Coordenadas Cilíndricas y Esféricas

30
Unidad 2 : VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO
Tema 2.7 : Coordenadas Cilíndricas y Esféricas
(Estudiar la Sección 12.7 en el Stewart 5ª Edición y hacer la Tarea No. 10)
Ecuaciones de Transformación de
Coordenadas Cartesianas a
Coordenadas Cilíndricas
Coordenadas Cilíndricas : (r,θ
θ,z)
z
r = x2 + y2
 y
 x
P(r,θ,z)
θ = tan −1  
z=z
Ecuaciones de Transformación de
Coordenadas Cilíndricas a
Coordenadas Cartesianas
z
y
r
θ
x = r cosθ
y = rsenθ
z=z
x
Ejemplo 1:
 π 
,1 en
 3 
(a) Graficar el punto  2,
coordenadas cilíndricas y expresarlo en
coordenadas cartesianas
(b) Expresar en coordenadas cilíndricas el
punto con coordenadas cartesianas
(3,−3,−7 )
Ejemplo 3: Determine la ecuación de un
cono en coordenadas cilíndricas:
x2 + y2 − z 2 = 0
z2 = x2 + y2
z2 = r2
z=r
Ejemplo 4: Determine la ecuación de un
elipsoide en coordenadas cilíndricas:
Ejemplo 2: Determine la ecuación de un
cilindro en coordenadas cilíndricas
2
2
x +y =c
r 2 = c2
r =c
2
4x2 + 4 y 2 + z 2 = 1
(
1− z 2 = 4 x2 + y2
2
1 − z = 4r
2
z 2 = 1 − 4r 2
)
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Ecuaciones de Transformación de
Coordenadas Esféricas a
Coordenadas Cartesianas
Coordenadas Esféricas : (ρ
ρ,θ
θ,ϕ
ϕ)
z
x = ρ senϕ cosθ
P(ρ,θ,ϕ)
y = ρ senϕ senθ
z = ρ cos ϕ
ϕ
Ecuaciones de Transformación de
Coordenadas Cartesianas a
Coordenadas Esféricas
ρ
z
ρ = x2 + y2 + z2
y
r
θ
 y
 x
θ = tan −1  
 x2 + y2

z

x
ϕ = tan −1 
Ejemplo 5: Determine las coordenadas
cartesianas del punto con coordenadas
Ejemplo 6: Determine las coordenadas
esféricas del punto con coordenadas
 π π
, 
 4 3
(
esféricas  2,
cartesianas 0 , 2 3 , − 2
Ejemplo 7: Determine la ecuación de un
hiperboloide de dos hojas en coordenadas
esféricas
)
Ejemplo 8: Determine la ecuación en
coordenadas cartesianas de la
superficie cuya ecuación en
coordenadas esféricas es:
x2 − y2 − z2 = 1
ρ = senθ senϕ
(ρsenϕ cosθ )2 − ( ρsenϕsenθ )2
2
− ( ρ cosϕ ) = 1
ρ 2 = ρsenθ senϕ
x2 + y2 + z 2 = y
2
1

1
x +  y −  + z2 =  
2

2
ρ [sen ϕ (cos θ − sen θ ) − cos ϕ ] = 1
2
2
2
2




2
2
2
Tarea asignada para entregar al inicio de la próxima clase:
Tarea No. 10 “Coordenadas Cilíndricas y Esféricas”
Estudiar en el libro “Calculus 5th Edition Early Trascendentals” la sección 13.1 “Vector
Functions and Space Curves”
R5 :
(
)
3 2 , 3 2 ,1
; R6 :
(4 , π
2 , 2π 3)
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Ma-817 : MATEMÁTICAS III PARA INGENIERIA
Tarea No 10 : Coordenadas Cilíndricas y Esféricas
1
2
Cambie de coordenadas cilíndricas a esféricas las coordenadas del punto:
P(4, π 3 ,4 )
Cambie de coordenadas esféricas a cilíndricas las coordenadas del punto:
P(8,π 6 , π 2 )
En los siguientes problemas identifique la superficie dada por la ecuación, pasándola
a coordenadas cartesianas:
3
z = r2
5
r = 2 cosθ
4
ρ cos ϕ = 2
6
r 2 + z 2 = 25
Escriba la ecuación (a) en coordenadas cilíndricas y (b) en coordenadas esféricas.
7
x 2 + y 2 + z 2 = 16
8
x + 2 y + 3z = 6
Respuestas:
(
R1 : 4 2 ,π 3 ,π 4
)
R5: Cilindro circular, radio 1, con su eje paralelo el
eje z, pasando por el punto (1,0,0)
R 2 : (8,π 6 ,0 )
R6: Esfera, radio 5, centro en le origen
R3: Paraboloide circular con
ecuación: z = x 2 + y 2
R7:
(a )
R4: Plano horizontal con la
ecuación z = 2
R8:
(a ) r cosθ + 2rsenθ + 3z = 6
(b ) ρ (senϕ cosθ + 2senϕ senθ + 3 cos ϕ ) = 6
r 2 + z 2 = 16 ;
(b ) ρ = 4