Presentación de PowerPoint

ELIPSE E HIPERBOLA
DEFINICIONES Y EJERCICIOS
Chía, Octubre 22 de 2015
Señores Estudiantes grados Décimos
Adjunto encontrarán las definiciones y los ejercicios que deben realizar de los dos
temas pendientes para la evaluación general del cuarto periodo, todos los ejercicios
deben ser elaborados algunos en clase y los demás en hojas para entregar si hay alguna
pregunta o inquietud, se resuelve en clase. A continuación aparece la fecha de entrega
para cada curso de acuerdo al horario de clases así:
1001, 1002, 1004, 1006 (Nov-3-15)
1003 (Nov-5-15)
Algunos de los datos que aparecen en esta presentación corresponden a imágenes y
conceptos de internet, los ejercicios son del libro de Santillana grado 10°
Cordialmente,
Rosario Monastoque R
Profesora de Matemáticas
Excentricidad: (e) en matemáticas, geometría,
astronomía y otras ciencias exactas, es un
parámetro que determina el grado de desviación de
una sección cónica con respecto a una
circunferencia.
Valores de la excentricidad en secciones cónicas:
Circunferencia
Elipse
e=0
0<e<1
Parábola
e=1
Hipérbola
e>1
ELIPSE
Una elipse es un lugar geométrico de los puntos (x, y) de un
plano, que tienen la propiedad de que la suma de sus
distancias a dos puntos fijos, llamados focos (F1 y F2 ), es
constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor AB
de la elipse.
3
Partes de La elipse
centro
3
vértice
.
. foco
F2
V2
.v
vértice
. foco
. .
.v
F1
V1
4
V1V2 : eje mayor
V3v4: eje menor
eje focal
PARTES DE LA ELIPSE
Eje mayor = 2a
Eje menor = 2b
Distancia focal = 2c
F' P  PF  2a
a2  b2  c 2
Excentricidad
c
e 
a
a2  b2
a
Se denomina latus Rectum de la Elipse al segmento de
Latus rectum recta perpendicular al semieje mayor, pasando por uno de
los focos y cuyos extremos están sobre la elipse.
Analíticamente el Latus Rectum es:
2b 2
a
Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje x
a
x 0
e
;
a
x 0
e
Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje y
a
y 0
e
;
a
y 0
e
6
Elipse con centro (0,0) y eje
mayor sobre x
Y
. .
F2
V2
.v
. . .
.v
4
F1
V1
3
2
X
2
Y
---+
---=
1
a2 b2
X
Elipse con centro (0,0) y eje
mayor sobre y
Y
v4
.
. . .
.
.v
F1
V2
X
V1
F2
3
2
X
2
Y
---+
---=
1
b2 a2
Elipse con eje focal paralelo al eje x
y
V3
.
F2
V2
.(h,k) .
F1
x
V4
2
h)
V1
2
k)
(x
(y
____
____
+
=
1
a2
b2
Elipses con eje focal paralelo al eje y
V2
y
F1
V3
.
(h,k)
.
.
V4
F2
x
V1
2
2
(x
h)
(y
k)
____ + ____ = 1
2
2
b
a
ELIPSES
EJERCICIOS
Si las coordenadas de los vértices
de una elipse son V (3,0), V(-3,0),
V(0,5), V(0,-5) graficar y
determinar:
1.Centro
2.Longitud del semieje mayor
3.Longitud del semieje menor
4.Coordenadas del foco
Luego de dibujar la elipse , ubicamos el centro
que corresponde al punto medio entre los
vértices mayores y menores. Por lo tanto el
centro es (0,0)
La longitud del semieje mayor se determina por
la longitud del segmento que une el centro con
un vértice mayor, por lo tanto el semieje mayor
mide a= 5
La longitud del semieje menor se determina por
la longitud del segmento que une el centro con
un vértice menor por lo tanto el semieje menor
mide b= 3
Los focos deben ubicarse
sobre el eje mayor en este
caso sobre el eje y entre el
centro con un vértice
menor.
Como a mide 5 y b mide 3 ,
entonces calculamos el
valor de c mediante el
teorema de Pitágoras
𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2
Luego el resultado de c es 4
La coordenadas del foco
son F(0,4) y F(0,-4)
Ecuación Canónica de la elipse con eje mayor sobre el eje x
y centro (0,0)
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
=1
Ecuación Canónica de la elipse con eje mayor sobre el eje y
y centro (0,0)
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
