Sistemas de Ecuaciones Lineales

I. E. S. Siete Colinas (Ceuta)
Departamento de Matemáticas
Matemáticas
de
2º de Bachillerato
Sistemas
de
Ecuaciones Lineales
Por Javier Carroquino CaZas
Catedrático de matemáticas
del
I.E.S. Siete Colinas
Ceuta 2004
Sistemas
de
Ecuaciones Lineales
Javier Carroquino Cañas
Matemáticas de 2º de bachillerato
–•–
Ciencias de la Naturaleza y la Salud
Tecnología
Sistemas
De
Ecuaciones Lineales
Por
Javier Carroquino Cañas
Catedrático de matemáticas
I.E.S. Siete Colinas (Ceuta)
Departamento de Matemáticas
Ceuta 2004
© Javier Carroquino Cañas
I.E.S. Siete Colinas (Departamento de Matemáticas)
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Depósito Legal : CE & 45 & 2004
ISBN : 84&688&6799&3
Número de Registro :
Ceuta 2004
Prólogo
E
n ocasiones, encontrar la solución a un problema
real, en el que la matemática juega un papel
importante para llegar a ella, se reduce a la
resolución de una ecuación o de un sistema de dos
ecuaciones o de tres, etc, siendo esto la culminación de
todo un proceso en el que dicho problema real (o parte de
este) ha quedado “reducido” a un sistema de ecuaciones.
Es por ello, por lo que la matemática debe afrontar
el estudio de métodos que nos permitan resolver sistemas
de ecuaciones, esto es, encontrar los valores que deben
tomar las incógnitas para que todas las igualdades de que
consta dicho sistema sean verdaderas.
Veremos en este tema distintos métodos de
resolución de sistemas de ecuaciones lineales (o de primer
grado), dando por supuesto que el alumno conoce los
distintos métodos de resolución de ecuaciones y sistemas
de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (reducción,
igualación y sustitución).
Concluyamos diciendo que estos métodos son de
aplicación en numerosos problemas relacionados con el
estudio de espacio, la arquitectura, la construcción de
máquinas y grandes estructuras, la economía, etc.
Cada método explicado en este cuaderno irá
acompañado de uno o más ejemplos con el objetivo
facilitar la comprensión por parte del alumno.
Matemáticas de 2º de bachillerato
I
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Índice
Página
1.Conceptos previos .....................................
1
1.1.Ecuación lineal.................................
1
Ejemplo 1.....................................
1
1.2.Incógnitas de una ecuación......................
1
Ejemplo 2 ....................................
2
Ejemplo 3.....................................
2
1.3.Coeficientes de una ecuación ...................
2
Ejemplo 4...................................... 2
1.4.Término independiente de una ecuación ........... 2
Ejemplo 5....................................... 2
1.5.Solución de una ecuación ........................ 2
Ejemplo 6....................................... 3
Ejemplo 7....................................... 3
1.6.Resolución de una ecuación....................... 3
2.Sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes reales.. 4
Ejemplo 8............................................ 5
Ejemplo 9............................................ 5
3.Solución de un sistema................................... 5
4.Discusión de un sistema.................................. 6
5.Resolución de un sistema................................. 6
Ejemplo 10 .......................................... 6
6.Expresión de un sistema en forma matricial............... 7
Ejemplo 11 .......................................... 8
Ejemplo 12 .......................................... 9
Ejemplo 13 .......................................... 9
Ejemplo 14 .......................................... 11
Ejemplo 15 .......................................... 11
Ejemplo 16 .......................................... 12
7.Matriz ampliada de un sistema ........................... 12
Ejemplo 17 .......................................... 13
8.Sistemas equivalentes ................................... 13
Ejemplo 18 .......................................... 13
9.Clasificación de los sistemas respecto de sus soluciones .14
10.Propiedades de los sistemas ........................... 15
Propiedad I ......................................... 15
Ejemplo 19 ..................................... 15
Ejemplo 20 ..................................... 15
Ejemplo 21 ..................................... 18
Propiedad II ........................................ 18
Ejemplo 22 ..................................... 18
Propiedad III ....................................... 19
Ejemplo 23 ..................................... 20
11.Resolución de un sistema. Métodos de resolución......... 21
12.Método de la matriz inversa para resolver un sistema ... 21
Ejemplo 24 .......................................... 22
Ejemplo 25 .......................................... 23
Ejemplo 26 .......................................... 24
13.Método de Gauss para la resolución de un sistema ....... 25
Ejemplo 27 .......................................... 26
Matemáticas de 2º de bachillerato
II
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Página
Ejemplo 28 ..........................................
Ejemplo 29 ..........................................
14.Método de Gauss para la resolución de un sistema ............
Ejemplo 30 ..........................................
Ejemplo 31 ..........................................
15.Método de Cramer para la resolución de un sistema ......
15.1.Sistema de Cramer ..............................
Ejemplo 32 .....................................
Ejemplo 33 .....................................
Ejemplo 34 .....................................
Ejemplo 35 .....................................
Ejemplo 36 .....................................
Ejemplo 37 .....................................
16.Teorema de Rouché ......................................
16.1.Observaciones y consec. del teorema de Rouché ..
Ejemplo 38 .....................................
Ejemplo 39 .....................................
Ejemplo 40 .....................................
Ejemplo 41 .....................................
Ejemplo 42 .....................................
Ejemplo 43 .....................................
Ejemplo 44 .....................................
Ejemplo 45 .....................................
17.Sistemas homogéneos ....................................
Ejemplo 46 ..........................................
17.1.Propiedades de los sistemas homogéneos .........
Propiedad I ....................................
Propiedad II....................................
Propiedad III ..................................
Propiedad IV. ..................................
17.2.Forma de discutir un sistema homogéneo .........
Ejemplo 47 .....................................
Ejemplo 48 .....................................
18.Los conjuntos ú2,ú3,ú4,ÿÿ,ún ............................
18.1.El conjunto ú2 .................................
Ejemplo 49 ....................................
18.2.El conjunto ú3 .................................
Ejemplo 50 .....................................
18.3.El conjunto ú4 .................................
Ejemplo 51 .....................................
18.4.El conjunto ún .................................
19.El conjunto de las soluciones de un sistema ...........
Ejemplo 52 ..........................................
Ejemplo 53 ..........................................
Ejemplo 54 ..........................................
Ejemplo 55 ..........................................
20.Formas implícita y paramétrica de un subconjunto de ún..
Ejemplo 56 ..........................................
21.Eliminación de parámetros .............................
Ejemplo 57 ..........................................
Ejemplo 58 ..........................................
Ejemplo 59 ..........................................
Ejemplo 60 ..........................................
27
29
29
30
31
32
32
33
33
34
36
37
37
39
42
42
43
44
45
47
49
50
54
54
55
55
55
55
56
56
57
57
58
59
59
60
60
60
60
60
60
61
62
62
62
63
63
64
65
65
66
67
68
III
Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Página
Ejercicios resueltos ..................................... 70
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
nº
nº
nº
nº
nº
nº
nº
nº
nº
1
2
3
4
5
6
7
8
9
......................................
......................................
......................................
......................................
......................................
......................................
......................................
......................................
......................................
70
71
71
72
73
73
74
77
79
Página 1
Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sistemas de Ecuaciones Lineales
A
ntes del estudio de este tema, el alumno debe afrontar previamente el desarrollado
bajo el título “Matrices y determinantes” perteneciente a esta colección de
apuntes de matemáticas para 2º de bachillerato (modalidad Ciencias de la
Naturaleza y Salud o Científico Tecnológico).
Hay que suponer que el alumno conoce y maneja distintos conceptos previos, tales como
“ecuación”, “sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas”, métodos de
resolución de “sustitución”, “igualación” y “reducción”, “solución de una ecuación” ,etc.
Veremos en este tema distintos métodos de resolución de ecuaciones lineales (o de primer
grado), tales como Gauss, Matricial, Cramer, Rouche, así como la interpretación y significado
que tiene, en algunos casos, la solución o soluciones de un sistema. Finalicemos diciendo que
en este caso nos dedicaremos a ecuaciones con coeficientes reales.
1.Conceptos previos.En el estudio de los distintos métodos de resolución de un sistema de ecuaciones,
aparecen unos términos que el alumno debe conocer y que recordamos en este apartado.
1.1.Ecuación lineal.Se llama ecuación lineal o ecuación de primer grado a una expresión algebraica
de la siguiente forma:
a1 x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + LL + a n xn = c
en la que a1, a2, a3, ....., an y c son números conocidos, mientras que x1, x2, x3, ...., xn
son números desconocidos
Ejemplo 1.3x1 +
2
x − 11 x 3 − 0 ′ 73 x 4 + π x5 = − 12
5 2
es una ecuación lineal. En este caso es:
a1 = 3 ; a 2 =
2
; a 3 = − 11 ; a 4 = − 0 ′ 73 ; a5 = π ; c = − 12
5
1.2.Incógnitas de una ecuación.Hemos visto que en una ecuación lineal hay números conocidos y números
desconocidos. A los números conocidos se les denomina incógnitas de la ecuación.
a1 x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + LL + a n x n = c las
Por tanto, en la ecuación
incógnitas son x1, x2, x3, ...., xn , es decir, es una ecuación con n incógnitas.
Página 2
Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejemplo 2.Consideremos la ecuación del ejemplo 1.
3x1 +
2
x − 11 x 3 − 0 ′ 73 x 4 + π x5 = − 12
5 2
Se trata de una ecuación lineal con cinco incógnitas: x1, x2, x3, x4, x5
Generalmente, si el número de incógnitas de una ecuación lineal es n = 3, suelen
emplearse las letras x , y, z.
Ejemplo 3.-
La ecuación lineal x − y + 5z = 9 tiene tres incógnitas, que son: x , y , z.
En este caso a1 = 1 ; a2 = -1 ; a3 = 5 ; c = 9
1.3.Coeficientes de una ecuación.Los números (generalmente conocidos) que “van” multiplicando a las incógnitas
se denominan coeficientes de la ecuación o coeficientes de las incógnitas.
a1 x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + LL + a n x n = c los
Es decir, en la ecuación
coeficientes son los números reales a1, a2, a3, ....., an.
Ejemplo 4.Consideremos la ecuación 3x1 +
2
x − 11 x 3 − 0 ′ 73 x 4 + π x5 = − 12
5 2
En este caso los coeficientes son :
a1 = 3 ; a 2 =
2
; a 3 = − 11 ; a 4 = − 0 ′ 73 ; a5 = π
5
1.4.Término independiente de una ecuación.Es el número real que no multiplica a ninguna de las incógnitas.
En la ecuación a1 x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + LL + a n x n = c , el término
independiente es c. El término independiente puede aparecer a cualquier lado de la
igualdad, es decir, a la izquierda o a la derecha. Consideraremos como el valor de c
cuando se encuentra aislado a un lado de la igualdad.
Ejemplo 5.-
En la ecuación 9 x − 7 y + 3z + 45 = 0 , el término independiente es c = &45,
ya que la ecuación es 9 x − 7 y + 3z = − 45 .
1.5.Solución de una ecuación.Es el conjunto de números reales que al sustituirlos por las incógnitas, convierten
la igualdad en una identidad, esto es, hacen que la igualdad sea verdadera.
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 3
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Es decir: a1 x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + LL + a n x n = c es una ecuación.
Supongamos que sustituimos la incógnitas x1, x2, x3, ...., xn por los valores
siguientes: α1, α2, α3, ...., αn, es decir, x1=α1, x2 =α2, x3 =α3, ...., xn=αn , de tal
modo que la igualdad a1 ⋅ α1 + a 2 ⋅ α 2 + a 3 ⋅ α 3 + LL + a n ⋅ α n = c es
verdadera.
Pues bien, en este caso se dice que el conjunto de números {α1, α2, α3, ...., αn}
es una solución de la ecuación.
La solución de la ecuación puede expresarse de distintas formas:
Una forma: x1=α1, x2 =α2, x3 = α3, ...., xn= αn es solución de la ecuación.
Otra forma: S = {α1, α2, α3, ...., αn} es solución de la ecuación.
r
Otra forma: s = (α1 , α 2 , α 3 ,K , α n ) es solución de la ecuación.
Ejemplo 6.-
Dada la ecuación 4 x − 5 y + z = 20 , una solución es S = { 7, &3, &23 } ya que
si sustituimos en la ecuación los valores x = 7 ; y = &3 ; z = &23 tenemos que la
igualdad 4·7&5·(&3) & 23 = 20 es verdadera.
Por tanto:
x = 7 ; y = &3 ; z = &23 es una solución de la ecuación
r
Puede expresarse: s = (7,− 3,− 23) o también S = { 7, &3, &23 }.
A una ecuación lineal le puede ocurrir uno de los siguientes apartados:
L
Que no tenga solución.
L
Que tenga una única solución.
L
Que tenga infinitas soluciones.
Ejemplo 7.R
R
R
La ecuación lineal con tres incógnitas 0 x + 0 y + 0 z = 3 no tiene solución
ya que no existen tres números reales α1, α2 , α3 que verifique la igualdad
0 α1 + 0 α 2 + 0 α 3 = 3 .
La ecuación 54 x = 108 (ecuación con una incógnita) tiene una única
solución: x = 2.
Nótese que cualquier otro número distinto de x = 2 no verifica la
igualdad.
La ecuación 2 x − y = 8 tiene infinitas soluciones. Veamos:
r
s1 = (0 , − 8) es una solución, ya que 2 · 0 &(&8) = 8
r
s2 = (1, − 6) es otra solución, ya que 2 · 1 &(&6) = 8
r
s3 = ( − 1, − 10) es otra solución, ya que 2 · (&1) &(&10) = 8
Observa que cualquier par (α , &8 + 2α) es una solución. En efecto:
2 ⋅ α − (− 8 + 2 ⋅ α ) = 2 ⋅ α + 8 − 2 ⋅ α = 8
1.6.Resolución de una ecuación.Resolver una ecuación consiste en emplear un método que nos permita encontrar
la o las soluciones (si las tiene) de esa ecuación.
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
2.Sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes reales.Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto formado por m
ecuaciones lineales, cada una de ellas con las mismas n incógnitas.
En forma genérica (es decir, sin concretar) se escribe:
(1): a11 x1 + a12 x 2 + a13 x 3 + LL + a1n xn = c1
(2): a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x3 + LL + a 2 n x n = c2
(3): a 31 x1 + a 32 x 2 + a 33 x3 + LL + a 3n xn = c3
LLLLLLLLLLLLLLLLL
(m): a m1 x1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 + LL + a mn xn = cm



 S



Siendo:
S
S el nombre que le hemos dados al sistema.
S
(1) , (2), (3) , ...... , (m) la numeración de las ecuaciones que identifica a cada una de
ellas.
S
m = número de ecuaciones.
S
x1 , x2 , x3 , .... , xn son las incógnitas (en este caso n).
S
n = número de incógnitas.
S
a11 , a12 , a13 , ....., a1n
Son los coeficiente de las ecuaciones.
Se trata de números reales.
a21 , a22 , a23 , .... , a2n
a31 , a32 , a33 , .... , a3n
Nótese que aij representa al coeficiente de la
þþþþþþþþþþþþþþ
ecuación i , incógnita xj.
S
am1 , am2 , am3 , .... , amn
c1 , c2 , c3 , .... , cm son los términos independientes.
Una forma abreviada e expresar el sistema S de m ecuaciones con n incógnitas sería:
n
(i ): ∑ aij x j = ci siendo i = 1, 2, 3,...., m
j =1
Nótese en la expresión anterior como queda perfectamente determinado el número de
ecuaciones m y el de incógnitas n.
Podemos expresar los coeficientes de las ecuaciones abreviadamente del siguiente modo:
1≤ i ≤ m
{ a } con  1 ≤ j ≤ n
ij
Lo mismo podemos hacer con las incógnitas y los términos independientes:
{ }
&
Incognitas
: xj
j = 1, 2 , 3,...., n
&
Terminos
independientes
{ ci } i = 1, 2, 3,...., m
El tamaño o dimensión de un sistema viene dado por el número de ecuaciones y de
incógnitas. Convenimos en decir que un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es de
dimensión m×n (m por n).
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejemplo 8.Un sistema genérico (es decir, sin determinar o concretar) de tres ecuaciones con cuatro
incógnitas expresado abreviadamente es:
4
(i ): ∑ aij x j = ci
j =1
con 1 ≤ i ≤ 3
Si queremos expresarlo en forma desarrollada, será:
(1): a11 x1 + a12 x 2 + a13 x 3 + a14 x4 = c1 

(2): a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x3 + a 24 x 4 = c2  S
(3): a 31 x1 + a 32 x 2 + a 33 x3 + a 34 x4 = c3 
Ejemplo 9.Un sistema concreto de dimensión 3×3 es:
x1 − 2 x 2 + 5x 3 = 8 

(2): − x1 + x 2 + 23 x 3 = − 6  S

(3): 45 x1 − 3x 2 + x 3 = 11 
(1):
En este caso:
x1 , x2 , x3 son las incógnitas.
8, &6, 11
son los términos independientes.
1, − 2 , 5 

− 1,1, 23  son los coeficientes.

4
5 , − 3 ,1 
3.Solución de un sistema.Supongamos un sistema de orden (dimensión) m×n, es decir:
n
(i ): ∑ aij x j = ci siendo i = 1, 2, 3,...., m
j =1
Supongamos que s1 , s2 , s3, .... , sn son n números reales que al ser substituidos por las
n incógnitas, es decir, x1 = s1 , x2 = s2 , x3 = s3, .... , xn = sn , en las m ecuaciones del sistema,
dichas ecuaciones se convierten en identidades (es decir, las igualdades son verdaderas). En este
caso se dice que los n números s1 , s2 , s3, .... , sn constituyen una solución de ese sistema.
Una solución puede expresarse de distintos modos:

s = {s1 , s2 , s3, .... , sn } es decir, un conjunto de n números reales.
r

s = ( s1 , s2 , s3 ,...., sn ) es decir, un vector (se llama así) del conjunto ún

x1 = s1 , x2 = s2 , x3 = s3, .... , xn = sn es una solución del sistema.
Página 6
Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
A un sistema S de dimensión m×n le puede ocurrir alguno de los apartados siguientes:

Que tenga solución única. Esto significa que únicamente existe un conjunto de
n números S1= { s1 , s2 , s3, .... , sn } que verifican las m ecuaciones del sistema.
Es decir:
n
(i ): ∑ aij s j = ci siendo i = 1, 2, 3,...., m
j =1
Cualquier otro conjunto S2= { r1 , r2 , r3, .... , rn } no verifica alguna (al menos)
de las m ecuaciones. Es decir:
n
& i = 1, 2, 3,...., m
(i ): ∑ aij r j ≠ ci para algun
j =1

Que tenga infinitas soluciones. En este caso existen infinitos conjuntos de n
números que verifican las m ecuaciones (es decir, la m igualdades).
r
Existen infinitos s = ( s1 , s2 , s3 ,...., sn ) tal que:
n
(i ): ∑ aij s j = ci siendo i = 1, 2, 3,...., m
j =1

r
Que no tenga solución. En este caso no existe un vector s = ( s1 , s2 , s3 ,...., sn )
que verifique las m igualdades. Es decir:
n
ò (s1, s2, s3, ...., sn)0 ú * (i ):
n
∑ aij s j
j =1
= ci siendo i = 1, 2, 3,...., m
4.Discusión de un sistema.Discusión o discutir un sistema es utilizar un método para averiguar si ese sistema tiene
solución (una o infinitas) o no tiene solución. Como es lógico, la información para decidir si un
sistema tiene o no solución y si este es única o no, se obtiene del propio sistema. Veremos en este
tema como se obtiene.
5.Resolución de un sistema.Resolución o resolver un sistema es emplear un método para encontrar la o las soluciones
de dicho sistema (en caso de que tenga). Generalmente, la resolución se hace después de la
discusión, aunque es posible lo contrario, es decir, que al intentar resolver el sistema nos
encontremos con que no tiene solución, o si la tiene, esta es única.
En este tema veremos distintos métodos de resolución de sistemas.
Ejemplo 10.P
P
r
r
Queremos saber si r = ( 5 , − 2 , 5 ) es solución del sistema S
Queremos saber si s = ( 2 , − 1 , 3 ) es solución del sistema S.
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
siendo :
(1): 2 x + 2 y + 4 z = 26
(2): − 3x + y + 3z = − 2
(3): 4 x − 3 y − z = 21



 S

(4): 3x − 4 y − 6z = − 7 
Veamos:
c
Substituimos x = 2 ; y = &1 ; z = 3 en las tres ecuaciones:
(1): 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ ( − 1) + 4 ⋅ 3 = 14 ≠ 26 No se verifica la igualdad (1).
r
c
Por tanto, s = ( 2 , − 1 , 3 ) no es solución del sistema S (no hace falta seguir)
Substituimos x = 5 ; y = &2 ; z = 5 en las cuatro ecuaciones:
(1): 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ ( − 2) + 4 ⋅ 5 = 10 − 4 + 20 = 26
(2): − 3 ⋅ 5 + ( − 2) + 3 ⋅ 5 = − 15 − 2 + 15 = − 2
(3): 4 ⋅ 5 − 3 ⋅ ( − 2) − 5 = 20 + 6 − 5 = 21
(4): 3 ⋅ 5 − 4 ⋅ ( − 2) − 6 ⋅ 5 = 15 + 8 − 30 = − 7



 Se verifican las cuatro igualdades


r
Por tanto, r = ( 5 , − 2 , 5 ) es una solución del sistema S.
6.Expresión de un sistema en forma matricial.Consideremos un sistema de m ecuaciones con n incógnitas, es decir:
(1): a11 x1 + a12 x 2 + a13 x 3 + LL + a1n xn = c1
(2): a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x3 + LL + a 2 n x n = c2
(3): a 31 x1 + a 32 x 2 + a 33 x3 + LL + a 3n xn = c3
LLLLLLLLLLLLLLLLL
(m): a m1 x1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 + LL + a mn xn = cm



 S



Este sistema se puede expresar utilizando matrices, su producto e igualdad, del siguiente
modo:
 a11

 a 21
 a 31

 M

 a m1
a12
a 22
a13
a 23
a 32
M
a 33
M
a m2
a m3
L a1n   x1   c1 
    
L a 2 n   x 2   c2 
L a 3n  ⋅  x3  =  c3 
    
M
M   M  M
    
L a mn   x n   cm 
Sistema S
A la izquierda de la igualdad tenemos un producto de una matriz de orden m×n por otra
matriz columna de orden n×1. El resultado de este producto es otra matriz de orden m×1.
Obsérvese que la matriz m×n es una matriz que tiene los coeficientes del sistema
ordenados tal y como aparecen en dicho sistema, la matriz n×1 es la de las incógnitas y la matriz
m×1 corresponde a los términos independientes.
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Pongamos nombre a las matrices:
 a11

 a 21
A =  a 31

 M

 am1
)
)
)
a12
a 22
a 32
M
a m2
a13 L a1n 

a 23 L a 2n 
a 33 L a 3n 

M
M
M 

am3 L amn 
 x1 
 
 x2 
; X =  x3 
 
 M
 
 xn 
 c1 
 
 c2 
; C =  c3 
 
 M
 
 cm 
A es la matriz de los coeficientes. Su orden es m×n
X es la matriz de las incógnitas. Es de orden n×1, con n = nº de incógnitas
Y es la matriz de los coeficientes. Su orden es m×1, com m = nº de ecuaciones.
En forma abreviada se expresa: A ⋅ X = C
También se puede expresarse : A ⋅ X − C = O siendo O la matriz cero de orden m×1
Para la expresión matricial de un sistema, también podemos emplear la forma abreviada:
 i = 1,2,3,...., m
aij ⋅ x j = (ci ) siendo 
 j = 1,2,3,...., n
( )( )
Ejemplo 11.Sea el sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas siguiente:
(1): 4 x − 3 y + z = 5 
 S
(2): 2 x + y + 7 z = 8 
Vamos a expresarlo en forma matricial:
 x
 4 − 3 1    5

 ⋅  y =  
 2 1 7    8
 z
En este caso:
 4 − 3 1
A= 
 es la matriz de los coeficientes
 2 1 7
 x
 
&
X =  y es la matriz de las incognitas
.
 
 z
 5
&
C =   es la matriz de los terminos
independientes.
 8
Abreviadamente es A ⋅ X = C
r
Supongamos que A ⋅ X = C es una ecuación de orden m×n y s = (α1 , α 2 , α 3 ,K , α n )
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
es una solución del sistema. Esto significa que se verifica la siguiente igualdad matricial:
 a11

 a 21
 a 31

 M

 a m1
a12
a 22
a13
a 23
a 32
M
a 33
M
a m2
a m3
L a1n   α1   c1 
    
L a 2 n   α 2   c2 
L a 3n  ⋅  α 3  =  c3 
    
M
M   M  M
    
L a mn   α n   cm 
Ejemplo 12.Un sistema viene dado por su expresión matricial siguiente:
 2 − 1 − 6  x1   7 

    
1
4
5

 ⋅  x2  =  0 

    
 8 0 − 3  x3   − 2
Vamos a expresarlo mediante sus ecuaciones.
(1): 2 x1 − x2 − 6 x 3 = 7 

&
(2): x1 + 4 x 2 + 5x 3 = 0  S . Sistema de tres ecuaciones con tres incognitas
.

