nea para funciones vectoriales
Integral de lı́nea para funciones vectoriales
El trabajo realizado por un campo de fuerzas f al mover una partı́cula a lo largo de una trayectoria
dada por α: [a, b] −→ IRn es
T =
Z b
a
f (α(t)) · α 0 (t) dt.
En efecto, si la partı́cula se desplaza a lo largo de la trayectoria, es impulsada por la componente
del campo en la dirección del vector tangente a la curva en cada punto, y su valor en cada punto se
obtiene del producto escalar del vector fuerza con el véctor tangente normalizado (de norma 1), luego
ϕ(α(t)) = f (α(t)) ·
α 0 (t)
kα 0 (t)k
y, por tanto, el trabajo total realizado será
Z
T =
ϕ ds =
Z bµ
¶
f (α(t)) ·
a
Z b
°
α 0 (t) °
° α 0 (t)° dt =
f (α(t)) · α 0 (t) dt.
kα 0 (t)k
a
Esta aplicación fı́sica de la integral de lı́nea, nos sugiere extender la definición de integral de lı́nea
a las funciones vectoriales.
Definición 87.- Un camino α: [a, b] −→ IRn se llama regular si α es de clase 1 en (a, b) y α 0 (t) 6= 0
para todo t ∈ (a, b).
Definición 88.- Un camino α: [a, b] −→ IRn se dice que es regular a trozos si existe una partición
P α = {a = t0 < t1 < · · · < tm = b} de [a, b] tal que la restricción de α a cada uno de los intervalos
[tk−1 , tk ] es regular.
Observación 89.- Si α: [a, b] −→ IRn es un camino regular a trozos y P α la partición asociada por
la definición, podemos considerar α como una “concatenación” de subcaminos regulares cuya curva
imagen queda construida “pegando” trozos de curvas.
Si P α = {a = t0 < t1 < · · · < tm = b} y denotamos por α k = α|[tk−1 ,tk ] a los subcaminos,
podemos describirlo (usando el sı́mbolo t para indicar la concatenación) mediante la expresión
α = α1 t α2 t · · · t αm .
Si β : [c, d] −→ IRn es un camino regular a trozos equivalente a α , con β = α ◦ u, entonces su
partición asociada P β es de la forma P β = {c = s0 < s1 < · · · < sm = d}, donde u(sk ) = tk si
son positivamente equivalentes y u(sk ) = tm−k si son negativamente equivalentes. Es decir, usando
la notación de concatenación,
β = β1 t β2 t · · · t βm,
donde β k = α k ◦ u si son positivamente equivalentes y β k = α m−k ◦ u si son negativamente
equivalentes.
Definición 90.- Sea α: [a, b] −→ IRn un camino regular a trozos y C = α([a, b]) ⊂ IRn . Si f : C −→
IRn es acotada, se define la integral de lı́nea de f a lo largo de α por
Z
Z
C
f=
f dα =
Z b
a
f (α(t)) · α 0 (t) dt,
siempre que la integral del segundo miembro exista.
Ejemplo 91.- Sea α: [0, 2π] −→ IR2 definida por α(t) = (t − sen t, 1 − cos t) y f (x, y) = (2 − y, x).
Entonces,
Z
f dα =
=
=
Z 2π
0
Z 2π
0
Z 2π
0
0
f (α(t)) · α (t) dt =
Z 2π
0
f (t − sen t, 1 − cos t) · (1 − cos t, sen t) dt
(1 + cos t, t − sen t) · (1 − cos t, sen t) dt =
t sen t dt = −2π.
Parte: Integrales de lı́nea y superficie
Z 2π
0
(1 − cos2 t + t sen t − sen2 t) dt
4
I.T.I. en Mecánica
9 – Métodos Matemáticos I : Integral de lı́nea
3.3 Integral de lı́nea para funciones vectoriales
Observación 92.- Aunque en la construcción de esta integral de lı́nea se indica la necesidad de que
kα 0 k =
6 0 (de ahı́ la introducción de los caminos regulares), la definición es válida y coherente para
caminos regulares a trozos, pues el valor de esa integral se obtiene como la suma de los valores de
integrales sobre caminos regulares. Es decir, si α: [a, b] −→ IRn es un camino regular a trozos, con
α = α 1 t α 2 t · · · t α m se tiene que
Z
Z
Z
f dα =
Z
f dα 1 +
f dα 2 + · · · +
m Z
X
f dα m =
f dα i .
k=1
En efecto,
Z
f dα =
=
=
Z b
t0
Z t1
Z
=
f (α(t)) · α0 (t) dt
a
Z t1
t0
f (α(t)) · α0 (t) dt +
f (α1 (t)) ·
α01 (t) dt
Z t2
+
Z
f dα1 +
f (α(t)) · α0 (t) dt + · · · +
t1
Z t1
t0
f dα2 + · · · +
Z tm
f (α2 (t)) · α02 (t) dt + · · · +
Z
f dαm =
m Z
X
f (α(t)) · α0 (t) dt
tm−1
Z tm
tm−1
f (αm (t)) · α0m (t) dt
f dαi .
k=1
En consecuencia, los resultados para caminos regulares a trozos, bastará probarlos para regulares,
extendiendo el resultado por linealidad a caminos regulares a trozos.
