1 - EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS

MATEMÁTICA 4 B
ESCUELA SECUNARIA N 7 “HÉROES DE
MALVINAS”
MARIEL BOFFELLI
Profesor en Matemática y Cosmografía. Profesor en
Física
1° TRIMESTRE: 27/03 AL 25/05
SEMANA DE INTEGRACIÓN: 21/05 AL 24/05
TEMAS:
1- EXPRESIONES ALBEGRAICAS ENTERAS
2- TRANSFORMACIÓN EN PRODUCTO
3- EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
[1 - EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS]
POLINOMIO. GRADO y COEFICINETE PRINCIPAL. POLINOMIO ORDENADO y COMPLETO. SUMA.
RESTA. MULTIPLICACIÓN. DIVISIÓN: MÉTODO TRADICIONAL, REGLA DE RUFFINI, TEOREMA DEL
RESTO. RAÍZ DE UN POLINOMIO.
1
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS
Una expresión algebraica o polinomio es un conjunto de números
(coeficientes) y letras (variables o parte literal) relacionados entre sí por las
operaciones básicas. Una expresión algebraica es entera cuando la/s variable/s
se encuentran relacionadas por suma, resta, multiplicación o potencia con los
coeficientes.
En caso de que la variable esté dividiendo o con exponente negativo, es una
expresión algebraica fraccionaria o racional.
Por ejemplo:
3x+4
4+3a
8a²-6x³+½
También son ejemplos de expresiones algebraicas las fórmulas de velocidad
en física: V = d / t; el perímetro del triángulo P = L + L+ L, la superficie del
cuadrado S = b . h, etc.
Según la cantidad de términos la expresión algebraica se denomina monomio,
binomio, trinomio, cuatrinomio, polinomio,… En general se toma como variable
la letra “x”, a la cual se le puede asignar un valor determinado.
Para tener en cuenta: x = 1 x 1, 3 x = 3 . x, …
Los polinomios se simbolizan en general con P (x), Q(x), R(x),…., por ejemplo:
P(x)=3x+4;Q(m)=3m²;…
---

---
2
Al reemplazar la variable por su valor y resolver las operaciones se obtiene el
VALOR EXACTO de la expresión algebraica.
Ej: determina el valor exacto de: 3 a + 5 b ² + c, siendo los valores de a = + 1,
b = - 2, c = ½
3a+5b²+c=
=3.(+1)+5.(-2)²+½=
= + 3
+5.(+4) +½ =
=
+
+3
20
+ ½ =
= 47/2 = 23,5
POLINOMIO
SIENDO
P(x) = 3 x + 4 x ² - 5
Q(x) = 5 a + 4 b
VALOR EXACTO
x=-2
a = 2, b = 5
R=3x²+5x-a
x=½,a=-3
S (a) = 4 a + a ² - a ³
a=-2
T=3ax+2ax²
x=-2
Se denomina RAÍZ DE UN POLINOMIO al número que anula al polinomio.
Ej: en el polinomio: P( x ) = 3 x ² - 2 x – 8
Reemplazando por x = 2
P(2)=3.2²-2.2–8=0
Entonces 2 es raíz del polinomio
Reemplazando por x = - 1
P(-1)=3.(-1)²-2.(-1)–8=-3
En…
Entonces – 1 no es raíz del polinomio
¿Es raíz? Sí/NO. Demostrarlo
x²-3x
-2
3 x - 12
+4
x²-2x+4
+2
3
GRADO DE UN POLINOMIO
El grado de un polinomio es el exponente mayor del mismo.
En x ² + 5 x ³ - 3 x + 4 , el grado es 3.
El coeficiente principal es aquel coeficiente (número) que acompaña a la
variable de mayor exponente.
En
x ² + 5 x ³ - 3x + 4,
POLINOMIO
CP: + 5.
GRADO
C.P
P(x) = 3 x ² - 5 x ³ + 4
Q (x) = 6 x ² - 9 x – 1
R (x) = 4 x 9 – 2 x 10 – 4
S (x) = 2 x ² - 5 + x ³
POLINOMIO ORDENADO y COMPLETO
Un polinomio está ordenado cuando los exponentes de sus variables se
encuentran ordenados.
Polinomio desordenado: x ³ + 3 x – 2 x ² - 1
Polinomio ordenado:
x³-2x²-3x–1
Un polinomio está completo cuando posee todos los exponentes en sus
variables. Para completarlo se coloca 0 x n, siendo n el exponente faltante.
Polinomio incompleto: x ³ - 4
Polinomio completo:
POLINOMIO
3+2x²
5–2x+x³
3x²-x³+1
x7–4+x4
ORDENADO
x³+0x²+0x–4
COMPLETO
4
.
SUMA y RESTA de POLINOMIOS
Se denominan términos semejantes a aquellos que poseen la/s misma/s
variable/s, con el mismo exponente.
Ej. 3 x ² es semejante a 5 x ² ó a ½ x ²
5 a x ² es semejante a 7 a x ² y no lo es a 5 a x.
La “suma” de expresiones algebraicas se resuelve ordenando los polinomios y
agrupando los términos semejantes para sumar o restarlos.
“La operación debe resolverse de forma clara y el resultado siempre debe
darse ordenado.”

