Cap´ıtulo II Cardinalidad Finita

Capı́tulo II
Cardinalidad Finita
II.1.
Cardinalidad
Definimos In para n ∈ N como
In = {k ∈ N : 1 ≤ k ≤ n}.
En particular I0 = ∅, puesto que 0 < 1. Esto es equivalente a la definición
recursiva
∅
si n = 0
In =
In−1 ∪ {n} si n > 0
La verificación se puede hacer por inducción usando que para todo n ∈ N no
existe m ∈ N tal que n < m < n + 1. (Y esto se debe a que si existiera tal m,
entonces existirı́an p, q ∈ N, p, q ≥ 1 tal que n + p = m y m + q = n + 1; pero
entonces n + (p + q) = n + 1 lo cual es una contradicción porque p + q 6= 1.)
Definición.
(i) Dos conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad ó son
equipotentes, denotado A ∼ B, si y sólo si existe una biyección f : A → B.
(ii) Un conjunto A es finito si existe n ∈ N tal que A ∼ In (esto incluye el
caso A = ∅ ya que A ∼ I0 ). En este caso se dice que la cardinalidad de A
es n, y se escribe |A| = n.
Es claro que ∼ es una relación de equivalencia. Para ver que “tener la misma
cardinalidad” y “la cardinalidad” están bien definidas queremos ver que
? A ∼ Im y A ∼ In implica que m = n, y
? A ∼ B si y sólo si |A| = |B|.
Esto se hace en el corolario del lema siguiente. En lo que sigue m, n, r son
elementos en N.
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CAPÍTULO II. CARDINALIDAD FINITA
Lema 1
(a) Si f : In → In es inyectiva entonces es sobreyectiva
(b) Si R ⊆ In entonces existe r ∈ N, r ≤ n, tal que R ∼ Ir
(c) Si R ( In entonces R 6∼ In
(d) Si Im ∼ In entonces m = n.
Prueba. (a) La prueba es por inducción sobre n. En el caso base n = 0,
la unica función f : I0 → I0 es trivialmente biyectiva. Ahora asumimos
el enunciado es cierto para un n ≥ 0 y lo probamos para n + 1. Sea
f : In+1 → In+1 una función inyectiva. Consideramos dos casos:
1. f(In ) ⊆ In : Entonces la restricción f|In : In → In es también inyectiva, y entonces por hipótesis de inducción, es sobreyectiva. Pero
entonces se debe tener que f(n + 1) = n + 1 y por lo tanto f también
es sobreyectiva, lo que querı́amos probar.
2. f(In ) 6⊆ In : Entonces existe j ∈ In tal que f(j) = n + 1, y puesto
que f es inyectiva, f(n + 1) ∈ In . Definimos entonces la función
g : In+1 → In+1 como

si i ∈ In − {j}
 f(i)
f(n
+
1)
si i = j
g(i) =

n+1
si i = n + 1
Esta función g es claramente inyectiva y satisface g(In ) ⊆ In , por lo que
se puede aplicar el primer caso para concluir que g es sobreyectiva. Por
construcción f también es sobreyectiva.
(b) La prueba es por inducción sobre n. En el caso base n = 0 se tiene
I0 = ∅, entonces R = ∅ y trivialmente se tiene una biyección I0 → R.
Ahora asumimos el enunciado es cierto para un n ≥ 0 y lo probamos
para n + 1. Sea R ⊆ In+1 . Consideramos dos casos:
1. R ⊆ In : Entonces podemos usar la hipótesis de inducción para concluir que existe r tal que R ∼ Ir .
2. R 6⊆ In : Entonces n+1 ∈ R. Sea R 0 = R−{n+1}. Entonces R 0 ⊆ In y
por hipótesis de inducción existe r 0 tal que R 0 ∼ Ir 0 . Sea f : Ir 0 → R 0
una biyección correspondiente, entonces definimos g : Ir → R, donde
r = r 0 + 1, como extensión de f:
f(i)
si i ∈ Ir 0
g(i) =
n + 1 si i = r
Puesto que f es biyectiva, g también lo es. Por lo tanto R ∼ Ir .
