Práctica de Espacios Vectoriales - Facultad de Ciencias-UCV

Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ciencias
Escuela de Matemática
Álgebra I
Practicas de Álgebra 1
1.
1.1.
Espacios Vectoriales
Definición y Propiedades
1. Explique por qué los conjuntos siguientes no son cuerpos. En cada caso, use la
suma y multiplicación usuales:
a) El conjunto N de los números naturales.
b) El conjunto Z de los números Enteros.
c) El conjunto R2 con la suma y multiplicación acostumbradas componente a
componente; (a, b) + (a′ , b′ ) = (a + a′ , b + b′ ) y (a, b) · (a′ , b′ ) = (a · a′ , b · b′ )
2. Determine si el conjunto dado, es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los
números reales R. Si no lo es, indique cuales axiomas no se cumplen.
a) El conjunto de las matrices reales simétricas de orden n × n, bajo la suma y la
multiplicación por un escalar usuales.
b) El conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual que n con coeficientes reales (Pn = {p(x) = a0 + a1 x + ... + an xn |ai ∈ R, 1 ≤ i ≤ n}).
c) El conjunto de las funciones contı́nuas de valores reales definidas en [0, 1]
(C [0, 1]), con f(0) = 0 y f(1) = 0, bajo las operaciones: (f + g)(x) = f(x) + g(x) y
(λf)(x) = λ(f(x)).
d ) R2 con la suma definida por (x1 , y1 )+(x2 , y2 ) = (x1 +x2 +1, y1 +y2 +1) y el producto
por un escalar definido por λ(x1 , y1 ) = (λ + λx1 − 1, λ + λy1 − 1).
3. Definamos en R2 las operaciones
(x1 , y1 ) ⊕ (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 )
λ ∗ (x1 , y1 ) = (λx1 , y1 )
¿Es R2 , con estas operaciones, un espacio vectorial?
4. Definamos en Rn las operaciones
u ⊕ v = u − v, u, v ∈ Rn
λ ∗ v = −λv, λ ∈ R, v ∈ Rn
Las operaciones del segundo miembro son las usuales de Rn . ¿Que axiomas de
espacio vectorial satisfacen?
1
5. Demostrar que C es un espacio vectorial sobre R, donde la adición es la adición
usual de los complejos y el producto por un escalar es la multiplicación usual de
números complejos.
→
−
6. Sea V un espacio vectorial sobre R. Sea v ∈ V, λ ∈ R, 0 el escalar cero y 0 el vector
cero. Demostrar que:
→ −
−
→
a) λ 0 = 0
→
−
b) 0v = 0
→
−
→
−
c) λv = 0 ⇔ λ = 0 o v = 0
d ) (−1)v = −v
e) −(λv) = (−λ)v = λ(−v)
f ) (−λ)(−v) = λv
7. Considere la ecuación diferencial de segundo orden homogénea
y ′′ (x) + a(x)y ′ (x) + b(x)y(x) = 0
Donde a(x) y b(x) son funciones contı́nuas. Demuestre que el conjunto de soluciones
de la ecuación, es un espacio vectorial sobre R bajo las reglas usuales para la suma
de funciones y multiplicación por un escalar.
8. Mostrar que en R3 , el vector (6, 2, 7) es combinacin lineal de los vectores u =
(2, 1, −3), v = (3, 2, −5) y w = (1, −1, 1).
9. ¿Qué vectores (x, y, z) ∈ R3 son combinación lineal de los vectores u = (1, −1, 1),
v = (1, −1, 0) y w = (2, 0, −1)?
10. Sean X e Y subconjuntos finitos de un espacio vectorial V. Pruebe las siguientes
proposiciones:
a) X ⊆ Y ⇒ L(X) ⊆ L(Y)
b) X ⊆ L(Y) ⇒ L(X) ⊆ L(Y)
c) L(X) ⊆ L(X ∪ Y)
d ) L(X) + L(Y) ⊆ L(X ∪ Y)
e) X ⊆ L(X) ⊆ L(X) + L(Y)
f ) X ∪ Y ⊆ L(X) + L(Y)
g ) L(X ∪ Y) ⊆ L(X) + L(Y) concluya que L(X ∪ Y) = L(X) + L(Y)
1.2.
Subespacios
1. Determine si los siguientes conjuntos son subespacios de Rn
( )
a
a) S = {
: a ≤ 1, b ≥ 1, a, b ∈ R}
b
2