Propiedades de la integral de lı́nea 93.- Sean α: [a, b] −→ IRn un camino regular a trozos, las funciones f , g: α([a, b]) −→ IRn acotadas y λ, µ ∈ IR .
Z
a)
Z
Z
(λf + µg) dα = λ f dα + µ g dα .
Z
b) Si a < c < b y α 1 = α|[a,c] y α 2 = α|[c,b] , entonces
Z
f dα =
Z
f dα 1 +
f dα 2
Demostración:
a)
Z
(λf + µg) dα =
=
=
Z b³
a
Z b³
a
Z b
a
=λ
´
λf (α(t)) + µg(α(t)) · α0 (t) dt
´
λf (α(t)) · α0 (t) + µg(α(t)) · α0 (t) dt
λf (α(t)) · α0 (t) dt +
Z b
a
Z b
a
f (α(t)) · α0 (t) dt + µ
µg(α(t)) · α0 (t) dt
Z b
a
Z
g(α(t)) · α0 (t) dt = λ
Z
f dα + µ g dα.
b) Ver la observación 92 anterior.
Proposición 94.- Sean α: [a, b] −→ IRn y β : [c, d] −→ IRn caminos regulares a trozos, dos parametrizaciones de una curva C . Entonces, para cualquier función f : C −→ IRn se tiene que
Z
Z
f dα = ±
f dβ
según que α y β sean positiva o negativamente equivalentes.
Parte: Integrales de lı́nea y superficie
I.T.I. en Mecánica
10 – Métodos Matemáticos I : Integral de lı́nea
3.4 Teoremas fundamentales de las integrales de lı́nea
Demostración:
Sea α(t) = β (u(t)) y supongamos que α y β son regulares, pues si no lo fueran basta con dividir
la integral de lı́nea en suma de integrales donde si son regulares. Entonces,
Z
f dα =
=
Z b
f (α(t)) · α (t) dt =
a
Z b³
a
Z b
0
a
f (β(u(t))) · β 0 (u(t))u0 (t) dt
´
f (β(u(t))) · β 0 (u(t)) u0 (t) dt = I
Haciendo el cambio u = u(t), se tiene que du = u0 (t)dt. Entonces, si u0 > 0 se tiene que u(a) = c y
u(b) = d, de donde
I=
Z d
c
Z
f (β (u)) · β 0 (u) du =
f dβ ;
y, si u0 < 0, se tiene que u(a) = d y u(b) = c, de donde
I=
Z c
d
0
f (β(u)) · β (u) du = −
Z d
Z
0
f (β(u)) · β (u) du = −
c
f dβ.
Ejemplo 95.- Calcular la integral de lı́nea de f (x, y, z) = (yz, xz, yx + x) a lo largo del triángulo de
vértices 0 = (0, 0, 0), a = (1, 1, 1), b = (−1, 1, −1) recorrido en ese sentido.
Solución:
Por las propiedades anteriores, si α 1 es una parametrización del segmento [[0, a]], α 2 una parametrización del segmento [[a, b]] y α 3 una parametrización del segmento [[b, 0]], entonces,
Z
Z
f dα =
Z
f dα 1 +
Z
f dα 2 +
f dα 3
Como α 1 : [0, 1] −→ IR3 , con α 1 (t) = ta = (t, t, t); α 2 : [0, 1] −→ IR3 , con α 2 (t) = a + t(b − a) =
−
3
(1 − 2t, 1, 1 − 2t); y α −
3 : [0, 1] −→ IR , con α 3 (t) = tb = (−t, t, −t), se tiene que
Z
Z
f dα =
3.4
Z
f dα1 +
Z
f dα2 −
f dα−
3 =
Z 1
0
3t2 +t dt +
Z 1
0
12t−6 dt −
Z 1
0
3t2 +t dt = 0.
4
Teoremas fundamentales de las integrales de lı́nea
Recordemos que si S ⊆ IRn es abierto y ϕ: S −→ IR es una función que admita derivadas parciales en
cada punto de S , la función ϕ0 : S −→ IRn dada por
³
´
ϕ0 (x) = D1 ϕ(x), D2 ϕ(x), . . . , Dn ϕ(x) =
³
´
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂x1 (x), ∂x2 (x), . . . , ∂xn (x)
se denomina función gradiente de ϕ y se denota habitualmente por ∇ϕ ó grad ϕ.
Definición 96.- Sea f : S −→ IRn . Se dice que f es un gradiente en S , si existe una función ϕ: S −→ IR
tal que f (x) = ∇ϕ(x), ∀ x ∈ S .
De ϕ, se dice entonces que es una función potencial de f en S .
Definición 97.- Se dice que un conjunto S ⊆ IRn es conexo si no existen dos abiertos disjuntos A1
y A2 tales que A1 ∩ S 6= ∅, A2 ∩ S 6= ∅ S ⊆ A1 ∪ A2 .
Se dice que un conjunto S ⊆ IRn es conexo por arcos si para cada par de puntos x, y ∈ S existe
un camino que los une cuya imagen está contenida en S . Es decir, si existe un camino α: [a, b] −→ IRn
tal que α(a) = x, α(b) = y y α([a, b]) ⊆ S .
Nota: Todo conjunto conexo por arcos es también conexo (pero no al revés), sin embargo, un conjunto
abierto y conexo es conexo por arcos.
