Lección 4. 3. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 4. Ecuaciones diferenciales.
3. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.
Como hemos dicho, el tipo más importante de ecuaciones diferenciales es el de las ecuaciones lineales.
DEFINICIÓN. Una ecuación diferencial de la forma y′′ + P( x) y′ + Q( x) y = R( x), donde P, Q y R
son funciones continuas en un intervalo I ⊆ \, se llama lineal de segundo orden. La función R se
llama término independiente y las funciones P y Q coeficientes de la ecuación lineal. Si la función
R es idénticamente cero en I , se dice que la ecuación es homogénea. Si las funciones P y Q son
constantes en I , digamos P( x) = p y Q( x) = q para todo x ∈ I , se dice que la ecuación es de coeficientes constantes. Diremos que una función y, dos veces derivable, es una solución de la ecuación si y′′( x) + P( x) y′( x) + Q( x) y ( x) = R( x), para todo x ∈ I .
EJEMPLO. Ahora comprobaremos que las siguientes funciones son soluciones de las ecuaciones diferenciales correspondientes.
1) La función y ( x) = 3sen(2 x) − 5cos(2 x) es solución de y′′ + 4 y = 0. Derivando dos veces la función tenemos que y′′( x) = −12sen(2 x) + 20 cos(2 x). Por tanto
y′′( x) + 4 y ( x) = ( −12sen(2 x) + 20 cos(2 x) ) + 4 ( 3sen(2 x) − 5cos(2 x) ) = 0.
2) La funciones y ( x) = cos x e y ( x) = sen x son soluciones de y′′ + y = 0. Vamos a comprobarlo
para la función y ( x) = cos x. Derivando obtenemos que y′( x) = − sen x y volviendo a derivar tenemos que y′′( x) = − cos x. De esta forma vemos que se verifica que y′′( x) + y ( x) = − cos x + cos x = 0.
Hemos visto que para resolver una ecuación diferencial de primer orden hace falta calcular una
primitiva, obteniéndose como solución general una familia de soluciones que depende de un parámetro, la constante de integración correspondiente. Para fijar una solución particular de la ecuación
debemos dar una condición inicial con la que podemos determinar el valor de dicha constante. Cabe
pensar que para resolver una ecuación diferencial lineal de segundo orden hace falta calcular dos
primitivas, obteniéndose como solución general una familia de funciones que depende de dos parámetros, y que para fijar una solución particular de la ecuación debemos imponer dos condiciones.
Veamos un ejemplo.
EJEMPLO. Consideremos la ecuación y′′ − y′ = 2e 2 x en el intervalo I = [0,1]. Si hacemos el cambio
de variables z ( x) = y′( x), nos queda z ′ − z = 2e 2 x que es una ecuación lineal de primer orden. Resolviendo esta ecuación obtenemos z ( x) = 2e 2 x + c1e x , con lo cual y′( x) = 2e 2 x + c1e x . Integrando
otra vez, llegamos a la solución general y ( x) = e 2 x + c1e x + c2 que, efectivamente, depende de dos
constantes.
OBSERVACIÓN. Para determinar una solución particular debemos imponer dos condiciones, lo que
nos ofrece varias posibilidades. Veamos cuatro ejemplos.
⎧ y (0) = 1 + c1 + c2 = 0,
1) Si fijamos y (0) = 0 e y′(0) = 1, entonces tenemos que ⎨
Resolviendo este
⎩ y′(0) = 2 + c1 = 1.
sistema obtenemos que c1 = −2 y c2 = 1 y deducimos que la única solución es y ( x) = e 2 x − e x .
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2) Si ahora fijamos otras condiciones, por ejemplo y (0) = 0 e y (1) = 0, entonces tenemos el sistema
⎧ y (0) = 1 + c1 + c2 = 0,
Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior, con las incógnitas c1 y c2 ,
⎨
2
⎩ y (1) = e + c1e + c2 = 0.
obtenemos que la única solución es y ( x) = e 2 x − (e + 1)e x + e.
⎧ y′(0) = 2 + c1 = 0,
3) Si fijamos y′(0) = 0 e y′(1) = 1, entonces ⎨
Obtenemos un sistema incompa2
′
y
(1)
2
e
c
e
0.
=
+
=
⎩
1
tible para c1 y c2 , así que no hay solución que verifique dichas condiciones.
⎧ y′(0) = 2 + c1 = 0,
4) Si fijamos y′(0) = 0 e y′(1) = 2e(e − 1), entonces ⎨
De esta forma, la
2
′
y
(1)
2
e
c
e
2
e
(
e
1).
=
+
=
−
⎩
1
solución no es única ya que para cualquier c2 ∈ \ la función y ( x) = e 2 x − 2e x + c2 verifica ambas
condiciones.
Las condiciones del caso 1) se llaman condiciones iniciales porque se fijan el valor de la función y
el de su derivada, ambas en un sólo punto de I . Si la función y ( x) representa un movimiento cuya
variable independiente x es el tiempo, entonces dar condiciones iniciales en x = 0 no es más que
fijar la posición y la velocidad en el instante inicial. Las condiciones de los casos 2), 3) y 4) se llaman condiciones de contorno porque se fijan en los extremos del intervalo I .
Como nos sugiere el ejemplo, la teoría de las ecuaciones lineales de segundo orden con condiciones
iniciales es muy distinta de la teoría con condiciones de contorno. Aquí estudiaremos la resolución
de las ecuaciones con coeficientes constantes y condiciones iniciales. El resto se estudiará en cursos
sucesivos.
El resultado clave es el que nos asegura que los problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden tienen siempre solución única.
TEOREMA (EXISTENCIA Y UNICIDAD). Sean P, Q y R funciones continuas en un intervalo I . Sea
x0 ∈ I y sean y0 e y0′ dos números reales cualesquiera. Entonces el problema de valores iniciales
y′′ + P( x) y′ + Q( x) y = R( x), con y ( x0 ) = y0 e y′( x0 ) = y0′ tiene solución única en I . Es decir, existe
una única función y con derivada segunda continua en I que verifica
y′′( x) + P( x) y′( x) + Q( x) y ( x) = R( x), x ∈ I ,
tal que y ( x0 ) = y0 e y′( x0 ) = y0′ .
OBSERVACIÓN. La unicidad de la solución del problema de valores iniciales significa que si y1 ( x) e
y2 ( x) son dos soluciones de la misma ecuación diferencial y′′ + P( x) y′ + Q( x) y = R( x) tales que
y1 ( x0 ) = y2 ( x0 ) e y1′( x0 ) = y2′ ( x0 ) para algún punto x0 ∈ I , entonces y1 ( x) = y2 ( x) para todo x ∈ I .
En particular, la única solución del problema de valores iniciales del problema homogéneo, es decir,
y′′ + P( x) y′ + Q( x) y = 0, con y ( x0 ) = 0 e y′( x0 ) = 0 es la solución nula, es decir, y ( x) = 0 para
todo x ∈ I .
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