a−b
b) S = { b  : a, b, c ∈ R}
4c
c) Demuestre que el conjunto W = {(x, y, z) : y = 0} es un subespacio de R3 .
d ) Demuestre que el conjunto de las funciones continuas sobre el intervalo [0, 1],
denotado por C [0, 1], que satisfacen f( 12 ) = 0 es un subespacio de C [0, 1]. Será cierto el mismo resultado para las funciones f que satisfacen f( 21 ) = 3?
1.3.
Combinaciones Lineales y Subespacios Generados
a) Mostrar que en R3 , el vector (6, 2, −7) es combinación lineal de los vectores
u = (2, 1, −3), v = (3, 2, −5) y w = (1, −1, 1).
b) ¿Qué vectores (x, y, z) ∈ R3 son combinación lineal de los vectores u = (1, −1, 1),
v = (1, −1, 0) y w = (2, 0, −1)?
c) Sean X e Y subconjuntos finitos de un espacio vectorial V. Pruebe las siguientes
proposiciones:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
X ⊆ Y ⇒ L(X) ⊆ L(Y)
X ⊆ L(Y) ⇒ L(X) ⊆ L(Y)
L(X) ⊆ L(X ∪ Y)
L(X) + L(Y) ⊆ L(X ∪ Y)
X ⊆ L(X) ⊆ L(X) + L(Y)
X ∪ Y ⊆ L(X) + L(Y)
L(X ∪ Y) ⊆ L(X) + L(Y) concluya que L(X ∪ Y) = L(X) + L(Y)
d ) El plano generado por los puntos cuyas coordenadas en la base canónica son:
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 1).
e) S = {f ∈ C [a, b] :
f ) S = {f ∈ C [a, b] :
∫b
a
∫b
a
f(x)dx = 0}, con a, b ∈ R y a < b.
f(x)dx = 1}, con a, b ∈ R y a < b.
2. Sean v1 = (1, 1, −2, 1), v2 = (3, 0, 4, −1), y v3 = (1, 1, −2, 1). Sea W el subespacio de R4
generado por v1 , v2 y v3 . ¿Cuáles de los siguientes vectores están en el subespacio
W?
a) w = (2, −4, 6, 1)
b) w = (3, 1, −4, 4)
c) w = (0, −1, 1, 2)
d ) w = (4, −5, 9, 7)
e) w = (−1, 1, 0, 1)
3. Cual de los siguientes conjuntos genera el espacio vectorial V dado:
a) V = P2 (R); {1 + x + x2 , 1 + 2x + x2 , x}
3
b) V = P2 (R); {1 − x + x2 , 1 + 2x − x2 , 1}
c) V = R3 ; (1, −1, 2), (1, 1, 2), (0, 0, 1)
(
) (
) (
2 1
0 0
d ) V = M2 (R); {
,
,
0 0
2 1
(
) (
) (
1 0
1 2
,
,
e) V = M2 (R); {
1 0
0 0
) (
)
0 0
,
}
3 1
) (
)
4 −1
−2 5
,
}
3 0
6 0
3 −1
0 0
4. Halle el subespacio generado por los siguientes subconjuntos de vectores.
a) En R2 , S = {(1, 2), (3, 4)}
b) En R3 , S = {(1, −1, 2), (1, 1, 2), (0, 0, 1)}
c) En R4 , S = {(1, −1, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (2, 0, 1, 1)}
5. Sea S1 y S2 subconjuntos de un espacio vectorial V. Denotaremos el espacio generado
por un subconjunto S de V por < S >. Demostrar que < (S1 ∩ S2 ) >⊆< S1 > ∩S2 . Dar
un ejemplo donde sean iguales y otro donde sean distintos.
6. Sea V un espacio vectorial sobre R. Sean S y T subconjuntos de V. Demostrar que:
a) S ⊂ T ⇒ L(S) ⊂ L(T )
b) L(S ∪ T ) = L(S) + L(T )
c) L(L(S)) = L(S)
7. Determinar cuáles de los siguientes vectores pertenecen al subespacio de R3 generado por (1, 2, 1) y (2, 3, 4).
a) (4, 7, 6)
