El Teorema del Punto Fijo y aplicaciones 2ra. parte

EL TEOREMA DEL PUNTO FIJO Y APLICACIONES
SEGUNDA PARTE
Alberto E. J. Manacorda*
*Ingeniero Geografo
Profesor Titular de Analisis Matematico II
Facultad de Ciencias Economicas y Estadistica
Universidad Nacional de Rosario
5.- Aplicaciones
5.1.- Teorema de existencia y unicidad de la solución de una ecuación diferencial de
primer orden.
Sea f ( x, y ) una función acotada y continua en un dominio D del plano ( 0; x, y ) que
satisface la condición de Lipschitz respecto de “ y ” en D :
f ( x, y1 ) − f ( x, y2 ) ≤ h y1 − y2
Indiquemos con ( x0 , y0 ) un punto arbitrario de D . Entonces existe un entorno N ( x0 ) y
una única función y = ϕ ( x ) tal que:
(
)
a) ϕ ( x ) está definida en N ( x0 ) y ∀x ∈ N ( x0 ) es x, ϕ ( x ) ∈ D .
b)
y0 = ϕ ( x0 ) .
c) ϕ ( x ) es solución única de la ecuación y′ = f ( x, y ) en N ( x0 ) , verificándose la
identidad ϕ ′ ( x ) ≡ f ⎣⎡ x, ϕ ( x ) ⎦⎤ ∀x ∈ N ( x0 ) .
Demostración: la ecuación y′ = f ( x, y ) junto con la condición inicial y0 = ϕ ( x0 ) es
equivalente a la ecuación integral
x
y ( x ) = y0 + ∫ f ⎡⎣t , y ( t ) ⎤⎦dt
(1)
x0
Por ser f acotada en D , es f ( x, y ) ≤ M
∀ ( x, y ) ∈ D . Escojamos ahora un número
δ > 0 de manera que se cumplan las condiciones :
x − x0 ≤ δ , y − y0 ≤ M δ contenido en D ,
•
• hδ < 1.
Designemos mediante C el espacio de funciones continuas ϕ definidas sobre el
segmento x − x0 ≤ δ y tales que ϕ ( x ) − y0 ≤ M δ , con la métrica d (ϕ1 , ϕ2 ) = ϕ1 − ϕ2 .
El espacio C es completo sobre [ x0 − δ , x0 + δ ] .
Consideremos el operador T definido por la expresión:
T (ϕ )( x ) = y0 +
x
∫ f ⎡⎣t , ϕ ( t )⎤⎦dt
x0
donde x − x0 ≤ δ .
Este operador transforma el espacio completo C en si mismo y es una contracción en
él. En efecto, sea ϕ ∈ C y x − x0 ≤ δ .
En este caso
T (ϕ )( x ) − y0 =
x
∫ f ⎡⎣t ,ϕ ( t )⎤⎦dt ≤ M δ
x0
Entonces T : C → C .
Además
T (ϕ1 )( x ) − T (ϕ 2 )( x ) ≤
x
∫ f ( t , ϕ ( t ) ) − f ( t , ϕ ( t ) ) dt ≤
1
2
x0
≤ hδ max ϕ1 ( x ) − ϕ2 ( x ) = hδ ϕ1 − ϕ 2
x
Puesto que hδ < 1, T es un operador de contracción.
Por tanto, existe ϕ único tal que ϕ ( x ) = T (ϕ ) = y0 +
x
∫ f ⎡⎣t , ϕ ( t )⎤⎦dt .
x0
5.2.- Un teorema de existencia de la función implícita.
Sea f una función definida en una banda B :
B = {( x, y ) / a ≤ x ≤ b; −∞ < y < +∞}
Admitamos que existe la derivada parcial con respecto a “ y ” que satisface la
desigualdad
0 < m ≤ f y ( x, y ) ≤ M
∀ ( x, y ) ∈ B
(1)
donde m y M son constantes tales que m ≤ M . Supongamos además que para cada
función ϕ continua en [ a, b ] la función compuesta g ( x ) = f ⎡⎣ x, ϕ ( x ) ⎤⎦ es continua en
[ a, b ] .
Entonces existe una y sólo una función y = y ( x ) continua en [ a, b ] tal que:
f ⎡⎣ x, y ( x ) ⎤⎦ ≡ 0
∀x en [ a, b ]
(2)
Demostración: Designemos con C el espacio lineal de las funciones continuas en [ a, b ]
y definamos un operador T : C → C mediante la expresión:
1
T (ϕ )( x ) = ϕ ( x ) −
f ⎡ x, ϕ ( x ) ⎤⎦
M ⎣
para cada x de [ a, b ] . T (ϕ ) ∈ C siempre que ϕ ∈ C .