---
---
Ej: 4 + 5 a – 3 x + 4 x + 8 a – 2 a + 1 =
Agrupo términos semejantes
=(4+1)+(5a+8a–2a)+(-3x+4x)=
Resuelvo
=
5
+
11 a
+
x
---

---
Ej. ( 4 – 5 x + x ³ ) + ( - 2 + 3 x ) – ( 1 + 3 x ² - 6 x ) =
=(x³+0x²-5x+4)+(3x-2)–(3x²- 6x+1)=
x³+0x²-5x+4
+
+3x–2
-3 x ² + 6 x – 1
x³-3x²+4x+1
---

---
Ordenado y completando
Agrupando términos semejantes:
5
O bien otra forma de resolverlo es:
(4–5x+x³)
+(-2+3x)–(1+3x²-6x)=
Ordeno y completo
=(x³+0x²-5x+4)+(3x-2) –(3x²-6x+1)=
Quito paréntesis, cambiando signos en –( ):
= x³+0x²-5x+4
+
3x-2
-
3x²+6x-1=
Agrupo términos semejantes y resuelvo:
=(x³)+(0x²-3x²)+(-5x+3x+6x )+(4–2–1)=
= x³
-3x²
+
3x+4–6x+1–2x=
3+x–4x²+5–x²=
2a+4b–5a–6b+a=
x+4x²-5x³-4x³-2+x=
(x–2)–(x+4)–x+1=
(x+3)+(5–4x²)–9x=
(x–5)–(2x²-1)–9x²=
(x ²+3x +1)–(4x–3)=
-4+(5x²+3)–3x³+x³=
(3x-2)+9x–2x²-1=
4x
+
1
6
MULTIPLICACIÓN de EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se resuelve aplicando propiedad distributiva entre los factores ordenados y
completos, teniendo en cuenta que potencias de igual base suman exponentes:
x.x=x1.x1=x1
+ 1
=x²
x ² . x ³ = x ² +3 = x 5
3x².(-2x)=3.(-2).x².x1=-6.x3
---

---
Ej 1: coeficiente por polinomio
2.(x²+5–2x)=
Ordeno
=2.(x²-2x+5)=
Distribuyo
= 2.x²-2.2x+2.5=
Multiplico
= 2 x ² - 4 x + 10
(x+3).5=
(x–5).2=
(x ²+3x +1).9=
-4.(5x²+3) =
– 1/3 . ( 3 x - 2 ) =
---

---
7
Ej 2: monomio por polinomio
(3ax²).(x²-2x+a)=
Distribuyo
=(3ax² ).x ²+(3ax²).(-2x )+(3ax²).a=
=
3ax4
-
6ax³
+
3a²x²

---
Resuelvo
(x+3).(2x)=
(-2x²).(x–5)=
(x+1).(-x²)=
(5x²+3x–2)(-ax)=
( 3 x - 2 ) . ( 1/3 x ³ ) =
---
Ej 3: Multiplicación entre polinomios:
(x+4).(2x–1)=
Distribuyo
=x.2x+4.2x+x.(-1)+4.(-1)=
Resuelvo
= 2x²+
=
2x²
8x –
+
7x
x
–
4=
–
4
---
Agrupo términos semejantes

