Resolución de sistemas de ecuaciones: Método de Gauss

Resolución de sistemas de ecuaciones: Método de
Gauss
Sistemas de ecuaciones
Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas que solo se cumple para un
determinado valor de la incógnita.
3 x + 2 = 14 − x
Esta igualdad solo se cumple si x=3.
Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas consiste en dos ecuaciones cada una de las
cuales tiene dos incógnitas. En este caso se pueden dar tres circunstancias:
1) Existe un único valor de x e y que verifica las dos ecuaciones. En este caso el sistema es
compatible (las igualdades se pueden cumplir simultáneamente) y determinado (se cumplen
para un valor concreto de cada incógnita).
3 x + 2 y = 11

5 x − 3 y = −7
sólo se cumple para x=1 e y=4.
2) El sistema de ecuaciones se cumple para un conjunto infinito de soluciones. En este caso el
sistema se dice que es compatible e indeterminado.
8 x − 12 y = 12

10 x − 15 y = 15
se cumple para x=3 e y=1, pero también para x=6 e y=3, y también para x=7 e y=11/3.....
3) Un sistema también puede no cumplirse para ningún valor de las incógnitas. En este caso el
sistema se denomina incompatible.
2 x + y = 5

6 x + 3 y = 8
es imposible que se verifiquen simultáneamente las dos ecuaciones.
Interpretación geométrica de un sistema de ecuaciones.
Las ecuaciones de dos incógnitas se pueden expresar despejando la incógnita y. Es este caso se
obtienen las ecuaciones de dos rectas.
En un sistema compatible y determinado se sólo hay un valor de x e y que verifica la igualdad.
Esto significa que las rectas se cortan en un punto común que es la solución del sistema.
En un sistema compatible indeterminado las rectas coinciden y hay infinitos puntos comunes.
En un sistema incompatible las rectas son paralelas y nunca se cortan, por lo tanto, no hay
solución.
Sistema
compatible determinado
Sistema
compatible indeterminado
Sistema
incompatible
3 x + 2 y = 11

5 x − 3 y = −7
8 x − 12 y = 12

10 x − 15 y = 15
2 x + y = 5

6 x + 3 y = 8
3
11

y =− x+

2
2

y = 5 x + 7

3
3
8

 y = 12 x − 1

 y = 10 x − 1

15
 y = −2 x + 5


6
 y = − 3 x + 8
Observa.
En la ecuación de la recta, el coeficiente de x es la pendiente que representa la inclinación de
la recta.
Calcula las pendientes en los casos compatible indeterminado e incompatible.
¿Cómo son en ambas rectas?
¿Qué diferencia a las rectas en el caso incompatible?
El método de Gauss
Un sistema de n-ecuaciones con n-incógnitas es un conjunto de n-ecuaciones con el mismo
número de incógnitas. Se pueden resolver mediante los métodos conocidos de igualación
reducción o sustitución por etapas pero es un proceso lento y tedioso. El método de Gauss
permite resolver sistemas de varias ecuaciones con varias incógnitas fácilmente.
Para ello:
1. se expresa el sistema como una matriz,
2. después se convierten en ceros los elementos por debajo de la diagonal,
3. se expresa la matriz como una ecuación
4. de modo escalonado se van despejando las incógnitas.
Ejemplo.
Resolver el siguiente sistema mediante el método de Gauss:
3x + 2 y − 4z = −4

x − 2 y + 3z = 11
4x + y + 3z = 8

Paso 1. Expresar el sistema como una matriz
Consiste en expresar en una matriz los coeficientes y los términos independientes de la
ecuación. Se suele poner una línea para separar los términos independientes
 3 2 − 4 − 4


 1 − 2 3 11 
4 1
3
8 

Paso 2. Convertir los elementos bajo la diagonal en ceros.
Para ello se aplica una propiedad de los sistemas de ecuaciones: el sistema de ecuaciones no
cambia si se operan las filas entre sí. A veces es conveniente reordenar las filas de la matriz
para poner en la primer fila un ‘1’. De este modo la segunda fila se intercambia con la primera.
 1 − 2 3 11 


 3 2 − 4 − 4
4 1
3
8 

Ahora:
• se multiplica la primera fila por (–3) y se suma a la segunda,
• se multiplica la primera fila por (–4) y se suma a la tercera,
Se obtiene:
1 − 2 3
11 


 0 8 − 13 − 37 
0 9
− 9 − 36 

A continuación hay que buscar combinaciones para eliminar uno de los segundos coeficientes
(8 o 9) sin incluir la primera ecuación. Para ello se multiplica la 2ª ecuación por 9 y la 3ª por (-8)
y se suman la 2ª a la 3ª. Hay que notar que no vamos a cambiar la 2ª, sólo la vamos a operar
con la 3ª.
8·9 + 9(–8) = 0 (...que es lo que pretendemos)
–13·9 + (–9)·(–8) = – 45
–37·9+(–36)·(–8) = –45
1 − 2
3
11 


 0 8 − 13 − 37 
 0 0 − 45 − 45 


Paso 3. Expresar la matriz como ecuación.
La ecuación obtenida de la matriz permite escalonar el sistema de modo que las soluciones se
obtienen fácilmente.
x − 2 y + 3z = 11

 8y − 13z = −37

− 45z = −45

De donde se deduce que:
z =1
con lo que sustituyendo:
x − 2 y + 3 = 11

 8 y − 13 = −37
x − 2 y = 8

 8 y = −24
de donde se deduce que:
y = −3
y por lo tanto
{x + 6 = 8
con lo que se finaliza
x=2
Comprueba en el primer sistema de ecuaciones que las soluciones x=2, y=–3, z=1, cumplen
todas las ecuaciones.
Ejercicio
Resuelve los siguiente sistemas de ecuaciones mediante el método de Gauss.
3x + 2 y + z = 1

5x + 3y + 4z = 2
x + y − z = 1

2x + 2 y + 3z = −3

 x + 4 y − 2z = 3
3x − 2 y + 4z = 7

x − 2 y + 3z + t = 6
3x − 2 y + z + 4 t = −5


6 x − 8 y + z + 3t = 7
4 x + 2 y + 3z − 5t = −7