Parte: Integrales de lı́nea y superficie
I.T.I. en Mecánica
11 – Métodos Matemáticos I : Integral de lı́nea
3.4 Teoremas fundamentales de las integrales de lı́nea
Segundo teorema fundamental de las integrales de lı́nea 98.- Sea S ⊆ IRn abierto y conexo (luego
conexo por arcos) y ϕ: S −→ IR de clase 1 en S . Entonces, para todo par de puntos x, y ∈ S y todo
camino regular a trozos α , cuya imagen esté contenida en S , que una x con y se tiene que
Z
∇ϕ dα = ϕ(y) − ϕ(x).
Demostración:
Sea α: [a, b] −→ IRn con α(a) = x, α(b) = y y α([a, b]) ⊆ S y supongamos que α es regular.
Consideremos la función g: [a, b] −→ IR definida por g(t) = ϕ(α(t)). La función g es de clase
1 por ser composición de funciones de clase 1 y, para cada t ∈ [a, b], g 0 (t) = ∇ϕ(α(t)) · α 0 (t) es
continua.
Entonces,
Z
∇ϕ dα =
Z b
a
∇ϕ(α(t)) · α0 (t) dt =
Z b
a
g 0 (t) dt = g(b) − g(a)
= ϕ(α(b)) − ϕ(α(a)) = ϕ(y) − ϕ(x).
Si α es regular a trozos y α = α 1 t α 2 t · · · t α m , aplicando lo anterior a cada una de las curvas
α k regulares y teniendo en cuenta que el punto final de la curva dada por α k es el punto inicial de
la curva dada por α k+1 , se obtiene el resultado.
Ejemplo 99.- Sea f (x,Zy, z) = (yz, xz, xy) y C el segmento que une los puntos a = (1, −1, 1) y
b = (2, 0, −5). Calcular
C
f.
Solución:
Para ϕ(x, y, z) = xyz , se tiene que ∇ϕ(x, y, z) = (yz, xz, xy) = f (x, y, z), para todo punto de IR3 ,
luego
Z
C
Z
f=
C
∇ϕ = ϕ(b) − ϕ(a) = 0 − (−1) = 1.
4
Definición 100.- Sea S ⊆ IRn un conjunto abierto y conexo y f : S −→ IRn continua. Se dice que la
integral de lı́nea de f es independiente del camino en S , si para todo par de puntos x, y ∈ S y
cualesquiera caminos α: [a, b] −→ IRn y β : [c, d] −→ IRn en S que unan x con y , se verifica que
Z
Z
f dα =
f dβ .
Primer teorema fundamental 101.- Sean S ⊆ IRn , abierto y conexo, y f : S −→ IRn continua. Supongamos que la integral de lı́nea de f es independiente del camino en S , entonces existe una función
ϕ: S −→ IR de clase 1 tal que ∇ϕ(x) = f (x), para todo x ∈ S .
Demostración:
Z
Sea x0 un punto fijo de S . Para cada x ∈ S consideramos la función ϕ(x) =
f dα x , donde α x
es un camino regular a trozos en S que une x0 con x.
? El camino α x existe para todo x por ser S conexo por arcos.
? ϕ está bien definida, pues la integral es independiente del camino en S , y sólo depende del punto
x.
Veamos que Dk ϕ(x) = fk (x), para cada x ∈ S y para cada k = 1, . . . , n:
ϕ(x + hek ) − ϕ(x)
1
Dk ϕ(x) = lı́m
= lı́m
h→0
h→0
h
h
Parte: Integrales de lı́nea y superficie
µZ
Z
f dα x+hek −
¶
f dα x .
I.T.I. en Mecánica
12 – Métodos Matemáticos I : Integral de lı́nea
3.4 Teoremas fundamentales de las integrales de lı́nea
Ahora bien, como S es abierto, existe δ > 0 tal que el E(x, δ) ⊆ S y para los h ∈ IR tales que 0 <
|h| < δ el segmento que une el punto x con x+ hek está contenido en E(x, δ) ⊆ S ; si parametrizamos
dicho segmento por α h : [0, 1] −→ IRn , con α h (t) = x + thek y α 0h (t) = hek , como la integral es
independiente del camino en S podemos tomar α x+hek = α x t α h y entonces
µZ
Z
¶
Z
Z
ϕ(x + hek ) − ϕ(x) 1
1
=
f dαx + f dαh − f dαx =
f dαh
h
h
h
(
)
Z
Z
1 1
1 1
th = u
=
f (x + thek ) · hek dt =
fk (x + thek )h dt =
hdt = du
h 0
h 0
=
1
h
Z h
0
fk (x + uek ) du
tomando lı́mites y teniendo en cuenta que la función fk es continua (y, entonces, es derivable su
función integral), se tiene
Z h
ϕ(x + hek ) − ϕ(x)
= lı́m
h→0
h→0
h
Dk ϕ(x) = lı́m
0
fk (x + uek ) du
fk (x + hek )
= fk (x).
h→0
1
= lı́m
h
En consecuencia, ∇ϕ = f en S y, como f es continua, ϕ es de clase 1.
Ejemplo 102.- Se sabe que la función f (x, y, z) = (yz, xz, xy) es independiente del camino en IR3 .