---
Otra forma de resolver es disponiéndolo como una multiplicación de dos cifras
(3x+4–2x²).(5+x )=
Ordeno y completo
(-2x ²+3x+4).(x +5)=
Dispongo uno bajo el otro
-2x ²+3x+4
x +5
-10 x ² + 15 x + 20
-2 x ³ + 3 x ² + 4 x
.
- 2 x ³ - 7 x ² + 19 x + 20
.
8
---

---
(x+3)(x–1)=
(x–5)(3x+4)=
(x+1)(x+4)=
(5x²+3)(x²-1)=
(3x-2)(2x+4)=
Una multiplicación especial…
Producto de una suma por una resta = Diferencia de cuadrados
(x+a).(x–a)=x²-a²
Demostración:
(x–3)(x+3)=
Aplicando propiedad distributiva:
=x.x–3.x+x. 3 –3.3=
=
x² - 3x + 3x + 9
=
x² - 9
Ej 1: ( x – 5 ) ( x + 5 ) = x ² - 5 ² = x ² - 25
Ej 2: ( 3 x – 4 ) . ( 3 x + 4 ) = 3 ² x ² - 4 ² = 9 x ² - 16
(x+9).(x.9) =
(x–2)(x+2)=
(x+1)(x–1)=
(5x²+3).(5x²–3)=
(3x-2).(3x+3)=
=
9
POTENCIACIÓN de EXPRESIONES ALGEBRAICAS

El exponente 1, no se escribe.
x=x1

Toda variable se eleva al exponente:
(x)n=xn

La potenciación es distributiva con respecto al producto:
( a.x ) n = a n . x n
Ej: ( 3 x ) ² = 3 ² . x ² = 9 x ²
Ej. ( x ² ) ³ = x 2 . 3 = x 6
(-2x)² =
(+¾x³y²)³=
(-5x²)³=
(-½x4)6=
(6x³)³=
( x n ) m = x n.m
10
Cuadrado de un binomio = trinomio cuadrado perfecto
(a±x)²=a²±2ax+x²
“El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más el
duplo del primero por el segundo término, más el cuadrado del segundo
término.”
Ej: ( x - 3 ) ² = x ² + 2 . x . ( - 3 ) + ( - 3 ) ²
=x²
-6x
+9
Hallar los cuadrados de los binomios:
(x+3)²=
(x–5)²=
(x+1)²=
(5x²+3)²=
(3x-2)²=
Completar
1) 16 x 2 + …….. + 9 = ( …….. + …….. ) ²
2) 49 x ² + 70 x + …… = ( …….. + ……. ) ²
3) x ² - ……..+ ……. = ( ……. – 5 ) ²
Marca con x los trinomios cuadrados perfectos
1) x ² - 2 x y + y ²
2) x ² + 4 x + 16
3) x ² + 2 x + 81
4) x ² + 10 x + 5
5) x ² - 3 x + 9
11
Cubo de un binomio = Cuatrinomio cubo perfecto
(a±x)³=a³±3a²x+3ax²±x³
“El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término más el triple del
cuadrado del primer término por el segundo más, el triple del primero por el
cuadrado del segundo término, más el cubo del segundo término.”
Ej: ( 2 x – 1 ) ³ =
Aplico regla
= ( 2x )³ + 3 ( 2x ) ² (-1) + 3 ( 2x ) (-1) ² + (-1) ³ =
Resuelvo potencias
= 8 x ³ + 3 ( 4 x ² ) ( -1 ) + 3 ( 2 x ) (+1) + (-1) =
Resuelvo multiplicaciones
= 8x³
(x+3)³ =
(x–5)³ =
(x+1)³ =
(5x²+3)³ =
(3x-2)³ =
-
12 x ²
+
6x
–
1
12
DIVISIÓN DE POLINOMIOS: MÉTODO TRADICIONAL
En la división de potencias de igual base se restan exponentes:
x n : x m = x n–m

---
Ej 1
x 5 : x 3 = x 5-3 = x ²
Ej 2
( 3 x ³ ) : ( - 8 x ) = - 3/8 x ²
Ej 3:
(9x²):3=3x²
Ej 4:
( 2 x³) : x = ( 2x³ ) : ( 1x ) = 2 x ²
---
Ej 5: ( 3 x ³ - 5 x ² + 4 x ) : ( 2 x ) =
Aplicando distributiva
=(3x³:2x)–(5x²:2x)+(4x:2x)=
Resolviendo divisiones
=
3/2 . x ²
-
5/2 x
+
2
( 12 x + 8 ) : ( 4 ) =
( 15 x ² – 5 ) : ( - 5 ) =
( 8 x ³ + 12 x ² – 4 x ) : ( 2 x ) =
(5x²+3):(2)=
( 3 x ³ - 2x ² ) : x ² =
---

