La respuesta al 1) usa una idea MUY útil: la de que (a+b)(a

1) Demostrar por inducción que para todo n ≥ 1
√
1
1
1
1
√ + √ + √ + · · · + √ < 2 n.
n
1
2
3
√
√
Es 2)
cierto
n = 1 : en
1/ R1+<
=2.
Seapara
la relación
×2R+1 definida
mediante
√
√
(n + 1) − n
1
− c2n+=d2√
Y si es
para npor
, también
lo esque
para
1≤, cporque
1)cierto
Demostrar
inducción
n ≥y1 a2n++b21 ≤
(a, b)R(c,
d) para
⇔n +atodo
. n + 1 + √n > 2√n + 1 ,
√
√
1
√
1
1
1
1
Explicar
si es una
relación
de orden.
y por lo tanto
sumamos
al lado
izquierdo
√ + √menos
+ √ que
+ ·al
· · lado
+ √ derecho:
< 2 n. √n + 1 < 2( n + 1 − n) .
n
1
2
3
3) Decidir razonadamente si existe una función biyectiva f : [0, ∞) −→ [0, 1), dando un ejemplo
en caso
o unaendemostración
de imposibilidad
2)afirmativo
Sea la relación
R+ × R+ definida
mediante en caso negativo.
(a, b)R(c, d) ⇔ a ≤ c y
1) Demostrar por inducción que para todo n ≥ 1
a2 + b 2 ≤ c 2 + d 2 .
Explicar si es una relación de orden.
√
1
1
1
1
√ + √ + √ + · · · + √ < 2 n.
Es obviamente
reflexiva:
se
cumplen
las
igualdades
si
(a,
b)
=
(c,
d)
. ∞) −→ [0, 1), dando un ejemplo
n f : [0,
3) Decidir razonadamente si existe
una
biyectiva
1
2 función
3
Y en
también
transitiva:
caso afirmativo o una demostración de imposibilidad en caso negativo.
2) b)R(c,
Sea lad)
relación
en R+f )× ⇒
R+ adefinida
(a,
∧ (c, d)R(e,
≤ c ≤ emediante
∧ a2 + b2 ≤ c2 + d2 ≤ e2 + f 2 , luego (a, b)R(e, f ) .
2
2
Además, (a, b)R(c, d) ∧ (c,(a,
d)R(a,
b) d)⇔ ⇔a =
c c∧ ay2 + a
b22 +
= bc22 ≤
+ cd22+⇒
b)R(c,
a≤
d2 . b = d ⇒ b = d , por ser
ambos ≥ 0 . Luego es antisimétrica.
Explicar si es una relación de orden.
3) Decidir razonadamente si existe una función biyectiva f : [0, ∞) −→ [0, 1), dando un ejemplo
en caso afirmativo o una demostración de imposibilidad en caso negativo.
1
da una biyección entre esos intervalos, ya que es creciente, con f (0) = 0
x+1
y f (x) → 1 cuando x → ∞ ; la inversa es y ∈ [0, 1) → x = y/(1 − y) ∈ [0, ∞) .
Por ejemplo f (x) = 1 −
La respuesta al 1) usa una idea MUY útil: la de que
(a+b)(a-b) = ...
Pero puede llegarse a la misma conclusión de otras maneras.