=1
Ecuación Canónica de la elipse con centro en un punto (h,k)
y eje mayor paralelo al eje x es:
(𝑥;ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦;𝑘)2
𝑏2
=1
Ecuación Canónica de la elipse con centro en un punto (h,k)
y eje mayor paralelo al eje y es:
(𝑥;ℎ)2
𝑏2
+
(𝑦;𝑘)2
𝑎2
=1
Ecuación General de la elipse es:
𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑦 2 + Cx + Dy + E = 0 para A, B, C, D, E ∈ R
Ejemplo hallar las coordenadas del centro y de los focos de la elipse cuya ecuación
general es:
2
2
9𝑥 + 4𝑦
− 54x − 40y + 145 = 0
PROCESO: Expresamos la ecuación general en forma canónica organizando los
trinomios y completando cuadrado para factorizar
9(𝑥 2 − 6x+ ) + 4(𝑦 2 − 10y+ ) = −145
9(𝑥 2 − 6x + 9) + 4(𝑦 2 − 10y + 25 = −145 + 81 + 100
9(𝑥 2 − 6x+ ) + 4(𝑦 2 − 10y+ ) = −145
9(𝑥 2 − 6x + 9) + 4(𝑦 2 − 10y + 25 = −145 + 81 + 100
9(𝑥 − 3)2 + 4(𝑦 − 5)2 = 36 dividimos entre 36
9(𝑥 − 3)2 4(𝑦 − 5)2
36
+
=
36
36
36
(𝑥;3)2
4
+
(𝑦;5)2
9
=1
Las coordenadas del centro son (3,5)
Como 𝑐 2 = 𝑏2 − 𝑐 2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑐 2 = 5, 𝑐 = 5
Las coordenadas del foco son: F(3, 5+ 5) y F(3, 5- 5)
Dibujar en el plano la elipse
Expresar en forma canónica cada una de las ecuaciones generales
dibujando y hallando las coordenadas del centro y de los focos de la
elipse cuya ecuación general es:
1. 24𝑦 2 + 2𝑥 2 + 48y + 4x − 22 = 0
2. 2𝑦 2 + 11𝑥 2 + 36y + 44x + 184 = 0
3. 26𝑦 2 + 24𝑥 2 − 312y + 336x + 1488 = 0
4. 22𝑦 2 + 32𝑥 2 − 308y − 512x + 2422 = 0
5. 30𝑦 2 + 32𝑥 2 − 120y − 64x − 808 = 0
6. 12𝑦 2 + 16𝑥 2 + 72y + 128x + 172 = 0
7. 5𝑦 2 + 36𝑥 2 − 60y + 216x + 324 = 0
8. 11𝑦 2 + 14𝑥 2 − 22y − 252x + 991 = 0
9. 14𝑦 2 + 16𝑥 2 + 112y − 160x + 400 = 0
10.10𝑦 2 + 17𝑥 2 + 80y + 102x + 143 = 0
Dibujar y determinar, el centro, los vértices, los focos de
cada una de las siguientes elipses:
1.
2.
3.
4.
5.
(𝑥:9)2
4
(𝑥;7)2
10
(𝑥;3)2
4
(𝑥:4)2
6
(𝑥;1)2
10
+
+
+
+
+
(𝑦:1)2
=
1
20
(𝑦;5)2
=
1
9
(𝑦:6)2
=
1
14
(𝑦:7)2
=1
5
(𝑦;5)2
=1
12
(𝑦;8)2
(𝑥;9)2
6. 12 + 14 =
(𝑥;9)2
𝑦2
7. 8 + 10 = 1
𝑥2
(𝑦:8)2
8. 13 +
=
1
7
𝑥2
𝑦2
9. 169 + 225 = 1
𝑥2
𝑦2
10.144 + 81 = 1
1
Para los siguientes ejercicios
dibujar en el cuaderno cada elipse y
encontrar los, vértices, los focos, la
ecuación canónica de cada una
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Hipérbola
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos (x , y) de un
plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias
a dos puntos fijos, llamados focos (F1 y F2 ), es constante e igual a
la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.
F1P  PF 2  2a
32
oEje transverso: VV´
oCentro: C
oEje conjugado: BB´
oFocos: F y F´
oVértices: V y V´
B
F´
V’
C
V
F
B´
oLados Rectos:
LR y L´R´.
oAsíntotas
Partes de la Hipérbola
C: punto central de la hipérbola donde se
cruzan las asíntotas.
Eje transversal: línea que une los puntos
focales (F1 y F2).
a : distancia del vértice al centro sobre el
eje transversal.
Eje conjugado: línea perpendicular al eje
transversal de distancia 2b.
b: punto de corte del eje conjugado con la
circunferencia de centro a y radio c.
Directrices, D1 y D2 : líneas paralelas al eje
conjugado.
a b c
2
2
2
Latus rectum: cuerda que pasa por el
foco en forma paralela a la directriz.
34
Hipérbola
Por definición
F1P  PF2  2a
x  c 2 ( y
 0 )2 
x  c 2 ( y
 0 )2  2a
35
Hipérbola - Demostración
F1P  PF 2  2a
a 2  b2  c 2
x  c 2 ( y
 0 )2 
x  c 2 ( y
x  c 2 ( y
 0 )2  2a 
Elevando al cuadrado y
reduciendo términos
cx  a 2  a ( x  c )2  y 2
Elevando al cuadrado y
simplificando
c
Haciendo que
2
 0 )2  2a
x  c 2 ( y
 0 )2
 a 2 x 2  a 2 y 2  a (2 c 2  a 2 )
c2 a2  b2
b 2 x 2  ay 2  a 2b 2
Dividiendo por
a 2b 2
x2 y2