(3): 8 x1
− 3x 3 = − 2 
Ejemplo 13.Sea el sistema de orden 2×3 expresado en forma matricial, siguiente:
 3 −2 2 


 2 1 − 5
 x
   1
⋅  y =  
   29
 z
Queremos saber si x = 5 ; y = 4 ; z = &3 es una solución del sistema.
Veamos:
 5
 
En la expresión matricial substituimos la matriz de las incógnitas X por  4 
 
 − 3
 5
 3 −2 2     1 

 ⋅  4  =   debemos ver si esta igualdad es verdad o falsa.
 2 1 − 5    29
 − 3
 3 −2 2 


 2 1 − 5
 5
   15 − 8 − 6   1 
⋅ 4 = 
= 
   10 + 4 + 15  29
 − 3
 la igualdad es verdad .

&
 x = 5; y = 4 ; z = − 3 es solucion
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Veamos otra forma de expresar un sistema en forma matricial:
9
Sea el sistema A ⋅ X = C un sistema de orden m×n expresado en forma matricial.
( )
( )
 A= a
ij i =1,2 ,3,....,m matriz de los coeficientes (m × n)

 j =1,2 ,3,....,n


&
Siendo:  X = x j
(n × 1)
matriz de lasincognitas
j =1,2 ,3,....,n

 C = (ci )
&
matriz de terminos
independientes (m × 1)
i =1,2 ,3,....,m

9
Recordemos la siguiente propiedad del producto de matrices:
( A ⋅ B) t = B t ⋅ A t
Es decir:
9
9
“La traspuesta de un producto de dos matrices es igual al producto de las
traspuestas de las matrices, pero conmutando ambas”
Apliquemos esta propiedad a la expresión matricial del sistema:
A⋅ X = C
Igualdad matricial
( A⋅ X )t = C t
La traspuesta de la izquierda es igual a la de la derecha
X t ⋅ At = C t
Hemos aplicado la propiedad mencionada.
Tenemos, por tanto:
X t ⋅ At = C t
9

 X t = ( x j ) j = 1,2 ,3,....,n

siendo  A t = (b ji )  j =1,2 ,3,....,n
i =1,2 ,3,....,m


 t
 C = (ci ) i =1,2 ,3,....,m
de orden 1 × n
de orden n × m. Siendo b ji = aij
de orden 1 × m
En forma desarrollada será:
( x1
x2
x3
 a11

 a12
L xn ) ⋅  a13

L

 a1n
a 21
a 22
a 23
L
a2n
a 31 K a m1 

a 32 K a m2 
a 33 K a m3  = (c1

L L L

a 3n K a mn 
c2
c3 K cm )
Observa como b11 = a11 ; b12 = a21 ; b13 = a31 ; .... ; b1m = am1 ; .... etc.
9
Conclusión:
A⋅ X = C

 Formas matriciales de un sistema
X ⋅A =C 
t
t
t
Página 11
Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejemplo 14.Consideremos el siguiente sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas:


(2): x1 − 3x 2 + 5x 3 − 2 x 4 = − 9 S
(3): 3x1
+ 6 x 3 + 9 x 4 = 7 
(1): 4 x1 − 3x 2 − 5x 3 + x 4 = 8
Vamos a expresarlo matricialmente de la forma A · X = C :
x 
 4 −3 −5 1   1  8 

  x2   
 1 − 3 5 − 2 ⋅   =  − 9

 x3
 
3 0 6 9     7 
 x4 
t
t
t
Vamos a expresarlo matricialmente de la forma X ⋅ A = C :
( x1
x2
1
 4

 −3 −3
x4 ) ⋅ 
−5 5

 1 −2
x3
3

0
= (8 − 9 7)
6

9
 A ∈ M 3×4 ; X ∈ M 4×1 ; C ∈ M 3×1
Nótese que: 
t
t
t
 A ∈ M 4× 3 ; X ∈ M 1×4 ; C ∈ M 1× 3
Ejemplo 15.Dado el sistema S expresado en forma matricial, queremos expresarlo en forma
desarrollada por sus ecuaciones y en la otra forma matricial:
S:
(x
1
 7

2


y z) ⋅  − 1 0  =
 4

 5 − 3
( 125 0)
Veamos:
‘
Mediante sus ecuaciones (dos ecuaciones con dos incógnitas):

(1) : 7 x − y + 45 z = 125 
&
S
 S o tambien
− 3z = 0 
(2): 21 x + 0 y − 3z = 0 
(1) : 7 x − y +
(2): 21 x
4
5
z=
12
5
Obsérvese como las incógnitas con coeficiente 0 pueden escribirse u omitir su escritura,
sin olvidar su presencia.
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Expresemos el sistema mediante la otra forma matricial:
‘
 x
 7 − 1 45     125 
 ⋅  y =  
S:  1
 2 0 − 3    0 
 z
Ejemplo 16.Dado el sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas:
(x
y
(
averiguar si la matriz S1 = 0
 2 − 4


z ) ⋅  3 1  = (4 8)


 6 − 2
14
3
−
5
3
)
es solución del sistema.
Veamos:
(0
14
3
 2 − 4


−5
⋅
3
1
)

 = (0 ⋅ 2 +
3


 6 − 2
(
Por tanto, la matriz S1 = 0
14
3
⋅ 3 − 53 ⋅ 6 − 4 ⋅ 0 +
14
3
−
5
3
14
3
⋅ 1 − 53 ( − 2) ) = (4 8)
) es solución del sistema.
7.Matriz ampliada de un sistema.Consideremos un sistema de m ecuaciones con n incógnitas, es decir:
(1): a11 x1 + a12 x 2 + a13 x 3 + LL + a1n xn = c1
(2): a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x3 + LL + a 2 n x n = c2
(3): a 31 x1 + a 32 x 2 + a 33 x3 + LL + a 3n xn = c3
LLLLLLLLLLLLLLLLL
(m): a m1 x1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 + LL + a mn xn = cm



 S



Si a la matriz de los coeficientes (A) le añadimos otra columna (última columna) con los
términos independiente ( elementos ci ), obtenemos otra matriz de orden m×(n+1). Dicha matriz
se denomina matriz ampliada del sistema S. La expresaremos de la forma A* , B*, etc., según
la matriz de los coeficientes sea A , B , etc.
Es decir:
 a11

 a 21
A * =  a 31

L

 a m1
a12
a 22
a 32
a13
a 23
a 33
L a1n
L a2n
L a 3n
L
a m2
L L L
a m3 L a mn
c1 

c2 
c3  ∈ M m× ( n +1)

L

cm 
Página 13
Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejemplo 17. (1): 2 x + x − 3x + x = 14
1
2
2
4

Sea el sistema S:  (2): x1 − 3x 2
+ 5x 4 = − 6
 (3): 3x + x − x
= 17
1
2
3

La matriz ampliada es:
 2 1 − 3 1 14 


A * =  1 − 3 0 5 − 6 ∈ M 3×5


 3 1 − 1 0 17 
Nótese que la matriz de los coeficientes es de orden 3×4.
8.Sistemas equivalentes.Dos sistemas de ecuaciones lineales S1 y S2 se dice que son equivalentes si tienen las
mismas soluciones, es decir, cualquier solución de S1 es solución de S2 y cualquier solución de
S2 lo es de S1.
Se expresa S1 ] S2 o también S1 ≡ S2
Para que dos sistemas sean equivalentes debe ocurrir que tengan el mismo número de
incógnitas, aunque pueden tener distinto número de ecuaciones.
Ejemplo 18.-
 (1) : 2 x + 3 y = 7
de dos ecuaciones con dos incógnitas.
 (2): 5x − 4 y = 15
Sea el sistema S1 : 
Vamos a resolverlo por el método de reducción. Veamos:
R
Multiplicamos (1) por 4 y (2) por 3 :
(1): 8 x + 12 y = 28 
S
(2):15x − 12 y = 45  2
R
R
Observa que lo que tenemos es otro sistema S2 distinto del original S1, ya que los
coeficientes y términos independientes no coinciden.
Pues bien, los sistemas S1 y S2 son equivalentes, es decir, tienen las mismas
soluciones. Eso significa que si encontramos la o las soluciones de S2 tendremos
las de S1. Por tanto: S1 ≡ S2.
Sumemos las dos ecuaciones de S2 (obtenemos otra ecuación) y consideremos
esta y la (1) de S2 . Tendremos otro sistema S3 :
(1): 8 x + 12 y = 28
(2): 23x
= 45
R

 S3

Pues bien, los sistemas S1, S2 y S3 tiene la o las mismas soluciones, es decir, son
Página 14
Matemáticas de 2º de bachillerato
R
Sistemas de Ecuaciones Lineales
equivalentes: S1 ≡ S2 ≡ S3
En el sistema S3 despejamos x en la segunda ecuación y consideramos la
ecuación (1) de S3.
(1): 8 x + 12 y = 28 

73  S 4
(2): x
=
23 
R
Hemos obtenido otro sistema S4 que es distinto de los anteriores pero equivalente
a ellos, es decir, S1 ≡ S2 ≡ S3 ≡ S4
Como S4 tiene la o las mismas soluciones que S1 (que el que queríamos resolver)
y nos resulta fácil resolverlo, lo hacemos:
x=
73
73
substituimos en (1): 8 ⋅
+ 12 y = 28
23
23
12 y = 28 −
Es decir, x =
R
584
60
5
; 12 y =
;y=
23
23
23
73
5
es la solución del sistema S4
; y=
23
23
Como S1 ≡ S4 , la solución de S4 es la solución de S1.
Por tanto:
es la solución del sistema S1
x=
73
5
; y=
23
23
En general, cuando resolvemos un sistema, vamos construyendo otros sistemas
equivalentes a él que resultan más manejables y fáciles, hasta llegar a uno lo suficientemente
sencillo que nos permita obtener la solución (si las tiene) de forma inmediata. Este proceso se
realiza empleando un método que se denomina método de resolución de sistemas. Existen
diversos métodos que veremos seguidamente.
Es decir:
S
S sistema que queremos resolver.
S
El método nos lleva a S ≡ S1 ≡ S2 ≡ S3 ≡ ÿ ≡ S k
S
S k es un sistema tan sencillo que nos da la (o las) soluciones de forma inmediata.
Si no tuviese solución, también se aprecia con facilidad. Las soluciones de S k
son las mismas que las de S.
9.Clasificación de los sistemas respectos de sus soluciones.Los sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas, según tengan o no solución y
según el número de estas sea finito o infinito, los clasificamos del siguiente modo que recogemos
en el siguiente cuadrante:
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 15
Sistemas de Ecuaciones Lineales
& unica
&
)

 DETERMINADO (tiene solucion
 COMPATIBLE 
& )
 INDETERMINADO ( tiene infinitas soluciones)
SISTEMA m × n :  ( tiene solucion
 INCOMPATIBLE

& )
( no tiene solucion
10.Propiedades de los sistemas.Dado un sistema S, el objetivo que se persigue generalmente es encontrar su o sus
soluciones, es decir, resolver el sistema. Para ello, vamos a dar una serie de propiedades que
tienen los sistemas y que nos permitirán alcanzar dicho objetivo.
Propiedad I.- Si en un sistema S hay una ecuación que es combinación lineal de otra u otras
ecuaciones, podemos suprimirla y obtenemos otro sistema S1 que es equivalente
a S. La ventaja que tiene S1 sobre S es que tiene una ecuación menos.
NOTA: Una ecuación es combinación lineal de otra u otras, si se obtiene de ellas
al multiplicarlas por un número y sumándolas o restándolas.
Ejemplo 19. (1): 4 x + 5 y − 3z = 7

Sea el sistema S :  (2): 2 x − y + 5z = 9
de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.
 (3): 8 x + 10 y − 6z = 14

Obsérvese que la tercera ecuación es la primera multiplicada por 2, es decir, (1)
es el doble de (3). La tercera ecuación es múltiple de la primera.
Lo expresamos (3) = 2·(1).
Si suprimimos la tercera ecuación obtenemos el siguiente sistema:
 (1): 4 x + 5 y − 3z = 7
S1 : 
 (2): 2 x − y + 5z = 9
Pues bien, resulta que S ≡ S1 (Son equivalentes) y por tanto tiene la misma o
mismas soluciones.
Ejemplo 20.Sea el sistema
 (1): 2 x + 3 y − 4 z = 8

S :  (2): x + 2 y + z = 5
 (3): x − 11z = 1

de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.
Observamos que la ecuación (3) es el doble de la ecuación (1) menos el triple de
la ecuación (2), es decir : (3) = 2·(1) &3·(2).
Esto significa que la tercera ecuación es combinación lineal de las dos primeras.
Eliminando la ecuación (3) obtenemos otros sistema S1 equivalente a S, es decir,
un sistema con las mismas soluciones y con una ecuación menos (más fácil).
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 16
 (1): 2 x + 3 y − 4 z = 8
S1 : 
 (2): x + 2 y + z = 5
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Siendo S ≡ S1
Demostración
Imaginemos un sistema S de m ecuaciones con n incógnitas y supongamos que la
ecuación (k+1) es combinación lineal de la k primeras, es decir, de (1), (2), (3), ... , (k&1), (k):
(1):
(2):
a11 x1 + a12 x 2 + a13 x 3 + LL + a1n x n = c1
a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + LL + a 2 n xn = c2
(3): a 31 x1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + LL + a 3n x n = c3
LLLLLLLLLLLLLLLLLLL
( k ): a k 1 x1 + a k 2 x 2 + a k 3 x 3 + LL + a kn xn = ck
( k + 1): λ1 ⋅ (1) + λ2 ⋅ (2) + λ3 ⋅ (3) + LL + λk ⋅ ( k ) = ck +1
LLLLLLLLLLLLLLLLLLL
(m): a m1 x1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 + LL + a mn x n = cm






 S





Aclaremos la ecuación (k+1):
(
)
λ1 ⋅ (a11 x1 + L+ a1n xn ) + λ2 ⋅ (a 21 x1 + L+ a 2 n xn ) + L+ λk ⋅ a k 1 x1 + L+ a kn xn = λ1 ⋅ c1 + λ2 ⋅ c2 + L+ λk ⋅ ck
Nótese que ck +1 =
λ1 ⋅ c1 + λ2 ⋅ c2 + L+ λk ⋅ ck
Quitando paréntesis:
λ1a11 x1 + L+ λ1a1n xn + λ2 a 21 x1 + L+ λ2 a 2n x n + L+ λk a k 1 x1 + L+ λk a kn x n = λ1 ⋅ c1 + λ2 ⋅ c2 + L+ λk ⋅ ck
Sacando como factores comunes a x1 , x2 , x3 , .... , xn :
(λ1a11 + L+ λk a k 1 ) x1 + (λ1a12 + L+ λk a k 2 ) x2 + L+ (λ1a1n + L+ λk a kn ) xn = λ1 ⋅ c1 + λ2 ⋅ c2 + L+ λk ⋅ ck
Esta última igualdad es la ecuación (k+1) del sistema S.
Supongamos que eliminamos la ecuación (k+1) del sistema S. Tendremos otro sistema
S1 que tiene m&1 ecuaciones, es decir, las mismas que S excepto la ecuación (k+1).
Pues bien, aseguramos que el sistema S1 es equivalente al sistema S (S1 ⇔ S), esto es,
ambos tienen la misma o las mismas soluciones. Vamos a demostrarlo:
r
û
Supongamos que s = ( s1 , s2 , s3 ,K , sn ) es una solución cualquiera de S. Si
r
demostramos que s = ( s1 , s2 , s3 ,K , sn ) es también una solución de S1, habremos
demostrado que las soluciones de S lo son de S1, esto es, S ⇒ S1
En efecto:
Página 17
Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
r
s = ( s1 , s2 , s3 ,K , sn ) solución de S ⇒
r
s = ( s1 , s2 , s3 ,K , sn ) verifica las
r
ecuaciones (1) , (2) , (3) , ÿ , (k) , (k+1) , þ , (m) ⇒ s = ( s1 , s2 , s3 ,K , sn ) verifica
las m&1 ecuaciones (1) , (2) , (3) , ÿ , (k) , (k+2) , þ , (m) del sistema S1 ⇒
r
s = ( s1 , s2 , s3 ,K , sn ) es también solución del sistema S1
Por tanto: S ⇒ S1 ( cualquier solución de S lo es de S1 ).
û
Ahora nos preguntamos: ¿Toda solución de S1 lo es de S ? Vamos a demostrar que sí.
r
Supongamos que s = ( s1 , s2 , s3 ,K , sn ) es una solución cualquiera de S1. Tenemos
que demostrar que también lo es de S. Veamos:
r
r
s = ( s1 , s2 , s3 ,K , sn ) solución de S1 ⇒ s = ( s1 , s2 , s3 ,K , sn ) verifica las m&1
r
ecuaciones (1) , (2) , (3) , ÿ , (k) , (k+2) , þ , (m) de S1 ⇒ s = ( s1 , s2 , s3 ,K , sn )
verifica todas las ecuaciones de S, excepto la (k+1).
r
s = ( s1 , s2 , s3 ,K , sn ) también verifica la
r
ecuación (k+1) de S, habremos demostrado que s = ( s1 , s2 , s3 ,K , sn ) también es
Si somos capaces de demostrar que
solución del sistema S.
Veamos:
r
Como s = ( s1 , s2 , s3 ,K , sn ) es solución de S1 , podemos poner:





 S1
( k + 2): a ( k + 2 )1 s1 + a ( k + 2 ) 2 s2 + a ( k + 2 ) 3 s3 + L + a ( k + 2 ) n sn = ck + 2 


LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

(m):
a m1 s1 + a m2 s2 + a m3 s3 + L + a mn sn = cm

(1):
a11 s1 + a12 s2 + a13 s3 + L + a1n sn = c1
(2):
a 21 s1 + a 22 s2 + a 23 s3 + L + a 2 n sn = c2
LLLLLLLLLLLLLLLLLLL
( k ):
a k 1 s1 + a k 2 s2 + a k 3 s3 + L + a kn sn = ck
Anteriormente vimos que la ecuación (k+1) la poníamos de la forma:
(
)
λ1 ⋅ (a11 x1 + L+ a1n xn ) + λ2 ⋅ (a 21 x1 + L+ a 2n xn ) + L+ λk ⋅ a k 1 x1 + L+ a kn xn = λ1 ⋅ c1 + λ2 ⋅ c2 + L+ λk ⋅ ck
Substituimos x1 = s1 ; x2 = s2 ; x3 = s3 ; þþ ; xn = sn en la ecuación (k+1):
λ 1 ⋅ (a11 s1 + L+ a1n sn ) + λ 2 ⋅ (a 21 s1 + L+ a 2 n sn ) + L+ λ k ⋅ (a k 1 s1 + L+ a kn sn ) = λ 1 ⋅ c1 + λ 2 ⋅ c2 + L+ λ k ⋅ ck
1442443
c1
144
42444
3
c2
Obsérvese que tenemos la identidad :
144
42444
3
ck
λ 1 ⋅ c1 + λ 2 ⋅ c2 + L + λ k ⋅ ck = λ 1 ⋅ c1 + λ 2 ⋅ c2 + L + λ k ⋅ ck
Página 18
Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
r
Por tanto, se verifica la ecuación (k+1), es decir, s = ( s1 , s2 , s3 ,K , sn ) es también
solución del sistema S. Hemos demostrado así que S1 ⇒ S
Conclusión final:
S ⇔ S1
(ambos sistemas son equivalentes)
Ejemplo 21. (1): 3x + 5 y = 9

Sea el sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas S :  (2): − 2 x − 3 y = − 7
 (3): − 2 x − 2 y = − 10

Observamos que la ecuación (3) es combinación lineal de las ecuaciones (1) y (2).
En este caso es (3) = 2·(1) + 4·(2).
Según la propiedad anterior, podemos eliminar la ecuación (3) y obtenemos otro sistema
S1 con una ecuación menos:
Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Vamos a resolverlo por el método de reducción.
 (1): 3x + 5 y = 9
S1 : 
 (2): − 2 x − 3 y = − 7
Hemos obtenido otro sistema S2 que es
equivalente a S y a S1, es decir: S]S1]S2
×2
6 x + 10 y = 18 
 S2
×3
(2)  → − 6 x − 9 y = − 21 
(1)  →
Sumando (1) y (2) en S2 : y = &3
Substituyendo en (1) de S2 : 6x & 30 = 18 ; 6x = 48 ; x = 8
r
Es decir: s = (8 , − 3) es la única solución de S2. También es la única solución de S1
y la única solución de S. No olvidemos que el objetivo era encontrar la solución de S.
Comprobemos:
 (1): 3 ⋅ 8 + 5 ⋅ ( − 3) = 24 − 15 = 9 verifica (1)

Para x = 8 e y = − 3 tenemos S :  (2): − 2 ⋅ 8 − 3 ⋅ ( − 3) = − 16 + 9 = − 7 verifica (2)
 (3): − 2 ⋅ 8 − 2 ⋅ ( − 3) = − 16 + 6 = − 10 verifica (3)

Propiedad II.- Para resolver un sistema S, debemos eliminar aquellas ecuaciones que sean
combinación lineal de las demás y realizamos sucesivas transformaciones que
nos llevan a obtener sistemas equivalentes a S, hasta conseguir una lo
suficientemente sencilla que nos permita encontrar la o las soluciones.
Veamos un ejemplo:
Ejemplo 22. (1): 4 x + 3 y = 9
. Actuamos del siguiente modo:
−
=
(
2
):
5
x
7
y
10

Queremos resolver el sistema S : 
L
Multiplicamos (1) por 5 y (2) por &4:
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
×5
 (1) 
→
20 x + 15 y = 45
S1 : 
× ( −4 )
 (2)   → − 20 x + 28 y = − 40
L
Siendo
S ] S1
En el sistema S1 sumamos las ecuaciones (1) y (2) y obtenemos una nueva ecuación (3),
es decir, (3) = (1) + (2). El nuevo sistema S2 es equivalente a S y S1.
 (1): 20 x + 15 y = 45

S 2 :  (2): − 20 x + 28 y = − 40
 (3):
43 y = 5

L
S ] S1 ] S2
En el sistema S2 apreciamos que la ecuación (2) es combinación lineal de la (1)
y la (3), ya que (2) = (3) & (1). Si eliminamos (2) obtenemos otro sistema
equivalente a S2 y, por tanto, equivalente a S y S1.
 (1):
S3 : 
 (2):
L
Siendo
20 x + 15 y = 45
43 y = 5
Siendo S ] S1 ] S2 ] S3
El sistema S3 es fácil de resolver. Lo hacemos:
5
Despejamos “y” en la ecuación (2): y = 43
Substituimos y =
r
Es decir, s =
5
43
5
en (1): 20 x + 15 ⋅ 43
= 45 ; 20 x =
5
( 183
86 , 43 )
1830
43
; x=
183
86
es la única solución del sistema S3.
Conclusión: La solución del sistema S es
x=
183
86
; y=
5
43
Propiedad III.- Con esta propiedad aprenderemos a saber si una ecuación de un sistema es
combinación lineal de otra u otras ecuaciones. Veamos:
P
Sea S un sistema de m ecuaciones con n incógnitas:
(1): a11 x1 + a12 x 2 + a13 x 3 + LL + a1n xn = c1
(2): a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x3 + LL + a 2 n x n = c2
(3): a 31 x1 + a 32 x 2 + a 33 x3 + LL + a 3n xn = c3
LLLLLLLLLLLLLLLLL
(m): a m1 x1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 + LL + a mn xn = cm
P
Consideremos su matriz ampliada :
 a11 a12 a13 L a1n c1 


 a 21 a 22 a 23 L a 2n c2 
A* =  a 31 a 32 a 33 L a 3n c3  ∈ M m× ( n +1)


 L L L L L L


 a m1 a m2 a m3 L a mn cm 



 S



Obsérvese que cada
fila de la matriz A* se
corresponde con una
ecuación de S.
Es decir, la fila (k) se
corresponde con la
ecuación (k).
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Queremos saber si una ecuación de S es combinación lineal de otras ecuaciones.
Pues bien:
P
& ( k ) de S 
Una ecuacion

& lineal  ⇔
es combinacion

de otras ecuaciones

 La fila ( k ) de la matriz A * es

& lineal de las otras filas
 combinacion
 correspondientes a esas ecuaciones.