Vamos a demostrar que T es una contracción y luego deduciremos que T tiene un
único punto fijo “ y ” en C . Para esta función “ y ” tendremos y = T ( y ) lo que significa:
y ( x) = y ( x) −
1
f ⎡ x, y ( x ) ⎤⎦
M ⎣
lo que nos proporcionará (2).
Comenzamos escribiendo la diferencia
T (ϕ )( x ) − T (ψ )( x ) = ϕ ( x ) −ψ ( x ) −
∀x ∈ [ a, b ]
f ⎡⎣ x, ϕ ( x ) ⎤⎦ − f ⎡⎣ x,ψ ( x ) ⎤⎦
M
Por el teorema del valor medio, tenemos:
f ⎡⎣ x, ϕ ( x ) ⎤⎦ − f ⎡⎣ x,ψ ( x ) ⎤⎦ = ⎡⎣ϕ ( x ) −ψ ( x ) ⎤⎦ f y ⎡⎣ x,η ( x ) ⎤⎦
donde η ( x ) está situada entre ϕ ( x ) y ψ ( x ) .
(3)
Reemplazando en (3), resulta:
⎛
f y ⎡ x,η ( x ) ⎤⎦ ⎞
(4)
T (ϕ )( x ) − T (ψ )( x ) = ⎡⎣ϕ ( x ) −ψ ( x ) ⎤⎦ ⎜1 − ⎣
⎟
⎜
⎟
M
⎝
⎠
De (1) se obtiene:
m f y ⎡⎣ x,η ( x ) ⎤⎦
0<
≤
≤1
M
M
f y ⎡ x,η ( x ) ⎤⎦
m
<0
−1 ≤ − ⎣
≤−
M
M
f y ⎡ x,η ( x ) ⎤⎦
m
<1
0 ≤ 1− ⎣
≤ 1−
M
M
En consecuencia (4) proporciona:
m⎞
⎛
T (ϕ )( x ) − T (ψ )( x ) ≤ ϕ ( x ) −ψ ( x ) ⎜ 1 − ⎟ ≤ k ϕ −ψ
(5)
⎝ M⎠
m
donde k = 1 −
<1
M
La desigualdad (5) es válida ∀x ∈ [ a, b ] . Luego T es un operador de contracción.
Entonces T tiene un punto fijo único:
Así que siendo y ( x ) = T ( y ) = y ( x ) −
resulta f ⎡⎣ x, y ( x ) ⎤⎦ ≡ 0 .
y = T ( y)
1
f ⎡ x, y ( x ) ⎤⎦
M ⎣
∀x ∈ [ a, b ]
5.3.- Teorema de existencia para ecuaciones integrales.
Sea la ecuación integral lineal no homogénea de Fredholm de segunda especie:
b
f ( x ) = ϕ ( x ) + λ ∫ K ( x, y ) f ( y ) dy
(1)
a
donde K (llamada núcleo) y ϕ son funciones dadas, f la función incógnita y λ un
parámetro arbitrario. Mostraremos que el método es aplicable para valores
suficientemente pequeños del parámetro λ .
Supongamos que K ( x, y ) y ϕ ( x ) son continuas en a ≤ x ≤ b , a ≤ y ≤ b ; por
consiguiente K ( x, y ) ≤ M > 0.
Consideremos el operador T del espacio completo C[a ,b] en sí mismo, definido por:
b
T ( f )( x ) = ϕ ( x ) + λ ∫ K ( x, y ) f ( y ) dy
a
Llamamos solución de (1) a la función f ( x ) que, al ser sustituida en dicha ecuación, la
transforma en una identidad (respecto a x ).
La demostración se basa en probar que T es un operador de contracción. Para esto
tomemos en C dos funciones cualesquiera f1 y f 2 y hagamos la diferencia.
b
T ( f1 )( x ) − T ( f 2 )( x ) ≤ λ M ∫ f1 ( y ) − f 2 ( y ) dy ≤ λ M f1 − f 2
a
b
∫ dy =
a
= λ M ( b − a ) f1 − f 2 = k f1 − f 2
siendo k = λ M ( b − a ) . Por tanto, T es una contracción si 0 < k < 1, o sea cuando
1
(2)
M (b − a )
Luego ∀λ que verifique (2), la ecuación de Fredholm tiene una solución continua única
en C[a ,b] .
