Matemáticas Avanzadas Relación de ejercicios del tema 2 Primera

Matemáticas Avanzadas
Relación de ejercicios del tema 2
Primera parte
1. Al utilizar x trabajadores cualificados e y trabajadores no cualificados, una fábrica puede
producir Q(x, y) = 10x2 y unidades diarias. En la actualidad hay 20 trabajadores cualificados y 40 no cualificados en la fábrica.
(a) ¿Cuántas unidades se producen cada dı́a?
(b) ¿En cuánto cambiará el nivel de producción diario si se contrata un nuevo trabajador
cualificado?
(c) ¿En cuánto cambiará el nivel de producción diario si se contrata un nuevo trabajador
no cualificado?
(d) ¿En cuánto cambiará el nivel de producción diario si se contratan un trabajador
cualificado y otro no cualificado más?
2. Un fabricante puede producir calculadoras gráficas a un coste de 40 euros la unidad y
calculadoras cientı́ficas a un coste de 20 euros la unidad.
(a) Exprese el coste de producción mensual total del fabricante como función del número
de calculadoras gráficas y del número de calculadoras cientı́ficas producidas.
(b) Calcule el coste mensual total si se producen 500 calculadoras gráficas y 800 calculadoras cientı́ficas.
(c) El fabricante desea producir al mes 50 calculadoras gráficas más que las producidas
en el apartado anterior. ¿Qué cambio deberı́a hacerse en la producción mensual de
calculadoras cientı́ficas para que el coste mensual total no varı́e?
3. Un almacén de pinturas vende dos marcas de pinturas de látex. Las cifras de ventas
indican que si se vende la primera marca a x euros el litro, y la segunda a y euros el litro,
la demanda de la primera será D1 (x, y) = 200 − 10x + 20y litros al mes y la demanda de
la segunda marca será D2 (x, y) = 100 + 5x − 10y litros al mes.
(a) Exprese el ingreso mensual total del almacén por la venta de las pinturas como una
función de los precios x e y.
(b) Calcule el ingreso mensual total si se vende la primera marca a 6 euros el litro y la
segunda a 5 euros el litro.
4. Suponga que cuando se utilizan x máquinas e y horas de trabajo por cada trabajador
diarias, cierta fábrica producirá Q(x, y) = 10xy teléfonos móviles. Describa la relación
entre x e y que origina una producción de 1000 teléfonos cada dı́a. (Observe que está
hallando una curva de nivel de Q).
1
5. El coeficiente intelectual de una persona (CI) se mide mediante la función I(m, a) = 100 m
a,
donde a es la edad real de la persona y m es su edad mental.
(a) Halle I(12, 11) e I(16, 17).
(b) Trace las gráficas de varias curvas de nivel de I(m, a). ¿Cómo describirı́a estas curvas?
6. Con x trabajadores cualificados e y trabajadores no cualificados un fabricante puede producir Q(x, y) = 3x + 2y unidades diarias de un cierto producto. En la actualidad cuenta
con 10 trabajadores cualificados y 20 no cualificados.
(a) Calcule la producción diaria actual.
(b) Halle una ecuación que relacione los niveles de trabajo cualificado y no cualificado si
la producción diaria permanece en su nivel actual.
(c) Dibuje la isocuanta (curva de producción constante) que corresponde al nivel actual
de producción.
(d) ¿Qué variación deberı́a hacerse en la mano de obra no cualificada y para compensar
un incremento de 2 trabajadores en la mano de obra cualificada x de manera que la
producción permanezca en el nivel actual?
7. La utilidad obtenida por un individuo al consumir x unidades de un artı́culo e y unidades
de un segundo artı́culo está dada por la función de utilidad U (x, y) = (x + 1)(y + 2). Si el
consumidor posee x = 25 unidades del primer artı́culo e y = 8 unidades del segundo, halle
el nivel de utilidad actual del consumidor y trace la curva de indiferencia correspondiente.