Por tanto, operando con matrices podemos averiguar si una ecuación es
combinación lineal de otras. Si ocurre esto, podemos eliminar esa
ecuación y obtenemos un sistema equivalente con una ecuación menos,
cuya matriz ampliada también tendrá una fila menos.
P
NOTA: Ver tema de matrices y determinantes para recordar como se decide
sobre si una fila de una matriz es combinación lineal de otras.
Ejemplo 23.Imaginemos un sistema de 4 ecuaciones con 5 incógnitas y su matriz ampliada:
a11 x1 + a12 x 2 + a13 x 3 + a14 x 4 + a15 x5 = c1 
(2): a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 + a 25 x5 = c2 
 S
(3): a 31 x1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 + a 35 x5 = c3 
(4): a 41 x1 + a 42 x 2 + a 43 x 3 + a 44 x 4 + a 45 xn = c4 
(1):
 a11

 a 21
*
A =
a 31

 a 41
a12
a13
a14
a15
a 22
a 23
a 24
a 25
a 32
a 33
a 34
a 35
a 42
a 43
a 44
a 45
c1 

c2 
c3 

c5 
Supongamos que ocurre lo siguiente:
M2 =
a11
a 21
a12
≠ 0 , es decir, el menor principal de orden 2 es igual a 0, y además:
a 22
a11
a12
a13
a11
a12
a14
a11
a12
a15
a11
a12
c1
a 21
a 31
a 22
a 32
a 23 = 0 ;
a 33
a 21
a 31
a 22
a 32
a 24 = 0 ;
a 34
a 21
a 31
a 22
a 32
a 25 = 0 ; a 21
a 35
a 31
a 22
a 32
c2 = 0
c3
Entonces podemos asegurar que la tercera fila de la matriz A* es combinación lineal de
las dos primeras y, por tanto, la tercera ecuación de S es combinación lineal de las dos
primeras ecuaciones. Si eliminamos esa ecuación, obtenemos:
a11 x1 + a12 x 2 + a13 x 3 + a14 x 4 + a15 x5 = c1 

(2): a 21 x1 + a 22 x2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 + a 25 x5 = c2  S1
(3): a 41 x1 + a 42 x 2 + a 43 x 3 + a 44 x 4 + a 45 x n = c4 
(1):
 a11

B =  a 21

 a 41
*
a12
a13
a14
a15
a 22
a 23
a 24
a 25
a 42
a 43
a 44
a 45
c1 

c2 

c4 
Los sistemas S y S1 son equivalentes.
Supongamos que ahora ocurre que la fila (3) de S1 es combinación lineal de las filas (1)
y (3), es decir, ocurre que:
a11 a12
M2 =
≠0
a 21 a 22
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
y además:
a11
a12
a13
a11
a12
a14
a11
a12
a15
a11
a12
c1
a 21
a 41
a 22
a 42
a 23 = 0 ;
a 43
a 21
a 41
a 22
a 42
a 24 = 0 ;
a 44
a 21
a 41
a 22
a 42
a 25 = 0 ; a 21
a 45
a 41
a 22
a 42
c2 = 0
c4
Entonces podemos asegurar que la tercera fila de la matriz B* es combinación lineal de
las dos primeras y, por tanto, la tercera ecuación de S1 es combinación lineal de las dos
primeras ecuaciones. Si eliminamos esa ecuación del sistema S1, obtenemos:
a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 + a14 x4 + a15 x5 = c1 
 S
(2): a 21 x1 + a 22 x2 + a 23 x3 + a 24 x 4 + a 25 x5 = c2  2
(1):
 a11
D* = 
 a 21
a12
a13
a14
a15
a 22
a 23
a 24
a 25
c1 

c2 
Los sistemas S , S1 y S2 son equivalentes., es decir: S ] S1 ] S2
Así sucesivamente hasta que no encontremos ninguna ecuación combinación lineal de
las demás. En este caso se dice que todas las ecuaciones (y todas las filas de la matriz
ampliada) son linealmente independientes.
Si en el caso que nos ocupa, ninguna de las dos filas de la matriz D* fuese combinación
lineal de la otra, tendremos que Rango D* = 2 y más concretamente:
Rango A* = Rango B* = Rango D* = 2 =
= nº de filas de A* linealmente independientes =
= nº de ecuaciones de S linealmente independientes.
11.Resolución de un sistema. Métodos de resolución.Cuando planteamos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, generalmente
se pretende conseguir dos objetivos, uno es saber si ese sistema tiene solución (es compatible)
o no tiene solución (es incompatible). En el caso que sea compatible, debemos encontrar la o las
soluciones, es decir, los valores que hacen verdaderas las m ecuaciones del sistema.
El proceso de averiguar si un sistema es o no compatible, se llama discusión del sistema
y al proceso de buscar y encontrar la o las soluciones, resolución o resolver. Para resolver un
sistema existen diversos métodos que nos permiten llegar a la solución. Estos métodos se basan
en las propiedades vistas anteriormente o en las de las matrices y determinantes. Veremos
algunos de ellos, aunque el alumno recuerde los métodos de resolución para sistemas de dos
ecuaciones con dos incógnitas: Reducción, Sustitución e Igualación. Es posible que conozca
el método de Gauss para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas e incluso
sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.
12.Método de la matriz inversa para resolver un sistema.Este método es válido cuando el sistema original o un equivalente a él tiene el mismo
número de ecuaciones que de incógnitas (la matriz de los coeficientes es cuadrada) y además,
dicha matriz tiene inversa.
Veamos:
4
Imagina un sistema S (o un equivalente a él) tal que en forma matricial es A·X = C,
siendo A una matriz cuadrada de orden n (n = nº ecuaciones = nº de incógnitas).
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Matemáticas de 2º de bachillerato
4
4
4
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Resolver este sistema consiste en encontrar la matriz X.
Supongamos que la matriz A tiene inversa y la hallamos, es decir, obtenemos A&1
Recordando las operaciones con matrices, tendremos:
A&1 ·(A·X) = A&1 ·C
(A&1 ·A)·X = A&1 ·C
I·X = A&1 ·C
X = A&1 ·C
Como A&1 y C son matrices
conocidas, obtenemos la matriz de las incógnitas X.
Nótese com es necesaria la existencia de la matriz inversa de A.
Recuérdese que A&1 existe si y sólo sí * A*…0.
Ejemplo 24.Sea el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas siguiente:
 4 x − 5y = 9
 4 − 5  x   9 
S: 
en forma matricial 
 ⋅  =  
+
=
−
3
x
y
5
3
1

  y  − 5

Observa que:
Ø
nº de ecuaciones = nº de incógnitas = 2
−1
4 −5
 4 − 5
Ù
= 4 + 15 = 19 ≠ 0 , es decir , existe 

3 1
 3 1
Podemos asegurar que este sistema puede resolverse por el método de la matriz inversa.
Hallemos la inversa de la matriz de los coeficientes (matriz A):
1  A11 A21  1  1 5  191 195 
A −1 =
⋅
 = ⋅
 =  −3 4 
A  A12 A22  19  − 3 4  19
19 
Ya que:
A11 = ( − 1) 2 ⋅ 1 = 1
; A12 = ( − 1) 3 ⋅ 3 = − 3 ;
A21 = ( − 1) 3 ⋅ ( − 5) = 5 ; A22 = ( − 1) 4 ⋅ 4 = 4
Despejamos la matriz X :
X= A
−1
 191
⋅ C =  −3
 19
5

19

4
19 
25
 −
 9   199 − 19
⋅   =  −27 20  = 
 − 5  19 − 19   −
La solución del sistema es :
x=
16
19
47
19



− 16
− 47
; y=
19
19
Nota: Se recomienda resolver este sistema por el método de reducción para que el
alumno compruebe el resultado.
Página 23
Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejemplo 25.Resolvamos el sistema:
 1 −3 4 
 x − 3y + 4z = 5



S :  3x + y − 5z = − 6 siendo A =  3 1 − 5 la matriz de los coeficientes.


 2x − 4 y + z = 6
 2 −4 1 

Veamos si se puede resolver matricialmente:
±
nº de ecuaciones = nº de incógnitas = 2
1 −3 4
A = 3 1 − 5 = 1 − 48 + 30 − 8 − 20 + 9 = − 36 ≠ 0
±
2 −4
1
Es posible resolverlo matricialmente.
Resolvemos. Para ello necesitamos hallar la matriz inversa de A (recordar tema de
matrices y determinantes).
A −1
 A11
1 
=
 A12
A 
 A13
A21
A22
A23
 − 19 − 13 11  19
A31 
36
  13

1 
A32  =
 − 13 − 7 17 =  36
 
 − 36 
A33 
 − 14 − 2 10  14
36
13
36
7
36
2
36
−11

36

−17
36 
−10 
36 
Ya que:
A11 =
1
−5
−4
1
A21 = −
A31 =
= − 19 ; A12 = −
3 −5
2
1
= − 13 ; A13 =
3
1
2 −4
1 4
1 −3
−3 4
= − 13 ; A22 =
= − 7 ; A23 = −
=−2
2 1
2 −4
−4 1
1 4
1 −3
−3 4
= 11 ; A32 = −
= 17 ; A33 =
= 10
1 −5
3 −5
3 1
Resolvemos la ecuación matricial A·X = C :
A&1·A·X = A&1·C ; I·X = A&1 ·C
 19
36
 13
X =  36
 14
 36
13
36
7
36
2
36
−11

36

−17
36 
−10 
36 
; X = A&1·C
− 66
 5   95− 78
  −3649   −3649 
36
   65− 42
  −79   −79 
−102
⋅  −6 = 
 =  36  =  36 
36
   70−12 − 60   −2   −1 
 6  
  36   18 
36
Por tanto, la solución del sistema es
Comprobemos:
= − 14
x=
− 49
− 79
−1
; y=
; z=
36
36
18
−79
−1 −49 + 237 −8
 − 49
= 180
36 − 3 ⋅ 36 + 4 ⋅ 18 =
36
36 = 5
 −49 79
−1 −147 − 79 +10
−216
= 36 = − 6
 3 ⋅ 36 − 36 − 5 ⋅ 18 =
36
 −49
1
−79
−98+ 316− 2
= 216
36
36 = 6
 2 ⋅ 36 − 4 ⋅ 36 − 18 =
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejemplo 26.Queremos resolver el sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas siguiente:
 8
 7
 8x + 2 y = 7
2 

  x  

− 5  ⋅   =  5
S:  3x − 5 y = 5
En forma matricial  3

  y  
 − 2 x − 12 y = 3
−
−
2
12


 3

Veamos si podemos resolverlo matricialmente:
 8
2 7


Matriz ampliada : A =  3
−5 5 


 − 2 − 12 3 
*
Veamos si alguna fila de A* es combinación lineal de las otras:
8 2
M2 =
= − 40 − 6 = − 46 ≠ 0 ⇒ Rango A * = 2 o 3
3 −5
8
2 7
A = 3
− 5 5 = − 120 − 252 − 20 − 70 + 480 − 18 = 0
− 2 − 12 3
*
De lo
anterior se deduce que la tercera fila de A* es combinación lineal de las dos primeras
(ver tema “Matrices y determinantes”), o lo que es lo mismo, la tercera ecuación de S es
combinación lineal de las dos primeras.
Eliminando la tercera ecuación de S obtenemos otro sistema S1 equivalente a S.
 8x + 2 y = 7
8 2 
S1 : 
con S ⇔ S1 y B = 
 como matriz coeficientes
 3 − 5
 3x − 5 y = 5
Observamos que el sistema S1 puede resolverse matricialmente ya que *M2*=*B*…0
Resolvamos S1 matricialmente. Para ello debemos encontrar B&1. Lo haremos por
transformaciones de líneas (ver tema “Matrices y determinantes”).
0 5 2  FF12⋅⋅3( −23)
 8 2 1 0 FF12⋅⋅52  40 10 5 0
 46
F1 + F2

 
   → 
    →
→ 
 3 − 5 0 1
 6 − 10 0 2
 6 − 10 0 2 
 138

 − 138
0 15
6  F2 + F1  138
   → 
230 0 − 46
 0
Por tanto:
B
−1
5
 46
= 3
 46
1

23

4
23 
1
F1⋅138
1
F2 ⋅ 230
0 15 6 
   →
230 15 40
 1

 0
0
1
15
138
15
230
& de simplificar
despues
Resolvemos la ecuación matricial:
5
 x   46

=
 
3
 y  46
1

23

4
23 
35
 7  46
+
⋅   =  21
 5  46 +
5

23

20
23 
45
 46

=  61  ⇒ x =
 46 
45
46
; y=
61
46
& de S )
( solucion
6 
138

40 
230 
Página 25
Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
13.Método de Gauss para la resolución de un sistema.Este método se suele emplear cuando el número de ecuaciones es igual al número de
incógnitas, aunque es válido para cualquier sistema. En esta ocasión lo veremos para el caso en
que nº de ecuaciones = nº de incógnitas.
Veamos:
S
Supongamos un sistema de n ecuaciones con n incógnitas:
(1): a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + LL + a1n xn = c1 

(2): a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x3 + LL + a 2n xn = c2 

(3): a 31 x1 + a 32 x2 + a 33 x 3 + LL + a 3n x n = c3  S Sistema de orden n × n.
LLLLLLLLLLLLLLLLL 

(n): a n1 x1 + a n 2 x2 + a n 3 x3 + LL + a nn xn = cn 
Matricialmente es:
 a11 a12 a13

 a 21 a 22 a 23
 a 31 a 32 a 33

M
M
 M

 a n1 a n 2 a n 3
S
L a1n   x1   c1 
    
L a 2 n   x 2   c2 
L a 3n  ⋅  x3  =  c3 
    
M
M   M  M
    
L a nn   xn   cn 
Abreviadamente: A ⋅ X = C
Mediante sucesivas transformaciones en el sistema S debemos llegar a obtener otro
sistema S´ que sea equivalente a S y tenga la siguiente forma:
(1): b11 x1 + b12 x2 + b13 x3 + LL + b1n xn = d1 

b22 x2 + b23 x3 + LL + b2 n xn = d 2 
(2):

b33 x 3 + LL + b3n xn = d 3  S ′ Sistema de orden n × n.
(3):
LLLLLLLLLLLLLLLLLL 

bnn xn = d n 
(n):
En forma matricial es:
 b11 b12 b13 L

 0 b22 b23 L
 0
0 b33 L

M
M
M
 M

0
0 L
 0
b1n 

b2n 
b3n 

M 

bnn 
 x1   d1 
   
 x2   d 2 
⋅  x3  =  d 3 
   
 M  M
   
 xn   d n 
Abreviadamente: B ⋅ X = D
Obsérvese que en el sistema S´ todos los coeficientes que hay por debajo de la diagonal
principal de la matriz B son iguales a 0, es decir, la matriz B es una matriz triangular.
Recordemos que debe ser S ]S´.
S
Una vez conseguido el sistema S´ (equivalente a S), podemos resolverlo fácilmente.
Veamos como:
Matemáticas de 2º de bachillerato
Î
Ï
Página 26
Sistemas de Ecuaciones Lineales
dn
. Ya tenemos el valor de xn.
bnn
La penúltima ecuación (n-1) es: b( n −1)( n −1) x n −1 + b( n −1) n x n = d n −1
Despejamos xn en la última ecuación: x n =
Substituimos x n =
dn
y obtenemos el valor de xn −1 =
bnn
d n −1 − b( n −1) n ⋅
dn
bnn
b( n −1)( n −1)
Ya hemos encontrado los valores para las incógnitas xn y xn-1.
Ð
La ecuación (n-2) es: b( n − 2 )( n − 2 ) x n − 2 + b( n − 2 )( n −1) x n −1 + b( n − 2 ) n x n = d n − 2
Substituyendo los valores obtenidos para xn y xn-1 en la ecuación (n.2) y
despejando xn-2 obtenemos el valor de la incógnita xn-2.
Ð
S
Siguiendo el proceso para las ecuaciones (n-3) , (n-4) ,...., (3) , (2) , (1), llegamos
a obtener los valores de x1 , x2 , x3 , ... , xn-1 , xn.
Pued darse el caso en que la última ecuación del sistema S´ sea: 0 x n = d n con d n ≠ 0
xn , es decir, el sistema no tiene
En este caso, no existe ningún valor posible para
solución (es incompatible).
Ejemplo 27. A: 4 x + 3y = − 5
 B : 5x − 2 y = 9
Vamos a resolver por el método de Gauss el sistema S : 
Veamos:
L
Multiplico la primera ecuación por 5 y la segunda por 4. Obtengo otro sistema
S1
 A1 : 20 x + 15 y = − 25
S1 : 
 B1 : 20 x − 8 y = 36
’
A la segunda ecuación de S1 le resto la primera. Obtengo S2
 A2 : 20 x + 15 y = − 25
S2 : 
− 23 y = 61
 B2 :
’
’
S ] S1
S ⇔ S1 ⇔ S 2
− 61
23
Substituimos el valor de y en la ecuación A2 y despejamos x :
− 61
915
340
340
17
A2 : 20 x + 15 ⋅
= − 25 ; 20 x = − 25 +
; 20 x =
; x=
; x=
23
23
23
23 ⋅ 20
23
Despejamos la incógnita y en la ecuación B2 : y =
Conclusión : La solución del sistema S es :
x=
17
− 61
; y=
23
23
Matemáticas de 2º de bachillerato
S
Página 27
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Una forma mas “elegante” de encontrar la solución es llegar a un sistema de S
equivalente al dado cuya expresión sea:
 x1 + b12 x 2 + b13 x 3 + L + b1( n −1) xn −1 + b1n x n = d1

x2 + b22 x 3 + L + b2 ( n −1) x n −1 + b2 n x n = d 2


x 3 + L + b3( n −1) x n −1 + b3n x n = d 3
S: 
 LLLLLLLLLLLLLLLLLLL

x n −1 + b( n −1) n x n = d n −1


xn = d n
De este modo tenemos el valor de xn ( xn = dn) en la última ecuación y “subiendo” en las
ecuaciones vamos obteniendo los valores de xn&1 ; xn&2 ; þ ; x2 ; x1, siendo los
coeficientes de los x1 , x2 , x3 , ... , xn&1 , xn iguales a 1.
Ejemplo 28.Resolver por el método de Gauss el sistema:
 A: x + 4 y − 2z = 8

S :  B : 3x − y + 5z = 10
 C : 2 x + 3y − 2z = − 6

Veamos:
 A1 = A

S1:  B1 = B − 3 A
 C = C − 2A
 1
 A1: x + 4 y − 2 z = 8

S1:  B1: − 13 y + 11z = − 14
 C : − 5 y + 2 z = − 22
 1
4
Construimos el sistema
:
4
 A2 = A1

−1
Construimos el sistema S 2 :  B2 = 13
B1 :

−1
 C2 = 5 C1
4
 A3 = A2

Construimos el sistema S 3 :  B3 = B2
:
C = C − B
2
2
 3
4
A = A
3
 4
Construimos el sistema S 4 :  B4 = B3
:

65
 C4 = 29 C3
 A2 : x + 4 y − 2 z = 8

11
S 2 :  B2 :
y − 13
z = 14
13

2
22
y− 5 z = 5
 C2 :
 A3 : x + 4 y − 2 z = 8

11
S 3 :  B3 :
y − 13
z = 14
13

29
216
65 z = 65
 C3 :
 A4 : x + 4 y − 2 z = 8

11
S 4 :  B4 :
y − 13
z = 14
13

216
z = 29
 C4 :
Como se verifica que S ⇔ S1 ⇔ S 2 ⇔ S 3 ⇔ S 4 y estamos en condiciones de resolver S4 :
 C4 → z = 216
29

11 216
2782
Re solvemos S 4 :  B4 → y = 14
13 + 13 ⋅ 29 → y = 377

2782
216
 A4 → x = 8 − 4 ⋅ 377 + 2 ⋅ 29 → x = −
192
29
Página 28
Matemáticas de 2º de bachillerato
Por tanto, la solución del sistema S es :
x= −
Sistemas de Ecuaciones Lineales
192
2782
216
; y=
; z=
29
377
29
El proceso anterior puede realizarse de un modo más reducido utilizando únicamente los
coeficientes de las ecuaciones, esto es, sin poner las incógnitas y utilizando expresiones de tipo
matricial de tal modo que vamos realizando transformaciones de líneas hasta alcanzar una matriz
triangular con todo los términos que están debajo de la diagonal principal iguales a cero.
Es decir:
K
Partimos de una matriz del tipo:
 a11

 a 21
a
 31
L
a
 n1
K
a12
a 22
a 32
L
an2
L
L
L
L
L
a1n
a2n
a 3n
L
a nn
c1 

c2 
c3 

L
cn 
Realizando transformaciones en filas (equivalentes a las transformaciones que hacíamos
en las ecuaciones), llegamos a una matriz del tipo:
 1 b12

0 1
0 0

L L
0 0

K
a13
a 23
a 33
L
an3
b13
b23
1
L
0
L b1n
L b2 n
L b3n
L L
L 1
d1 

d2 
d3 

L
d n 
Es decir, los términos de la diagonal principal son iguales a 1 y los que están por debajo
de ella son iguales a 0.
La matriz anterior es equivalente al sistema:
 x1 + b12 x 2 + b13 x 3 + L + b1( n −1) xn −1 + b1n x n = d1

x2 + b22 x 3 + L + b2 ( n −1) x n −1 + b2 n x n = d 2


x 3 + L + b3( n −1) x n −1 + b3n x n = d 3
S: 
 LLLLLLLLLLLLLLLLLLL

x n −1 + b( n −1) n x n = d n −1


xn = d n
K
K
el cual se resuelve como explicamos anteriormente.
La línea vertical que ponemos en las matrices es simplemente para separar los
coeficientes de las incógnitas (parte izquierda de la igualdad) de los términos
independiente (parte derecha de la igualdad).
Para realizar las transformaciones de filas en las matrices, emplearemos la siguiente
terminología:
Página 29
Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
& i le sumo la ecuacion
& k)
Fi + Fk : A la fila i le sumo la fila k (a la ecuacion
& i le resto la ecuacion
& k)
Fi − Fk : A la fila i le resto la fila k (a la ecuacion
Fi ⋅ α : La fila i la multiplico por α (la ecuacion i la multiplico por α )
Fi ± α ⋅ Fk : A la fila i le sumo o resto el producto de la fila k por α (etc.)
Veamos un ejemplo:
Ejemplo 29. 2 x + 5 y − 3z = 9

Resolver por el método de Gauss el sistema S :  3x + y + 4 z = − 5
 3x − 2 y + 5z = 4