---
13
División de un polinomio por otro polinomio
Ej 6:
(x²+3x³-2):(x+4)=
Ordenar y completar el dividendo:
(3x³+x²+0x–2):(x+4)=
El procedimiento es similar a la división entre dos números cuando el
denominador es un número de dos cifras.
A los resultados de los productos se los resta en el dividendo, por lo tanto, se
les debe cambiar el signo.
3x³+1x²+ 0x–2 |
x+4
-3 x ³ - 12 x ²
3 x ² - 11 x + 44
- 11 x ² + 0 x
+11 x ² + 44 x
+ 44 x -
2
- 44 x - 176
- 178
Cociente: 3 x ² - 11 x + 44
Resto: - 178
Cálculos auxiliares
3x³:x=3x²
- 11 x ² : x = - 11 x
+ 44 x : x = + 44
3 x ² . 4 = 12 x ²
-11 x . 4 = - 44 x
+ 44 . 4 = 176
3x².x=3x³
-11 x . x = - 11 x ²
+ 44 . x = + 44 x
A los resultados de los productos se los resta en el dividendo, por lo tanto, se
les debe cambiar el signo.
(6x² +3x–8):(x–2)=
C:
(x2–5x+2):(x+1)=
C: x – 6
(x² +1):(x–4) =
C: x – 4
(5x²+3):(x–1) =
(3x-2):(x+4)=
6 x + 15
R: 22
R: ´+ 8
R: + 17
14
DIVISIÓN DE POLINOMIOS: REGLA DE RUFFINI
Se aplica para el divisor de la forma ( x ± a ).
Ej:
(x²+3x³-2):(x+4)=
Ordenado y completando
(3x³+1x²+ 0x–2):(x+4)=
Se utilizan sólo los coeficientes de dividendo con su correspondiente signo, y el
término independiente del divisor con signo opuesto.
AL primer número del dividendo se lo baja tal cual está, luego se multiplica por
-4 (en este caso) y se coloca en la siguiente columna. Se suma o resta y se
repite el procedimiento.
-4
| +3
+1
0
|
-2
|
-12
+44
| - 176
| +3
-11
+44
| -178
El cociente debe completarse con la variable, comenzando
con un grado
menor que el dividendo.
Cociente: 3 x ² - 11 x + 44
(6x² +3x–8):(x–2)=
(x–5x+2):(x+1)=
(x² +1):(x–4) =
(5x²+3):(x–1) =
(3x-2):(x+4)=
Resto: - 178
C:
R:
15
DIVISIÓN DE POLINOMIOS: TEOREMA DEL RESTO
El resto de la división con divisor de la forma
( x ± a ) puede calcular hallando
el valor exacto del dividendo cuando la variable “x” se reemplaza por el término
“a” con signo contrario.
Ej:
(x²+3x³-2):(x+4)=
En el dividendo:
3x³+x²-2
siendo: x = - 4
R=3(-4)³+(-4)²-2
R = 3 . ( - 64 ) + ( + 16 ) – 2
R = - 192 + 16 – 2
R = - 178
Este procedimiento permite corregir una división, saber si un polinomio es
divisible por otro o si un número es raíz de ese polinomio. En los dos últimos
casos, el resto es nulo.
(6x² +3x–8):(x–2)=
(x–5x+2):(x+1)=
(x² +1):(x–4) =
(5x²+3):(x–1) =
(3x-2):(x+4)=
16
EJERCITACIÓN de INTEGRACIÓN
1) ¿Cuáles de las siguientes expresiones son polinomios? Marca con x
x+⅜
4/𝑥 2
4 x 2 + √2
3 . x -4
4x²-2x
3
√2 𝑥
Hallar el valor numérico de las expresiones algebraicas:
P (x) = 3 x 2 + 5 x 3 – 2 + x , P (- 2)