Encontrar ϕ tal que ∇ϕ = f en IR3 .
Solución:
Sea 0 = (0, 0, 0) fijo y sea, para cada x = (x, y, z) en IR3 , α x : [0, 1] −→ IR3 definida por
α x (t) = 0 + t(x − 0) = tx = (tx, ty, tz). Entonces
Z
ϕ(x) =
=
f dαx =
Z 1
0
Z 1
0
f (tx, ty, tz) · (x, y, z) dt =
(t2 xyz + t2 xyz + t2 xyz) dt =
Z 1
0
Z 1³
0
´
(ty)(tz), (tx)(tz), (tx)(ty) · (x, y, z) dt
3t2 xyz dt = xyz
Z 1
0
3t2 dt = xyz.
4
Proposición 103.- Sea S ⊆ IRn abierto y conexo por arcos y f : S −→ IRn continua. Entonces, son
equivalentes los siguientes asertos:
a) La integral de lı́nea de f es independiente del camino en S .
b) Existe ϕ: S −→ IR de clase 1 tal que ∇ϕ = f en S .
c) La integral de lı́nea de f a lo largo de cualquier camino en S cerrado y regular a trozos es cero.
Demostración:
a)⇒b) Es el primer teorema fundamental.
Z
b)⇒c) Por el segundo teorema fundamental,
Z
f dα =
∇ϕ dα = ϕ(x) − ϕ(x) = 0.
c)⇒a) Sea α: [a, b] −→ IRn y β : [c, d] −→ IRn dos caminos en S regulares a trozos que unen x con y .
El camino β − (t) = β (c + d − t) que recorre la misma curva que β pero en sentido contrario,
une el punto y con x, luego el camino γ = α t β − es un camino cerrado regular a trozos.
Entonces,
Z
Z
Z
Z
Z
0=
f dγ =
Z
En consecuencia,
Parte: Integrales de lı́nea y superficie
f dα +
f dβ − =
f dα −
f dβ .
Z
f dα =
f dβ y la integral es independiente del camino en S .
I.T.I. en Mecánica
13 – Métodos Matemáticos I : Integral de lı́nea
3.4.1
3.4 Teoremas fundamentales de las integrales de lı́nea
Estudio de la función potencial
Condición necesaria para la existencia 104.- Sean S ⊆ IRn abierto, f : S −→ IRn de clase 1 y
ϕ: S −→ IRn tal que ∇ϕ = f en S . Entonces, si f = (f1 , . . . , fn ), para todo x ∈ S y para
todos i, j , se verifica que Di fj (x) = Dj fi (x).
Demostración:
Como f es de clase 1 en S , ϕ es de clase 2 en S y, por el teorema de Schwartz, se tiene que
Dij ϕ(x) = Dji ϕ(x) para todo
x y ´todos i, j . Luego
³
³
´
Di fj (x) = Di Dj ϕ(x) = Dji ϕ(x) = Dij ϕ(x) = Dj Di ϕ(x) = Dj fi (x).
Ejemplos 105.- La función f : IR3 −→ IR3 dada por f (x, y, z) = (yz, xz, xy) es un gradiente en IR3 ,
es de clase 1 y se verifica, para todo (x, y, z) ∈ IR3 , que
D1 f2 (x, y, z) = z = D2 f1 (x, y, z) = z
D1 f3 (x, y, z) = y = D3 f1 (x, y, z) = y
D2 f3 (x, y, z) = x = D3 f2 (x, y, z) = x.
Por otra parte, la función f : IR3 −→ IR3 dada por f (x, y, z) = (y, z, x), no puede ser un gradiente en
IR3 , puesto que f es de clase 1 y D1 f2 (x, y, z) = 0 6= D2 f1 (x, y, z) = 1.
4
Observación 106.- La condición anterior es necesaria pero no es suficiente, como puede verse en el
siguiente contraejemplo
³
´
x
Contraejemplo.- Sea S = IR2 − {(0, 0)} y f : S −→ IR2 definida por f (x, y) = x2−y
,
.
+y 2 x2 +y 2
2
2
−x
La función f es de clase 1 en S y se verifica que D1 f2 (x, y) = (xy2 +y
2 )2 = D2 f1 (x, y), para todo
(x, y) ∈ S . Sin embargo, para esta función no puede existir función potencial ya que si tomamos es S
el camino cerrado α: [0, 2π] −→ IR2 , con α(t) = (cos t, sen t), se tiene que
Z
f dα =
Z 2π
0
f (α(t)) · α0 (t) dt =
Z 2π
0
(− sen t, cos t) · (− sen t, cos t) dt =
Z 2π
0
1 dt = 2π 6= 0
4
Definición 107.- Un conjunto S ⊆ IRn se dice que es convexo si para cualesquiera x, y ∈ S el
segmento que los une está contenido en S . Es decir, si la imagen del camino α: [0, 1] −→ IRn dado
por α(t) = x + t(y − x) está contenida en S .
Condición suficiente para la existencia 108.- Sean S ⊆ IRn abierto y f : S −→ IRn de clase 1. Si S
es convexo y Di fj = Dj fi en S para todos i, j , entonces existe ϕ: S −→ IR de clase 2 tal que ∇ϕ = f
en S .