λ <
Las aproximaciones sucesivas f 0 , f1 ,..., f n ... de esta solución tienen la forma:
b
f n ( x ) = ϕ ( x ) + λ ∫ K ( x, y ) f n −1 ( y ) dy
a
6.- Generalización
Presentamos ahora una generalización para operadores de contracción.
6.1.- Teorema: Sea A una aplicación continua del espacio métrico completo E en sí
mismo tal que la aplicación An = T es una contracción para algún n ; en este caso la
ecuación:
A( x) = x
tiene una solución y sólo una.
En efecto, tomemos un
punto
arbitrario
x0 ∈ E
sucesión: x0 , x1 = A ( x0 ) = T ( x0 ) , x2 = A ( x1 ) = T ( x1 ) = A
n
xp = A
pn
n
2n
y
consideremos
( x0 ) = T ( x0 ) ,... es
2
la
decir
( x0 ) = T ( x0 ) ( p = 0,1, 2,3,...) .
p
Repitiendo la parte correspondiente de la demostración del teorema 4.2., podemos
probar que esta sucesión converge.
Pongamos: x = lim A pn ( x0 ) = lim T p ( x0 )
(1)
p →∞
p →∞
y queremos probar que A ( x ) = x .
En efecto, debido a la continuidad de A , tenemos
(
)
A ( x ) = A lim T p ( x0 ) = lim T p ( A ( x0 ) )
p →∞
p →∞
(2)
Puesto que An = T es un operador de contracción
d ⎡⎣ A pn ( A ( x0 ) ) , A pn ( x0 ) ⎤⎦ = d ⎡⎣T p ( A ( x0 ) ) , T p ( x0 ) ⎤⎦ ≤ kd ⎡⎣T p −1 ( A ( x0 ) ) , T p −1 ( x0 ) ⎤⎦ ≤
≤ ... ≤ k p d ⎡⎣ A ( x0 ) , x0 ⎤⎦ . Entonces:
lim d ⎡⎣ A pn ( A ( x0 ) ) , A pn ( x0 ) ⎤⎦ = lim d ⎡⎣T p ( A ( x0 ) ) , T p ( x0 ) ⎤⎦ ≤ lim k p d ⎡⎣( A ( x0 ) ) , x0 ⎤⎦ = 0
p →∞
p →∞
p →∞
pues k → 0 cuando p → ∞ , ya que k < 1. Entonces, por la continuidad de la distancia
p
d , de (1) y (2), se tiene: d ⎡⎣ A ( x ) , x ⎤⎦ = 0 ∴ A ( x ) = x .
La unicidad surge de que, como todo punto fijo respecto a A , también será fijo respecto
al operador An = T que es de contracción, este punto fijo es único.
6.2.- Teorema de existencia para la ecuación integral de Volterra de segunda especie.
Esta ecuación es de la forma:
x
f ( x ) = ϕ ( x ) + λ ∫ K ( x, t ) f ( t ) dt
a
que se diferencia de la ecuación de Fredholm por tener en el extremo superior de la
integral la variable x .
Aplicaremos en este caso el teorema 6.1. Probaremos que cierta potencia del operador
x
A ( f )( x ) = ϕ ( x ) + λ ∫ K ( x, t ) f ( t ) dt
a
es una contracción. Sean f1 y f 2 dos funciones continuas sobre [ a, b ] . Entonces:
x
A ( f1 )( x ) − A ( f 2 )( x ) = λ ∫ K ( x, t ) ⎡⎣ f1 ( t ) − f 2 ( t ) ⎤⎦ dt ≤ λ M ( x − a ) f1 − f 2 .
a
Aquí hemos llamado con M = max K ( x, t ) .
De la desigualdad anterior (ver apéndice 7.5.), se tiene:
A
2
( f1 )( x ) − A ( f 2 )( x ) ≤ λ
2
2
M
2
( x − a)
2
f1 − f 2
2
y en general
( f1 )( x ) − A ( f 2 )( x ) ≤ λ
( x − a)
n
(b − a )
n
f1 − f 2 ≤ λ M
f1 − f 2
n!
n!
Entonces, cualquiera que sea el valor de λ , podemos escoger n tan grande de modo
que
A
n
n
n
M
n
λ M
n
(b − a )
n
n
<1
n!
es decir, el operador An es de contracción para n suficientemente grande. Por
consiguiente la ecuación de Volterra de segunda especie, tiene solución única,
cualquiera que sea λ .
n
n
7.- Apéndice
7.1.- Relación entre las ecuaciones diferenciales lineales y las ecuaciones integrales de
Volterra.
