Métodos de Demostración.

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL ECUADOR
SEDE IBARRA
NOMBRE: Giovanny Armendáriz
NIVEL: PRIMER
PARALELO: “B”
Métodos de Demostración.
Una demostración matemática consiste en que a partir de una proposición verdadera R y empleando las
tautologías anteriores, se demuestra que una proposición S es verdadera.
La demostración de un teorema consiste en mostrar una argumentación convincente de que el teorema en
consecuencia lógica de la hipótesis y teoremas ya demostrados.
Pero, ¿ qué significa que un teorema es consecuencia lógica de las hipótesis y teoremas ya demostrados?.
Como veremos a continuación, son precisamente las tautologías las que determinan esto; es decir, las
tautologías determinan las reglas de inferencia que se emplean para deducir un teorema a partir de
proposiciones conocidas.
El proceso de inferir una proposición t de las proposiciones s1,s2,....,sn se llama razonamiento y la podemos
representar de la siguiente manera:
Con esto se quiere decir que, como las proposiciones s1,s2,...,sn son verdaderas, por lo tanto, que lo
representamos simbólicamente
, t es verdadera. A las proposiciones s1,s2,...,sn se les llama premisas del
razonamiento y conclusión. Se dice que tal razonamiento es válido si, y solamente sí, la proposición (s1 ^ s2 ^ ...
^ sn) - - > t es una tautología.
Para ver claro esto, consideremos el siguiente razonamiento:
p: Luis se levanta a las siete.
p --> p1: Si Luis se levanta a las siete va a clase.
p1 --> q: Si Luis va a clase, entonces se graduará.
La tabla de verdad de este razonamiento es la siguiente:
p
V
V
V
V
F
F
F
F
p1
V
V
F
F
V
V
F
F
q
V
F
V
F
V
F
V
F
p --> p1
V
V
F
F
V
V
V
V
p1 --> q
V
F
V
V
V
F
V
V
p ^ (p --> p1) ^ (p1 --> q)
V
F
F
F
F
F
F
F
p ^ (p --> p1) ^ (p1 --> q) --> q
V
V
V
V
V
V
V
V
De la tabla anterior nos indica que el razonamiento es válido porque la proposición formada por la conjunción de
las premisas implica la conclusión, en otras palabras, la proposición [p ^ (p --> p1) ^ (p1 --> q)] --> q es una
tautología.
El razonamiento anterior lo podemos ver de una forma general, es decir:
p
p --> p1
p1 --> p2
.
.
.
pn --> q
________
q
Al demostrar un teorema de la forma «si p entonces q» (p --> q), comúnmente se empieza suponiendo que p es
dado; después se construye una cadena de proposiciones de la forma p --> p1, p1 --> p2,...,pn --> q, cada una de
las cuales es una hipótesis dada de antemano o un teorema ya demostrado. Tan pronto se llega en esta cadena
a la proposición pn --> q, de ello se concluye q. Este razonamiento es válido, pero ¿ cómo se demuestra el
teorema, es decir, como se establece la verdad de la implicación p --> q ?. Para ver esto recuerda que en la
sección de condicional o implicación, vimos que precisamente que una implicación p --> q es falsa solamente
cuando p es verdadera y q es falsa; entonces todo lo que necesitamos para mostrar que p --> q es verdadera es
el caso en que p sea verdadera, y q necesariamente deberá ser verdadera. Esto es precisamente lo que el
razonamiento anterior determina, porque siendo un razonamiento válido la proposición formada por la
conjunción de las premisas implica la conclusión.
[p ^ (p --> p1) ^ (p1 --> p2) ^ ...(pn --> q)] --> q
es una tautología. Y resulta que, como en la demostración de un teorema de la forma p --> q, cada una de las
proposiciones p, p --> p1, p1 --> p2, ... , pn --> q es verdadera, puesto que es una hipótesis dada o un teorema
demostrado. Así, si p es verdadera, p ^ (p --> p1) ^ (p1 --> p2) ^ ... ^ (pn --> q) es verdadera, porque es una
conjunción de proposiciones verdaderas. Pero eso también quiere decir que q debe ser verdadera para que la
proposición [p ^ (p --> p1) ^ ... ^ (pn --> q)] --> q sea verdadera.
Un razonamiento del tipo anterior se puede emplear para demostrar un teorema de la forma «si p entoces q»
(p --> q). Se supone la hipótesis p, y después se construye una "cadena" de proposiciones conocidas (hipótesis
o definiciones dadas anteriormente, o teoremas demostrados y aplicaciones de éstos) que nos conducen de p
hasta q, y de lo cual podemos concluir q.
Veamos ahora un ejemplo de una demostración matemática muy sencilla, pero nos ayudará a entender cada
paso de lo ya expuesto hasta el momento.
Teorema: «Si a y b son números pares, entonces a + b es un número par.»
