Unidad III Teoría de la Dualidad.

Curso de investigación de operaciones
http://www.luciasilva.8k.com/5.5.htm
Unidad III
Teoría de la Dualidad.
III.1 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DUAL
La Teoría de la Dualidad es una de las herramientas que ha venido a proporcionar mayor
potencia al desarrollo y a la aplicación de modelos de Programación Lineal. (J. L. Mora).
Permite además agilizar el logro de soluciones óptimas, verifica ala adecuación del modelo
respecto a la realidad que representa, constata la factibilidad del modelo con las
restricciones estimadas y comprueba cuan viable resulta cierta solución.
El problema de programación lineal primario expresado en forma matricial se visualiza a
continuación de manera primaria y dual:
PRIMO
DUAL
sujeto a:
sujeto a:
Tomando en cuenta que para toda
Forma 1.
Si el problema está expresado en forma canónica (que es el problema primario o primal),
tenemos que:
Max Z = C x
s.a. Ax
b
1
Se define el problema dual estructurado de la siguiente forma:
PROBLEMA PRIMARIO
Elemento
Dimensión
Elemento
x
Vector columna con n
elementos
Vector de variables de
actividades primarias
C
Vector renglón con n
componentes
Vector de precios unitarios
del problema primario
b
Vector columna con m
componentes
Vector de recursos
disponibles del primario
A
Matriz de m x n
Matriz de coeficientes
tecnológicos
z
Escalar
Función objetivo del
primario
PROBLEMA DUAL
Elemento
Y
Dimensión
Característica
Vector columna con m
componentes
Vector de variables de
actividades duales
Transpuesta del vector C de
n componentes
Vector de recursos disponibles
dual
Transpuesta del vector
renglón b de m
componentes
Vector de precios unitarios del
dual
Matriz transpuesta de A de
nxm
Matriz de coeficientes
tecnológicos del problema dual
2
G
Escalar
Función objetivo dual
Forma 2.
Si en el problema primario se observan las restricciones de tipo:
Mín Z = C x
s.a.
Ax
b
Se puede reescribir de la forma:
Max Z = - C x
s.a. – A x
-b
El problema dual queda:
Forma 3.
Si se observa que el problema primario está expresado:
3
Máx z = C x
s.a. A x = b
Que puede expresarse como:
Max Z = C x
s.a. A x
Ax
b
b
ó
Max Z = C x
s.a. Ax
b
-Ax
-b
El problema dual estará descrito por:
para "y" sin restricción de signo.
Si se aplica la definición de dualidad, asociado con el vector dual W, con las restricciones
primarias A x b , y el vector dual V para -A x -b, se tiene:
factorizando tenemos:
4
determinando a la resta de vectores duales (W-V) igual al vector Y, tenemos Y= W-V, para
lo cual
a. si W > V
b. si W = V
c. si W < V
Y>0
Y= 0
Y<0
de donde
sin restricción de signo para Y.
Forma 4.
Si el problema primario está expresado por:
Max Z = C x
s.a. A x
b ó -A x
-b
En forma dual se tendrá:
5
III. 2 CORRESPONDENCIA PRIMAL-DUAL.
Si se busca max Z = C x, se desprende la relación del problema primario y la
correspondencia que hay con el dual.
PRIMARIO
DUAL
Maximizar
Minimizar
Minimizar
Maximizar
Restricción i
Variable i
Restricción i =
Variable i no
restringida Variable i
0
Restricción i
Variable j
Restricción j
0
0
Variable j no
restringida
Variable j
0
Restricción j =
Restricción j
0
Tomando las consideraciones anteriores, en el problema primal, si el objetivo es:
6
Max Z =C x
s.a. A x
b
los valores colocados en tablas, tendrán la forma:
Z
Variables
originales
Variables de
holgura
Zo
1
-C
0
0
0
A
1
b
Se convertirá en la siguiente iteración:
Z
Variables
originales
Variables de
holgura
Zo
1
0
El problema dual será:
Con todo lo anterior, se resolverá el siguiente problema:
Max Z =
7
Sujeto a las siguientes restricciones.
TABLA I / SIMPLEX
Entra
Zo
Eo
E1
0
-2
-1
0
0
0
0
3
5
1
0
15
0
6
2
0
1
24
E2
Sale
Existen valores negativos en la base, (-2, -1), luego entonces, la función de optimalidad no
se cumple, identificando que:
Saldrá de la base
, como se visualiza
seguidamente:
Resulta en el traslape de fila y columna ( 6 ), la conveniencia de hacerlo con
coeficiente =1, multiplicando la fila E2 por 1/6, para tener la fila pivotal F.P.
1
1/3
0
1/6 4
Haciendo las operaciones de renglón, que nos dará la columna unitaria, con –3FP + E1, y
2FP + Eo, obtenemos la siguiente tabla
TABLA II / SIMPLEX
Entra
8
Zo
Z
Eo
E1
0
0
-1/3
0
1/3
8
0
0
4
1
-1/2
3
0
1
1/3
0
1/6
4
E2
Sale
Tenemos una solución básica no óptima , no satisface la condición de optimalidad, existe
aún, un valor negativo en la base (-1/3), para localizar quien sale de la base, hacemos
Indica que sale de la base, para dar su lugar a , para
hacer en el traslape de fila y columna (4), coeficiente igual a uno , para tener la nueva fila
pivotal (FP), hacer ¼ E1..