II.1. CARDINALIDAD
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(c) Sea R ( In . Supongamos por contradicción que R ∼ In . Entonces existe
una biyección correspondiente f : In → R. Entonces f(In ) = R. Esta
misma función se puede considerar como una función f^ : In → In (es
^ = f(i) para todo i ∈ In , pero el codominio se ha extendido
decir f(i)
de R a In ). Esta f^ es inyectiva, por ser f biyectiva, y por lo tanto, por
^ n ) = In . Pero esto es una
la parte (a), f^ es sobreyectiva. Por lo tanto f(I
contradicción con f(In ) = R y R ( In (ya que f y f^ están igualmente
definidas). Concluı́mos que R 6∼ In .
(d) Verificamos el contrapositivo. Supongamos que m 6= n. Entonces m < n
ó m > n. En ambos casos usando parte (c) se concluye Im 6∼ In .
Corolario 2
(a) Si A es finito entonces existe n único tal que A ∼ In
(b) Si A, B finitos, A ∼ B si y sólo si |A| = |B|
(c) Si A es finito y f : A → A inyectiva, entonces f es sobreyectiva
(d) Si A es finito y B ⊆ A, entonces B es finito y |B| ≤ |A|
(e) Si A es finito y B ( A, entonces A 6∼ B y |B| < |A|.
Prueba. (a) Se deduce del lema (d): si A ∼ Im y A ∼ In entonces Im ∼ In y
entonces m = n.
(b) Sean m = |A| y n = |B|. Entonces
A ∼ B si y sólo si Im ∼ In si y sólo si m = n si y sólo si |A| = |B|
(c) Sea n = |A| y σ : In → A una biyección correspondiente, entonces definimos g con base en el diagrama
g
In → In
σ ↓
↑ σ−1
f
A → A
es decir, g = σ−1 ◦ f ◦ σ. Puesto que f es inyectiva, y σ, σ−1 biyectivas,
g también es inyectiva. Por el lema (a), se deduce que g es sobreyectiva,
y entonces f también debe serlo. Verifiquemos eso: si no, entonces existe
a ∈ A tal que a 6∈ f(A); entonces, siguiendo el diagrama, σ−1 (a) no
está en (σ−1 ◦ f)(A), y σ−1 (a) no está en (σ−1 ◦ f ◦ σ)(In ); es decir, σ−1 (a)
no está en g(In ), por definición de g, lo que es una contradicción porque
g es sobreyectiva.
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CAPÍTULO II. CARDINALIDAD FINITA
(d) Sea n = |A| y σ : A → In una biyección correspondiente. Sea R = σ(B) ⊆
In . Por el lema (b), existe r, r ≤ n, tal que R ∼ Ir ; sea τ : R → Ir una
biyección correspondiente. Entonces µ = τ◦σ|B : B → Ir es una biyección,
y por lo tanto B es finito. Además, r ≤ n implica |B| ≤ |A|.
(e) Como en la prueba del lema (c), si A ∼ B, sea f : A → B una biyección
correspondiente. Puesto que B ( A podemos considerar la extensión
f^ : A → A la cual es inyectiva y por parte (c) debe ser sobreyectiva. Esto
contradice B ( A y por lo tanto A 6∼ B. Ahora, de (d) se tiene |B| ≤ |A|,
pero de (b) se concluye |B| 6= |A|, por lo tanto |B| < |A|.
II.2.
Unión y Producto
Unión
La regla de la suma en su forma básica establece simplemente que el tamaño de
la unión de conjuntos disyuntos es igual a la suma de los tamaños. Para ilustrar
la definición formal de conteo como una biyección probamos esto formalmente
en el siguiente teorema.
Teorema 3 Si A y B son conjuntos finitos disyuntos, entonces
|A ∪ B| = |A| + |B|.
Prueba. La prueba es por inducción sobre |B|.
Para |B| = 0, se tiene que B = ∅ y por lo tanto A ∪ B = A y
|A ∪ B| = |A| = |A| + 0 = |A| + |B|.
Para el paso inductivo también necesitamos el caso |B| = 1: Sea f : A → I|A|
una biyección (la cual existe por definición de cardinalidad). Sea B = {b} (note
que b 6∈ A porque A y B son disyuntos). Entonces f 0 : A ∪ B → I|A|+1 definida
por
f(m)
si m ∈ A
0
f (m) =
|A| + 1 si m = b
es una biyección (lo que se verifica fácilmente). Entonces
|A ∪ B| = |A ∪ {b}| = |A| + 1 = |A| + |B|.