Q (x) = ½ + 4 x 2 , Q (1/3)
3 a b + 4 a 2, siendo a = - 3 y b = -1/2
Indicar el grado y coeficiente principal, ordenar y completar:
POLINOMIO
G.
C.P.
ORDENADO
3x+5x²-6
4–2x³+5x
–3x²+6x³-2
+4–2x5
3x+5x²
7x²-5x4+2
Resolver las operaciones siguientes
3a+5b–4+7b–9–4a=
-4+5a2–3a+a2–2a=
(3+9x²-4x³)+(4x–2x³)+x²=
(3x+6x²-9)–(-2x²+4–8x)=
COMPLETO
17
(3x²+6x–1)–( x³-3x+2x²)=
(x – x ² + x 4 ) – ( x – x ³ ) – ( - 3 + x ) =
(2a²x³)(5x³)(½a³x)=
3.(-2+3x²-5x+6x³)=
x².(4–x²+6x)=
(x+4).(x–3)=
(x+3)(x–3)=
(x–6)(x+6)=
(2a³x²)²=
(x +3)²=
(x–4)²=
(3x–5)²=
(x+1)³=
(x–5)³=
(5x+2)³=
Resolver por el método tradicional.
COCIENTE
RESTO
COCIENTE
RESTO
(9a5x²):(3a²x)=
(x³-2x+3x²-5):(x–2)=
(x²-4):(x+3)=
(3x²-6x+x4):(x–1)=
Resolver por Regla de Ruffini:
(-2+x5):(x+1)=
18
(x³-4):(x+2)=
(4–x² +5x):(x–5 )=
Indicar si las divisiones son exactas aplicando Teorema del Resto
RESTO
(x²+6x+9):(x+3)=
(x³-9): (x–3)=
(x–4x³+2):(x+1)=
Resolver las operaciones combinadas:
(x+3)²+(5x–2)³=
(3x+4).(x–3):(x–2)=
(x–4)(x+4)–(x²-6x).(3x)=
3. ( x – 4 ) ² - (4 x – 2 ) ( x + 1 ) =
¿EXACTA?
19
1° TRIMESTRE
MATEMÁTICA 4 B
TEMA 2
1- FACTOR COMÚN.2-FACTOR COMÚN EN GRUPO. 3-TRINOMIO
CUADRADO PERFECTO. 4- CUATRIONOMIO CUBO PERFECTO. 5DIFERENCIA DE CUADRADOS. 6- SUMA O RESTA DE IGUAL
EXPONENTE. 7-FÓRMULA RESOLVENTE
TRANSFORMACIÓN
EN PRODUCTO:
FACTOREO
20
FACTOREO
Factorear es transformar una expresión algebraica en un producto de dos o
varias expresiones.
Ej. El factoreo de 6 = 2.3
El factoreo de 25 . x = 5 ² . x
Factor es cada uno de las expresiones que multiplica
Hay 7 casos de factoreo, que se aplican según la forma de la expresión
algebraica.
1) Factor común (cualquier número de términos)
2) Factor común en grupo (4,6,8… términos)
3) Trinomio cuadrado perfecto (3 términos)
4) Cuatrinomio cubo perfecto (4 términos)
5) Diferencia de cuadrados (2 términos)
6) Suma o resta de igual exponente (2 términos)
7) Fórmula resolvente (3 términos)
8) Teorema de Gauss
21
1° caso: FACTOR COMÚN
En un polinomio, con cualquier número de términos, un factor es común en
todos los términos. Es un proceso inverso a aplicar la propiedad distributiva.
Ej 1: 3 x + 3 y = 3 . ( x + y )
Ej 2:
4x+ax=x.(4+a)
Ej 3: 5 x ² + 3 x ³ = x ² . ( 5 + 3 x )
Cuando el factor común es una variable, se extrae la de menor exponente.
Ej 4: 4 x + 12 = 4 x + 4.3 = 4 . ( x + 3 )
Ej 5: ½ x + 3/2 y = ½ ( x + 3 y )
Ej 6: 3 x + 3 = 3 ( x + 1 )
Ej 7: 2 x ² + 6 x 5 – x ³ =
= ( 2 x ² ).( 1 + 3 x ³ - x )
1)
5 x + 10 =
2)
3x+4xy–2x³=
3)
4/3 + 2/3 x =
4)
3x³+5x4=
5)
2am+3a²m³-am³=
6)
3 x + 18 y – 9 =
7)
3 x ² b + 9 x ³ b + 12 x b =