La resolución de la ecuación diferencial lineal
y ( n ) + a1 ( x ) y ( n −1) + ... + an ( x ) y = b ( x )
con coeficientes continuos ai ( x )
y ( 0 ) = C0 , y′ ( 0 ) = C1 ,..., y
( n −1)
( i = 1, 2,..., n )
y condiciones iniciales:
( 0 ) = Cn−1
puede ser reducida a la solución de cierta ecuación integral de Volterra de segunda
especie.
Demostraremos esto para la ecuación diferencial lineal de segundo orden:
y′′ + a1 ( x ) y′ + a2 ( x ) y = b ( x )
(1)
y ( 0 ) = C0
Hagamos
,
y′′ = ϕ ( x )
x
Por tanto ∫ ϕ ( t ) dt = y′ ( x ) − y′ ( 0 ) = y′ ( x ) − C1
0
y′ ( 0 ) = C1
(2)
x
∴ y′ ( x ) = ∫ ϕ ( t ) dt + C1
(3)
0
Análogamente
x t
⎡
⎤
y ( x ) = ∫ ⎢ ∫ ϕ ( z ) dz + C1 ⎥ dt + C0
0 ⎣0
⎦
x t
x t
⎡
⎤
⎡
⎤
∫0 ⎢⎣ ∫0 ϕ ( z ) dz + C1 ⎥⎦ dt =∫0 ⎢⎣ ∫0 ϕ ( z ) dz ⎥⎦dt + C1 x
Vamos a integrar por partes.
(4)
t
Llamemos: u = ∫ ϕ ( z )dz
y
∴
dv = dt
v=t−x
0
Considerando − x como una constante aditiva.
x
t
x
⎡t
⎤
Así resulta: ∫ ⎢ ∫ ϕ ( z ) dz ⎥ dt = ( t − x ) ∫ ϕ ( z ) dz − ∫ ( t − x ) ϕ ( t ) dt
0 ⎣0
0
0
⎦
0
x t
x
⎡
⎤
Reemplazando en (4) ∫ ⎢ ∫ ϕ ( z ) dz ⎥ dt + C1 x = ∫ ( x − t )ϕ ( t ) dt + C1 x
0 ⎣0
0
⎦
En consecuencia:
x
x
y ( x ) = ∫ ( x − t )ϕ ( t ) dt + C1 x + C0
(5)
0
Reemplazando (2), (3) y (5) en (1), nos queda:
x
x
0
0
ϕ ( x ) + a1 ( x ) ∫ ϕ ( t ) dt + a1 ( x ) C1 + a2 ( x ) ∫ ( x − t ) ϕ ( t ) dt + a2 ( x ) C1 x + a2 ( x ) C0 = b ( x )
x
ϕ ( x ) + ∫ ⎡⎣ a1 ( x ) + a2 ( x )( x − t ) ⎤⎦ϕ ( t ) dt = b ( x ) − C1 ⎡⎣ a1 ( x ) + xa2 ( x ) ⎤⎦ − C0 a2 ( x )
0
Llamando:
K ( x, t ) = − ⎡⎣ a1 ( x ) + a2 ( x )( x − t ) ⎤⎦
(6)
f ( x ) = bx − C1a1 ( x ) − C1 xa2 ( x ) − C0 a2 ( x )
nos queda:
x
ϕ ( x ) = ∫ K ( x, t ) ϕ ( t )dt + f ( x )
(7)
0
que es una ecuación de segunda especie de Volterra.
La existencia de la solución única de (7) se desprende del teorema demostrado en 6.2.,
ya que K ( x, t ) y f ( x ) son funciones continuas. Resolviendo la ecuación (7) con K y
f dados por (6) y sustituyendo la expresión obtenida para ϕ ( x ) en (5), se tiene la
solución única de la ecuación (1) que satisface las condiciones iniciales dadas. Cabe
también acotar, que la existencia y unicidad de (7) se desprende de la existencia y
unicidad de la solución del problema de Cauchy para la ecuación diferencial lineal con
coeficientes continuos en un entorno de x = 0 .
7.2.- Continuidad de la distancia.
Teorema: La función numérica
( x , y ) → d ( x, y )
definida sobre E × E es continua
sobre E × E .
Basta demostrar que en el espacio métrico ( E , d ) , si ( xn , yn ) tiende a ( x0 , y0 ) .según la
distancia definida sobre E × E , entonces d ( xn , yn ) .tiende a d ( x0 , y0 ) .