Ahora suponemos |B| > 1. Entonces B 6= ∅ y por lo tanto existe b ∈ B. Sea
B 0 = B − {b}. Entonces B = B 0 ∪ {b} y por el primer caso baso se tiene que
II.2. UNIÓN Y PRODUCTO
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|B| = |B 0 | + 1. Por otra parte, se tiene que A y B 0 son disyuntos y |B 0 | < |B|.
Por lo tanto, por hipótesis de inducción, se tiene que
|A ∪ B 0 | = |A| + |B 0 |
(∗)
Aplicando una vez más la hipótesis de inducción (caso base) a A ∪ B 0 y {b},
obtenemos
|A ∪ B| =
=
=
=
=
|(A ∪ B 0 ) ∪ {b}|
|A ∪ B 0 | + |{b}| por el segundo caso base
(|A| + |B 0 |) + 1 por (∗)
|A| + (|B 0 | + 1)
|A| + |B|.
Prueba. (Alternativa) Puesto que A y B son finitos, existen m, n ∈ N tal
que |A| = m y |B| = n y por lo tanto existen funciones biyectivas
f : A → {1, 2, 3 . . . , m}
g : B → {1, 2, 3 . . . , n}.
Entonces definimos la función
h : A ∪ B → {1, 2, 3 . . . , m + n}
de la siguiente manera,
h(x) =
f(x)
si x ∈ A
g(x) + m si x ∈ B
Esta función h es una biyección (se omite la fácil verificación). Se concluye
entonces que
|A ∪ B| = m + n = |A| + |B|.
Usando inducción, la regla de la suma se extiende a un número finito de conjuntos mutuamente disyuntos Ai , i = 1, . . . , n: si Ai ∩ Aj = ∅ para todo
1 ≤ i < j ≤ n, entonces
n
n
[
X
|Ai |.
Ai =
i=1
i=1
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CAPÍTULO II. CARDINALIDAD FINITA
Producto
La regla de producto en su forma básica establece que la cardinalidad de el
producto cartesiano de dos conjunto finitos es igual al producto de las cardinalidades de los conjuntos. La regla es intuitivamente clara pero formalmente
se verifica por inducción usando la regla de la suma.
Teorema 4 Si A, B son conjuntos finitos, entonces |A × B| = |A| · |B|.
Prueba. Por inducción sobre |B|. En el caso base |B| = 0 se tiene que A×B = ∅;
por lo tanto |A × B| = 0 y también |A| · |B| = 0. En el caso base |B| = 1, sea
B = {b} y entonces la función
f:A×B→A
definida por f((a, b)) = a
es biyectiva y prueba que |A × B| = |A|. Por tanto, dado que |B| = 1, se tiene
que |A × B| = |A| · |B|. Ahora consideramos B con |B| > 1. Entonces tomando
cualquier b ∈ B, tenemos B = B 0 ∪ {b} donde B 0 = B − {b}. Por hipótesis de
inducción
|A × B 0 | = |A| · |B 0 |.
Entonces de la igualdad
A × B = (A × B 0 ) ∪ (A × {b}),
donde la unión es disyunta, se obtiene
|A × B| = |A| · |B 0 | + |A| · 1
= |A| · (|B 0 | + 1)
= |A| · |B|.
Usando inducción, este resultado se extiende a un número finito de conjuntos
Ai , i = 1, . . . , n:
n
Y
|A1 × A2 × · · · × An | =
|Ai |.
i=1
II.3.
Reglas de la Suma y el Producto
La cardinalidad de la unión y la cardinalidad del producto son la base para la determinación de cardinalidad en diversas aplicaciones. Su aplicabilidad
usualmente se expresa con las llamadas reglas de la suma y del producto, cuya
expresión es informal por la generalidad con que se formulan. En todo aplicación es posible dar también una prueba formal si se requiere.
II.3. REGLAS DE LA SUMA Y EL PRODUCTO
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Regla de la Suma: Si la construcción de cierta “configuración” tiene dos
opciones (disyuntas) simultáneas posibles, la primera de las cuales resulta en
n1 configuraciones diferentes, y la segunda de las cuales resulta en n2 configuraciones diferentes, entonces el número total de configuraciones resultantes
posibles es n1 + n2 .