b) (− 21 , − 12 , 23 )
c) ( 21 , 1, 1)
d ) (2, 9, 5)
e) (0, 13 , − 23 )
8. Sea P[x] = {p(x) = a0 + a1 x + ... + an xn |n ∈ N, ai ∈ R, 1 ≤ i ≤ n}, el conjunto de todos
los polinomios con coeficientes reales.
a) Demuestre que P[x] es un espacio vectorial sobre R.
b) Determine cuáles de los siguientes polinomios pertenece al subespacio de P[x]
generado por x3 + 2x2 + 1, x2 − 2 y x3 + x.
1) x2 − x + 3
2) 4x3 − 3x + 5
3) x − 5
c) Encontrar el subespacio de P[x] generado por cada uno de los siguientes conjuntos de vectores.
1) {x2 , x(x + 1)}
2) {x + 1, x2 − 1}
3) {1, x − 2, (x − 2)2 }
4
1.4.
Dependencia e Independencia Lineal
1. Determinar si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes
o no:
a) {(1, 2), (−1, −3)} ⊂ R2
b) {(−3, 2), (1, 10), (4, −5)} ⊂ R2
c) {(2, −1, 4), (4, −2, 7)} ⊂ R3
d ) {(−3, 4, 2), (7, −1, 3), (1, 2, 8)} ⊂ R3
e) {(1, −2, 1, 1), (3, 0, 2, −2), (0, 4, −1, 1), (5, 0, 3, −1)} ⊂ R4
f ) {1 − x, x} ⊂ P2
{(
) (
) (
)}
2 −1
0 −3
4 1
g)
,
,
⊂ M2×2 (R)
4 0
1 5
7 −5
2. Determine una condición sobre a, b, c y d, tal que los vectores (a, b) y (c, d) sean
linealmente dependientes.
3. Para qué valores de α serán dependientes los siguientes vectores: v1 = (1, 2, 3),
v2 = (2, −1, 4) y v3 = (3, α + 1, 4)?
4. Sean v1 , · · · , vn vectores linealmente independientes, en un espacio vectorial V. Probar que si para algunos αi , βj se tiene
α1 v1 + · · · + αn vn = β1 v1 + · · · + βn vn
entonces αi = βi , para todo i
5. Probar que un conjunto de vectores {v1 , v2 } es linealmente dependiente si y sólo si
los vectores son proporcionales. Es decir, v1 = λv2 ó v2 = µv1 para algunos λ y µ en
R.
6. Probar que si el conjunto B = {v1 , v2 , ..., vn } es linealmente independiente y el conjunto B ′ = {v1 , v2 , ..., vn , w} es linealmente dependiente, entonces w está en el espacio
generado por B.
7. Demostrar que si S es un subconjunto de un espacio vectorial V y 0 ∈ S entonces S
es linealmente dependiente.
8. Un conjunto de vectores {v1 , v2 , ..., vn } es linealmente independiente si y sólo si
n
∑
λj vj = 0 ⇔ λj = 0, j = 1, ..., n
j=1
9. Sean u, v y w tres vectores en un espacio vectorial V. Demostrar que si el conjunto
{u, v, w} es linealmente independiente entonces {u + v, u − v, u − 2v + w} y {u + v, u +
w, v + w} son linealmente independientes.
10. Sean S ⊂ S ′ ⊂ V
5
a) Si S es linealmente dependiente, ¿S’ es linealmente dependiente?
b) Si S’ es linealmente dependiente, ¿S es linealmente dependiente?
c) Si S es linealmente independiente, ¿S’ es linealmente independiente?
d ) Si S’ es linealmente independiente, ¿S’ es linealmente independiente?
e) Sea f1 , f2 y f3 funciones
reales. Para x1
, x2 y x3 números reales, definimos la