8)
2 x – 10 x ³ + 2 x ² =
9)
3/2 x – ½ x ² + 5/2 =
10)
7x²-7x³=
22
2° caso: FACTOR COMÚN EN GRUPO
En este caso el polinomio debe tener un número par de términos (4,6,8…) para
poder separarlos en dos grupos de igual cantidad de términos y extraer en
cada uno el factor común.
Ej 1: 5 a + 5 x + a m + x m =
= 5(a+x)+m(a +x)=
=(a+x) . (5+m)
Ej 2: 3 a + 3 b – a x – b x =
=3.(a+b)–x.(a+b)=
=(a+b).(3–x)
EJ 3: 4 x – 2 - 2 a x ² + a x =
=2(2x–1)+ax(-2x+1)=
=2(2x–1)+ax(2x–1)=
=(2x–1).(2+ax)
1)
ax+bx+ay+by=
2)
x²+ax+bx+ab=
3)
2+6x+x²+3x³=
4)
1/3 a x + 5 b x + 1/3 a c + 5 b c =
5)
a x – 4 a + 9 x – 36 =
6)
m x + 3 x – 8m – 24 =
7)
2x+2n+x+n=
8)
15 x – 3 a x – 5 + x =
9)
35 – 7 x ² + 5 – x ² =
10)
5 a x – 4 a + 10 x – 8 =
Cambiamos signos para que coincidan los ( )
23
3° caso: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
El polinomio es un trinomio (3 términos), donde dos de ellos son cuadrados
perfectos y el tercero es el doble del producto entre los dos términos.
a²±2.a.x+x²=(a±x)²
Ej 1: x ² + 10 x + 25 = ( x + 5 ) ²
Ej 2: x ² - 6 x + 9 = ( x – 9 ) ²
Ej 2: 16 x ² - 8 x + 1 = ( 4 x – 1 ) ²
Factorear por el tercer caso:
1) x ² - 2 x + 1 =
2) x ² +10 x + 25 =
3) x ² - 12 x + 36 =
4) 9 x ² - 24 x + 16 =
5) x ² + 2 x y + y ² =
6) x ² - 18 x + 81 =
7) x ² + 6 x + 9 =
8) 3 x ² - 18 x + 27 =
9) x y ² + 3 y ² + 4 x y + 12 y + 4 x + 12 =
10) 0,25 y + x y + x ² y =
24
4° caso: CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
a³±3a²x+3ax²±x³=(a+x)³
El polinomio tiene 4 términos, donde dos de ellos son cubos perfectos, y los
otros dos son múltiplos de 3, según la regla.
Ej 1: x ³ + 6 x ² + 12 x + 8 = ( x + 2 ) ³
Ej 2: x ³ - 15 x ² + 75 x + 125 = ( x + 5 ) ³
Ej 3: x ³ + 3 x ² + 3 x + 1 = ( x + 1 ) ³
Ej 4: 27 x ³ - 54 x y ² + 36 x y 4 - 8 y 6 =
=(3x–2y²)³
Obtener los cubos de los binomios
1)
x ³ + 6 x ² + 12 x + 8 =
2)
x ³ - 12 x ² + 48 x – 64 =
3)
x³-3x²+3x–1=
4)
x ³ + 9 x ² + 27 x + 27 =
5)
27 x ³ + 9 x ² + 27 x + 1 =
6)
a³+3a²b+3ab²+b³=
7)
8 x 6 – 12 x 4 + 6 x ² - 1 =
8)
– 1/8 x ³ + ½ x ² + 2/3 x + 8/27 =
9)
32 + 6 x ² + 24 x + ½ x ³
10)
x m ³ - m ³ + 6 x m ² - 6 m ² + 12 x
m - 12 m + 8 x – 8 =
25
INTEGRACIÓN CASOS DE FACTOREO DEL 1 AL 4
1)
5ax+3ax²+3ax+6x³=
2)
a b – 4 b + 3 a – 12 =
3)
a³x²-3a²x²+3ax+1=
4)
4 x ² + 16 x + 16 =
5)
54 x 4 + 54 x ³ + 18 x ² + 2 x =
6)
x 10 – x 8 + 2 x 6 =
7)
3 x 4 – 11 x 6 – 12 x ³ =
8)
2x³-6x²+6x-2 =
9)
25 x ² - 10 x + 1 =
10)
3ax+3bx–3x=
26
5° caso: DIFERENCIA DE CUADRADOS
x²-a²=(x–a).(x+a)
Ej 1: x ² - 9 = ( x – 3 ) ( x + 3 )
Ej 2: 4 x ² - 25 = ( 2 x – 5 ) ( 2 x + 5 )