1
a2 b2
36
HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN Y FOCOS EN EL EJE X
B(0, b)
F´(−c, 0)
V’(−a, 0)
V(a, 0)
B´(0, −b)
F(c, 0)
Ecuación Canónica de la Hipérbola
con centro (0,0) y focos en el eje X
x y


1
2
2
a b
2
2
Ecuación general de una hipérbola con centro en el origen y
focos sobre los ejes de coordenadas
Ax  By  1
2
2
38
• Ecuación:
,
• Centro: C(0, 0)
• Coordenadas de sus vértices: V(a, 0) y V´(-a, 0)
• Coordenadas de los extremos del eje conjugado:
B(0, b) y B´(0, -b)
• Coordenadas de sus focos: F(c, 0) y F´(-c, 0)
• Longitud del eje transverso: VV´= 2a
• Longitud del eje conjugado: BB´=2b
• Longitud de cada lado recto:
• Excentricidad:
• Asíntotas:
HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN Y FOCOS EN EL EJE Y
F(0, c)
V(0, a)
B´(−b, 0)
B(b, 0)
V’(0, −a)
F´(0, −c)
• Ecuación:
,
• Centro: C(0, 0)
• Coordenadas de sus vértices: V(0, a) y V´(0, -a)
• Coordenadas de los extremos del eje conjugado:
B(b, 0) y B´(-b, 0)
• Coordenadas de sus focos: F(0, c) y F´(0, -c)
• Longitud del eje transverso: VV´= 2a
• Longitud del eje conjugado: BB´=2b
• Longitud de cada lado recto:
• Excentricidad:
• Asíntotas:
Ecuación Canónica de la Hipérbola
con centro (0,0) y focos en el eje Y
y x


1
2
2
a b
2
2
Ecuación general de una hipérbola con centro en el origen y
focos sobre los ejes de coordenadas
Ax  By  1
2
2
42
Hipérbola
Ecuaciones de las asíntotas para cuando el eje transversal es el eje x
y cuando el eje transversal es el eje y
y 
b
x
a
;
y 
a
x
b
Ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola con centro
en las coordenadas (h,k) para cuando el eje transversal es el eje x
y cuando el eje transversal es el eje y
y k  
b
x  h 
a
;
y k  
a
x  h 
b
43
Hipérbola
e 
Excentricidad
c
a
2b 2
Latus rectum
a
Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje x
y cuando están sobre el eje y
a
x 
e
;
a
y 
e
Ecuaciones de las asíntotas para cuando el eje transversal es el eje x
y cuando el eje transversal es el eje y
y 
b
x
a
;
y 
a
x
b
44
Ecuación Canónica de la Hipérbola
con centro (h,k) y eje focal paralelo al eje X
Consideremos el centro de la hipérbola el par ordenado C(h,k)
x  h 
2
a
2

y  k

2
b
2
1
Ecuación General de la Hipérbola
Ax  By  Cx  Dy  F  0
2
2
Ecuación Canónica de la Hipérbola
con centro (h,k) y eje focal paralelo al eje Y
y  k 
2
a
2

x  h

2
b
2
1
Ecuación General de la Hipérbola
Ay  Bx  Cx  Dy  F  0
2
2
Ecuación Canónica de la Hipérbola
con centro (h,k)
Si el centro de la hipérbola tiene coordenadas (h,k) y eje transversal
paralelo al eje x
x  h 2  y  k 2  1
a2
b2
Si el centro de la hipérbola tiene coordenadas (h,k) y eje transversal
paralelo al eje y
y  k 2  x  h 2
a
b
2
2
1
Ecuación general de una hipérbola con centro en las coordenadas (h,k) y
ejes paralelos a los de las coordenadas x y y, siendo A y B del mismo signo
Ax  By  Dx  Ey  F  0
2
2
47
Dibujar y determinar, el centro, los vértices, los focos de
cada una de las siguientes elipses:
1.
2.
3.
4.
5.
(𝑦;3)2
49
(𝑥;1)2
36
(𝑥;6)2
4
(𝑦:2)2
30
(𝑥;9)2
24
(𝑥:1)2
- 16 = 1
(𝑦:2)2
− 25 = 1
(𝑦:7)2
− 36 = 1
(𝑥;1)2
=1
8
(𝑦:6)2
=1
26
(𝑦;2)2
(𝑥;1)2
6. 32 - 10
(𝑥;2)2 𝑦 2
7. 19 - 12 = 1
(𝑦;7)2
(𝑥:8)2
8. 10 - 42
𝑥2
𝑦2
9. 16 - 9 = 1
𝑦2 𝑥2
10.16 - 9 = 1
=1
=1