f1 (x1 ) f1 (x2 ) f1 (x3 )
matriz (fi (xj )) =  f2 (x1 ) f2 (x2 ) f2 (x3 )  Demuestre que las funciones f1 , f2
f3 (x1 ) f3 (x2 ) f3 (x3 )
y f3 son linealmente independientes, si las filas de la matriz son linealmente
independientes.
f ) Suponga que f1 , f2 y f3 poseen derivadas de segundo orden en algún intervalo
de estas funciones como: W(f1 , f2 , f3 )(x) =
 (a, b). Se define el (Wronskiano)

f1 (x1 ) f1 (x2 ) f1 (x3 )
 f2 (x1 ) f2 (x2 ) f2 (x3 )  Demuestre que las funciones f1 , f2 y f3 son linealmente
f3 (x1 ) f3 (x2 ) f3 (x3 )
independientes, si las filas de la matriz son linealmente independientes.
g ) Sea A ∈ Mn (R), suponga que los vectores fila de A forman un conjunto linealmente independiente de vectores de Rn . Demuestre que A es inversible.
1.5.
Bases y Dimensión
1. Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos de vectores es una base para
R2 .
a) {(1, 0), (0, −1)}
b) {(1, 1), (0, 1)}
2. Demostrar que los vectores v1 = (1, 0, −1), v2 = (1, 2, 1) y v3 = (0, 3, −2) forman una
base de R3 . Expresar cada uno de los vectores de la base canónica de R3 como
combinación lineal de los vectores v1 , v2 y v3 .
3. Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos de vectores es una base para
R4 ,
a) {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}
b) {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (−1, 0, 1, 1), (0, −1, 0, 1)}
c) {(2, −1, 0, 1), (1, 3, 2, 0), (0, −1, −1, 0), (−2, 1, 2, 1)}
4. Expresar a (2, −2, 1, 3) como una combinación lineal de los vectores en las diferentes
bases del ejercicio anterior.
5. Encontrar una base para el espacio solución del sistema de ecuaciones homogéneo
dado:
a)
x−y = 0
−2x + 2y = 0
6
b)
x − 3y + z = 0
−2x + 2y − 3z = 0
4x − 8y + 5z = 0
c)
4
2x1 − x2 + x3 − x4 = 0
3
2
x1 + x2 − x5 = 0
3
9x1 − 3x2 + 6x3 − 3x4 − 3x5 = 0
6. Encuentre una base para el conjunto de vectores de R3 dado por :
a) El plano 2x − y − z = 0.
b) La recta
x
2
=
y
2
=
z
4
7. Encuentre una base para el espacio vectorial de las matrices diagonales de orden
n. (Sugerencia: hágalo primero para n=3)
8. Sean A ∈ Mm×n (R) y V el espacio solución del sistema homogéneo AX = 0. ¿Cuál es
la dimensión de V?
9. Demostrar que si W1 y W2 son subespacios de V, entonces
dimW1 + dimW2 = dim(W1 ∩ W2 ) + dim(W1 + W2 )
10. Demuestre que, si W es un subespacio propio de un espacio vectorial V de dimensión
finita, entonces W es de dimensión finita y dimW < dimV.
11. Demuestre que en un espacio vectorial V de dimensión finita, todo conjunto linealmente independiente es parte de una base.
12. Sea U = ⟨(1, 0, 2, −1), (1, 1, 1, 0)⟩ y W = ⟨(1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 3)⟩, hallar una base para
U ∩ W y U + W.
13. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre R. Sean W1 , W2 , ..., Ws subespacios de V. Demostrar que las siguientes proposiciones son equivalentes:
∑
a) V = W1 + W2 + ... + Ws y Wi ∩ i̸=j Wj = 0
b) Cada elemento v en V tiene una única representación de la forma
v = w1 + w2 + ... + ws , con wi ∈ Wi , para i = 1, ..., s
c) El cero tiene una representación única de la forma w1 + w2 + ... + ws con wi ∈ Wi ,
para i = 1, ..., s. Esto es,
0 = w1 + w2 + ... + ws ⇔ w1 = w2 = ... = ws = 0
7
d ) si Bi es una base de Wi para i = 1, ..., s, entonces B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bs es una base de
V.
e) V = W1 + W2 + ... + Ws y dimV = dimW1 + dimW2 + ... + dimWs
14. Sea el espacio de R5 generado por