EJ 3: x 4 – 1 = ( x ² - 1 ) ( x ² + 1 )
=(x–1)(x+1)
1)
x ² - 81=
2)
4 x ² - 36 y ² =
3)
9/25 x ² - 49 =
4)
x ² - 25 a ² =
5)
100 a ² - y 8 =
6)
64 m 4 – 4 =
7)
36 – x ² =
8)
81 a ² - x ² =
9)
36 x ² - 1 =
10)
0,01 – x ² =
Completar los productos de suma por resta / diferencia de cuadrados:
11)
(x–4).(x+4)= x²-
12)
( m – 10 ) ( m +
13)
(2x+1)(
14)
x²-
=
)=
=(
x²-1
+2/3).(
)
27
6° caso: SUMA O RESTA DE IGUAL EXPONENTE
Es un polinomio de dos términos, ambos elevados a una misma potencia. El
primer factor será la copia de las bases de las potencias, con el mismo signo
que el binomio. El segundo factor está formado por las potencias descendentes
y ascendentes de los respectivos términos.
---ᛝ---ᛝ--Suma de exponentes pares, no se factorea.
---ᛝ---ᛝ--Resta de exponentes pares:
x 4 – 16 =
expresando como exponentes iguales
(x4–24)= (x-2).(x³+2x²+4x+8)
Aplicando regla de Ruffini, debo completar:
1 x 4 + 0 x ³ + 0 x ² + 0 x – 16 =
+2
| 1
0
0
|
2
4
8
2
4
8
1
0
| -16
| +16
R=0
Completando: 1 x ³ + 2 x ² + 4 x + 8
---ᛝ---ᛝ---
Resta de exponente impares
x ³ - 125 = ( x – 5 ) . ( x ² + 5 x + 25 )
28
Aplicando regla de Ruffini, debo completar:
1 x ³ + 0 x ² + 0 x – 125 =
| 1
+5
|
1
0
0
|
- 125
5
25
| + 125
5
25
R=0
Completando: 1 x ² + 5 x + 25
Otro ejemplo:
x ³ + 125 = ( x + 5 ) . ( x ² + 5 x + 25 )
Aplicando regla de Ruffini, debo completar:
1 x ³ + 0 x ² + 0 x + 125 =
|
-5
1
|
1
0
0
| + 125
-5
25
| - 125
-5
25
R=0
Completando 1 x ² - 5 x + 25
---ᛝ---ᛝ---
Factorear aplicando el 6° caso:
1)
64 x 4 - 1 =
(
).(
)
2)
x 6 + 64 =
(
).(
)
3)
x ³ - 27 =
(
).(
)
4)
x 5 + 32 =
(
).(
)
5)
x²-y²=
(
).(
)
6)
x7+1=
(
).(
)
29
7° caso: TRINOMIO CUADRADO NO PERFECTO (FORMULA RESOLVENTE)
Se aplica para un polinomio de 3 términos y grado 2, “similar” al cuadrado de
un binomio, pero uno de los coeficientes no coincide.
En general:
ax²+bx+c
𝑥=
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Ej: Factorear: x ² - 5 x + 6
a=1
b=-5
c=+6
reemplazando estos valores en la fórmula resolvente:
𝑥=
−(−5)±√(−5)2 −4.1.6
𝑥=
=
2.1
+5 + 1
= +3
2
+5±√25−24 +5±√1
=
2
2
𝑥′ =
+5 − 1
= +2
2
Estos son los coeficientes que se escriben con el signo contrario al factorear
el trinomio.
Entonces: x ² - 5 x + 6 = ( x – 3 ) . ( x – 2 )
---ᛝ---ᛝ--Factorear por el séptimo caso:
1)
x²+6x+8=
2)
x ² - 3 x – 10 =
3)
x²+3x–9=
4)
x ² - 9 x + 20 =
5)
x²-x+1=
6)
x²+6x+8=
30
FACTOREO por TEOREMA DE GAUSS
Para factorear, se aplica regla de Ruffini.
El divisor se calcula por tanto, considerando el cociente entre los divisores de
los coeficientes del último y primer término del polinomio ordenado,