Demostración:
Sea a ∈ S . Para cada x de S , el segmento que une a y x está contenido en S y es la imagen del
camino α: [0, 1] −→ IRn con α(t) = a + t(x − a). Definimos entonces, la función ϕ: S −→ IR por
Z
ϕ(x) =
f dα =
Z 1
0
f (α(t)) · α 0 (t) dt =
Z 1
0
f (a + t(x − a)) · (x − a) dt
Consideremos ψ(x, t) = f (a + t(x − a)) · (x − a) con ψ: S × [0, 1] −→ IR , luego
Z 1
ϕ(x) =
0
ψ(x, t) dt.
Como Dk ψ(x, t) existe para todo k y es
h
i
Dk ψ(x, t) = Dk f (a + t(x − a)) · (x − a)
h
i
h
i
= Dk f (a + t(x − a)) · (x − a) + f (a + t(x − a)) · Dk (x − a)
por la regla de la cadena se tiene que
Parte: Integrales de lı́nea y superficie
I.T.I. en Mecánica
14 – Métodos Matemáticos I : Integral de lı́nea
3.4 Teoremas fundamentales de las integrales de lı́nea
h
i
h
i
= f 0 (a + t(x − a))Dk a + t(x − a) · (x − a) + f (a + t(x − a)) · Dk (x − a)
como Dk (xi − ai ) = 0 si i 6= k y Dk (xk − ak ) = 1 nos queda
= f 0 (a + t(x − a))tetk · (x − a) + f (a + t(x − a)) · ek
³
´
= t Dk f1 (a + t(x − a)), . . . , Dk fn (a + t(x − a)) · (x − a) + fk (a + t(x − a))
usando la condición necesaria, Di fj = Dj fi en S,
³
´
= t D1 fk (a + t(x − a)), . . . , Dn fk (a + t(x − a)) · (x − a) + fk (a + t(x − a))
= t∇fk (a + t(x − a)) · (x − a) + fk (a + t(x − a)),
la función Dk ψ(x, t) es continua por ser f de clase 1 en S .
Sea, entonces, A un rectángulo, con x ∈ A ⊆ S , tal que Dk ψ(x, t) es continua en A × [0, 1], por
la proposición 49 sobre integrales dependientes de un parámetro, para todo k , existe Dk ϕ(x) y
Dk ϕ(x) =
Z 1
0
Dk ψ(x, t) dt =
Z 1
0
t∇fk (a + t(x − a)) · (x − a) + fk (a + t(x − a)) dt.
Si llamamos g(t) = fk (a + t(x − a)), la función g: [0, 1] −→ IR es de clase 1 por serlo fk y g 0 (t) =
∇fk (a + t(x − a)) · (x − a). Luego
Dk ϕ(x) =
Z 1
0
0
tg (t) + g(t) dt =
i1
= tg(t)
0
−
Z 1
0
Z 1
g(t) dt +
0
tg (t) dt +
Z 1
0
0
Z 1
0
(
g(t) dt =
u = t , dv = g 0 (t)dt
du = dt , v = g(t)
)
g(t) dt = g(1) = fk (a + 1(x − a)) = fk (x).
En consecuencia, ∇ϕ = f en S .
Ejercicio 109.- Demostrar que la función f : IR3 −→ IR3 dada por
f (x, y, z) = (y 2 cos x + z 3 , 2y sen x − 4, 3xz 2 + 2)
es un gradiente en IR3 y determinar una función potencial de f .
Solución:
f es de clase 1 en IR3 que es convexo y
∂
(2y sen x − 4) = −2y cos x =
∂x
∂
D1 f3 (x, y, z) =
(3xz 2 + 2) = 3z 2
=
∂x
∂
D2 f3 (x, y, z) =
(3xz 2 + 2) =
0
=
∂y
D1 f2 (x, y, z) =
∂ 2
(y cos x + z 3 ) = D2 f1 (x, y, z)
∂y
∂ 2
(y cos x + z 3 ) = D3 f1 (x, y, z)
∂z
∂
(2y sen x − 4) = D3 f2 (x, y, z).
∂z
Luego existe ϕ: IR3 −→ IR3 tal que ∇ϕ = f .
Para calcular ϕ, como existe, podemos hacerlo de la siguiente manera:
? ϕ debe verificar que D1 ϕ(x, y, z) = y 2 cos x + z 3 , luego considerando y y z como constantes,
debe ser una primitiva de esta, es decir,
Z
ϕ(x, y, z) =
(y 2 cos x + z 3 ) dx = (y 2 sen x + z 3 x) + h(y, z)
siendo h(y, z) (constante respecto a x) la constante de integración.
? ϕ también debe verificar que D2 ϕ(x, y, z) = 2y sen x − 4, luego debe verificarse que
2y sen x − 4 =
Parte: Integrales de lı́nea y superficie
∂
2
∂y (y sen x
+ z 3 x + h(y, z)) = 2y sen x +
∂
∂y h(y, z).
I.T.I. en Mecánica
15 – Métodos Matemáticos I : Integral de lı́nea
3.4 Teoremas fundamentales de las integrales de lı́nea
∂
Por tanto, ∂y
h(y, z) = −4 y considerando z como constante, h(y, z) debe ser una primitiva de
−4, es decir,
Z
h(y, z) =
(−4) dy = −4y + k(z)
siendo k(z) (constante respecto a y ) la constante de integración. Luego
ϕ(x, y, z) = y 2 sen x + z 3 x + h(y, z) = y 2 sen x + z 3 x − 4y + k(z).