Esta regla se puede extender a una construcción con k opciones, con ni configuraciones posibles para la i-ésima opción, y entonces el número de configuraciones resultantes posibles es
k
X
ni .
i=1
Regla del Producto: Si la construcción de cierta “configuración” se puede
realizar en dos pasos consecutivos, el primero de los cuales se puede realizar de
n1 maneras distintas, y el segundo de los cuales se puede realizar de n2 maneras
distintas independientemente de la alternativa que se tomó en el primer paso,
entonces el número de configuraciones resultantes posibles es n1 · n2 .
Esta regla se puede extender a una construcción en k pasos consecutivos, con ni
maneras distintas en el i-ésimo paso independientemente de las alternativas elegidas en los pasos anteriores, entonces el número de configuraciones resultantes
posibles es
k
Y
ni .
i=1
Aunque directamente no se está determinando el tamaño de un producto cartesiano, la regla del producto aplica porque de acuerdo con la condición en
la regla existe una función biyectiva entre las configuraciones construı́das y el
producto cartesiano
{1, 2, . . . , n1 } × {1, 2, . . . , n2 } × · · · × {1, 2, . . . , nk }
y por lo tanto el número de configuraciones resultantes es igual al producto de
los ni , i = 1, . . . , nk .
Ejemplo. Queremos contar el número de permutaciones de las letras de la
palabra discreta. Por ejemplo discreta, scatdire, cretadis, atercsid,
etc. Cada una de estas posibles permutaciones se puede construir en pasos
escogiendo las letras en el orden en que aparecen: para la primera letra se
tienen 8 opciones, para la segunda se tienen 7 porque ya se uso una (y esto es
independiente de cual se haya usado), para la tercera 6, y ası́ sucesivamente
hasta la última que tiene sólo una opción. Por lo tanto el número total de
posibles permutaciones construidas es 8 · 7 · 6 · · · · · 2 · 1 = 8!. Note que las
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CAPÍTULO II. CARDINALIDAD FINITA
opciones que se tienen en un paso dependen de las elecciones anteriores, pero
el número de ellas es independiente de esas elecciones anteriores.
Ejemplo. Se tiene un grupo de 6 personas A, B, C, D, E y F y se desea elegir
un comité conformado por presidente, secretario y tesorero. De cuántas formas distintas se puede formar el comité si se tiene cada una de las siguientes
restricciones adicionales:
a) Sin restricción adicional: Se eligen en orden presidente, secretario y tesorero, para el primero hay 6 opciones, para el segundo hay 5 (ya que uno
ya tiene un cargo), y para el tercero hay 4 opciones (ya que dos ya tienen
un cargo), por lo tanto usando la regla del producto se obtiene: 6 · 5 · 4.
b) A ó B debe ser presidente: Para presidente sólo hay 2 opciones, para
secretario y tesorero 5 y 4. Por lo tanto, el número de posibles selecciones
es: 2 · 5 · 4. (Note que si se seleccionan en orden tesorero, secretario y
presidente, no se puede usar la regla del producto.)
c) E debe ser elegido a un cargo: Consideramos los 3 casos disyuntos en que E
tiene cada uno de los cargos. En cada caso, los otros dos cargos se pueden
elegir de 5 · 4 formas. Por lo tanto el número total es 5 · 4 + 5 · 4 + 5 · 4.
d) D y F deben ser elegidos: Seleccionamos primero el cargo de D (3 opciones), entonces el cargo de F (2 opciones) y finalmente para el cargo que
queda se elige la persona que lo ejerce entre los 4 restantes (4 opciones).
Por lo tanto, el número de selecciones es: 3 · 2 · 4.
e) A no puede ser presidente, y C ó D debe ser secretario: Primero seleccionamos quien es el secretario (2 opciones), luego quien es el presidente (4
opciones porque excluye A y el ya elegido a secretario) y luego quien es
el tesorero (4 opciones porque excluye los dos ya elegidos). Por lo tanto
el número de selecciones es: 2 · 4 · 4. (Note que si se seleccionan en orden
presidente, tesorero y secretario, no se puede usar la regla del producto.
Igual si se seleccionan en orden secretario, tesorero y presidente.)