En otras palabras: «La suma de dos número pares, el resultado es un número par.» (p --> q)
La estructura de la demostración es la siguiente:
Supongamos que a y b son números pares.
p
Entonces, sabemos por definición de número par
que 2 | a y 2 | b (un número par es divisible siempre por 2).
p --> p1
Esto significa que a = 2 * m y b = 2 * n para dos enteros m y n,
según la definición de lo que significa un número entero divide
a otro.
p1 --> p2
Pero, si a = 2 * m y b = 2 * n, entonces a + b = 2 * m + 2 * n
= 2(m + n), por la propiedad distributiva.
p2 --> p3
Como a + b = 2(m + n) y m + n es un número entero,
(la suma de dos números enteros, es entero), entonces
2 | (a + b).
Si a + b es divisible por 2, esto quiere decir que es par,
según la definición de número par
Por lo tanto, a + b es un número par.
Como te puedes dar cuenta, la estructura de la demostración, viene dada por una serie de pasos de p hasta q,
pasos de los cuales son teoremas, definiciones..etc.
Un análisis de la demostración muestra que el razonamiento es válido. Establece el teorema, porque cada una
de sus proposiciones p --> p1, p1 --> p2, p2 --> p3, p3 --> p4 y p4 --> q es un resultado que ha sido enunciado o
demostrado anteriormente.
So el teorema que se va a demostrar no es de la forma p --> q, si no una proposición q, entonces se remplaza p
en el argumento anterior por una proposición apropiada p 1 que se conoce y después se construye una cadena
de proposiciones que van de p1 a q:
p1
p1 --> p2
p2 --> p3
...........
Este razonamiento establece la verdad de p1 --> q
Ahora veamos los métodos mas usados para la demostración matemática:
1. Demostración directa o por implicación.
Lo estudiado anteriormente describe el método de demostración directa. Es decir, si la proposición p es
verdadera y la implicación (p --> q) es verdadera, entonces q es verdadera.
2. Demostración indirecta.
El primer tipo de demostración indirecta se llama demostración por contraposición. Como su nombre lo indica,
consiste en que para demostrar un teorema de la forma «si p entonces q», demuestra su contra recíproco
(~q) --> (~p). En este caso se construye una cadena de proposiciones que conducen de (~q) a (~p), en vez de p
a q. Esta implicación es verdadera puesto que es fácil verificar que : (~q) --> (~p) es equivalente a p --> q.
Veamos un ejemplo para ilustrar este método de demostración:
Teorema.
Sean
a,
a + c < b + c, entonces a < b.
b
y
c
números
enteros
positivos.
Si
Demostración. A continuación se va a demostrar el contra recíproco o contra positiva, es decir,
si
a
b,
entonces
a
+
c
b
+
c.
Supongamos que a
b, entonces por propiedad tricotómica, a = b ó b < a. En el primer caso, si sumamos c
a ambos lados de la igualdad se tendría que a + c = b + c, y en el segundo caso si sumamos de nuevo c a ambos
lados de la desigualdad se tendría que, b + c < a + c; observamos que para cualquiera de los dos casos se
cumple
que
Por tanto, si a
b, entonces a + c
a
+
c
b
+
c.
b + c.
Veamos otro ejemplo:
Teorema. si x y y son enteros positivos y xy un número impar, entonces x y y son impares.
Demostración. Supongamos que x y y no son impares, entonces, uno de ellos, digamos x, es un número par, es
decir, x = 2z. Por tanto, xy = 2yz, que es un número par, que es lo que queriamos demostrar.
De esta demostración al escribirla en forma explícita, se tiene lo siguiente:
Dado:
xy número impar
p
Demostrar:
x y y son impares
q (p --> q)
Supongamos:
x y y no son impares
~q
Entonces:
xy es par
~p (~q --> ~p)
Observación:
Las siguientes tautologías muestran que en el método indirecto de demostración se puede hacer uso de la
hipótesis original y la negación de q, es decir, ~q. La tercera muestra que la doble hipótesis p y ~q puede
conducir a una contradicción de la forma r ^ ~r, que es la demostración por contradicción o reducción al
absurdo.
(p --> q) < - - > [((p ^ ~q) --> ~p)]
(p --> q) < - - > [((p ^ ~q) --> ~q)]
(p --> q) < - - > [((p ^ ~q) --> (r ^ ~r)]
El segundo método de demostración indirecta de un teorema t consiste en establecer la verdad de
t, estableciendo la falsedad de su negación de la siguiente manera: se muestra que la negación de t, ~t, lleva a
una contradicción de la forma r ^ ~r. Este método se llama demostración por contradicción o por reducción al
absurdo.
Si se muestra que ~t implica tal contradicción, es decir, si se establece la verdad de la proposición (~t) --> (r ^
~r) para alguna proposición r, entonces en virtud de que r ^ ~r es falsa, se concluye que ~t también es falsa
(porque los únicos casos en que la implicación es verdadera son V --> V, F --> V, F --> F),y por tanto, t es
verdadera. El siguiente ejemplo ilustrará este método:
Teorema. Si S es el conjunto de todos los números primos, entonces S es un conjunto infinito. ( p --> q ).
Demostración.
Supongamos que no; es decir, que S, es el conjunto de todos los números primos y que S no es infinito. ( p ^ ~q
),
que
es
la
negación
de
(p
-->
q).