Veamos:
 2 5 −3 9 
 F3 − F2

→
 3 1 4 − 5  
 3 −2 5 4 


 2 5 −3 9 
F1⋅3


F2 ⋅2
→
 3 1 4 − 5  
 0 −3 1 9 


 6 15 − 9 27 
F2 ⋅( −3)


F3 ⋅13
F3 + F2
   →  0 39 − 51 111  
→
 0 − 39 13 117


 6 15 − 9 27 
 F2 − F1

→
 6 2 8 − 10  
 0 −3 1 9 


F1⋅ 16
 6 15 − 9 27  F2 ⋅ 391

 F3 ⋅ 38−1
→
 0 39 − 51 111  
 0 0 − 38 228


 6 15 − 9 27 


 0 − 13 17 − 37
 0 −3 1 9 


 1 25 − 23 92 


37
17
 0 1 − 13 13 
 0 0 1 − 6


La última expresión (la última matriz) es equivalente al sistema :
 A1: x + 25 y − 23 z = 92

37
S1 :  B1:
y − 17
13 z = 13
C:
z = −6
 1
ya tenemos que z = − 6
Substituimos z = &6 en la ecuación B1 :
y−
Substituimos z = &6 e y = &5 en A1 : x +
5
2
Por tanto:
x = 8 ; y = &5 ; z = &6
17
13
⋅ ( − 6) =
⋅ ( − 5) −
3
2
37
13
⋅ ( − 6) =
; y=
9
2
37
13
; x=
−
9
2
+
102
13
25
2
; y= − 5
− 9 ; x= 8
es la solución del sistema S.
14.Método de Gauss-Jordan para la resolución de un sistema.El método de Gauss-Jordan es una mejora del método de Gauss visto anteriormente. En
este caso el objetivo es llegar a una matiz en la que la diagonal principal sean todos 1 y los
demás elementos sean 0 (nos referimos a la matriz de los coeficientes). Es decir:
Página 30
Matemáticas de 2º de bachillerato
L
Partiendo del sistema:
 a11

 a 21
a
 31
L
a
 n1
L
Sistemas de Ecuaciones Lineales
a12
a 22
a 32
L
an2
a13
a 23
a 33
L
an3
L
L
L
L
L
c1 

c2 
c3 

L
cn 
a1n
a2n
a 3n
L
a nn
Queremos llegar a :
 1 0 0 L 0 d1 


 0 1 0 L 0 d2 
0 0 1 L 0 d 
3


 L L L L L L
0 0 0 L 1 d 

n
L
Expresión que equivale a la solución del sistema, es decir:
x1 = d1
x2 = d 2
M
xn = d n
Veamos un ejemplo:
Ejemplo 30.Resolvamos por el método de Gauss-Jordan el sistema :
 A:
 B:

S: 
 C:
 D :
2 x1 − x 2 + 4 x3 − x 4 = 4
x1 + 3x 2 − 2 x3 + 3x 4 = − 5
3x1 − 2 x2 + x 3 − x 4 = 2
x1 + 2 x2 − 3x3 + 5x4 = − 4
Veamos:
 2 −1 4 −1 4 

 F − 3⋅ F
 1 3 − 2 3 − 5 F34 − F2 2
→
 3 −2 1 −1 2    


 1 2 − 3 5 − 4
−1 4 
 2 −1 4


 1 3 − 2 3 − 5  2⋅ F2 − F1
→
 0 − 11 7 − 10 17    


1 
 0 −1 −1 2
−3 3 
2 0 5


 0 7 − 8 7 − 14 7⋅ F4 + F2
→
 0 0 18 − 32 6    


1 
 0 −1 −1 2
2

0
0

0
−3
3 

7 −8
7 − 14 FF34 ⋅⋅56

→
0 18 − 32 6 

0 − 15 21 − 7 
0
5
−1 4 
 2 −1 4

 F −F
 0 7 − 8 7 − 14 F13 −114⋅F4
 0 − 11 7 − 10 17     →


1 
 0 −1 −1 2
2

0
0

0
−3
3 

7 −8
7 − 14 F4 + F3
  →
0 90 − 160 30 

0 − 90 126 − 42
0
5
Página 31
Matemáticas de 2º de bachillerato
2

0
0

0
 36

 0
 0

 0
1

0
0

0
0 5
−3
3 

7 −8
7 − 14 F1⋅18
  →
0 90 − 160 30 

0 0 − 34 − 12
0 0
1 − 87
0 1
0 0
 36

 0
 0

 0
106 24
 F −F
1 − 2 F23 + 1694⋅F4
   →
− 169 13 

1 176 
0 90 − 54
7 −8
7
0 90 − 160
0 0 − 34
 36

 0
 0

 0
 x1 = − 19
0 0 0 − 19

51
51


64
64
1 0 0 − 51 
 x2 = − 51
 ⇒ S1 :  x = 49
0 1 0 49
51 
 3 51

6
0 0 1 176 
 x4 = 17
0 0
1 − 87
0 1
0 0
54 

− 14 F1 − F3
  →
30 

− 12
Sistemas de Ecuaciones Lineales
 36

 0
 0

 0
0 24 
F1 −106⋅ F4
40 
0 − 17
 F2 + 87 ⋅ F3
    →
0 49
51

1 176 
 36

 0
 0

 0
0 0 106
7 −8
7
0 90 − 160
0 0 − 34
0
1
0
0
0
0
1
0
24  F2 ⋅ 71
 F3 ⋅ 1
− 14 F4 ⋅9034−1
  →
30 

− 12

0 − 228
17

64
0 − 51  F1⋅ 361
   →
0 49
51 
1 176 
& del sistema S .
solucion
Puede ocurrir que al intentar resolver el sistema por el método de Gauss o Gauss-Jordan,
nos encontremos con una fila en la que todos los elementos son ceros, excepto el término
independiente, es decir:
 1 0 0 L 0 d1 


 L L L L L L
 0 0 0 L 0 k  con k ≠ 0


 L L L L L L
 0 0 0 L 1 d 

n
Dicha fila se interpreta como la ecuación 0 x1 + 0 x2 + L+ 0 xn = k (con k ≠ 0) , la
cual puede apreciarse que no tiene ninguna solución, esto es, no existen valores para los xi que
hagan verdadera esa igualdad. Por tanto, en este caso, el sistema no tiene solución.
Veamos un ejemplo:
Ejemplo 31.Resolvamos por el método de Gauss-Jordan el sistema:
 2 x − 4 y + 3z = 6

S :  3x + 2 y − z = − 3
 3x − 14 y + 10z = 15

Veamos:
 2 −4 3 6 
 2 − 4 3 6  F ⋅3  6 − 12 9 18

 F3 − F2 
 F12 ⋅2 
 F2 − F1
3
2
−
1
−
3
3
2
1
3
6
4
2
6


→
−
−



→
−
−





   →
 3 − 14 10 15
 0 − 16 11 18
 0 − 16 11 18






Página 32
Matemáticas de 2º de bachillerato
 6 − 12 9 18 
 6 − 12 9

 F3 + F2 
 0 16 − 11 − 24   →  0 16 − 11
 0 − 16 11 18 
0 0
0



Ninguna terna de valores x, y, z verifican esta
Sistemas de Ecuaciones Lineales
18 

− 24 ⇒ 0 x + 0 y + 0z = − 6
− 6 
ecuación. Por tanto, el sistema S es
incompatible, es decir, no tiene solución.
15.Método de Cramer para la resolución de un sistema.El método de Cramer se aplica para la resolución de cierto tipo de sistemas de ecuaciones
lineales. Antes de aplicar el método veremos en qué casos es aplicable.
15.1.Sistema de Cramer.Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es de Cramer, si el número de ecuaciones
es igual al número de incógnitas y el determinante de la matriz de los coeficientes (que será una
matriz cuadrada) es distinto de cero.
Es decir:
(1): a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + L+ a1n xn = c1 
(2): a 21 x1 + a 22 x2 + a 23 x3 + L+ a 2 n xn = c2 
 S nº ecuaciones = nº incognitas = n
LLLLLLLLLLLLLLLLL 
(n): a n1 x1 + a n 2 x2 + a n 3 x3 + L+ a nn xn = cn 
 a11

 a 21
con A =
L

 a n1
a12
a 22
L
an2
L a1n 

L a2n 
como matriz de los coeficientes.
L L

L a nn 
Pues bien:
S es sistema de Cramer ]*A*…0
Recordemos (ver tema “Matrices y Determinantes”) que si el determinante de una matriz
cuadrada es distinto de cero, entonces el rango de esa matriz es igual al número de filas (y de
columnas). Es decir:
*A*…0 ] Rango A = n
Por tanto:
S es sistema de Cramer ] *A*…0 ] Rango A = n
No olvidar que un sistema para ser de Cramer debe cumplir como primera condición que
el número de ecuaciones sea igual al número de incógnitas.
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejemplo 32. − x1 + 3x 2 + x 3 − 4 x 4 − 2 x5 = 9

El sistema S:  3x1 + 45 x 2 + x 3 − 5x 4 + x5 = 0

7 x2
+ 5x 4
= −4

no es de Cramer porque:
número de ecuaciones = 3 … 5 = número de incógnitas.
Ejemplo 33. x − 4 y + 3z = 6

Veamos si el sistema S:  2 x + 4 y + 2 z = − 3
 x − 16 y + 7 z = 21

es de Cramer:
número de ecuaciones = número de incógnitas = 3
Puede ser de Cramer.
Consideremos la matriz de los coeficientes:
 1 − 4 3


A =  2 4 2


 1 − 16 7
Entonces: S es sistema de Cramer ]*A*…0
Hallemos el determinante de la matriz A (lo hacemos por la regla de Sarrus):
1
−4
3
A = 2 4 2 = 28 − 96 − 8 − 12 + 32 + 56 = 116 − 116 = 0
1 − 16 7
Conclusiones: El sistema S no es de Cramer
RangoA…3
Una fila de la matriz A es combinación lineal de las otras dos.
Una ecuación de S es combinación lineal de las otras dos.
Ejemplo 34. 2 x − 4 y + z = 15

Veamos si el sistema S:  x + 3 y − 5z = 6
 − x + y + 2z = − 4

es de Cramer:
número de ecuaciones = número de incógnitas = 3
Puede ser de Cramer.
 2 −4 1 


Consideremos la matriz de los coeficientes: A =  1 3 − 5


 −1 1 2 
Entonces: S es sistema de Cramer ]*A*…0
Hallemos el determinante de la matriz A (lo hacemos por la regla de Sarrus):
* A* = 12 + 1 &20 + 3 + 10 + 8 = 22 … 0 Y S es de Cramer
También se deduce que RangoA = 3 = nº ecuaciones = nº incógnitas.
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
15.2.Resolución de un sistema de Cramer. Regla de Cramer.Quede claro que un sistema de Cramer puede resolverse por el método de Gauss. Otro
método para resolver este tipo de sistemas es el método o regla de Cramer. Veamos:
Supongamos un sistema de Cramer de n ecuaciones con n incógnitas:
(1): a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n xn = c1 
a11 a12 L a1n

(2): a 21 x1 + a 22 x2 + L + a 2n x n = c2 
a 21 a 22 L a 2 n
≠ 0
 S con A =
LLLLLLLLLLLLLL 
L L L L
(n): a n1 x1 + a n 2 x2 + L + a nn x n = cn 
a n1 a n 2 L a nn
Resolver este sistema consiste en encontrar los n valores x1 , x2 , x3 ÿÿ , xn que hacen
verdaderas las n igualdades.
Expresemos el sistema matricialmente: A·X = C
 a11

 a 21
L

 a n1
a12
a 22
L
an2
L a1n   x1   c1 
    
L a 2 n   x2   c2 
⋅
=
L L  M   M 
    
L a nn   xn   cn 
Como A es una matriz cuadrada y *A*…0, podemos asegurar que existe A&1.Esto
significa que podemos resolver el sistema matricialmente, es decir, despejar X :
X = A&1· C
En forma desarrollada:
 A11
 x1   A
   A12
 x2   A
 M = L
  A
 x n   1n
 A
A21
A
A22
L
L
An1

A 
An 2 

L L L
An 2
Ann 

L
A
A 
A
A
 A11
 c1 

 
1  A12
 c2 
⋅  =
M
A  L

 
 A1n
 cn 
An1 

L An 2 
L L

L Ann 
A21 L
A22
L
A2 n
Operando matricialmente deducimos que:
n
x1 =
c1 ⋅ A11 + c2 ⋅ A21 + c3 ⋅ A31 + L + cn ⋅ An1
A
=
∑ ci ⋅ Ai1
i =1
A
n
x2 =
c1 ⋅ A12 + c2 ⋅ A22 + c3 ⋅ A32 + L + cn ⋅ An 2
A
=
∑ ci ⋅ Ai 2
i =1
A
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
n
xn =
c1 ⋅ A1n + c2 ⋅ A2 n + c3 ⋅ A3n + L + cn ⋅ Ann
A
=
∑ ci ⋅ Ain
i =1
A
 c1 
 
 c2 
⋅ 
M
 
 cn 
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 35
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Fijémonos en el numerador de x1: c1 ⋅ A11 + c2 ⋅ A21 + c3 ⋅ A31 + L + cn ⋅ An1
Resulta que coincide con el siguiente determinante:
c1
c2
a12
a 22
D1 = c3 a 32
L L
cn
an2
a13 L a1n
a 23 L a 2n
n
a 33 L a 3n = Desarrollando por columna 1 = ∑ ci ⋅ Di1
i =1
L L L
a n 3 L a nn
Ahora bien, observa que D11 = A11 ; D21 = A21 ; D31 = A31 ; LL; Dn1 = An1 ,
siendo A11 ; A21 ; A31 ;LL; An1 los adjuntos de los elementos de la primera columna de la
matriz de los coeficientes A.
n
Del mismo modo resulta que el numerador de x2 : ∑ ci ⋅ Ai 2 , coincide con el
i =1
determinante:
a11 c1 a13
a 21 c2 a 23
D2 = a 31 c3 a 33
L L L
a n1 cn a n3
L a1n
L a2n
n
L a 3n = Desarrollando por columna 2 = ∑ ci ⋅ Di 2
i =1
L L
L a nn
Ahora bien, observa que D12 = A12 ; D22 = A22 ; D32 = A32 ; LL; Dn 2 = An 2 ,
siendo A12 ; A22 ; A32 ;LL; An 2 los adjuntos de los elementos de la segunda columna de
la matriz de los coeficientes A.
n
Igualmente, el numerador de x3 :
a11
a 21
a12
a 22
D3 = a 31
L
a n1
a 32
L
an2
∑ ci ⋅ Ai 3 , coincide con el determinante :
i =1
c1 L a1n
c2 L a 2 n
n
c3 L a 3n = Desarrollando por columna 3 = ∑ ci ⋅ Di 3
i =1
L L L
cn L a nn
Ahora bien, observa que D13 = A13 ; D23 = A23 ; D33 = A33 ; LL; Dn 3 = An 3 ,
siendo A13 ; A23 ; A33 ;LL; An 3 los adjuntos de los elementos de la tercera columna de la
matriz de los coeficientes A.
n
Así sucesivamente hasta llegara que el numerador de xn :
∑ ci ⋅ Ain , coincide con:
i =1
Matemáticas de 2º de bachillerato
a11
a 21
Dn = a 31
L
a n1
Página 36
Sistemas de Ecuaciones Lineales
a12
a 22
a 32
a13 L c1
a 23 L c2
n
a 33 L c3 = Desarrollando por columna n = ∑ ci ⋅ Din
i =1
L L L L
a n 2 a n 3 L cn
Ahora bien, observa que D1n = A1n ; D2 n = A2 n ; D3n = A3n ; LL; Dnn = Ann ,
siendo A1n ; A2 n ; A3n ;LL; Ann los adjuntos de los elementos de la última columna de la
matriz de los coeficientes A.
En resumidas cuentas: “La solución del sistema podemos obtenerla aplicando las
siguientes fórmula para cada una de las incógnitas”
x1 =
x2 =
x3 =
D1
A
D2
A
D3
A
D1 se obtiene de substituir la columna 1 de A por la matriz de los términos independientes
D2 se obtiene de substituir la columna 2 de A por la matriz de los términos independientes
D3 se obtiene de substituir la columna 3 de A por la matriz de los términos independientes
þþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþþ
xn =
Dn
A
Dn se obtiene de substituir la columna n de A por la matriz de los términos independientes
Obsérvese como es imprescindible la condición de que * A *…0.
Ejemplo 35. 6x − 5y = 8
Sea el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas S: 
 3x + 4 y = − 9
Intentemos resolverlo por el método de Cramer.
Veamos:
&
nº ecuaciones = nº deincognitas
= 2

6 −5
 ⇒ S es de Cramer.
A =
= 24 + 15 = 39 ≠ 0 
3 4

Podemos resolver por dicho método:
x=
8 −5
−9 4
A
=
32 − 45 − 13
1
=
=−
39
39
3
;
Por tanto, el sistema tiene como única solución
y=
6 8
3 −9
A
x= −
=
− 54 − 24 − 78
=
=−2
39
39
1
; y= − 2
3
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejemplo 36.Consideremos el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
 x − 3y + z = − 5

S:  4 x
+ 2z = 8
 − 5 y + 3z = − 6

 1 − 3 1


siendo A =  4 0 2


 0 − 5 3
Queremos saber si es de Cramer y, encaso afirmativo, resolverlo por este método.
Veamos:
Î
nº de ecuaciones = nº de incógnitas = 2 Y Puede ser de Cramer.
Ï
1 −3 1
A = 4 0 2 = 0 − 20 + 0 − 0 + 10 + 36 = 26 ≠ 0
0 −5 3
Conclusión: El sistema S es de Cramer.
Resolvamos:
−5 −3 1
8
x=
0
2
−6 −5 3
=
A
0 − 40 + 36 − 0 − 50 + 72 18 9
=
=
26
26 13
1 −5 1
4
y=
8
2
0 −6 3
A
=
24 − 24 + 0 − 0 + 12 + 60 72 36
=
=
26
26 13
1 −3 −5
z=
4 0 8
0 −5 −6
A
=
0 + 100 + 0 − 0 + 40 − 72 68 34
=
=
26
26 13
Conclusión: La única solución del sistema S es x =
9
13
; y=
36
13
; z=
34
13
Ejemplo 37.Resolvamos el sistema:
+ 2 x4 = 1
 1 −1 0 2 
 x1 − x 2



x2 − 4 x3
=−2
0
1
−
4
0



S :
. En este caso A = 

x
x
x
2
+
−
=
0
2
0
1
−
1
3
4
 1


 2 x1
+ 3x 4 = 4
2 0 0 3
Observamos que nº de ecuaciones = nº de incógnitas = 4, es decir, puede ser de Cramer.
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Hallemos el determinante de A:
1 −1 0 2
0 1 −4 0
A =
2 0 1 −1
2
0
0
1 −1 0 2
1 −4 0
0 1 −4 0
= 1 ⋅ A11 = 2 1 − 5 = − 1 + 40 − 8 = 31 ≠ 0
0 2 1 −5
2 0 −1
0 2 0 −1
F3 − 2⋅ F1
F4 − 2⋅ F1
}
=
3
Por tanto, el sistema S es de Cramer.
Para resolverlo, necesitamos hallar los determinantes *B* , *D* , *E* y *F* :
1 −1 0 2
−2 1 −4 0
B =
0 0 1 −1
4 0 0 3
1
1
0
2
0 −2 −4 0
D =
2 0
1 −1
2 4
0 3
1 −1 1 2
0 1 −2 0
E =
2 0 0 −1
2
0
4
}
=
C2 − C1
C4 − 2⋅C1
}
=
C3 + 2⋅C2
}
=
3
1 −1 0
1
0 1 −4 −2
F =
2 0 1
0
2 0 0 4
1 0 0 0
−1 −4 4
−2 −1 −4 4
= 1 ⋅ B11 = 0 1 − 1 = 5 + 16 − 16 = 5
0 0 1 −1
4 0 −5
4 4 0 −5
C2 + C1
C4 − 2⋅C1
C4 − 2⋅C1
}
=
1
0
0
0
−2 −4 0
0 −2 −4 0
= 1 ⋅ D11 = − 2 1 − 5 = 2 + 40 + 8 = 50
2 −2 1 −5
2
0 −1
2 2
0 −1
1 −1 −1 0
1 −1 0
0 1 0 0
= 1 ⋅ E 22 = 2 0 − 5 = 10 + 20 − 2 = 28
2 0 0 −5
2 4 −1
2 0 4 −1
1 −1 0 −1
−1 0 −1
0 1 −4 −2
5
= 2 ⋅ F41 = 2 ⋅ ( − 1) .ϕ 41 = − 2 ⋅ 1 − 4 − 2 = 38
2 0 1 −4
0 1 −4
2 0 0
0
Por tanto:
x1 =
B
A
=
5
; x2 =
31
D
A
=
50
31
; x3 =
E
A
=
28
31
; x4 =
La solución del sistema es:
x1 =
5
50
28
38
; x2 =
; x3 =
; x4 =
31
31
31
31
Comprobemos:
38 5 − 50 + 76 31
 5 50
2
−
+
⋅
=
=
=1
 31 31
31
31
31

28
50 − 112
50
− 62

− 4⋅
=
=
= −2

31
31
31
31
S :
28 38
10 + 28 − 38 0
 2⋅ 5
+
−
=
=
=0
 31
31 31
31
31

38 10 + 114
124
5
 2⋅
+ 3⋅
=
=
=4
31
31
31
 31
F
A
=
38
31
Página 39
Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
16.Teorema de Rouché.Consideremos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
(1): a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + LL + a1n xn = c1
(2): a 21 x1 + a 22 x2 + a 23 x3 + LL + a 2 n xn = c2
(3): a 31 x1 + a 32 x2 + a 33 x3 + LL + a 3n x n = c3
LLLLLLLLLLLLLLLLL
(m): a m1 x1 + a m2 x2 + a m3 x3 + LL + a mn xn = cm
Matricialmente es:
 a11 a12 a13

 a 21 a 22 a 23
 a 31 a 32 a 33

M
M
 M

 a m1 a m2 a m3
L a1n   x1   c1 
    
L a 2 n   x2   c2 
L a 3n  ⋅  x3  =  c3 
    
M
M   M  M
    
L a mn   xn   cm 



 S Sistema de orden m × n.



Abreviadamente: A ⋅ X = C
Recordemos:
 a11

 a 21
A =  a 31

L

 a m1
 a11

 a 21
A∗ =  a 31

L

 a m1
a12
a 22
a 32
L
a13
a 23
a 33
L
a m2
a m3
L a1n 

L a2n 
L a 3n  es la matriz de los coeficientes.

L L

L a mn 
a12
a13
L a1n
a 22
a 32
L
a m2
a 23
a 33
L
a m3
L a 2n
L a 3n
L L
L a mn
c1 

c2 
c3  es la matriz ampliada.

L

cm 
El teorema de Rouché dice lo siguiente:
La condición necesaria y suficiente para que un sistema S de m ecuaciones
con n incógnitas sea compatible (tenga solución) es que el rango de la
matriz de los coeficientes sea igual al rango de la matriz ampliada.
Es decir:
S es compatible ⇔ Rango A = Rango A∗
Nota: Recuérdese que el rango de una matriz es igual al número de filas (o de
columnas) linealmente independientes.
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 40
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Demostración:

Demostremos que: S compatible Y Rango A = Rango A*
r
S compatible Y S tiene solución Y › s = ( s1 , s2 , s3 ,K , sn ) tal que:
(1): a11 s1 + a12 s2 + a13 s3 + LL + a1n sn = c1
(2): a 21 s1 + a 22 s2 + a 23 s3 + LL + a 2 n sn = c2
(3): a 31 s1 + a 32 s2 + a 33 s3 + LL + a 3n sn = c3
LLLLLLLLLLLLLLLLL
(m): a m1 s1 + a m2 s2 + a m3 s3 + LL + a mn sn = cm



 se verifican las m igualdades. ⇒



Y La última columna de A* es combinación lineal de las otras n, es decir:
c1
c2
M
a11
& lineal de
es combinacion
cm
a 21
M
a m1
a12
,
a 22
M
a m2
a13
,
a 23
M
a m3
a1n
, KK ,
a2n
M
⇒
a mn
Y Si en la matriz A* eliminamos la última columna, obtenemos otra matriz (A) que
tiene el mismo rango Y Rango A* = Rango A c.q.d.