? Por último, ϕ también debe verificar que D3 ϕ(x, y, z) = 3xz 2 + 2, luego debe verificarse que
3xz 2 + 2 =
Por tanto,
∂
∂z k(z)
∂
2
∂z (y sen x
+ z 3 x − 4y + k(z)) = 3z 2 x +
∂
∂z k(z).
= k 0 (z) = 2 y por consiguiente,
Z
k(z) =
2 dz = 2z + C
siendo C ∈ IR la constante de integración.
Se tiene entonces que
ϕ(x, y, z) = y 2 sen x + z 3 x − 4y + k(z) = y 2 sen x + z 3 x − 4y + 2z + C.
3.4.1.1
4
Otras notaciones
Es bastante común la notación mediante formas diferenciales, en el siguiente sentido:
Si denotamos por dx (igualmente para dy y dz ) al diferencial de la función proyección sobre la
variable πx (x, y, z) = x (igualmente πy (x, y, z) = y y πz (x, y, z) = z ), el diferencial de cualquier
función ϕ diferenciable, se puede expresar en la forma
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
dϕ =
es decir, mediante sus coordenadas en la base {dx, dy, dz}.
Entonces, a cada campo vectorial f = (f1 , f2 , f2 ) se le puede asociar una forma diferenciable
f ∗ = f1 dx + f2 dy + f3 dz
y, se dice que f ∗ es exacta, o admite primitiva, si existe una función diferenciable ϕ tal que dϕ = f ∗ .
Con esta notación, si α: [a, b] −→ IR3 es un camino regular a trozos, y C la imagen de α , se
define la integral curvilı́nea (a lo largo de un camino) por
I
C
I
f∗ =
=
pero esto no es más que
=
=
Parte: Integrales de lı́nea y superficie
C
Z b
a
f1 (x, y, z) dx + f2 (x, y, z) dy + f3 (x, y, z) dz
f1 (α(t))α10 (t) dt + f2 (α(t))α20 (t) dt + f3 (α(t))α30 (t) dt
Z b³
a
Z b
a
´ ³
´
f1 (α(t)), f2 (α(t)), f3 (α(t)) · α10 (t), α20 (t), α30 (t) dt
Z
0
f (α(t)) · α (t) dt =
f dα.
I.T.I. en Mecánica
16 – Métodos Matemáticos I : Integral de lı́nea
3.5
3.5 Teorema de Green
Teorema de Green
Definición 110.- Sea C una curva parametrizada por α: [a, b] −→ IRn . Diremos que la curva es
simple si α(t1 ) 6= α(t2 ) cuando t1 6= t2 , para todo t1 ∈ (a, b) y t2 ∈ [a, b]. Es decir, si la curva no
se corta a si misma (salvo en los extremos cuando es una curva cerrada).
Teorema de Green 111.- Sea C una curva simple, cerrada y regular a trozos de IR2 , A el conjunto
encerrado por C y f : A ∪ C −→ IR2 de clase 1. Entonces, si α: [a, b] −→ IRn es un camino regular a
trozos que recorre C en sentido positivo (antihorario), se verifica que
Z
Z
C
f=
ZZ ³
f dα =
A
´
D1 f2 (x, y) − D2 f1 (x, y) dx dy.
Ejemplo 112.- Calcular la integral de lı́nea de la función f (x, y) = (y 2 , x) a lo largo de la frontera
del cuadrado A = [−1, 1] × [−1, 1], recorrida en sentido positivo.
Solución:
La frontera del cuadrado forma una curva simple cerrada y regular a
1
¾
6
trozos, la función f es de clase 1 en IR2 , luego en A ∪ fr(A). Entonces,
si α es una parametrización de fr(A),
A
Z
fr(A)
Z
ZZ ³
f=
f dα =
A
ZZ
=
A
´
D1 f2 (x, y) − D2 f1 (x, y) dx dy
(1 − 2y) dx dy =
³
Ejercicio 113.- Sea f (x, y) =
Z 1 µZ 1
−1
−1
−y
, x
x2 +y 2 x2 +y 2
−1
1
¶
(1 − 2y) dy dx = 4.
?
4
-
−1
Z
´
. Calcular la integral
C
f , cuando:
a) C es una curva cerrada que no rodea al origen (ni pasa por él).
b) C es una curva cerrada que rodea n veces al origen.
Solución:
La función f es de clase 1 en IR2 − {(0, 0)} y verifica que
D1 f2 (x, y) =
y 2 − x2
= D2 f1 (x, y)
(x2 + y 2 )2
a) Si C es simple, consideremos A el conjunto encerrado por C y C . Como C no rodea al origen,
la función f es de clase 1 en A ⊆ IR2 − {0}, luego por el teorema de Green,
Z
Z ³
C
f=
A
Z
´
D1 f2 (x, y) − D2 f1 (x, y) dxdy =
A
0 dxdy = 0
Si C , no es simple, puede descomponerse en curvas cerradas y simples y, aplicando a cada una
de ellas lo anterior, también la integral es cero.
b) Si C es simple, como rodea al origen, f no es de
clase uno en A y, por tanto, no puede aplicarse
Green. Sin embargo, consideremos una circunferencia H centrada en el origen de radio tal que
esté totalmente encerrada por C y consideremos
los segmentos del eje de abcisas, α y β , que están
entre ambas curvas, como en la figura de la derecha.