Entonces S es un conjunto finito, digamos S = {p1,p2,...,pk}. Como S es finito, el producto p1,p2,....pk de todos los
primos en S se puede hacer, y además formar el número b = (p 1.p2....pk) + 1.
Entonces existe un número primo p' tal que
p' divide a b. (r)
Como p' es primo y S contiene todos los números primos, se debe tener que p'E S. Sin embargo, ningún primo en
S divide a b; por tanto,
p' no divide a b. (~r)
Así hemos llegado a una contradicción (r ^ ~r). Puesto que la hipótesis de que el conjunto S no es infinito
conduce a la contradicción.
(p ^ ~q) --> (r ^ ~r)
que es falsa. Por tanto, si S es el conjunto de los números primos, entonces S es un conjunto infinito.
El silogismo está constituido por proposiciones enunciativas, llamadas también categóricas, el sujeto y el predicado de la
conclusión son términos que aparecen también cada uno de ellos en una de las premisas, el predicado o término mayor en
la llamada premisa mayor y el sujeto o término menor en la menor. El otro término del silogismo, el término medio, se
encuentra en ambas premisas y no en la conclusión. Según el lugar que el término medio ocupa en las premisas, se
originan las diversas figuras de silogismo, y según que cada proposición sea afirmativa o negativa, universal o particular.
Las tres proposiciones son universales y afirmativas, por lo que constituye el llamado silogismo categórico, elaborado por
Aristóteles y desarrollado por la tradición medieval, que lo consideró como la forma más perfecta de argumentar.
El silogismo se define como un razonamiento del estilo deductivo que llega a una conclusión final a partir de dos
afirmaciones denominadas premisas. Las premisas son proposiciones lingüísticas de valor verdadero o falso. La primera
premisa es llamada premisa mayor y la segunda premisa menor.
Ejemplo de silogismo:
Los planetas son redondos - primera premisa
La Tierra es un planeta - segunda premisa
Por tanto, la Tierra es redonda - conclusión
Con base en lo anterior, les presento 6 ejemplos de silogismo:
1Si me duermo no podré concurrir a la sala de teatro.
Si no concurro a la sala de teatro no me voy a entretener.
Conclusión: Si me duermo no me voy a entretener
2Todos los mamíferos son animales.
Todos los hombres son mamíferos.
Conclusión: Todos los hombres son animales.
3Todos los vehículos cómodos son populares
Todas las carretillas son vehículos cómodos
Conclusión; Todas las carretillas son populares
4Platón era un gran filósofo
Todos los griegos eran grandes filósofos
Conclusión: Platón era griego
5La lectura de un buen libro me divierte
Me agrada mucho leer
Conclusión: Leer me divierte
SILOGISMOS
Todas las ranas son batracios
René, es una rana
luego, René es un batracio
Silogismos Categóricos
(regulares)
DEFINICIÓN
Es el raciocinio deductivo mediante el cual las premisas enlazan
dos términos con un tercero, y la conclusión expresa la relación de
estos dos términos entre sí.
ESTRUCTURA
El silogismo se compone de varios elementos, los cuales se agrupan en:
MATERIA Y FORMA
La materia del silogismo esta integrada por las proposiciones y
los términos, y se divide en:
Materia del silogismo
La materia del silogismo esta integrada por las proposiciones y
los términos, y se divide en:
próxima
PM (premisa mayor)
Pm (premisa menor)
C (conclusión)
remota
T (término mayor) Aparece en la premisa mayor
y como predicado en la conclusión.
t (término menor) Se ubica en la premisa menor
y como sujeto en la conclusión.
M (término medio) Relaciona los términos mayor
y menor y solo se presenta en las dos
premisas.
PM Todo
sacerdote
M
Pm Algún mexicano
t
.·. C Algún mexicano
t
es
es
es
consagrado
T
sacerdote
M
consagrado
T
Ejercicios
PM Todo filósofo es humilde PM Algún futbolista es alcohólico
Pm Sócrates era filósofo
Pm Todo futbolista es deportista
.·.C Sócrates era humilde .·. C Algún deportista es alcohólico
PM Todo elefante es paquidermo
PM Todo ser honrado es justo
Pm Algún mamífero es paquidermo Pm Todo ser justo es bondadoso
.·.C Algún mamífero es elefante
.·. C Todo ser bondadoso es honrado
FORMA DEL SILOGISMO
REGLAS
Para que un silogismo se desarrolle correctamente es indispensable
cumplir con las reglas establecidas, SON OCHO EN TOTAL:
LAS CUATRO PRIMERAS PARA LOS TÉRMINOS
1 El silogismo consta de tres términos
2 El término medio jamás pasa a la conclusión.
3 Ningún término quedará con mayor extensión en
la conclusión, de la que tuvo en las premisas.
4 El término medio debe ser por lo
menos una vez universal.
LAS CUATRO SIGUIENTES PARA LAS PROPOSICIONES
5 Dos premisas particulares no dan conclusión.
6 Dos premisas negativas no dan conclusión.
7 Dos premisas afirmativas no dan
conclusión negativa.
8 La conclusión siempre sigue a la parte más
débil, lo particular y lo negativo de cada premisa.