Demostremos que: Rango A = Rango A* Y S compatible
Si Rango A = Rango A* = r ( r # m y r # n) Y En las matrices A y A* existen un
menor en cada una que es de orden r y con valor …0, siendo todos los menores de orden
superior (orden > r) iguales a 0. Y (supongamos, por comodidad, que el menor de orden
r distinto de cero es el principal Mr ):
a11
a 21
M r = a 31
L
a r1
a12
a 22
a 32
L
ar 2
a13 L a1r
 todos los menores de orden r + 1
a 23 L a 2 r

a 33 L a 3r ≠ 0 y  formados por M r y las demas
&
 filas son iguales a cero.
L L L

a r 3 L a rr
Y Las filas r+1, r+2, r+3, .... , m de la matriz A* son combinación lineal de las r
primeras Y Las ecuaciones (r+1) , (r+2) , (r+3) , .... , (m) del sistema S son
combinación lineal de las r primeras Y Si eliminamos las ecuaciones (r+1) , (r+2) ,
(r+3) , .... , (m) del sistema S, obtenemos otro sistema S1 equivalente al anterior :
(1): a11 x1 + a12 x 2 + a13 x 3 + LL + a1n x n = c1 

(2): a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + LL + a 2 n x n = c2 
  sistema de r ecuaciones con
(3): a 31 x1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + LL + a 3n xn = c3  S1 
&
equivalente a S .
 n incognitas
LLLLLLLLLLLLLLLLL 

(r ): a r1 x1 + a r 2 x 2 + a r 3 x 3 + LL + a rn x n = cr 
Matemáticas de 2º de bachillerato
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Vamos a llamar incógnitas principales a x1 , x2 , x3 , ÿ , xr e incógnitas no principales o
secundarias a xr+1 , xr+2 , xr+3 , ÿ , xn . Todas las incógnitas secundarias, con sus coeficientes,
las pasamos al segundo miembro de cada ecuación, es decir:
(1): a11 x1 + a12 x 2 + L + a1r x r = c1 − a1( r +1) x r +1 − a1( r + 2) xr + 2 − L − a1n x n 

(2): a 21 x1 + a 22 x2 + L + a 2 r x r = c2 − a 2 ( r +1) xr +1 − a 2( r + 2 ) xr + 2 − L − a 2n xn 

(3): a 31 x1 + a 32 x 2 + L + a 3r x r = c3 − a 3( r +1) x r +1 − a 3( r + 2 ) xr + 2 − L − a 3n xn  S1

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL 
(r ): a r1 x1 + a r 2 x2 + L + a rr xr = cr − a r ( r +1) xr +1 − a r ( r + 2 ) x r + 2 − L − a rn x n 
No olvidar que S1 es equivalente a S, es decir, tiene las mismas soluciones.
Damos a las incógnitas secundarias valores arbitrarios, es decir, les damos los valores que
queramos. Supongamos que:
xr+1= sr+1 ; xr+2 = sr+2 ; xr+3 = sr+3 ; ÿ ; xn = sn (sr+1 , sr+2 , sr+3 , ÿ , sn son números)
Entonces, el sistema S1 quedará (le llamamos S2 )
(1): a11 x1 + a12 x2 + L + a1r xr = k1 

(2): a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2r x r = k 2 

&
.
(3): a 31 x1 + a 32 x2 + L + a 3r xr = k 3  S 2 sistema de r ecuaciones con r incognitas

LLLLLLLLLLLLLL

(r ): a r1 x1 + a r 2 x2 + L + a rr xr = k r 
siendo k1 , k2 , k3 , ÿ , kr números.
El sistema S2 , de r ecuaciones con r incógnitas (x1 , x2 , x3 , ÿ , xr) es de Cramer ya que
el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas y además la matriz de los
coeficientes es distinta de cero, ya que:
a11
a12
a13 L a1r
a 21
Determinante de la Matriz 
 = M r = a 31
de los coeficientes de S 2 
L
a 22
a 32
L
a 23 L a 2 r
a 33 L a 3r ≠ 0
L L L
ar1
ar 2
a r 3 L a rr
De lo anterior deducimos que el sistema S2 tiene solución, es decir:
x1 = s1 ; x2 = s2 ; x3 = s3 ; ÿ ; xr = sr (s1, s2, s3, ÿ , sr son números)
verifican las r igualdades del sistema S2 y, por tanto, verifican las r igualdades de sistema
S1 (equivalente a S), lo cual significa que los n valores:
x1 = s1 ; x2 = s2 ; x3 = s3 ; ÿ ; xr = sr ; xr+1= sr+1 ; xr+2 = sr+2 ; xr+3 = sr+3 ; ÿ ; xn = sn
son una solución del sistema S1 y, por tanto, también forman una solución de S. Es decir,
el sistema S tiene solución. c.q.d.
Conclusión:
S es compatible ⇔ Rango A = Rango A∗
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 42
Sistemas de Ecuaciones Lineales
16.1.Observaciones y consecuencias del teorema de Rouché.Tras la demostración del teorema de Rouché, debemos realizar las siguientes
observaciones:
Î
r
Hemos visto que una solución del sistema S sería s = ( s1 , s2 , s3 ,K , sr , sr +1 , sr + 2 ,K , sn )
Ï
donde sr+1 , sr+2 , sr+3 , ÿ , sn son valores arbitrarios (valores elegidos por nosotros) dados
a las variables xr+1 , xr+2 , xr+3 , ÿ , xn , mientras que los valores s1, s2, s3, ÿ , sr se
obtiene posteriormente al resolver el sistema S2.
Si damos otros valores distintos de los anteriores a las incógnitas no principales, es decir:
xr+1= tr+1 ; xr+2 = tr+2 ; xr+3 = tr+3 ; ÿ ; xn = tn
obtendremos nuevos valores para las incógnitas principales, esto es:
Ð
Ð
x1 = t1 ; x2 = t2 ; x3 = t3 ; ÿ ; xr = tr
r
siendo t = (t1 , t 2 , t 3 ,K , t r , t r +1 , t r + 2 ,K , t n ) otra solución del sistema S.
De la observación anterior deducimos que un sistema puede tener ner infinitas
soluciones, ya que para cada conjunto de valores posibles para xr+1 , xr+2 , xr+3 , ÿ , xn
(que son infinitos), obtenemos un conjunto de valores para x1 , x2 , x3 , ÿ , xr y, por tanto,
una solución del sistema S.
Hemos llamado incógnitas principales a x1 , x2 , x3 , ÿ , xr , es decir, a las r primeras.
En general no siempre es así. Las incógnitas principales son r (r = Rango A = Rango A*),
pero pueden ser, por ejemplo, x3 , x5 , x6 , x9 (En el caso que r = 4), siendo el resto
incógnitas secundarias. En cualquier caso, el determinante de la matriz de los coeficientes
que corresponda al sistema que hemos llamado S2 debe ser distinto de cero.
Conclusión final:
Supongamos un sistema S de m ecuaciones con n incógnitas. Sean A y A* las matrices de
los coeficientes y ampliada. La discusión de S consiste se resume en el siguiente cuadro:

 Rango A = Rango A ∗ = r < n ⇒ S es compatible indeterminado
 Rango A = Rango A∗ ⇒ S es compatible 
& de S 
 Rango A = Rango A∗ = n ⇒ S es compatible determinado
Discusion

 Rango A ≠ Rango A ∗ ⇒ S es incompatible
Nota: Compréndase que Rango A = Rango A* = r>n no puede ocurrir ya que el rango de una
matriz debe ser menor que el número de filas (m) y que el número de columnas (n).
Recuérdese que: Compatible determinado ] Tiene solución única
Compatible indeterminado ] Tiene infinitas soluciones
Incompatible ] No tiene solución.
Ejemplo 38. 3x − 2 y − z = 9

Discutir el sistema S :  x + 2 y + 3z = 3
 − 7 x + 10 y + 9 z = − 12

Veamos:
Se trata de averiguar si es compatible (determinado o indeterminado) o incompatible.
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 43
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Construyamos las matrices de los coeficientes (A) y ampliada (A* ):
 3 − 2 − 1


A=  1
2
3


 − 7 10 9 
 3 −2 −1 9 


A∗ =  1
2
3
3 


 − 7 10 9 − 12
Hallemos el rango de la matriz A (ver tema “Matrices y determinantes”):
Rango A = 1 o 2 o 3
3 −2
= 6 + 2 = 8 ≠ 0 ⇒ Rango A = 2 o 3
1 2




3 −2 −1
 ⇒ Rango A = 2

1 2
3 = 54 − 10 + 42 − 14 − 90 + 18 = 114 − 114 = 0 

− 7 10 9
M2 =
Hallemos el rango de la matriz A* :
&
Unicamente
debemos hallar un determinante
3
1
-2
2
9
3 = − 72 + 90 + 42 + 126 − 90 − 24 = 72 ≠ 0 ⇒ Rango A * = 3
-7 10 -12
Por tanto, Rango A … Rango A* , es decir, el sistema es incompatible (no tiene solución)
Ejemplo 39. 3x − 2 y − z = 9

Discutir el sistema S :  x + 2 y + 3z = 3
 − 7 x + 10 y + 9 z = − 21

Veamos:
 3 − 2 − 1


A=  1
2
3


 − 7 10 9 
 3 −2 −1 9 


A = 1
2
3
3  son las matrices de coeficientes y ampliada


 − 7 10 9 − 21
∗
Rango A = 2 (ver ejemplo 38)
Para hallar el rango de la matriz A* sólo necesitamos hallar un determinante:
3
1
-2
2
9
3 = − 126 + 90 + 42 + 126 − 90 − 42 = 0 ⇒ Rango A * = 2
-7 10 -21
Por tanto, Rango A = Rango A* = 2 < 3 = nº de incógnitas
Conclusión: El sistema S es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones).
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 44
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejemplo 40.Resolver el sistema del ejemplo 39 y encontrar tres soluciones concretas.
Veamos:
 3x − 2 y − z = 9

S :  x + 2 y + 3z = 3
 − 7 x + 10 y + 9 z = − 12

4
Sabemos que S es un sistema compatible indeterminado,
es decir, tiene infinitas soluciones. Vamos a determinarlas
todas y a encontrar tres de ellas.
Como el rango de A* es igual a 2 y su menor principal de orden 2 es distinto de 0,
deducimos que la tercer fila de A* es combinación lineal de las dos primeras (ver tema
“Matrices y determinantes”), es decir, la tercera ecuación de S es combinación lineal
de las dos primeras. Eliminando esa ecuación, obtenemos el sistema S1 equivalente a S.
 3x − 2 y − z = 9
S1: 
 x + 2 y + 3z = 3
S ⇔ S1
Nótese que S1 es un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas (no es de Cramer). Las
soluciones de S1 coinciden con las de S.
En este caso:
 3 − 2 − 1
 3 − 2 − 1 9
B= 
 y B* = 
 matriz de los coeficientes y ampliada.
3
3 3
1 2
1 2
4
Número de incógnitas principales = Rango A = Rango A* = 2
Número de incógnitas secundarias = 1
Elegimos como incógnitas principales a x e y. La incógnita secundaria es z.
Para poder elegir las incógnitas principales es necesario que el menor de B
correspondiente a ellas sea distinto de cero. En este caso es:
3 −2
M2 =
= 6+ 2 = 8 ≠ 0
1 2
4
En el sistema S1 pasamos la incógnita secundaria al otro miembro y la tratamos como
si fuese una constante:
 3x − 2 y = 9 + z
&
S1: 
sistema de 2 ecuaciones con 2 incognitas
.
 x + 2 y = 3 − 3z
4
Nótese que el sistema S1 es de Cramer ya que el determinante de la matriz de los
coeficientes es distinto de cero.
Resolvemos el sistema S1 por el método de Cramer:
9 + z −2
3 − 3z 2
18 + 2 z + 6 − 6 z 24 − 4 z
1
x=
=
=
= 3− z
3 −2
8
8
2
1 2
3 9+ z
1 3 − 3z 9 − 9 z − 9 − z 0 − 10z
5
y=
=
=
=− z
3 −2
8
8
4
1 2
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 45
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Para cada valor que demos a z obtenemos x e y, de tal modo que la terna obtenida es una
solución de S1, es decir:
 x = 3 − 21 λ
r
& una solucion
& de S1 y S .
z= λ⇒ 
⇒ s = (3 − 21 λ , − 45 λ , λ ) seria
5
 y = − 4 λ
El conjunto de las soluciones se expresa de la forma:
4
 x = 3 − 21 λ

& de S  y = − 45 λ
Conjunto solucion
 z= λ

&
∀ λ ∈ R λ se llama parametro
Para cada valor que demos a λ obtenemos una solución de S (infinitas soluciones).
Obtengamos tres soluciones concretas:
4
r
& .
para λ = 0 ⇒ x = 3 ; y = 0 ; z = 0 ⇒ s = (3 , 0 , 0) es una solucion
r
& .
para λ = 4 ⇒ x = 1 ; y = − 5 ; z = 4 ⇒ s = (1, − 5 , 4) es otra solucion
r
&
para λ = 1 ⇒ x = 25 ; y = − 45 ; z = 1 ⇒ s = ( 25 , − 45 ,1) es otra solucion
Ejemplo 41.-
 x1 + x 2 − x 3 + x 4 = 4

Discutir y resolver el sistema S:  2 x1 − x 2 + 3x 2 + 2 x 4 = − 1
 − 4 x + 5x − 11x − 4 x = 11
1
2
3
4

Discusión:
nº de ecuaciones = 3
 El sistema no es de Cramer
⇒ 
&
nº deincognitas
=4 
 El sistema no es compatible determinado
Hallemos los rangos de las matrices de los coeficientes (A) y ampliada (A* ):
 1 1 −1 1 


A =  2 −1 3
2


 − 4 5 − 11 − 4
 1 1 −1 1 4 


; A* =  2 − 1 3
2 − 1


 − 4 5 − 11 − 4 11
Hallemos Rango A. Es evidente que Rango A = 1 o 2 o 3.
M2 =
1 1
= − 1 − 2 = − 3 ≠ 0 ⇒ Rango A = 2 o 3
2 −1
1 1 −1
1 1 1
2 − 1 3 = 11 − 10 − 12 + 4 − 15 + 22 = 0 ; 2 − 1 2 = 4 + 10 − 8 − 4 − 10 + 82 = 0
− 4 5 − 11
−4 5 −4
Por tanto, Rango A = 2
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 46
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Hallemos Rango A*. Es evidente que Rango A*= 2 o 3.
No es necesario hacer de nuevo los determinantes anteriores. Sólo debemos hacer uno.
1 1 4
2 − 1 − 1 = − 11 + 40 + 4 − 16 + 5 − 22 = 0 ⇒ Rango A * = 2
− 4 5 11
Rango A = Rango A* = 2 < 4 = nº incógnitas
El sistema S es compatible indeterminado (infinitas soluciones).
Otras conclusiones:
a)
La tercera fila de la matriz A* es combinación lineal de las dos primeras.
b)
La tercera ecuación de S es combinación lineal de las dos primeras.
c)
Si eliminamos la tercera ecuación obtenemos otro sistema S1 equivalente a S.
Resolución:
Eliminamos la tercera ecuación de S :
Conclusión:
 x1 + x2 − x 3 + x 4 = 4
S1: 
 2 x1 − x2 + 3x2 + 2 x 4 = − 1
S1 ⇔ S
Número de incógnitas principales = Rango A= Rango A* =2 ( x1 , x2 )
Número de incógnitas secundarias = 2 (x3 , x4 ). Se consideran como números.
Pasamos las incógnitas secundarias al miembro derecho de las igualdades:
 x1 + x 2 = 4 + x 3 − x 4
S1: 
 2 x1 − x2 = − 1 − 3x2 − 2 x4
&
sistema de 2 ecuaciones con 2 incognitas
El sistema S1 es de Cramer. Lo resolvemos por este método:
x1 =
4 + x3 − x4
−1− 3 x3 − 2 x4
M2
x2 =
2 −1− 3 x3 − 2 x4
M2
1
1
−1
=
− 4 − x 3 + x 4 + 1 + 3x 3 + 2 x 4 − 3 + 2 x 3 + 3x 4 3 − 2 x 3 − 3x 4
=
=
3
−3
−3
=
− 1 − 3x 3 − 2 x 4 − 8 − 2 x 3 + 2 x 4 − 9 − 5x 3 9 + 5x 3
=
=
3
−3
−3
4 + x3 − x4
En este caso tenemos dos parámetros x3 = α y x4 = β
El conjunto de las infinitas soluciones se expresa:
3 − 2α − 3β 
x1 =

3
  Esta exp resion se llama
9 + 5α
 
x2 =
&
  ecuaciones parametricas
3
  del conjunto solucion
&
x3 = α
 

x4 = β

Otra forma de expresar el conjunto solución es:
 3 − 2α − 3β 9 + 5α

,
,α , β 



3
3
Página 47
Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Para cada par de valores α y β obtenemos una solución.
Busquemos algunas soluciones de S1 y, por tanto, de S.
α = 0
&
 ⇒ (1, 3 , 0 , 0) es una solucion
β = 0
α = 0
&
 ⇒ (0 , 3 , 0 ,1) es otra solucion
β=1
α=
β=
1
1 14
&
 ⇒ ( 3 , 3 ,1, 0) es otra solucion
0
Ejemplo 42. (1): 3x + 5 y − z = 7

Consideremos el sistema S:  (2): x − 2 y + (m − 2) z = 5 . Se pide:
 (3): 5x + (m − 2) y + z = 17

a)
¿Para qué valores de m el sistema S es incompatible?
b)
¿Para qué valores de m el sistema S es compatible determinado?
c)
¿Para qué valores de m el sistema S es compatible indeterminado?
Veamos:
3
3
−1 
5
−1
5
7
 A = matriz coeficientes




*
A =  1 − 2 m − 2 ; A =  1 − 2 m − 2 5  siendo  *




 A = matriz ampliada
1 
1
17
5 m− 2
5 m− 2
S es compatible ] Rango A = Rango A*
Hallemos el rango de la matriz A. Sabemos que Rango A = 1 o 2 o 3.
Rango A = 3 ] *A*…0
Busquemos los valores de m que hacen que *A*= 0
3
A = 1
5
−2
5 m− 2
−1
m − 2 = − 6 − m + 2 + 25 m − 50 − 10 − 3 (m − 2) 2 − 5 = 0
1
− 3m 2 + 36 m − 81 = 0 ; m 2 − 12 m + 27 = 0
m=
12 ± 144 − 108 12 ± 36 12 ± 6  m1 = 9
=
=
=
2
2
2
 m2 = 3
Conclusiones:
Î
Ï
Ð
A = − 3m2 + 36m − 81 ¡Ojo! Esta expresión no se puede simplificar.
*A*= 0 ] m = 3 o m = 9
Si m … 3 y m … 9 el sistema S es de Cramer, ya que *A*… 0. Además es compatible
Página 48
Matemáticas de 2º de bachillerato
å
Sistemas de Ecuaciones Lineales
determinado.
Si m = 3 o m = 9 el sistema no es de Cramer. No es compatible determinado, pero
puede ser compatible indeterminado.
En definitiva:
b) El sistema S es compatible determinado cuando m … 3 y m … 9.
Veamos lo que ocurre con S cuando m = 3 :
 (1): 3x + 5 y − z = 7

&
m = 3 ⇒ S:  (2): x − 2 y + z = 5 sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas
 (3): 5x + y + z = 17

En este caso:
 3 5 − 1
 3 5 −1 7 




A =  1 − 2 1  ; A* =  1 − 2 1 5 




5 1 1
 5 1 1 17
S es compatible ] Rango A = Rango A*
Hallemos el rango de A.
Está claro que Rango A= 1 o 2. No olvidar que *A*= 0 porque m = 3.
M2 =
3
5
1 −2
= − 6 − 5 = − 11 ≠ 0 ⇒ Rango A = 2
Hallemos el rango de A*
Está claro que Rango A* = 2 o 3
3
5
−1
1 −2
5 1
1 = A = 0 (recordemos que es el caso en que m = 3)
1
3
7
5
1 −2
5 = − 102 + 7 + 125 + 70 − 15 − 85 = 0
5
17
1
Por tanto, Rango A* =2
Conclusiones cuando m = 3 :
ì
Rango A = Rango A* = 2 < 3 = nº de incógnitas.
Ù
El sistema S es compatible indeterminado.
Ú
La tercer fila de A* es combinación lineal de las dos primeras. La tercera ecuación de S
es combinación lineal de las dos primeras. Si la eliminamos, obtenemos otro sistema
equivalente a S.
En definitiva:
c) El sistema S es compatible indeterminado cuando m = 3
Página 49
Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Veamos lo que ocurre con S cuando m = 9 :
 (1): 3x + 5 y − z = 7

&
m = 9 ⇒ S:  (2): x − 2 y + 7 z = 5 sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas
 (3): 5x + 7 y + z = 17

En este caso:
 3 5 − 1
 3 5 −1 7 




A =  1 − 2 7  ; A* =  1 − 2 7 5 




5 7 1
 5 7 1 17
S es compatible ] Rango A = Rango A*
Hallemos el rango de A.
Está claro que Rango A= 1 o 2. No olvidar que *A*= 0 porque m = 9.
M2 =
3
5
1 −2
= − 6 − 5 = − 11 ≠ 0 ⇒ Rango A = 2
Hallemos el rango de A*
Está claro que Rango A* = 2 o 3
3
−1
5
1 −2
5 7
3
5
71 −2
5
1
7 = A = 0 (recordemos que es el caso en que m = 9)
1
7
5 = − 102 + 49 + 125 + 70 − 105 − 85 ≠ 0
17
Por tanto, Rango A* =3
Conclusiones cuando m = 9 :
â
Rango A … Rango A*
ã
El sistema S es incompatible.
En definitiva:
a) El sistema S es incompatible cuando m = 9
Ejemplo 43.Resolver el sistema del ejemplo anterior para el caso “compatible indeterminado”
Veamos:
 (1): 3x + 5 y − z = 7

m = 3 ⇒ S:  (2): x − 2 y + z = 5 compatible indeterminado
 (3): 5x + y + z = 17

Vimos que la tercera ecuación es combinación lineal de las dos primeras. Eliminamos
Página 50
Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
esa ecuación y obtenemos un sistema S1 equivalente al anterior:
 (1): 3x + 5 y − z = 7
&
S1: 
Sistema de 2 ecuaciones con 3 incognitas
 (2): x − 2 y + z = 5
número de incógnitas principales = Rango A = Rango A* = 2
número de incógnitas secundarias = 1 ( z )
( x e y)
Pasamos la incógnita secundaria al miembro derecho de la igualdad y la tratamos como
una constante:
 (1): 3x + 5 y = 7 + z
S1: 
 (2): x − 2 y = 5 − z
&
 Sistema de 2 ecuaciones con 2 incognitas

 Es de Cramer
Resolvemos por el método de Cramer:
7+ z 5
5− z −2
− 14 − 2 z − 25 + 5z − 39 + 3z 39 3
x=
=
=
=
− z
3 5
−6 − 5
− 11
11 11
1 −2
3 7+ z
1 5− z
15 − 3z − 7 − z 8 − 4 z
8 4
=
=
=−
+ z
y=
3 5
−6 − 5
− 11
11 11
1 −2
Por tanto, las soluciones del sistema S (equivalente a S1) tiene la forma:
3
 x = 39
11 − 11 λ

r
8
4
& s=
Soluciones de S :  y = − 11
+ 11
λ o tambien
z= λ

( 3911 − 113 λ , − 118 + 114 λ , λ )
∀λ ∈ R
Para cada valor de λ obtenemos una solución de S. Por ejemplo:
λ= 0⇒ x=
39
11
; y= −
8
11
r
; z = 0 ⇒ s = ( 39
11 , −
)
8
11 , 0
&
es una solucion
Ejemplo 44. (1): (m + 2) x − 5 y + 2 z = 8