Sean A1 y A2 los conjuntos encerrados, respectivamente por las curvas γ 1 y γ 2 formadas por
γ 1 = C1 t α t H1− t β
Parte: Integrales de lı́nea y superficie
C1
?
A1
¡
µ
-
H1−
- β
¾
−
α
α−
X
z
X
¾
β
H2−
C2
»
»
9
A2
¡
ª
X
z
X
γ 2 = C2 t β − t H2− t α− ,
I.T.I. en Mecánica
17 – Métodos Matemáticos I : Integral de lı́nea
3.6 Ejercicios
donde por α − , β − , H1− y H2− denotamos las curvas α , β , H1 y H2 pero recorridas en
sentido contrario. Entonces, como las curvas no rodean al origen, aplicando la parte anterior, se
tiene que
Z
Z
Z
Z
f=
f = 0;
luego que 0 =
f+
f,
γ1
γ2
γ1
γ2
de donde
Z
0=
Z
=
Z
=
Z
C1
C1
C1
f+
α
Z
f+
Z
f+
α
H1
Z
f−
Z
f+
Z
f+
−
C2
H1
Z
f+
β
β
Z
f−
Z
f+
Z
f+
Z
f−
H1
H2
Z
C2
C2
f+
Z
f−
Z
f=
Z
β−
β
f+
Z
f−
Z
C
f−
H
Z
f+
−
H2
H2
Z
f−
α
α−
f
f
f.
Luego la integral de f en C coincide con la integral en H recorridas en el mismo sentido y
entonces, como α: [0, 2π] −→ IR2 con α(θ) = (r cos θ, r sen θ), es una parametrización de H , se
tiene que
Z
Z
C
f=
H
f=
¶
Z 2π µ
−r sen θ r cos θ
0
,
r2
r2
· (−r sen θ, r cos θ) dθ =
Z 2π
0
1 dθ = 2π.
Por consiguiente, si C da n vueltas alrededor del origen, puede descomponerse en n trozos
simples cada uno de ellos dando una vuelta alrededor del origen, luego se tiene que
Z
C
3.6
f = n · 2π = 2nπ.
4
Ejercicios
Z
3.1 Calcular
C
f ds en los casos:
a) f (x, y) = 2x, y C esta formado por el arco C1 de la parabola y = x2 de (0, 0) a (1, 1)
seguido por el segmento de recta vertical C2 de (1, 1) a (1, 2).
b) f (x, y, z) = xy 3 y C es la curva, x = 4 sen t, y = 4 cos t, z = 3t, con 0 ≤ t ≤
√
c) f (x, y, z) = xz , y C es la curva, x = 6t, y = 3 2t2 , z = 2t3 , con 0 ≤ t ≤ 1.
π
2
.
p
d) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 y C la recta (at, 0, ct) desde el origen de coordenadas hasta el
punto (2πa, 0, 2πc).
e) f (x, y, z) = √ 2 1 2 2 y C es la primera espira de la hélice: x = a cos t, y = a sen t,
x +y +z
z = bt.
f) f (x, y) = xy , y C el cuadrado |x| + |y| = a, con a > 0.
3.2 La forma del muro que rodea un estadio circular se ha diseñado cortando el cilindro con base
2
la circunferencia del estadio, x2 + y 2 = 4, con el cilindro parabólico z = x16 + 1. Calcular la
superficie de dicho muro.
3.3 Calcular el área de la superficie del cilindro x2 +y 2 = 2x limitada por el cono circular z 2 = x2 +y 2 .
3.4 Hallar la masa, el centro de masas y los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados,
de un muelle que tiene la forma de la hélice descrita por la función α: [0, 2π] −→ IR3 dada por
α(t) = (cos t, sen t, 2t) y cuya densidad es
a) homogénea,
b) proporcional al cuadrado de su distancia al origen.
Parte: Integrales de lı́nea y superficie
I.T.I. en Mecánica
18 – Métodos Matemáticos I : Integral de lı́nea
3.6 Ejercicios
3.5 Consideremos el campo vectorial f : IR2 −→ IR2 , dado por f (x, y) = (xy, x2 − y 2 ), y la circunferencia C de radio unidad y centroZel origen, en la que el punto inicial es el punto (1, 0) y
recorrida en sentido positivo. Hallar
C
Z
3.6 Calcular
f dα .
xy 4 dx + x2 y 3 dy , siendo C el camino que une los puntos O = (0, 0) y A = (1, 1) a
C
lo largo de las siguientes curvas:
a) Quebrada de dos lados paralelos a los ejes con el primer lado sobre el eje OX
b) Quebrada de dos lados paralelos a los ejes con el primer lado sobre el eje OY
c) Segmento OA
d) y 3 = x
Z
3.7 Calcular
γ
x dx + y dy + z dz , siendo γ el arco de hélice de ecuaciones paramétricas x = 4 cos λ,
y = 4 sen λ y z = 3λ, para 0 ≤ λ ≤ 2π .