De la desigualdad triangular, cualesquiera que sean:
x, z1 , z2 ,..., zn −1 , zn , y ∈ E
d ( x, y ) ≤ d ( x, z1 ) + d ( z1 , z2 ) + ... + d ( zn , y )
Por lo tanto, para x, y, x′, y′, será:
d ( x, y ) ≤ d ( x, x′ ) + d ( x′, y′ ) + d ( y′, y )
d ( x′, y′ ) ≤ d ( x′, x ) + d ( x, y ) + d ( y, y′ )
y como: d ( x, x′ ) = d ( x′, x )
se tienen:
y
d ( y, y′ ) = d ( y′, y )
d ( x, y ) − d ( x′, y′ ) ≤ d ( x, x′ ) + d ( y, y′ )
d ( x′, y′ ) − d ( x, y ) ≤ d ( x, x′ ) + d ( y, y′ )
Luego:
d ( x, y ) − d ( x′, y′ ) ≤ d ( x, x′ ) + d ( y, y′ )
(1)
Entonces, llamando x = xn , y = yn , x′ = x0 , y′ = y0 , y reemplazando en la desigualdad
anterior (1) nos queda la expresión:
d ( xn , yn ) − d ( x0 , y0 ) ≤ d ( xn , x0 ) + d ( yn , y0 )
que completa la demostración.
7.3.- Nota: Cabe destacar que la desigualdad (1) prueba que la distancia d es
uniformemente continua sobre E × E ( E lineal).
7.4.- En un espacio métrico se usan en numerosas cuestiones sucesiones convergentes.
Por tal motivo, hacemos notar que para que una sucesión { xn } converja a un punto
x ∈ E , es necesario y suficiente que d ( x, xn ) tienda a cero. Pues si xn converge hacia
x , toda bola abierta con centro x y radio ε contiene todos los xn , salvo los que
corresponden a un número finito de índices, por tanto, sea cual sea ε > 0, se verifica
d ( x, xn ) < ε salvo para un número finito de valores de n .
Inversamente, si d ( x, xn ) → 0 , para cualquier ε > 0, la bola abierta de centro x y radio
ε contiene todos los xn tales que d ( x, xn ) < ε y por tanto, los contiene todos, salvo
un número finito.
7.5.- Trataremos en este punto, con más detalle la demostración del teorema 6.2.
Habíamos probado que:
A ( f1 )( x ) − A ( f 2 )( x ) ≤ λ M ( x − a ) f1 − f 2
Entonces, siendo
x
A2 ( f )( x ) = A ( A ( f ) ) ( x ) = ϕ ( x ) + λ ∫ K ( x, t )A ( f )( t ) dt
a
x
A2 ( f1 )( x ) − A2 ( f 2 )( x ) = λ ∫ K ( x, t ) ⎡⎣ A ( f1 )( t ) − A ( f 2 )( t ) ⎤⎦dt
a
Por tanto:
A2 ( f1 )( x ) − A2 ( f 2 )( x ) ≤ λ
x
∫ K ( x, t ) A ( f )( t ) − A ( f )( t ) dt ≤
1
2
a
≤λ M
2
x
2
∫ ( t − a ) dt
f1 − f 2
a
y como:
x
∫ (t − a )
a
(t − a )
dt =
2 x
2
( x − a)
=
2
2
a
Luego:
A
2
( f1 )( x ) − A ( f 2 )( x ) ≤ λ
2
2
M
2
M
n
( x − a)
2
f1 − f 2
2
y en general, por inducción:
A
n
( f1 )( x ) − A ( f 2 )( x ) ≤ λ
n
n
(b − a )
pues x ∈ [ a, b ] .
n!
n
f1 − f 2
BIBLIOGRAFÍA
APOSTOL, Tom. “Análisis Matemático”. Ed. Rverté S.A. Barcelona. 1982.
APOSTOL, Tom. “Calculus”. Ed. Reverté S.A. Barcelona. 1992.
DIEUDONNÉ, J. ”Fundamentos de análisis moderno”. Ed. Reverté S.A.
Barcelona.1966.
KOLMOGOROV, A.N. y FOMIN, S.V. “Elementos de la teoría de funciones y del
análisis funcional”. Editorial MIR. Moscú. 1975.
PISOT, C y ZAMANSKY, M. “Matemáticas Generales”. Montaner y Simon S.A.
Barcelona. 1966.
TARZIA, Domingo A. “Introducción a las inecuaciones variacionales elípticas y sus
aplicaciones a problemas de frontera libre. Argentina”. CONICET. Buenos Aires.
1981.
ZAMANSKY, Marc. “Introducción al álgebra y análisis moderno”. Montaner y
Simon S.A. Barcelona. 1970.