Discutir y resolver el sistema S:  (2):
− y + (m + 3) z = − 6 según los valores de m
 (3): 3x + (m − 4) y − 6z = 10

Veamos:
Se trata de averiguar para que valores de m el sistema es compatible, es incompatible y
resolverlo en los casos en que sea compatible.
)
Discusión (estudiar la compatibilidad o incompatibilidad de S ) :
S es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas y, por tanto, puede ser de Cramer.
Construyamos las matrices de los coeficientes y ampliada:
Página 51
Matemáticas de 2º de bachillerato
m+ 2
−5
2 


A=  0
−1 m + 3


m − 4 −6 
 3
Sistemas de Ecuaciones Lineales
m+ 2
−5
2
8 


−1 m + 3 −6
; A* =  0


m − 4 − 6 10 
 3
S es compatible determinado (y de Cramer) ] Rango A = Rango A* = 3 = nº de incógnitas
S es compatible indeterminado ] Rango A = Rango A* = r < 3 = nº de incógnitas
S es incompatible determinado ] Rango A … Rango A*
Analicemos el rango de la matriz A según los valores de m :
Rango A = 3 ] *A*…0
Veamos para que valores de m es *A* = 0
m+ 2
A =
0
3
−5
2
− 1 m + 3 = 6 (m + 2) − 15 (m + 3) + 6 − (m + 3) ⋅ (m − 4) ⋅ (m + 2) = 0
m − 4 −6
6m + 12 − 15m − 45 + 6 − (m 2 + 3m − 4m − 12) ⋅ (m + 2) = 0
6m + 12 − 15m − 45 + 6 − (m 3 + 2m 2 + 3m 2 + 6m − 4m 2 − 8m − 12m − 24) = 0
− m3 − m2 + 5m − 3 = 0
m3 + m2 − 5m + 3 = 0
& de tercer grado con una incognita
&
)
(ecuacion
Para resolver esta ecuación, busquemos si tiene alguna solución entera, es decir, si hay alguna
raíz entera del polinomio p(m) = m 3 + m 2 − 5m + 3
Recordemos: Si el polinomio anterior tiene alguna raíz entera (solución de la ecuación), debe
estar entre los divisores del término independiente (3)
Posibles raíces enteras de p(m) = divisores de 3 = 1, &1, 3, &3
Probemos con m = 1 : p(1) = 13 + 12 &5 ·1 + 3 = 1 + 1 & 5 + 3 = 0
Ya tenemos que m = 1 es una solución de la ecuación m 3 + m 2 − 5m + 3 = 0
Recordemos el “teorema del resto” de la división de polinomios :
“Si x = a es una raíz de un polinomio p(x), la división p(x) : x&a es exacta”
En nuestro caso, la división m 3 + m 2 − 5m + 3 : m − 1 es exacta.
Efectuamos esta división:
1
1
2
Cociente: c(m) = m + 2m & 3
1
&5
3
1
2
&3
&3
0
1
2
Resto: r = 0
3
2
Por tanto: m
+ m 22−44
5m +33 = (123
m − 1) ⋅ (1
m4
+2
2m
−3
3)
144
4
44
dividendo
divisor
cociente
Hallemos los valores que anulan al polinomio cociente, para factorizarlo:
m 2 + 2m − 3 = 0 ⇒ m =
− 2 ± 2 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 3) − 2 ± 16 − 2 ± 4  m1 = 1
=
=
= 
2
2
2
 m2 = − 3
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Deducimos que m 2 + 2m − 3 = (m − 1) ⋅ (m + 3)
(
)
En definitiva: p(m) = m 3 + m 2 − 5m + 3 = (m − 1) ⋅ m 2 + 2m − 3 = (m − 1) 2 ⋅ (m + 3)
Conclusiones:
±
m3 + m 2 − 5m + 3 = 0 ⇔ m = 1 o m = − 3
±
A = 0 ⇔ m = 1 o m = −3
S no es de Cramer ] m = 1 o m = &3
±
±
Si m …1 y m …&3 Y S es compatible determinado (de Cramer)
Veamos el caso en que m = 1 :
 (1): 3x − 5 y + 2 z = 8

m = 1⇒ S:  (2):
− y + 4 z = − 6 Sistema que sabemos no es compatible determinado
 (3): 3x − 3 y − 6z = 10

Construyamos las matrices de los coeficientes y ampliada:
 3 −5 2 


A =  0 −1 4 


 3 − 3 − 6
 3 −5 2 8 


; A* =  0 − 1 4 − 6


 3 − 3 − 6 10
S compatible ] Rango A = Rango A*
Hallemos el rango de A : Sabemos que Rango A = 1 o 2 (recuerda que para m =1 *A* = 0 )
3 −5
0 −1
= − 3 ≠ 0 ⇒ Rango A = 2
Hallemos el rango de A* : Sabemos que Rango A* = 2 o 3 (ya que Rango A* $Rango A )
3 −5
0 −1
2
3 −5 8
4 = A = 0 ; 0 − 1 − 6 = − 30 + 90 + 24 − 54 = 30 ≠ 0
3 −3 −6
3 − 3 10
*
Por tanto: Rango A = 3
Conclusiones:
Ø
Rango A … Rango A* (cuando m = 1)
Ù
Si m = 1 Y S es incompatible
Veamos el caso en que m = &3 :
 (1): − x − 5 y + 2 z = 8

m = − 3 ⇒ S:  (2):
− y
= − 6 Sistema que sabemos no es compatible determinado
 (3): 3x − 7 y − 6z = 10

Construyamos las matrices de los coeficientes y ampliada:
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Matemáticas de 2º de bachillerato
 −1 −5 2 


A =  0 −1 0 


 3 −7 −6
 −1 −5 2 8 


; A* =  0 − 1 0 − 6 


 3 − 7 − 6 10 
Sistemas de Ecuaciones Lineales
S compatible ⇔ Rango A = Rango A*
Hallemos el rango de la matriz A: Rango A = 1 o 2 (ya que *A*= 0 por ser m = &3 )
−1 −5
M2 =
= 1 ≠ 0 ⇒ Rango A = 2
0 −1
Hallemos el rango de la matriz A*: Rango A* = 1 o 2 o 3
−1 −5 2
− 1 −5
= 1 ≠ 0 ; A = 0 − 1 0 = 0 (no hace falta hacerlo, ya que m = − 3)
M2 =
0 −1
3 −7 −6
−1 −5
8
− 6 = − 10 + 90 + 24 + 42 ≠ 0 ⇒ Rango A* = 3
0
−1
3
− 7 − 10
Conclusiones:
L
Cuando m = &3 es Rango A … Rango A*
L
Si m = &3 entonces S es incompatible
De todo lo anterior se deduce que el sistema dado S, tiene solución única (compatible
determinado) para cualquier valor que demos a m distinto de &3 y 1.
)
Resolución : Veamos como sería la solución del sistema para cualquier valor de m
distinto de &3 y 1.
Resolvemos por el método de Cramer (ya que en este caso el sistema es de Cramer).
8
−6
x=
10 m − 4
m+ 2
m+ 2
−6
−5
2
8
=
48 − 12 (m − 4) − 50 (m + 3) + 20 − 8 (m − 4) (m + 3) + 180
3
2
− m − m + 5m − 3
=
− 8m2 − 54 m + 242
− m3 − m 2 + 5m − 3
2
0
−6 m + 3
3
10
−6
m+ 2
0
−5
−2
2
m+ 3
3
m− 4
−6
m+ 2
z=
2
m+ 3
−2 m + 3
m − 4 −6
0
3
y=
−5
−1
0
3
−5
=
36 (m + 2) + 24 (m + 3) + 36 − 10 (m + 3) (m + 2)
3
2
− m − m + 5m − 3
=
− 10m 2 + 10 m + 120
− m3 − m2 + 5m − 3
8
−1 −6
m − 4 10
m+ 2
0
−5
−2
2
m+ 3
3
m− 4
−6
=
− 10 (m + 2) + 90 + 24 + 6 (m − 4) (m + 2)
3
2
− m − m + 5m − 3
=
6m2 − 22m + 46
− m3 − m2 + 5m − 3
Página 54
Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Por tanto:

8 m 2 + 54 m − 242
x= 3
m + m2 − 5m + 3


10 m 2 − 10 m − 120
& unica de S  y = 3
Si m ≠ − 3 y m ≠ 1 ⇒ Solucion
m + m2 − 5m + 3


− 6 m2 + 22m − 46
 z= 3

m + m2 − 5m + 3
Ejemplo 45.Queremos resolver el sistema del ejemplo anterior para el caso en que m = 2.
Veamos:
32 + 108 − 242
102

 x = 8 + 4 − 10 + 3 = − 5
 (1): 4 x − 5 y + 2 z = 8

40 − 20 − 120 − 100


Solución :  y =
m = 2 ⇒ S:  (2):
− y + 5z = − 6
=
= − 20
5
5
 (3): 3x − 2 y − 6z = 10


− 24 + 44 − 46
26

=−
 z =
5
5
Comprobemos:
26
408
52
−408+500−52
 (1): 4 ⋅ −102
= 40
5 − 5 ⋅ ( − 20) + 2 ⋅ − 5 = − 5 + 100 − 5 =
5
5 = 8

S:  (2):
20 + 5⋅ −526 = 20 − 26 = − 6

−26
−306
−306+ 200+156 50
156
= 5 = 10
 (3): 3 ⋅ −102
5 − 2 ⋅ ( − 20) − 6 ⋅ 5 = 5 + 40 + 5 =
5
(
)
( )
17.Sistemas homogéneos.Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas se dice que es homogéneo si los términos
independientes de las m ecuaciones son ceros.
Es decir:



&
de orden m × n.
 S Sistema homgeneo


(m): a m1 x1 + a m2 x2 + a m3 x3 + LL + a mn xn = 0 
(1): a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + LL + a1n xn = 0
(2): a 21 x1 + a 22 x2 + a 23 x3 + LL + a 2 n xn = 0
(3): a 31 x1 + a 32 x2 + a 33 x 3 + LL + a 3n xn = 0
LLLLLLLLLLLLLLLLL
En este caso:
 a11 a12

 a 21 a 22
A =  a 31 a 32

L L

 a n1 a n 2
a13
a 23
a 33
L
an3
L
L
L
L
L
a1n 

a2n 
a 3n  es la matriz de los coeficientes

L

a nn 
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
 a11 a12 a13 L a1n 0 


 a 21 a 22 a 23 L a 2 n 0 
A * =  a 31 a 32 a 33 L a 3n 0  es la matriz de ampliada


 L L L L L L


 a n1 a n 2 a n 3 L a nn 0 
Matricialmente:
 a11 a12 a13 L a1n   x1   0 

    
 a 21 a 22 a 23 L a 2 n   x2   0 
 a 31 a 32 a 33 L a 3n  ⋅  x3  =  0 
siendo A * de orden m × (n + 1)

    
 L L L L L   L  L

    
 a n1 a n 2 a n 3 L a nn   xn   0 
14444
4244444
3 123 {
matriz m× m
n ×1
m×1
Ejemplo 46.Un sistema homogéneo de 3 ecuaciones con 4 incógnitas sería:


6 x1 + 29 x 2 − 4 x 3 + x 4 = 0  S

1
2
5 x1 − 3x 2 + 3 x 3 − 2 x 4 = 0 
5x1 − 2 x 2 + x 3 = 0
17.1.Propiedades de los sistemas homogéneos .De los sistema homogéneos destacamos las siguientes propiedades:
Propiedad I.- Si S es un sistema homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas, una solución
del sistema es x1 = 0 ; x2 = 0 ; x3 = 0 ; þþ ; xn = 0
En efecto:
(1): a11 ⋅ 0 + a12 ⋅ 0 2 + a13 ⋅ 0 + LL + a1n ⋅ 0 = 0
(2): a 21 ⋅ 0 + a 22 ⋅ 0 + a 23 ⋅ 0 + LL + a 2 n ⋅ 0 = 0
(3): a 31 ⋅ 0 + a 32 ⋅ 0 2 + a 33 ⋅ 0 + LL + a 3n ⋅ 0 = 0
LLLLLLLLLLLLLLLLLL
(m): a m1 ⋅ 0 + a m2 ⋅ 0 + a m3 ⋅ 0 + LL + a mn ⋅ 0 = 0



 S ( se verifican las m igualdades)



Propiedad II.-Todo sistema homogéneo es compatible (tiene solución).
En efecto, es una consecuencia de la propiedad anterior, ya que dando el valor
0 a todas las incógnitas obtenemos una solución del sistema.
Apréciese también que aplicando el teorema de Rouché llegamos a que S es
compatible, es decir:
S es compatible ] Rango A = Rango A*
En efecto, la matriz A* tiene una columna (la última) con todos los elementos 0,
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
por lo que si eliminamos esa columna obtenemos otra matriz que tiene el mismo
rango (ver tema “Matrices y determinantes”). La matriz que se obtiene es
precisamente A, por lo que Rango A = Rango A*, esto es, el sistema S es
compatible.
Propiedad III.- Si S es un sistema homogéneo y x1 = α1 ; x2 = α2 ; x3 = α3 ; þþ ; xn = αn es
una solución de S, entonces, para cualquier k0ú se verifica que :
x1 = k·α1 ; x2 =k· α2 ; x3 = k·α3 ; þþ ; xn = k·αn
también es una solución de S.
En efecto:
r
s = (α1 , α 2 , α 3 ,K , α n )



& de S ⇒ 
solucion



a11α1 + a12α 2 + a13α 3 + LL + a1nα n = 0
a 21α1 + a 22α 2 + a 23α 3 + LL + a 2 nα n = 0
a 31α1 + a 32α 2 + a 33α 3 + LL + a 3nα n = 0
LLLLLLLLLLLLLLLLL
a m1α1 + a m2α 2 + a m3α 3 + LL + a mnα n = 0
r
Veamos que si k0ú, t = k ⋅ α1 , k ⋅ α 2 , k ⋅ α 3 , K , k ⋅ α n
(
) es solución de S.
a11 ⋅ k ⋅ α1 + a12 ⋅ k ⋅ α 2 + a13 ⋅ k ⋅ α 3 + L + a1n ⋅ k ⋅ α n = k ⋅ (a11 ⋅ α1 + a12 ⋅ α 2 + a13 ⋅ α 3 + L + a1n ⋅ α n ) = k ⋅ 0 = 0



a 21 ⋅ k ⋅ α1 + a 22 ⋅ k ⋅ α 2 + a 23 ⋅ k ⋅ α 3 + L + a 2 n ⋅ k ⋅ α n = k ⋅ (a 21 ⋅ α1 + a 22 ⋅ α 2 + a 23 ⋅ α 3 + L + a 2 n ⋅ α n ) = k ⋅ 0 = 0

a 31 ⋅ k ⋅ α1 + a 32 ⋅ k ⋅ α 2 + a 33 ⋅ k ⋅ α 3 + L + a 3n ⋅ k ⋅ α n = k ⋅ (a 31 ⋅ α1 + a 32 ⋅ α 2 + a 33 ⋅ α 3 + L + a 3n ⋅ α n ) = k ⋅ 0 = 0


LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

a m1 ⋅ k ⋅ α1 + a m2 ⋅ k ⋅ α 2 + a m3 ⋅ k ⋅ α 3 + L + a mn ⋅ k ⋅ α n = k ⋅ (a m1 ⋅ α1 + a m2 ⋅ α 2 + a m3 ⋅ α 3 + L + a mn ⋅ α n ) = k ⋅ 0 = 0 

r
Observamos que se verifican las m ecuaciones, es decir, t es solución de S.
Propiedad IV.- Supongamos que x1 = s1 ; x2 = s2 ; x3 = s3 ; þþ ; xn = sn es una solución del
sistema homogéneo S y x1 = t1 ; x2 = t2 ; x3 = t3 ; þþ ; xn = tn es otra solución.
Si α y β son dos números reales cualesquiera (α,β 0ú), entonces:
x1 = α·s1 + β·t1 ; x2 = α·s2 + β·t2 ; x3 = α·s3 + β·t3 ; þþ ; xn = α·sn + β·tn
es también una solución del sistema S.
En efecto, vamos a demostrar que substituyendo las incógnitas por los valores
x1 = α·s1 + β·t1 ; x2 = α·s2 + β·t2 ; x3 = α·s3 + β·t3 ; þþ ; xn = α·sn + β·tn
se verifican todas las igualdades:




S: 




a11 ⋅ (α ⋅ s1 + β ⋅ t1 ) + a12 ⋅ (α ⋅ s2 + β ⋅ t 2 ) + a13 ⋅ (α ⋅ s3 + β ⋅ t 3 ) + LL + a1n ⋅ (α ⋅ sn + β ⋅ t n ) = (1)
a 21 ⋅ (α ⋅ s1 + β ⋅ t1 ) + a 22 ⋅ (α ⋅ s2 + β ⋅ t 2 ) + a 23 ⋅ (α ⋅ s3 + β ⋅ t 3 ) + LL + a 2n ⋅ (α ⋅ sn + β ⋅ t n ) = (2)
a 31 ⋅ (α ⋅ s1 + β ⋅ t1 ) + a 32 ⋅ (α ⋅ s2 + β ⋅ t 2 ) + a 33 ⋅ (α ⋅ s3 + β ⋅ t 3 ) + LL + a 3n ⋅ (α ⋅ sn + β ⋅ t n ) = (3)
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
a m1 ⋅ (α ⋅ s1 + β ⋅ t1 ) + a m2 ⋅ (α ⋅ s2 + β ⋅ t 2 ) + a m3 ⋅ (α ⋅ s3 + β ⋅ t 3 ) + LL + a mn ⋅ (α ⋅ sn + β ⋅ t n ) = (m)
Desarrollemos las expresiones (1) , (2), (3), ÿÿ, (m) :
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 57
Sistemas de Ecuaciones Lineales
(1) = a11 ⋅ α ⋅ s1 + a11 ⋅ β ⋅ t1 + a12 ⋅ α ⋅ s2 + a12 ⋅ β ⋅ t 2 + L+ a1n ⋅ α ⋅ sn + a1n ⋅ β ⋅ t n
(1) = a11 ⋅ α ⋅ s1 + a12 ⋅ α ⋅ s2 + L+ a1n ⋅ α ⋅ sn + a11 ⋅ β ⋅ t1 + a12 ⋅ β ⋅ t 2 + L+ a1n ⋅ β ⋅ t n
(1) = α ⋅ (a11 ⋅ s1 + a12 ⋅ s2 + L+ a1n ⋅ sn ) + β ⋅ (a11 ⋅ t1 + a12 ⋅ t 2 + L+ a1n ⋅ t n ) = α ⋅ 0 + β ⋅ 0 = 0
(2) = a 21 ⋅ α ⋅ s1 + a 21 ⋅ β ⋅ t1 + a 22 ⋅ α ⋅ s2 + a 22 ⋅ β ⋅ t 2 + L+ a 2 n ⋅ α ⋅ sn + a 2 n ⋅ β ⋅ t n
(2) = a 21 ⋅ α ⋅ s1 + a 22 ⋅ α ⋅ s2 + L+ a 2 n ⋅ α ⋅ sn + a 21 ⋅ β ⋅ t1 + a 22 ⋅ β ⋅ t 2 + L+ a 2 n ⋅ β ⋅ t n
(2) = α ⋅ (a 21 ⋅ s1 + a 22 ⋅ s2 + L+ a 2 n ⋅ sn ) + β ⋅ (a 21 ⋅ t1 + a 22 ⋅ t 2 + L+ a 2 n ⋅ t n ) = α ⋅ 0 + β ⋅ 0 = 0
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
(m) = a m1 ⋅ α ⋅ s1 + a m1 ⋅ β ⋅ t1 + a m2 ⋅ α ⋅ s2 + a m2 ⋅ β ⋅ t 2 + L+ a mn ⋅ α ⋅ sn + a mn ⋅ β ⋅ t n
(m) = a m1 ⋅ α ⋅ s1 + a m2 ⋅ α ⋅ s2 + L+ a mn ⋅ α ⋅ sn + a m1 ⋅ β ⋅ t1 + a m2 ⋅ β ⋅ t 2 + L+ a mn ⋅ β ⋅ t n
(m) = α ⋅ (a m1 ⋅ s1 + a m2 ⋅ s2 + L+ a mn ⋅ sn ) + β ⋅ (a m1 ⋅ t1 + a m2 ⋅ t 2 + L+ a mn ⋅ t n ) = α ⋅ 0 + β ⋅ 0 = 0
Es decir, los valores x1 = α·s1 + β·t1 ; x2 = α·s2 + β·t2 ; x3 = α·s3 + β·t3 ; þþ ; xn = α·sn + β·tn
verifican la m las igualdades, por lo que constituyen una solución del sistema S.
17.2.Forma de discutir un sistema homogéneo.Supongamos un sistema S homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas:



&
de orden m × n.
 S Sistema homgeneo


(m): a m1 x1 + a m2 x2 + a m3 x3 + LL + a mn xn = 0 
(1): a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + LL + a1n xn = 0
(2): a 21 x1 + a 22 x2 + a 23 x3 + LL + a 2 n xn = 0
(3): a 31 x1 + a 32 x2 + a 33 x 3 + LL + a 3n xn = 0
LLLLLLLLLLLLLLLLL
Las matrices de los coeficientes y ampliada serán:
 a11 a12 a13 L a1n 
 a11



 a 21 a 22 a 23 L a 2 n 
 a 21
A =  a 31 a 32 a 33 L a 3n  y A* =  a 31



 L L L L L
L



 a n1 a n 2 a n 3 L a nn 
 a n1
a12
a 22
a 32
L
an2
a13
a 23
a 33
L
an3
L
L
L
L
L
a1n 0 

a2n 0 
a 3n 0 

L L

a nn 0 
Hemos visto como evidente que Rango A = Rango A*.
Esto nos asegura que el sistema S es compatible. Ahora debemos averiguar si es
compatible determinado o compatible indeterminado.
Para averiguarlo utilizamos el criterio de Rouché:
L
Si Rango A = Rango A* = n = nº de incógnitas , entonces S es compatible determinado
L
Si Rango A = Rango A* = r < nº de incógnitas, entonces S es compatible indeterminado
Ejemplo 47.Queremos discutir y resolver el sistema homogéneo siguiente:
4x − 9 y = 0 
&
 S sistema de 2 ecuaciones con 2 incognitas
7 x + 13 y = 0 
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Veamos:
nº de ecuaciones = nº de incógnitas = 2 Y El sistema S puede ser de Cramer.
Hallemos el rango de la matriz de los coeficiente:
4 −9
 4 −9 
A= 
= 52 + 63 = 115 ≠ 0 ⇒ Rango A = 2
 ;
7 13
 7 13 
R a
ngo A = 2 = nº de incógnitas Y S es Cramer Y S es compatible determinado
Como S tiene solución única, esta es:
x=0 ; y=0
Ejemplo 48.-
 5x + y + 2 z = 0

Discutir y resolver el sistema S :  2 x − 4 y + z = 0
− x − 9y = 0

Veamos:
Se trata de un sistema homogéneo de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.
 5 1 2