Luego entonces tenemos que la fila pivotal será:
0
1
1/4
- 3/4
1/3
La columna unitaria se genera, efectuando -1/3FP + E2 , y 1/3FP + Eo,
los valores que dan origen están en la tabla siguiente.
TABLA III / SIMPLEX
Zo
Z
Eo
1
0
0
1/12
0.29
33/4
E1
0
0
1
1/4
-1/8
3/4
0
1
0
-1/12
5/24
15/4
E2
Se observa que se cumple con la condición de optimalidad
≥0, y que el vector de
soluciones óptimas contiene elementos mayores iguales que cero, que satisface el conjunto
de restricciones a las que está sujeta la función objetivo, por lo tanto tenemos la solución
por el método simplex dada por:
9
Con Zo =
= 8.25
Ahora, el problema dual estará descrito por:
La relación del problema primo con el problema dual es:
La solución óptima del primo = Solución óptima del dual
Max z = Mín G
De donde
es la solución óptima dual.
La solución óptima del primo tiene
Para las variables de holgura
10
, en las variables
Tomando en consideración, que por cada
, existe una variable Dual
, que quiere decir
.
Para esto tenemos que:
SOLUCIÓN ÓPTIMA
DEL
SOLUCIÓN ÓPTIMA
DEL
PROBLEMA PRIMAL
PROBLEMA DUAL
III. 3 INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LAS VARIABLES DUAL.
La solución óptima de las variables dual, observadas en el ejemplo anterior (III.2), donde
11
III. 2 CORRESPONDENCIA PRIMAL-DUAL.
Si se busca max Z = C x, se desprende la relación del problema primario y la
correspondencia que hay con el dual.
PRIMARIO
DUAL
Maximizar
Minimizar
Minimizar
Maximizar
Restricción i
Variable i
Restricción i =
Variable i no
restringida Variable i
0
Restricción i
Variable j
0
Restricción j
0
0
Restricción j =
Variable j no
restringida
Variable j
Restricción j
0
Tomando las consideraciones anteriores, en el problema primal, si el objetivo es:
Max Z =C x
s.a. A x
b
los valores colocados en tablas, tendrán la forma:
Z
Variables
originales
Variables de
holgura
Zo
1
-C
0
0
0
A
1
b
12
Se convertirá en la siguiente iteración:
Z
Variables de
holgura
Variables
originales
Zo
1
0
El problema dual será:
Con todo lo anterior, se resolverá el siguiente problema:
Max Z =
Sujeto a las siguientes restricciones.
TABLA I / SIMPLEX
Entra
Zo
Eo
0
-2
-1
0
0
0
13
E1
0
3
5
1
0
15
0
6
2
0
1
24
E2
Sale
Existen valores negativos en la base, (-2, -1), luego entonces, la función de optimalidad no
se cumple, identificando que:
Saldrá de la base
, como se visualiza
seguidamente:
Resulta en el traslape de fila y columna ( 6 ), la conveniencia de hacerlo con
coeficiente =1, multiplicando la fila E2 por 1/6, para tener la fila pivotal F.P.
1
1/3
0
1/6 4
Haciendo las operaciones de renglón, que nos dará la columna unitaria, con –3FP + E1, y
2FP + Eo, obtenemos la siguiente tabla
TABLA II / SIMPLEX
Entra
Z
Eo
E1
Zo
0
0
-1/3
0
1/3
8
0
0
4
1
-1/2
3
0
1
1/3
0
1/6
4
E2
Sale
Tenemos una solución básica no óptima , no satisface la condición de optimalidad, existe
aún, un valor negativo en la base (-1/3), para localizar quien sale de la base, hacemos
14
Indica que sale de la base, para dar su lugar a , para
hacer en el traslape de fila y columna (4), coeficiente igual a uno , para tener la nueva fila
pivotal (FP), hacer ¼ E1..
Luego entonces tenemos que la fila pivotal será:
0
1
1/4
- 3/4
1/3
La columna unitaria se genera, efectuando -1/3FP + E2 , y 1/3FP + Eo,
los valores que dan origen están en la tabla siguiente.
TABLA III / SIMPLEX
Z
Zo
Eo
1
0
0
1/12
0.29
33/4
E1
0
0
1
1/4
-1/8
3/4
0
1
0
-1/12
5/24
15/4
E2
Se observa que se cumple con la condición de optimalidad
≥0, y que el vector de
soluciones óptimas contiene elementos mayores iguales que cero, que satisface el conjunto
de restricciones a las que está sujeta la función objetivo, por lo tanto tenemos la solución
por el método simplex dada por:
Con Zo =
= 8.25
Ahora, el problema dual estará descrito por:
15
La relación del problema primo con el problema dual es:
La solución óptima del primo = Solución óptima del dual
Max z = Mín G
De donde
es la solución óptima dual.
La solución óptima del primo tiene
, en las variables
Para las variables de holgura
Tomando en consideración, que por cada
, existe una variable Dual
.
Para esto tenemos que:
SOLUCIÓN ÓPTIMA
DEL
SOLUCIÓN ÓPTIMA
DEL
PROBLEMA PRIMAL
PROBLEMA DUAL
16
, que quiere decir