3
 1

 2
6
las filas de la matriz

21 0
9
0
7 −1 −2 −1 

14 0
6
1 
42 −1 13 0
a) Hallar una base de V.
b) ¿Qué vectores (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) pertenecen a V?
c) Si (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) ∈ V. ¿Cuáles son sus coordenadas en la base elegida en (a)?
15. ¿Cuál es el vector de coordenadas de v1 y v2 respecto a las bases dadas?
a) B = {(1, −1, 2, 1), (0, 1, −1, 3), (0, 0, 1, −1), (0, 0, 0, 1)} base de R4 , v1 = (−1, 2, −3, 4) y
v2 = (1, −2, −4, 3)
b) B = {1, x, x2 , x3 , x4 , x5 } base del conjunto de polinomios de grado menor o igual
que 5, v1 = 3+(1+x)x+(2x+x2 +x3 )x2 +x4 +3x5 +x2 y v2 = x2 +3x3 +5x4 −(x+5x3 −x4 )x
1.6.
Espacio Cociente
1. Sea A ∈ Mm×n (R) y sea S ⊂ Mn×1 (R) el espacio solucin del sistema homogneo AX = 0.
Demostrar que:
a) Si u ∈ Mn×1 (R) entonces el elemento u del espacio vectorial Mn×1 (R)/S es el
conjunto de soluciones del sistema AX = Au.
b) Si b ∈ Mn×1 (R) entonces el conjunto de soluciones del sistema AX = b es el
elemento u del espacio vectorial Mn×1 (R)/S, donde u es una solución particular
de AX = b.
2. Sea u ̸= 0 un vector en R2 y W el subespacio generado por u. Demostrar que R2 /W
es el conjunto de todas las rectas paralelas a la recta que determina u en R2 .
3. Sea u ̸= 0 y v ̸= 0 vectores en R3 y W el subespacio generado por u y v. Demostrar
que R3 /W es el conjunto de todos los planos paralelos al plano que determinan u y
v en R3 .
1.7.
Suma Directa de Espacios
1. Sea V el espacio de las funciones de R en R. Sea VP el subconjunto de las funciones
pares (es decir, f(x) = f(−x)) y VI el subconjunto de las funciones impares (es decir,
f(−x) = −f(x)). Demostrar que VP y VI son subespacios de V y que V = VP ⊕ VI .
2. Sea V = Mn (R), sean W1 el subconjunto de las matrices simétricas y W2 el subconjunto de las matrices antisimétricas. Demuestre que W1 y W2 son subespacios de V
y que V = W1 ⊕ W2 .
8
3. Determine si los vectores v1 = (1124), v2 = (2152), v3 = (1 − 140) y v4 = (2116) son
linealmente independientes en el espacio M1×4 (R).
a) Hallar una base para el subespacio W de M1×4 (R) generado por estos vectores.
b) Encontrar el subespacio W ′ de M1×4 (R) tal que M1×4 (R) = W ⊕ W ′ .
El subespacio W ′ se llama Subespacio complementario de W.
4. Sean v1 = (1121), v2 = (301 − 1), v3 = (−1101) y v4 = (−1252) vectores de M1×4 (R).
a) Hallar una base para el subespacio W de M1×4 (R) que ellos generan.
b) Hallar una base para el subespacio complementario de W.
c) Escribir M1×4 (R) como una suma directa.
1.8.
Matriz Cambio de Base
a) Dadas las bases odenadas B y B ′ de un espacio vectorial V. Hallar la matriz A
(respectivamente A’) de cambio de base de la base B a la base B ′ (respectivamente de la base B ′ a la base B).
1) V = R2 , B = {(1, 0), (0, 1)} y B ′ = {(2, 3), (1, 1)}
2) V = R3 , B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y B ′ = {(−1, 0, 0), (4, 2, 0), (5, −3, 8)}
3) V = R2 , B = {(2, 1), (1, 0)} y B ′ = {(2, 1), (1, 1)}
b) Dadas las bases B = {(1, 0, −1), (1, 1, 1), (1, 0, 0)} y B ′ {(1, 0, 1), (−1, 2, 1),
 (2, 1,1)} de
2
3
′

4  es la
R , dar la matriz de cambio de base de la base B a la base B . Si
−1
matriz de coordenadas del vector v en la base B, dar la matriz de coordenadas
de v en la base B ′ .
9