respectivamente:
Polinomio:
x ³ + 3 x ² - 10 x – 24
Primer coeficiente: 1
Divisores: 1
Segundo coeficiente: - 24
Divisores: ± 1, ± 2, ± 3, ±4; ± 6, ± 8, ± 12, ± 24
Cocientes: ±1/1, ±2/1, ±3/1, ±4/1, ±6/1, ±8/1, ±12/1, ±24/1
Probamos si es divisible por ( x + 1 )
|
-1
1
|
1
3
-10
|
-24
-1
+2
|
+8
-2
-8
|
-16
Como el resto es distinto de cero, el polinomio no es divisible por ( x + 1)
Probamos si es divisible por ( x - 1 )
|
+1
1
|
1
3
-10
|
-24
1
+4
|
-6
4
-6
|
-30
Como el resto es distinto de cero, el polinomio no es divisible por ( x - 1)
Probamos si es divisible por ( x + 2 )
|
-2
1
|
1
3
-10
|
-24
-2
-2
|
+24
+1
-12
|
0
Como el resto es cero, el polinomio es divisible por ( x + 2 ) siendo el otro factor
el resultado donde se completó con las variables y sus exponentes.
31
Entonces tenemos el primer paso del factoreo:
x ³ + 3 x ² - 10 x – 24 = ( x + 2 ) . ( x ² + x – 12 )
Analizando el segundo factor, puede aplicarse 7° caso de factoreo:
a=+1
b=+1
c = - 12
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −(+1) ± √(+1)2 − 4. (+1). (−12)
𝑥=
=
2𝑎
2. (+1)
−1 + 7
6
=
+
= +3
−1 ± √1 + 48 −1 ± √49 −1 ± 7
2
2
x=
=
=
=
−1 − 7
8
2
2
2
= − = −4
2
2
De aquí que los restantes factores son: ( x – 3 ) ( x + 4 )
Por lo tanto: x ³ + 3 x ² - 10 x – 24 = ( x + 2 ) ( x – 3 ) ( x + 4 )
Verificación: (aplicando propiedad distributiva)
(x+2)(x–3)(x+4)=
=(x²+2x–3x -6)(x+4)=
=( x ² - 1 x – 6 ) ( x + 4 ) =
= ( x ³ - x ² - 6 x + 4 x ² - 4 x – 24 ) =
= x ³ + 3 x ² - 10 x - 24
1)
3 x ³ + 8 x ² - 33 x + 10 =
2)
x³-7x +6=
3)
2x² –x²-0x +5=
4)
–2x²+7x+4=
32
.
INTEGRACIÓN: FACTOREAR aplicando distintos casos de factoreo
1)
x³+x²-9x–9=
2)
a³x+b³ x–4a²+4b²=
3)
2 x ² + 6 x – 20 =
4)
x5–2x²-x+2=
5)
2x³-3x²-3x+2=
6)
x²-7x+6=
7)
x7–ab³+a4–b²=
8)
x 4 – x ³ - 10 x ² + 4 x + 24 =
9)
3 x ² a – 75 a + 3 x ² b ² - 75 b ² =
10)
1/5 x ² + 1/5 x + 6/5 =
11)
9m²x³+1–x³-9m²=
12)
32 – x 5 =
13)
3x²-9=
14)
7 x ² - 28 =
15)
16 x ² + 24 x + 9 =
16)
4 x ² + 28 x + 49 =
17)
8 + 12 x + 6 x ² + x ³ =
18)
x³-7x+6=
19)
x ³ + 9 x ² + 26 x + 24 =
20)
x ³ - x ² - 16 x + 16 =
--- FIN ---
33
ANEXO: MICROSOFT EDITOR DE ECUACIONES
Para escribir los exponentes hay varias opciones:
1) Usarlos botones del menú:
2) Insertar símbolo y buscar en la lista.
3) También en el menú anterior, si señala el símbolo y luego voy a
autocorrección. En reemplazar coloco cua (para que cuando escriba
“cua" coloque el exponente 2).
34
4) También existe una
herramienta en “insertar”, “ecuación”, pero para
este caso es muy lenta su aplicación, ya que debo ir seleccionando paso
a paso.