8. Describa el dominio de las siguientes funciones:
x
ln (x + y)
(e) f (x, y) = ln (x + y − 4)
exy
(f) f (x, y) = √
x − 2y
5x + 2y
4x + 3y
p
(b) f (x, y) = 9 − x2 − y 2
p
(c) f (x, y) = x2 − y
(d) f (x, y) =
(a) f (x, y) =
9. Trace las curvas de nivel indicadas en cada caso f (x, y) = C para cada elección de la
constante C:
(a) f (x, y) = x + 2y; C = −3, C = 1, C = 2
(b) f (x, y) = x2 + y; C = 0, C = 4, C = 9
(c) f (x, y) = x2 − 4x − y; C = −4, C = 5
x
(d) f (x, y) = ; C = −2, C = 2
y
(e) f (x, y) = xy; C = −2, C = −1, C = 0, C = 1, C = 2
(f) f (x, y) = yex ; C = 0, C = 1
(g) f (x, y) = ln (x2 + y 2 ); C = ln (4), C = 4
10. Halle los siguientes lı́mites (si existen):
(a)
x3
(x,y)→(1,1) y
lim
(b)
2
x3
(x,y)→(1,0+ ) y
lim
(c)
x3
(x,y)→(1,0− ) y
lim
x3
(d)
lim
(x,y)→(1,0) y
x2 y − x2
(e)
lim
(x,y)→(1,1) y − 1
3
x
(f)
lim
ln
+
y
(x,y)→(1,0 )
(g)
lim
e3−x
(h)
e3−x
(x,y)→(3,0) y
(i)
e3−x
(x,y)→(3,0) y 2
(j)
e3−x
(x,y)→(3,0) y 3
(k)
x2 − y 2
(x,y)→(0,0) x + y
(l)
x2 − y 2
(x,y)→(1,1) x − y
(x,y)→(3,−1)
lim
lim
lim
lim
lim
11. Calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones:
xy 2
x2 y 3 + 1
(g) f (u, v) = u ln (uv)
x y
(h) f (x, y) = ln
+
y x
(a) f (x, y) = 5x2 y + 2xy 3 + 3y 2
(b) f (x, y) = (x + xy + y)3
t2
(c) f (t, s) = 3
s
(d) f (x, y) = xyex
e2−x
(e) f (x, y) = 2
y
(f) f (x, y) =
12. Calcule el vector gradiente de las siguientes funciones en el punto dado:
(a) f (x, y) = 3x2 − 7xy + 5y 3 − 3(x + y) − 1; P (−2, 1)
(b) f (x, y) = (x − 2y)2 + (y − 3x)2 + 5; P (0, −1)
(c) f (x, y) = xe−2y + ye−x + xy 2 ; P (0, 0)
y
+ ln (2x − 3y)2 ; P (1, 1)
(d) f (x, y) = xy ln
x
13. Se estima que la producción semanal de cierta planta está dada por la función
Q(x, y) = 1200x + 500y + x2 y − x3 − y 2
unidades, donde x es el número de trabajadores cualificados e y el número de trabajadores
no cualificados empleados en la planta. En la actualidad la planta cuenta con 30 trabajadores cualificados y 60 no cualificados. Utilice el análisis marginal para estimar el cambio
en la producción semanal que se obtendrá tras contratar a un nuevo trabajador cualificado
si el número de trabajadores no cualificados permanece invariable. Calcule también el
cambio exacto: Q(31, 60) − Q(30, 60), ¿la aproximación es adecuada?
14. Suponga que la función de demanda de harina en cierta comunidad está dada por
D1 (p1 , p2 ) = 500 +
10
− 5p2
p1 + 2
mientras que la demanda correspondiente de pan está dada por
D2 (p1 , p2 ) = 400 − 2p1 +
7
p2 + 3
donde p1 es el precio en euros de un kilo de harina y p2 es el precio de una barra de pan.
Determine si la harina y el pan son artı́culos sustitutos, complementarios o ninguna de las
dos cosas.
3
15. El beneficio de un tendero por la venta de dos marcas de refresco de naranja es
P (x, y) = (x − 30)(70 − 5x + 4y) + (y − 40)(80 + 6x − 7y)
céntimos, donde x es el precio por céntimo de cada lata de la primera marca e y de la
segunda. En la actualidad el tendero vende la primera marca a 50 céntimos y la segunda a
52 céntimos. Utilice el análisis marginal para estimar el cambio resultante en el beneficio
del tendero si éste sube el precio de la segunda marca en 1 céntimo la lata, pero mantiene
igual el precio de la primera marca.
16. Un envase de bebida gaseosa es un cilindro de altura h centı́metros y radio r centı́metros.
Cierto envase tiene 12 cm de altura y 3 cm de radio. Utilice el análisis marginal para
estimar el cambio en el volumen si el radio aumenta en 1 cm mientras que la altura sigue
siendo 12 cm.
17. Para el envase del apartado anterior estime el cambio en el área si:
(a) El radio aumenta de 3 a 4 cm mientras que la altura permanece en 12 cm.
(b) La altura disminuye de 12 a 11 cm mientras el radio permanece en 3 cm.
18. En los siguientes apartados se dan las funciones de demanda para un par de artı́culos. Utilice las derivadas parciales para determinar si los artı́culos son sustitutos, complementarios
o ninguno de los dos:
(a) D1 (p1 , p2 ) = 2000 +
100
− 25p2 ,
p1 + 2
7p2
,
1 + p21
D2 (p1 , p2 ) =
(b) D1 (p1 , p2 ) =
−1/2 −1/2
p2 ,
(c) D1 (p1 , p2 ) = 200p1
D2 (p1 , p2 ) = 1500 −
p2
p1 + 7
p1
1 + p22
−1/2 −3/2
p2
D2 (p1 , p2 ) = 300p1
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