Z
3.8 Calcular
γ
z dz , siendo γ la curva intersección de la esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 con el cilindro
x2 + y 2 − ax = 0 situada en el primer octante y tomando como inicio de γ el punto de abcisa
x = 0.
3.9 Estudiar si los siguientes campos admiten función potencial, y en caso afirmativo encontrarla:
a) f (x, y) = (4x3 y 3 + 3, 3x4 y 2 + 1)
b) f (x, y) = (yexy + x, xexy + 3y)
c) f (x, y) = (y 2 ex + 3x2 y, 2yex + x3 )
d) f (x, y, z) = (xz − y, x2 y + z 3 , 3xz 2 − xy)
e) f (x, y, z) = (3x2 yz + x2 , x3 z, x3 y)
f) f (x, y, z) = (2xe−y , cos z − x2 − e−y , −y sen z)
Z
3.10 Calcular
C
z 2 dx + x2 dy + y 2 dz , siendo C el triángulo de vértices (a, 0, 0), (0, a, 0) y (0, 0, a)
pertenecientes a la esfera de centor el origen de coordenadas.
3.11 Calcular
Z (4,4)
(4,1)
−y dx+x dy
y2
a lo largo de cualquier trayectoria que no cruce el eje OX .
Z
3.12 Sea C una curva en IR2 que une los puntos (0, 0) y (2, 1). Hallar el valor de
f (x, y) = ( sen(cos y), −x sen y cos(cos y))
C
f dα , siendo
3.13 Consideremos el cubo [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] y sea P una poligonal que va del punto (0, 0, 1) al
punto (0, 1, 0) siguiendo al menos seis aristas del cubo.
Z ³
Calcular
Z
3.14 Calcular
Z
3.15 Calcular
P
C
C
2xyz + z 3 cos x +
y
1+x2
´
dx + (x2 z + arctg x)dy + (x2 y + 3z 2 sen x)dz
(x+y)dx+(y −x)dy , donde C es la curva x2 +y 2 −2ax = 0 recorrida positivamente.
³
´
(y cos x−yx+1)dx+ sen x+3x−ln ( yy+1
2 +1 ) dy , donde C es la semielipse
y2
x2
4 + 9
= 1,
con y ≥ 0, orientada positivamente.
Z
3.16 Calcular el valor de a y b para que la integral
C
(2xyz a + x2 )dx + x2 z 3 dy + bx2 yz 2 dz sea
independiente del camino en√IR2 . Para dichos valores, calcular
la integral a lo largo del segmento
√
que une el punto A = (2, 0, 11) con el punto B = (1, 7, 0).
Parte: Integrales de lı́nea y superficie
I.T.I. en Mecánica
19 – Métodos Matemáticos I : Integral de lı́nea
3.6 Ejercicios
Z
3.17 Calcular de dos formas distintas
C
(1 − x2 )y dx + x(1 + y 2 )dy , donde C es la curva x2 + y 2 = r2 .
3.18 Un campo de fuerzas radial o central, F , en el plano puede expresarse en la forma F (x, y) =
f (r)r , donde f es de clase 1, r = (x, y) y r = kr k. Demostrar que este campo es conservativo.
³
3.19 Calcular la integral de lı́nea de la función f (x, y) =
n
´
ln(x2 + y 2 ), arctg( xy )
frontera del conjunto A = (x, y) : 0 ≤ y ≤ x; 4 ≤ x2 + y 2 ≤ 9
³
3.20 Sea f (x, y) =
x
, y
x2 +y 2 x2 +y 2
a lo largo de la
o
recorrida en sentido positivo.
Z
´
. Calcular
C
f , donde C es una curva cerrada que no pasa por el
origen y está recorrida en sentido negativo.
3.21 Calcular la integral de lı́nea de f (x, y, z) = (y − z, z − x, x − y) a lo largo de la curva intersección
del cilindro x2 + y 2 = a2 y el plano xa + zb = 1, con a, b > 0. (Mirando desde el origen, el sentido
del recorrido de la curva es el de las agujas del reloj.)
Z
3.22 Probar que si la curva C es la frontera del conjunto A, entonces A(A) =
C
xdy−ydx
.
2
Aplicar
este resultado para encontrar el área encerrado por la cardioide r = 1 + cos θ con θ ∈ [0, 2π].
3.23 Calcular el área de la región limitada por: y = x, y = 0 e y = x − x2 de dos formas:
a) Mediante integrales dobles.
b) Mediante integrales de lı́nea.
Z
3.24 Calcular
positivo.
C
y
x2 +y 2
x
dx − x2 +y
2 dy , siendo C la elipse de ecuación
x2
16
2
+ y9 = 1, recorrida en sentido
3.25 Sea R la región exterior a la circunferencia de centro (0, 0) que pasa por el punto (a, a) e
interior a la circunferencia de centro (0, a) y radio a. Aplicar el teorema de Green al campo
f (x, y) = (0, x) para calcular el área de dicha región mediante una integral de lı́nea.
Z
3.26 Calcular
C
(2x − y)dx + x dy , donde C es el primer arco de la cicloide: x = a(t − sen t),
y = a(1 − cos t), recorrido en el sentido del crecimiento del parametro t. Calcular a partir de
dicha integral el área que el arco de cicloide determina en el primer cuadrante.
Parte: Integrales de lı́nea y superficie
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