A =  2 − 4 1


 − 1 − 9 0
 5 1 2 0


; A* =  2 − 4 1 0


 − 1 − 9 0 0
;
Rango A = Rango A *
Hallemos el rango de la matriz A : Rango A = 1 o 2 o 3
5
1
2
A = 2 − 4 1 = 0 − 36 − 1 − 8 + 45 − 0 = 0 ⇒ Rango A = 1 o 2
−1 −9 0
M2 =
5 1
= − 20 − 2 = − 22 ⇒ Rango A = 2 ⇒ Rango A* = 2
2 −4
Por tanto:
Rango A = Rango A* = 2 < 3 = nº de incógnitas
YS
es compatible indeterminado
Resolvemos:
De lo anterior deducimos que la tercera fila de A* es combinación lineal de las dos
primeras, es decir, la tercera ecuación de S es combinación lineal de las dos primeras. Eliminado
esta ecuación obtenemos otro sistema S1 que es equivalente a S.
 5x + y + 2 z = 0
&
S1 : 
sistema de 2 ecuaciones con 3 incognitas
.
x
y
z
2
−
4
+
=
0

número de incógnitas principales = Rango A = 2 ( x , y )
número de incógnitas secundarias = 1 ( z )
Página 59
Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Pasamos la incógnita secundaria a la derecha de las igualdades y la tratamos como una
constante:
 5x + y = 0 − 2 z
S1 : 
 2x − 4 y = 0 − z
;
 5x + y = − 2 z
S1 : 
 2x − 4 y = − z
Ahora podemos considerar que el sistema S1 es de Cramer. Resolvemos por este método:
− 2z
x=
5 − 2z
1
− z −4
8z + z
=
=−
5 1
− 22
2 −4
9
22
z ; y=
2 −z
− 5z + 4 z
=
=
5 1
− 22
2 −4
1
22
z
Por tanto, las infinitas soluciones del sistema vienen dadas por:
x= −
9
22
λ ; y=
1
22
λ ; z= λ
∀λ ∈ R
λ = 1 ⇒ x = − 229 ; y =
Otra solución: λ = 22 ⇒ x = − 9 ; y = 1 ; z = 22
Una solución concreta será:
1
22
; z=1
18.Los conjuntos ú2, ú3, ú4 ,þþ, ún .P
P
P
P
P
P
Sea ú el conjunto de los números reales. Recuerda que ú está formado por la unión de
los números racionales ( Q ) e irracionales ( ø), es decir: ú= Q c ø.
Supongamos dos números reales cualesquiera x e y, es decir, x,y 0ú.
A la expresión (x,y) se le llama “par ordenado”. El elemento x se llama “primera
componente del par” y al elemento y “segunda componente del par”.
Si en lugar de dos número reales tenemos tres: x, y, z 0ú, definimos la expresión (x,y,z)
como “terna ordenada”. En este caso, x es la “primera componente”, y es la “segunda
componente” y z es la “tercera componente”.
Del mismo modo obtendríamos las expresiones (x,y,z,t), (x1,x2,x3,x5) etc.
En general (x1,x2,x3,ÿ,xn) se denomina “n-tupla ordenada”
18.1.El conjunto ú2.-
Se define el producto cartesiano ú×ú como el conjunto formado por todos los pares
ordenados tales que ambas componentes son números reales. También se expresa ú×ú= ú2
Es decir:
R × R = R2 =
{ ( x, y)
x, y ∈ R
}
A los elementos de ú2 se les denominan vectores y se expresan con letras minúsculas y,
generalmente, con una “flecha” en la parte superior. Es decir:
r
u = ( x, y) o u = ( x, y)
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 60
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejemplo 49.-
( 172 , 3 − 13 ) ∈ R 2 porque 172 ∈ R
(π , 4 − 13 ) ∉ R 2 porque π ∈ R, pero
r
u=
3
y
4
− 13 ∈ R
− 13 ∉ R
18.2.El conjunto ú3.-
Se define el producto cartesiano ú×ú×ú como el conjunto formado por todas las ternas
ordenadas tales que las tres componentes son números reales.
También se expresa ú× ú×ú= ú2
Es decir:
R × R × R = R3 =
{ ( x, y, z)
x, y, z ∈ R
}
A los elementos de ú3 se les denominan vectores y se expresan con letras minúsculas y,
generalmente, con una “flecha” en la parte superior. Es decir:
r
u = ( x , y, z) o u = ( x, y , z)
Ejemplo 50.-
( 195 , 4 53 , L 4 ) ∈ R 3 porque 195 ∈ R
(tg π2 , 9 , − 7) ∉ R 3 porque tg π2 ∉ R
r
u=
,
4
53 ∈ R , L 4 ∈ R
18.3.El conjunto ú4.-
Se define el producto cartesiano ú×ú×ú×ú como el conjunto formado por todas las
4-tuplas ordenadas tales que las cuatro componentes son números reales.
También se expresa ú× ú×ú×ú= ú4
Es decir:
R × R × R × R = R4 =
{ ( x , y , z, t )
x , y , z, t ∈ R
}
A los elementos de ú4 se les denominan vectores y se expresan con letras minúsculas y,
generalmente, con una “flecha” en la parte superior. Es decir:
r
u = ( x, y, z, t ) o u = ( x, y, z, t )
Ejemplo 51.-
r
u = ( 195 , 5′ 43 , 8 , − 9 ) ∈ R 4 porque
r
o = (0 , 0 , 0 , 0) ∈ R 4 porque 0 ∈ R
18.4.El conjunto ún.-
5
19
∈ R , 5′ 43 ∈ R , 8 ∈ R , − 9 ∈ R
Se define el producto cartesiano ú×ú×ú×þþ×ú (n factores) como el conjunto formado
por todas las n-tuplas ordenadas tales que todas las componentes son números reales.
Página 61
Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
También se expresa ú×ú×ú×þþ×ú= ún
Es decir:
R
R ×2
R44
× L×3
R = Rn =
1×44
n factortes
{ ( x , x , x ,K , x )
1
2
n
3
x1 , x2 , x 3 ,K , x n ∈ R
}
A los elementos de ún se les denominan vectores y se expresan con letras minúsculas y,
generalmente, con una “flecha” en la parte superior. Es decir:
r
u = ( x1 , x 2 , x 3 ,K , xn ) o u = ( x1 , x 2 , x3 ,K , x n )
19.El conjunto de las soluciones de un sistema .S
S
Supongamos un sistema S de m ecuaciones con n incógnitas.
Hemos visto que una solución del sistema puede expresarse de alguna de las siguientes
formas:
R
Como una matriz:
 α1 
 
 α2 
X =   matriz columna o X t = (α1 α 2
M
 
 αn 
L α n ) matriz fila
Igualando las incógnita a cada valor:
R
x1 = α1 ; x 2 = α 2 ; x 3 = α 3 ; LL ; x n = α n
Como un vector de ún :
R
S
r
s = (α1 , α 2 , α 3 ,KK , α n ) ∈ R n
Las soluciones de un sistema S de m ecuaciones con n incógnitas forman un subconjunto
del conjunto ún (observa que n es el número de incógnitas). A ese subconjunto le
llamaremos con una letra mayúscula, por ejemplo C. Por tanto C dún.
En general:

S: 

n
∑ aij x j
j =1
= ci
i = 1,2,3,K , m
{ (
&
(m ecuaciones y n incognitas
)
r
Conjunto solución = C = s = α1 , α 2 , α 3 ,K , α n
)
}
α1 , α 2 , α 3 , K , α n ∈ R ⊂ R n
siendo:

S: 

R
R
n
∑ aij α j
j =1
= ci
i = 1,2,3,K , m
(m igualdades)
Si S es incompatible, entonces C = `
Si S es compatible determinado (solución única), entonces C es un conjunto
formado por un único elemento, es decir, C = { (α1 , α2 , α3 , ÿ , αn ) }dún
Página 62
Matemáticas de 2º de bachillerato
R
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Si S es compatible indeterminado (infinitas soluciones), entonces C es un
conjunto formado por infinitos elementos (infinitos vectores de ún ).
Ejemplo 52. 3x − 2 y − z = 9

Consideremos el sistema S :  x + 2 y + 3z = 3
(visto en el ejemplo 38, pag 42)
 − 7 x + 10 y + 9 z = − 12

Este sistema es incompatible (ver ejemplo 38), es decir, no tiene solución.
Significa que ò(α1, α2,α3) 0ú
3
 3 α1 − 2 α 2 − α 3 = 9

S :  α1 + 2 α 2 + 3 α 3 = 3
 − 7 α + 10 α + 9 α = − 12
1
2
3

Es decir: Conjunto solución de S = C = `
Ejemplo 53.+ 2 x4 = 1
 x1 − x 2

=−2
x2 − 4 x3

Consideremos el sistema S : 
(ver ejemplo 37, pag.37)
2
+
−
=
0
x
x
x
1
3
4

 2 x1
+ 3x 4 = 4
Vimos (ver ejemplo 37) que S de Cramer y, por tanto, compatible determinado.
5
28
38
La solución es x1 = 31
; x 2 = 50
31 ; x 3 = 31 ; x 4 = 31
El conjunto solución está formado por un único vector de ú4, es decir:
Conjunto solución de S = C =
{ sr = (
5 50 28 38
31 , 31 , 31 , 31
) }⊂ R4
Ejemplo 54. 3x − 2 y − z = 9

Consideremos el sistema S :  x + 2 y + 3z = 3
(ver ejemplos 39 y 40, pag.43)
 − 7 x + 10 y + 9 z = − 21

Vimos (ver ejemplo 39) que S compatible indeterminado (infinitas soluciones).
Vimos (ver ejemplo 40) que el conjunto solución de S depende de un único parámetro.
 x = 3 − 21 λ

& de S  y = − 45 λ
Conjunto solucion
 z= λ

&
∀ λ ∈ R λ se llama parametro
La expresión anterior significa que para cada valor que demos a λ obtenemos una
solución del sistema.
El conjunto formado por las infinitas soluciones de S puede expresarse del modo:
Página 63
Matemáticas de 2º de bachillerato
{
r
C = s = (3 −
1
2
Sistemas de Ecuaciones Lineales
}
λ , − 45 λ , λ ) λ ∈ R ⊂ R 4
Por ejemplo, para λ =&4 obtenemos la solución
(5 , 5 , − 4) ∈ C
Ejemplo 55. x1 + x2 − x3 + x4 = 4

Consideremos el sistema S:  2 x1 − x 2 + 3x 2 + 2 x 4 = − 1
(ver ejemplo 41)
 − 4 x + 5x − 11x − 4 x = 11
1
2
3
4

Vimos (ver ejemplo 41) que S es compatible indeterminado (infinitas soluciones) y que
el número de incógnitas principales es 2 (elegimos x1 y x2 ). El número de incógnitas
secundarias (parámetros) es 2 (x3 y x4).
Vimos (ejemplo 41, página 46) que el conjunto solución está dado mediante las
ecuaciones paramétricas:
3 − 2α − 3β
3
9 + 5α
x2 =
3
x3 = α
x1 =
x4 = β









 Esta expresion se llama

&
 ecuaciones parametricas
 del conjunto solucion
&

Para cada
par de valores que demos a los parámetros α y β obtenemos una solución del sistema. En este
caso se dice que el conjunto solución depende de dos parámetros.
La forma de expresar el conjunto solución como un subconjunto de ú4 es :
 r  3 − 2α − 3β 9 + 5α

C= s = 
,
, α , β


3
3

r
Por ejemplo, para α = &1 ; β = &1 obtenemos: u =

α , β ∈ R  ⊂ R4

( 83 , 43 , − 1, − 1) ∈ C ⊂
R4
20.Formas implícita y paramétrica de un subconjunto de ún.En realidad, la expresión :



 S (*)


(m): a m1 x1 + a m2 x2 + a m3 x3 + LL + a mn xn = cn 
(1): a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + LL + a1n xn = c1
(2): a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + LL + a 2 n xn = c2
(3): a 31 x1 + a 32 x2 + a 33 x 3 + LL + a 3n xn = c3
LLLLLLLLLLLLLLLLL
r
representa al conjunto de vectores s = ( x1 , x 2 , x 3 ,K , x n ) ∈ R n que verifican las m
ecuaciones, es decir, representa al subconjunto de ún solución del sistema, esto es, C dún.
Página 64
Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Por tanto:
r
s = ( x1 , x 2 , x3 ,K , xn ) ∈ C ⊂ R n ⇔
Pues bien:
n
∑ aij x j
j =1
= ci para i = 1,2,3,K , m
(m igualdades)
La expresión (*) se dice que es la forma implícita del conjunto C dún,
es decir, el conjunto C está dado mediante sus ecuaciones implícitas.
Supongamos que resolvemos el sistema S y obtenemos la solución expresada por sus
ecuaciones paramétricas (con uno o más parámetros). Dichas ecuaciones paramétricas
representan al conjunto C dún mediante una expresión distinta a (*).
Pues bien:
Esta expresión se denomina forma paramétrica del conjunto C dún, es
decir, el conjunto C está dado mediante sus ecuaciones paramétricas.
Ejemplo 56.-
r
Consideremos el subconjunto de C dú2 formado por todos los vectores s = ( x , y ) tales
que verifican las dos ecuaciones siguientes:
 (1): 5x − 2 y = − 3

 (2): 10 x − 4 y = − 6
Tenemos determinado el subconjunto C mediante sus ecuaciones implícitas.
Supongamos que deseamos determinar el subconjunto C mediante sus ecuaciones
paramétricas. Para ello debemos resolver el sistema dado por las ecuaciones (1) y (2).
Si ese sistema no tuviese solución (sistema incompatible), estamos en que C = `, si el
sistema tiene solución única (sistema compatible determinado) el conjunto C estará formado por
un único elemento y si el sistema tuviese infinitas soluciones (compatible indeterminado), nos
encontramos con que los elementos de C están determinados por uno o más parámetros.
Resolvamos el sistema:
Observamos que la segunda ecuación el múltiplo de la primera. Podemos eliminar esa
ecuación y obtenemos otro sistema equivalente:
5x − 2 y = − 3
 x
En forma matricial: (5 − 2)   = ( − 3) siendo A = (5 − 2) y A* = (5 − 2 − 3)
 y
Rango A = Rango A* = 1 < 2 = nº de incógnitas Y Sistema es compatible indeterminado
Número de incógnitas principales = 1 (x) Número de incógnitas secundarias = 1 (y)
5x = − 3 + 2 y ; x =
 x = − 53 +

y = λ
2
5
λ
− 3 + 2y
3 2
; x= − + y
5
5 5
siendo λ ∈ R Es la forma parametrica de C
r
Por tanto, el conjunto solución lo forman todos los vectores s = ( x , y ) de ú2 tales que:
{ (
r
Conjunto solución C = s = −
3
5
+
2
5
}
λ , λ) λ ∈ R ⊂ R 2
Página 65
Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
21.Eliminación de parámetros.9
9
9
9
Imaginemos un subconjunto C de ún consistente en las infinitas soluciones de un sistema
S de m ecuaciones con n incógnitas.
Supongamos que el conjunto C viene determinado en forma paramétrica, es decir,
mediante sus ecuaciones paramétricas (por uno o más parámetros), esto es, conocemos
esas ecuaciones.
Supongamos que pretendemos encontrar la forma implícita de C , es decir, encontrar las
ecuaciones implícitas que determinan al conjunto C , dicho de otro modo, encontrar las
ecuaciones del sistema S.
En definitiva, conocida la solución de un sistema S, queremos encontrar ese sistema.
Pues bien:
El proceso anterior es posible y se denomina “eliminación de parámetros”
Veamos un ejemplo que explique el proceso.
Ejemplo 57.-
Consideremos el subconjunto de C dú2 del ejemplo 56 que viene determinado por las
ecuaciones paramétricas que obtuvimos al resolver el sistema dado en dicho ejemplo:
 x = − 53 + 25 λ
siendo λ ∈ R Es la forma parametrica de C

y = λ
Recordemos que para cada valor que demos al parámetro λ obtenemos un elemento del
conjunto C dú2.
Pues bien, pretendemos que a partir de las ecuaciones paramétricas de C obtener las
ecuaciones implícitas, es decir, a partir de la solución de S, obtener las ecuaciones de S.
Veamos:
P
r
Imaginemos un vector u = ( x , y ) ∈ R 2 .
r
r
r
Puede ocurrir que u = ( x , y ) ∈ C o que u = ( x , y ) ∉ C , es decir, que u sea solución
o que no sea solución del sistema S.
P
r
r
Supongamos que u = ( x , y ) ∈ C , es decir, u es solución de S.
 x = − 53 +
r
u = ( x , y ) ∈ C ⇔ ∃ λ ∈ R tal que 
 y= λ
P
2
5
λ
El punto anterior significa que el sistema de 2 ecuaciones con una incógnita (λ)
siguiente:
2
5
λ = x+
λ= y
3
5

& (en este caso x e y figuran como numeros
&
)
 tiene solucion

En forma matricial es ( A es la matriz de coeficientes, X la de incógnitas y A* ampliada):
 25
 x + 53 
 25 
 25 
*
 siendo A =   ; X = (λ ) ; A = 
  ⋅ (λ ) = 
1
 y 
 1
 1
x + 53 

y 
Página 66
Matemáticas de 2º de bachillerato
P
P
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Para que el sistema mencionado en el punto anterior tenga solución, debe ocurrir que:
Rango A = Rango A*
Como (es evidente) que Rango A = 1, debe ser también que Rango A* = 1.
Para que Rango A* = 1, es necesario que *A** = 0, es decir:
2
5
x+
y
1
3
5
= 0.
2
5
Desarrollando :
Operando: 2 y − 5x = 3 ;
1
x+
y
3
5
=
2
5
y − x − 53 = 0
5x − 2 y = − 3
r
Conclusión: u = ( x , y ) ∈ C ⇔ 5x − 2 y = − 3
La forma implícita del conjunto C es
5x − 2 y = − 3
Observación: Viendo el ejemplo nº 56, apreciamos como era una de las ecuaciones dadas.
La otra ecuación la habíamos eliminado por ser combinación lineal de esta.
Ejemplo 58.-
Un subconjunto C dú3 viene dado por las siguientes ecuaciones paramétricas:


y = − 1 + 13
λ
 ∀λ ∈ R
11

z= λ

x=
7
11 λ
Queremos obtener las ecuaciones implícitas de C .
Veamos:
r
r
3
r
Supongamos un vector u = ( x , y , z ) ∈ R . Puede ocurrir que u ∈ C o u ∉ C


r
u = ( x , y , z) ∈ C ⇔ ∃ λ ∈ R



7
7
 11 
 11
x 
 13 
 13

Rango  11  = Rango  11 y + 1
 


z 
 1
1
7
 11
λ= x

13
y = − 1 + 13
11 λ ⇔ el sistema  11 λ = y + 1 es compatible ⇔
λ= z
z= λ

7
7
 11
 11

x 
 13

 13 
⇔ Rango  11 y + 1 = 1 ( ya que Rango  11 = 1)


 
z 
1
 1
x=
7
11 λ
Ahora bien:
7
 11
 13
Rango  11

1
x 

y + 1

z 
 7
x
11
 13
=0
 11 y + 1


=1⇒  y
⇒ 

 7
x
 11
 1 z =0

7
7
13
11 y + 11 − 11
7
11 z − x = 0
x= 0
 − 13x + 7 y = − 7
⇒ 
 − 11x + 7 z = 0
Página 67
Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
El conjunto C , expresado mediante sus ecuaciones implícitas es:
 13x − 7 y = 7
S :
 11x − 7 z = 0
Hagamos alguna comprobación:
 x=7

r
Para λ = 11 ⇒  y = 12 ⇒ u = (7, 12 , 11) ∈ C
 z = 11

r
Veamos que u verifica las ecuaciones de S :
 13 ⋅ 7 − 7 ⋅ 12 = 91 − 84 = 7

 11 ⋅ 7 − 7 ⋅ 11 = 77 − 77 = 0
Ejemplo 59.-
Un subconjunto C de ú3 viene determinado por sus ecuaciones paramétricas siguientes:
x = 2 − 3α + 4 β 

y = 1 + α − 3β  ∀ α , β ∈ R
z = 4 − α + 2β 
Se pide:
a)
b)
c)
Encuentra dos vectores que pertenezcan al conjunto C .
Expresa el conjunto C por sus ecuaciones implícitas (elimina los parámetros).
Comprueba que los vectores hallados en el apartado a) verifican la forma
implícita.
Veamos:
a)
La forma paramétrica depende de dos parámetros. Dando valores a estos obtenemos
vectores de C .
x= 2
α = 0 
r
 ⇒  y = 1 ⇒ u = ( 2 , 1 , 4) ∈ C
β = 0 
z= 4
b)
r
x= 6
α = 0 
r
 ⇒  y = − 2 ⇒ v = (6 , − 2 , 6) ∈ C
β=1 
z= 6
Supongamos un vector u = ( x , y , z ) ∈ R 3
 x = 2 − 3α + 4β
 − 3α + 4β = x − 2


 y = 1 + α − 3β ⇔ El sistema S  α − 3β = y − 1
 z = 4 − α + 2β
 − α + 2β = z − 4


 −3 4 
 − 3 4 x − 2
 −3 4 






Rango  1 − 3 = Rango  1 − 3 y − 1
Nota: A =  1 − 3
A* =






 −1 2 
 − 1 2 z − 4
 −1 2 
r
u = ( x , y , z) ∈ C ⇔ ∃ α , β ∈ R
es compatible ⇔
 − 3 4 x − 2


 1 − 3 y − 1


 − 1 2 z − 4
Página 68
Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Hallemos el rango de A: Rango A = 1 o 2.
−3 4
M2 =
= 9 − 4 = 5 ≠ 0 ⇒ Rango A = 2
1 −3
Deducimos que:
 La tercera fila de A* es combinacion
&
r
*
u = ( x , y , z) ∈ C ⇔ Rango A = 2 ⇔ 
 lineal de las dos primeras.
Por tanto, debe ser:
−3 4 x − 2
1 − 3 y − 1 = 0 es decir : 9 ( z − 4) + 2 ( x − 2) − 4 ( y − 1) − 3 ( x − 2) + 6( y − 1) − 4 ( z − 4) = 0
−1
2
z− 4
Desarrollando: − x + 2 y + 5z − 20 = 0
& x − 2 y − 5z = − 20
Cambiando de signo: x − 2 y − 5z + 20 = 0 o tambien
r
Es decir: u = ( x , y , z) ∈ C ⇔ x + 2 y + 5 z = 20
La forma implícita de C es :
c)
x − 2 y − 5z = − 20
Observa que se trata de una sola ecuación
r
r
Veamos que u = (2 ,1, 4) y v = (6 , − 2 , 6) verifica la ecuación implícita de C .
r
u = (2 , 1, 4) ∈ C ⇔ 2 − 2 ⋅ 1 − 5 ⋅ 4 = 2 − 2 − 20 = − 20
verdad
v = (6 , − 2 , 6) ∈ C ⇔ 6 − 2 ⋅ ( − 2) − 5 ⋅ 6 = 6 + 4 − 30 = − 20 verdad
NOTA:
Otra forma de encontrar vectores de C es dar valores a y y a z para que
encontrar posteriormente el valor de x. De esta modo obtenemos un vector de C .
Para y = 0 ; z = 0 ⇒ x − 0 − 0 = − 20 ⇒ x = − 20
r
Por tan to s = ( − 20 , 0 , 0) ∈ C
Dadas las ecuaciones paramétricas que determinan a un conjunto C de ún, al pasar a la
forma implícita nos encontremos con unas ecuaciones (un sistema S ), pero es posible que
siguiendo un proceso distinto en este paso de las paramétricas a las implícitas nos encontremos
con otro sistema S´ distinto del anterior. En cualquier caso, aclaramos que ambos sistemas S y
S´ son equivalentes, es decir, tiene las mismas soluciones y, por tanto, representan al mismo
subconjunto C .
Ejemplo 60.Un conjunto C de ú4 viene dado por las ecuaciones parámetricas :







x1 = − 2 + 23 α + 2 β
x2 =
1
2
− 43 α
x 3 = 53 α − β
x 4 = − 5 + 43 α − 21 β
Página 69
Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Queremos expresar el conjunto C mediante sus ecuaciones implícitas.
Veamos:
L
Eliminamos los denominadores en las ecuaciones paramétricas (este paso es optativo, lo
hacemos para evitar las fracciones).
 3x1 = − 6 + 2α + 6 β
 4 x = 2 − 3α
 2

 3x3 = 5α − 3β
 4 x4 = − 20 + 3α − 2 β
 3x1 = − 6 + 2 α + 6 β
 4 x = 2 − 3α
 2
⇔ El sistema

 3x 3 = 5α − 3β
 4 x 4 = − 20 + 3α − 2 β
r
u = ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ C ⇔ ∃ α , β ∈ R
L






2 α + 6 β = 6 + 3x1
3α
= 2 − 4 x2
5α − 3 β = 3x 3
&
de 4 ecuaciones con 2 incognitas
es compatible ⇔
3α − 2 β = 20 + 4 x 4
 2 6 6 + 3x1 
2 6 




 3 0 2 − 4 x2 
3 0
= Rango 
Rango 
5 −3
3x 3 
5 − 3




 3 − 2 20 + 4 x 4 
 3 − 2
1424
3
14442444
3
A
L
A*
2
3
6
0
5 −3
6 + 3x1
2 − 4 x2 = 0
3x 3
M2 =
2 6
= − 18 ≠ 0 ⇒ Rango A = 2
3 0
Como debe ser Rango A* = 2, deducimos que las filas 3ª y 4ª de la matriz A* son
combinación lineal de las dos primeras, es decir los determinantes formados por M 2 y
esas filas deben ser iguales a cero (ver tema sobre matrices y determinates), es decir:
Hallemos el rango de A :
y
2
3
6
0
6 + 3x1
2 − 4 x2 = 0
3 − 2 20 + 4 x 4
Operando, obtenemos la forma implícita del conjunto C :
− 54 − 27 x1 + 60 − 120 x2 + 12 − 24 x2 − 54 x3 = 0 ; 27 x1 + 144 x2 + 54 x3 − 18 = 0
− 36 − 18 x1 + 36 − 72 x2 + 8 − 16 x2 − 360 − 72 x4 = 0 ; 18 x1 + 88 x2 + 72 x4 + 352 = 0
L
Simplificando obtenemos la forma implícita de C
 3x1 + 16 x 2 + 6 x 3 = 2
&
Forma implicita
de C 
 9 x1 + 44 x2 + 36 x4 = − 176
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejercicios resueltos
Ejercicio nº 1.Resolver por el método de Gauss-Jordan el sistema siguiente:
 2 x − 5y + 2z = − 3

S :  3x + 2 y − z = 3
 4 x + 9 y − 4z = 9

Solución:
 2 − 5 2 − 3


F3 − 2 ⋅ F1

→
 3 2 −1 3   
 4 9 −4 9 


 6 − 15 6 − 9

 F3 − F2
→
 0 19 − 8 15  
 0 19 − 8 15


 2 − 5 2 − 3
F1⋅3


F2 ⋅2
→
 3 2 −1 3   
 0 19 − 8 15


 6 − 15 6 − 9
 F2 − F1

→
 6 4 − 2 6   
 0 19 − 8 15


 6 − 15 6 − 9


 La tercera fila equivale a
 0 19 − 8 15 ⇒ 
& 0 x + 0 y + 0z = 0
 la ecuacion
0 0
0 0 

Lo anterior significa que la tercera ecuación del sistema S es combinación lineal de las
dos primeras, esto es, podemos eliminarla y obtenemos el sistema S ´:
 6 x − 15 y + 6z = − 9
S ′ :
siendo S ′ ⇔ S
 0 x + 19 y − 8z = 15
&
principales x , y
 Incognitas
Consideramos 
&
secundarias z (actua como cons tan te)
 Incognitas
 6 x − 15 y = − 9 − 6z
S ′ :
 0 x + 19 y = 15 + 8z
siendo S ′ ⇔ S
Resolvemos por el método de Gauss-Jordan:
F1⋅ 1
6
 6 − 15 − 9 − 6z F2 ⋅191

   →
 0 19 15 + 8z 
 1 − 25

0 1
1 0
− z
F1 + 25 ⋅ F2

→ 
15
8    
0 1
19 + 19 z
−
3
2
9
19
15
19
+
+
1
19
8
19
Llamando z = λ (parámetro) :
 x = 199 +

15
+
Solucion del sistema S  y = 19
 z= λ

Para
10 23
&
λ = 1 ⇒ s = ( 19
, 19 , 1) es una solucion
r
1
19
λ
8
19
λ
∀ λ ∈R
z
⇒
z
 x =

 y =
9
19
+
1
19
z
15
19
+
8
19
z
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejercicio nº 2.-
Resolver el “sistema” S : 5x1 − 2 x 2 + x 3 − 9 x 4 = − 7
Solución:
Se trata de un “sistema” de una ecuación con cuatro incógnitas.
Resolvemos por el método de Rouché:
 Matriz de los coeficientes A = ( 5 − 2 1 − 9 )

 Matriz ampliada A * = ( 5 − 2 1 − 9 − 7 )
S compatible ⇔ Rango A = Rango A*
Rango A = Rango A* = 1 < 4 = nº de incógnitas Y S es compatible indeterminado
 nº de incognitas
&
principales = Rango A = Rango A* = 1 (elegimos x3 )

&
sec undarias = 3 ( x1 , x2 , x4 )
 nº de incognitas
Despejando: S : x 3 = − 7 − 5x1 + 2 x 2 + 9 x 4
Llamado x1 = α ; x 2 = β ; x 4 = γ (parámetros):



& de S : 
Solucion


x1 = α
x2 = β
x 3 = − 7 − 5α + 2 β + 9 γ
∀ α , β ,γ ∈ R
x4 = γ
α = 0

Una solución : β = 0  ⇒ x1 = 0 ; x 2 = 0 ; x 3 = 2 ; x 4 = 1
γ = 1 
Ejercicio nº 3.-
 mx+ y− z= 1

Dado el sistema S : 
, determinar para qué valores de m :
x − 2y + z = 1
 3 x + 4 y − 2z = − 3

a)
b)
c)
No tiene solución.
Tiene solución única.
Tiene infinitas soluciones.
Solución:
S es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Puede ser un sistema de Cramer.
Tenemos:
 m 1 −1 1 
 m 1 − 1




*
A =  1 − 2 1  matriz de coeficientes. A =  1 − 2 1 1  matriz ampliada




 3 4 − 2 − 3
 3 4 − 2
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
U
Si Rango A = Rango A* = 3 = nº de incógnitas Y S tiene solución única (es de Cramer)
U
Si Rango A = Rango A* = r < 3 = nº de incógnitas Y S tiene infinitas soluciones.
U
Si Rango A … Rango A* Y S no tiene solución.
Analicemos cada caso:
U
Rango A = 3 ] *A*…0 (en este caso el sistema es de Cramer).
Veamos qué valores de m hacen que *A* = 0 :
−1
m
1
1
3
− 2 1 = 0 ⇔ 4m − 4 + 3 − 6 − 4m + 2 = 0 ⇔ − 5 = 0 (imposible)
4 −2
Es decir, para cualquier valor que tome m, el determinante de A es igual a &5. Esto
significa que el sistema S es de Cramer (tiene solución única) para cualquier valor de m.
Contestamos a las preguntas:
a) En ningún caso el sistema S no tiene solución, es decir, òm0ú * S no tenga solución
b) En todos los casos S tiene solución única, es decir, œm0ú, S tiene solución.
c) En ningún caso S tiene infinitas soluciones, es decir, òm0ú * S sea incompatible.
Ejercicio nº 4.Resolver el sistema del ejercicio anterior.
Solución:
Hemos visto que el sistema es de Cramer ( y por tanto tiene solución únca), para
cualquier valor que demos a m. Resolvemos por el método de Cramer:
x=
y=
z=
1
1 −1
1 −2 1
−3 4 −2
A
m
1
3
=
4 − 4 − 3+ 6− 4 + 2
1
=−
5
−5
=
− 2m + 3 + 3 + 3 + 3m + 2
m + 11
=−
5
−5
1 −1
1
1
− 3 −2
A
m 1 1
1 −2 1
3 4 −3
A
=
6m + 4 + 3 + 6 − 4m + 3
2 m + 16
=−
5
−5
Para m = 2 tendremos la solución x = −
1
5
; y= −
13
5
; z = −4
Página 73
Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejercicio nº 5.-
 (m − 1) x + (m − 1) y = m
, determinar para qué valores de m:
+
+
1
=
−
1
m
x
(
m
)
y
m

Dado el sistema S : 
a)
b)
c)
Es incompatible.
Es compatible determinado.
Es compatible indeterminado.
Solución:
 m − 1 m − 1
A= 
 matriz de los coeficientes
m + 1
 m
m 
m− 1 m− 1
A* = 
 matriz ampliada
m + 1 m − 1
 m
Aplicamos el método de Rouché:
S es compatible ⇔ Rango A = Rango A*
Analicemos el rango de A :
Rang A = 2 ⇔
A ≠0 ⇔
m− 1 m− 1
= (m − 1) (m + 1) − m (m − 1) = m2 − 1 − m2 + m = m − 1 ≠ 0
m
m+ 1
Por tanto : * A *= 0 ] m = 1
Si m … 1 el sistema es de Cramer y compatible determinado.
Conclusión: b) Si m … 1 el sistema es compatible determinado.
Veamos qué ocurre si m = 1 :



*
 ⇒ Rango A ≠ Rango A ⇒ S es incompatible
 0 0 1

A* = 
 ⇒ Rango A* = 2 
 1 2 0

 0 0
A=
 ⇒ Rango A = 1
 1 2
Conclusión: a) Si m = 1 el sistema es incompatible.
Conclusión: c) En ningún caso el sistema es compatible indeterminado.
Ejercicio nº 6.Resolver el sistema del ejercicio anterior para el caso m … 1
Solución:
Por el método de Cramer:
x=
y=
m
m− 1
m− 1 m+ 1
m− 1
m− 1
m
m
m− 1
m− 1
=
m 2 + m − m 2 + 2m − 1 2 m 2 + 3 m − 1
=
m− 1
m− 1
=
m2 − 2 m + 1 − m2
− 2m+ 1
=
m− 1
m− 1
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 74
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejercicio nº 7. (m + 1) x + y + z = 3

Discutir y resolver el sistema S : 
x + 2 y + mz = 4 según los valores de m.

x + m y + 2z = 2

Solución:
S es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Puede ser de Cramer.
 m + 1 1 1
 m + 1 1 1 3




*
2 m ; A =  1
2 m 4 matrices de coeficientes y ampliada
A= 1




m 2
m 2 2
 1
 1
9
Rango A = Rango A* = 3 = nº de incógnitas Y S es de Cramer (compatible determin.)
9
Rango A = Rango A* = r < 3 Y S es compatible indeterminado.
9
Rango A … Rango A* Y S es incompatible.
Analicemos los rangos:
Rango A = 3 ⇔
A ≠0
Veamos que valores de m hacen que *A*= 0 :
m+ 1 1
2
A = 1
1
m
1
m = 4 m + 4 + m + m − 2 − m3 − m2 − 2 = − m3 − m2 + 6 m = 0
2
Resolvamos la ecuación − m 3 − m 2 + 6m = 0 :
m3 + m2 − 6 m = 0


m= 0

2
m (m + m − 6) = 0 ⇒  o

 m 2 + m − 6 = 0 ⇒ m = − 1 ± 1 + 24 = − 1 ± 5 =  m1 = 2

2
2
 m2 = − 3
Conclusiones:
L
Si m = 0 o m = 2 o m = &3 Y *A*= 0 Y Rango A … 3
L
Si m … 0 o m … 2 o m … &3 Y *A*… 0 Y Rango A = 3
Si m … 0 o m … 2 o m … &3, el sistema es compatible determinado.
Resolvamos para este caso, es decir, cuando m … 0 o m … 2 o m … &3 :
 m1 = 2

A = − m − m + 6m → polinomio de grado 3 cuyas raices son  m2 = − 3
m = 0
 3
3
2
Matemáticas de 2º de bachillerato
Página 75
Sistemas de Ecuaciones Lineales
A = − m 3 − m 2 + 6 m = − m (m − 2) (m + 3)
Resolvemos por el método de Cramer:
Factorizando ese polinomio:
3
x=
1
1
4 2 m
2 m 2
A
=
− 3m2 + 6m
− 3m (m − 2)
12 + 4 m + 2 m − 4 − 3 m 2 − 8
3
=
=
=
− m (m − 2) (m + 3)
− m (m − 2) (m + 3) − m (m − 2) (m + 3) m + 3
m+ 1 3 1
1
4 m
y=
z=
1
2
2
m+ 1 1
3
A
1
1
2 4
m 2
A
=
− m ( 2m − 9)
− 2 m 2 + 9m
8 m + 8 + 2 + 3 m − 4 − 2 m2 − 2 m − 6
2m − 9
=
=
=
− m (m − 2) (m + 3)
− m (m − 2) (m + 3) − m (m − 2) (m + 3) (m − 2) (m + 3)
=
− m (4m − 3)
− 4m2 + 3m
4 m + 4 + 3 m + 4 − 6 − 4 m2 − 4 m − 2
4m − 3
=
=
=
− m (m − 2) (m + 3) − m (m − 2) (m + 3) (m − 2) (m + 3)
− m (m − 2) (m + 3)
Discutamos y resolvamos el sistema cuando m = 0:
 x+ y+ z= 3

m = 0 ⇒  x + 2y = 4
x
+ 2z = 2

 1 1 1


A=  1 2 0


 1 0 2
 1 1 1 3


A* =  1 2 0 4 


 1 0 2 2
Como sabemos que *A* = 0 (por ser m = 0) , entonces Rango A = 1 o 2
1 1
M2 =
= 2 − 1 = 1 ≠ 0 ⇒ Rango A = 2
1 2
Rango A* = 2 o 3
1 1 1
1 2 0 = 0 (observa que la 3ª fila es el doble de la 1ª menos la 2 ª )
1 0 2
1 1 3
1 2 4 = 0 (observa que la 3ª fila es el doble de la 1ª menos la 2 ª )
1 0 2
Por tanto Rango A* = 2
Conclusión:
m = 0 Y Rango A = Rango A* = 2 < 3 = nº incógnitas Y S es compatible
indeterminado
Resolvamos para este caso ( m = 0 ):
De lo anterior deducimos que la tercera ecuación del sistema es combinación lineal de
las dos primeras. Eliminamos esa ecuación y obtenemos un sistema equivalente:
&
x+ y+ z= 3 
principales x e y
 incognitas
 siendo 
&
x + 2y = 4 
secundarias z
 incognitas
Página 76
Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Consideramos z = λ (parámetro) y la pasamos al miembro izquierdo, tratándola como constante:
x + y = 3− λ 
1 1
=1
 siendo A =
x + 2y = 4 
1 2
Resolvemos por el método de Cramer (el sistema anterior es de Cramer):
x=
3− λ
1
4
2
A
1 3− λ
=
1
4
6 − 2λ − 4
= 2 − 2λ ; y =
1
A
=
4 − 3+ λ
= 1+ λ
1
Conclusión:
{r
}
Si m = 0 , el conjunto solución del sistema es C = s = (2 − 2λ ,1 + λ , λ ) λ ∈ R ⊂ R 3
Discutamos y resolvamos el sistema cuando m = 2 :
3x + y + z = 3 

x + 2 y + 2 z = 4  siendo A =
x + 2 y + 2 z = 2 
 3 1 1
 3 1 1 3




*
 1 2 2 y A =  1 2 2 4 




 1 2 2
 1 2 2 2
Como * A * = 0 (al ser m = 2) , tenemos que Rango A = 1 o 2.
3 1
M2 =
= 5 ≠ 0 ⇒ Rango A = 2
1 2
Hallemos Rango A* . Sabemos que Rango A* = 2 o 3
3 1 1
1 2 2 =0
1 2 2
14
4244
3
3 1 3
; 1 2 4 = 12 + 6 + 4 − 6 − 24 − 2 = − 10 ≠ 0 ⇒ Rango A* = 3
1 2 2
por tener dos filas iguales
Por tanto, Rango A … Rango A* Y Sistema incompatible.
Conclusión:
Si m = 2 , el sistema es incompatible
Discutamos y resolvamos el sistema cuando m = &3 :
− 2x + y + z = 3 

x + 2 y − 3z = 4  siendo A =
x − 3 y + 2 z = 2 
 −2 1 1 
 −2 1 1 3




*
 1 2 − 3 y A =  1 2 − 3 4 




 1 −3 2 
 1 −3 2 2 
Como * A * = 0 (al ser m = &3) , tenemos que Rango A = 1 o 2.
−2 1
M2 =
= − 5 ≠ 0 ⇒ Rango A = 2
1 2
Hallemos Rango A* . Sabemos que Rango A* = 2 o 3
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Matemáticas de 2º de bachillerato
−2
1
1
2
1
−3 2
Sistemas de Ecuaciones Lineales
3
4 = − 8 − 9 + 4 − 6 − 24 − 2 = − 45 ≠ 0 ⇒ Rango A* = 3
Por tanto, Rango A … Rango A* Y Sistema incompatible.
Conclusión:
Si m = &3 , el sistema es incompatible
Ejercicio nº 8. a x + y + z = (a − 1) (a + 2)

Dado el sistema S :  x + a y + z = (a − 1) 2 (a + 2) , se pide:

3
 x + y + a z = (a − 1) (a + 2)
a)
b)
Comprobar que es compatible para todo valor de a.
Resolver para el caso a = &2.
Solución:
a)
Las matrices de coeficientes y ampliada son:
 a 1 1


A =  1 a 1


 1 1 a
 a 1 1 (a − 1) (a + 2) 


; A =  1 a 1 (a − 1) 2 (a + 2) 


 1 1 a (a − 1) 3 (a + 2) 
*
Se trata de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Puede ser de Cramer.
S es de Cramer ] * A *…0
Hallemos * A * y veamos para qué valores de a se hace cero:
a 1 1
& de tercer grado.
1 a 1 = a 3 − 3 a + 2 = 0 ← es una ecuacion
1 1 a
Veamos si esa ecuación tiene soluciones enteras. Caso de tenerlas, deben estar entre
los divisores del término independiente, es decir, entre los divisores de 2 (1, &1, 2, &2):
&
para x = 1 ⇒ 13 − 3 ⋅ 1 + 2 = 0 ⇒ a = 1 es solucion
De lo anterior deducimos que la división a3 & 3 a + 2 : a &1 es exacta. Por Ruffini:
1
1
0
&3
2
1
1
&2
1
1
&2
0
2
Por tanto: * A * = a & 3 a + 2 = (a &1) (a + a &2)
Resolviendo la ecuación a2 + a &2 = 0 obtenemos a1=1 y a2 = &2.
Por tanto a2 + a &2 = (a &1) (a + 2), es decir, * A * = a3 & 3 a + 2 = (a &1)2 (a + 2)
3
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
En definitiva:
a = 1 o a = − 2 ⇒ A = 0 ⇒ El sistema no es de Cramer
a ≠ 1 y a ≠ − 2 ⇒ A ≠ 0 ⇒ El sistema es de Cramer (compatible determinado)
Ya sabemos que el sistema es compatible siempre que a … 1 y a …&2.
Veamos qué ocurre cuando a = 1 :
 x+ y+ z= 0

S : x + y + z = 0
 x+ y+ z= 0

&
sistema homogeneo
y, por tanto compatible.
Ya sabemos que cuando a = 1 el sistema es compatible.
Veamos qué ocurre cuando a = &2 :
 − 2x + y + z = 0

S : x − 2y + z = 0
 x+ y− 2z= 0

&
sistema homogeneo
y, por tanto compatible.
Ya sabemos que cuando a = &2 el sistema es compatible.
œa 0ú , el sistema S es compatible
Conclusión:
b)
Resolvemos para a = &2 :
 −2 1
 −2 1
1 0
1




A =  1 − 2 1  ; A * =  1 − 2 1 0  Es evidente que Rango A = Rango A*




1 −2 0
1 − 2
 1
 1
Sabemos que Rango A = 1 o 2 (ya que para a = &2 es *A*= 0)
−2 1
M2 =
= 3 ≠ 0 ⇒ Rango A = 2 ⇒ Rango A* = 2
1 −2
Rango A = Rango A* = 2 < 3 = nº de incógnitas Y S es compatible indeterminado.
Resolvamos:
De lo anterior se deduce que la tercera ecuación es combinación lineal de las dos
primeras. Eliminamos esa ecuación y obtenemos un sistema equivalente:
 − 2x + y + z = 0
S :
 x − 2y + z = 0
&
sistema homogeneo
y, por tanto compatible.
número de incógnitas principales = Rango A = 2 (elegimos x e y)
número de incógnitas no principales = 1 (z) 6 z es el parámetro.
Pasamos el parámetro al miembro derecho y lo tratamos como una constante:
 − 2x + y = − z
S :
 x − 2y = − z
x=
−z 1
− z −2
3
=
sistema de Cramer. A =
2z + z
=z
3
; y=
−2 − z
1 −z
3
=
−2 1
=3
1 −2
2z + z
=z
3
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Matemáticas de 2º de bachillerato
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Llamando z = λ:
x=λ 

y = λ  ∀ λ ∈ R es la solucion de S cuando a = − 2
z = λ 
r
& = C = s = (λ , λ , λ ) λ ∈ R ⊂ R 3
Conjunto solucion
{
}
Ejercicio nº 9.Eliminar los parámetros en la siguiente expresión:







x1 = 3 − α + 3β
x2
x3
x4
x5
= − 1 + 2α − β
=α− β
= − 2 − 3β
= 1+ α
Solución:
La expresión anterior representa a un subconjunto C del conjunto ú5. Buscamos las
ecuaciones implícitas que determinan a ese subconjunto.







r
s = ( x1 , x 2 , x3 , x4 , x5 ) ∈ C ⇔ ∃ α , β ∈ R
x1 = 3 − α + 3 β
x2 = − 1 + 2α − β
x3 = α − β
x 4 = − 2 − 3β
x5 = 1 + α
La expresión anterior equivale a decir que el siguiente sistema de 5 ecuaciones con dos
incógnitas (α y β) es compatible (tiene solución):



S: 



− α + 3 β = x1 − 3
2α − β = x 2 + 1
α − β = x3
− 3β = x 4 + 2
α = x5 − 1
siendo



A= 




−1
2
1
0
1
3 

−1
−1

−3

0 
y



A* = 




−1
2
1
0
1
x1 − 3 

− 1 x2 + 1 
x3 
−1

− 3 x4 + 2 

0 x5 − 1 
3
El sistema S tiene solución sí y sólo sí Rango A = Rango A*. Pero Rango A = 1 o 2
−1 3
M2 =
= 1 − 6 = − 5 ≠ 0 ⇒ Rango A = 2
2 −1
Por tanto, debe ser Rango A* = 2
Para que Rango A* = 2 debe ocurrir que todos los menores de orden 3 de la matriz A*
formados a partir de M2 y las filas 3, 4 y 5, deben ser iguales a cero.
Es decir:
Matemáticas de 2º de bachillerato
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
−1
3
x1 − 3
2
1
− 1 x 2 + 1 = 0 ⇒ x 3 − 2 x1 + 6 + 3 x 2 + 3 + x1 − 3 − x 2 − 1 − 6 x3 = 0 ⇒ x1 − 2 x2 + 5x3 = 5
−1
x3
−1
3
2
− 1 x 2 + 1 = 0 ⇒ x4 + 2 − 6 x1 + 18 − 3x 2 − 3 − 6 x4 − 12 = 0 ⇒ 6 x1 + 3x 2 + 5x4 = 5
0
− 3 x4 + 2
x1 − 3
− 1 3 x1 − 3
2 − 1 x 2 + 1 = 0 ⇒ x5 − 1 + 3x 2 + 3 + x1 − 3 − 6 x5 + 6 = 0 ⇒ x1 + 3x 2 − 5x5 = − 5
1
0
x5 − 1
Por tanto, la forma implícita del subconjunto C es:
 x1 − 2 x 2 + 5x5 = 5

&
Forma implicita
de C :  6 x1 + 3x 2 + 5x4 = 5
 x + 3x − 5x = − 5
2
5
 1
Hagamos una comprobación:



Para α = 2 y β = − 1 ⇒ 



x1 = − 2
x2
x3
x4
x5
=4
=3
=1
=3
Comprobemos que estos valores verifican las ecuaciones implícitas:

− 2 − 2 ⋅ 4 + 5 ⋅ 3 = − 2 − 8 + 15 = 5

6 ⋅ ( − 2) + 3 ⋅ 4 + 5 ⋅ 1 = − 12 + 12 + 5 = 5  Se verifican las tres ecuaciones.
− 2 + 3 ⋅ 4 − 5 ⋅ 3 = − 2 + 12 − 15 = − 5 