Teorema fundamental del cálculo integral

INTEGRALES
LECCIÓN 4
Índice: Teorema del valor medio del cálculo integral. La función integral. Teorema fundamental del cálculo integral. Problemas.
1.- Teorema del valor medio del cálculo integral
Si f es continua en [a,b], entonces existe c en [a,b] tal que
⌠ f=(b-a)·f(c)
⌡a
b
En efecto:
• Si a=b, el teorema es evidente, ya que ambos miembros valen 0
(en este caso c=a=b).
• Si a<b, como f es continua en [a,b], por el teorema de Weierstrass existen m y M en [a,b] tales que
f(m)≤f(x)≤f(M), ∀x∈[a,b]
Por la propiedad de monotonía:
⌠ f(m)≤⌠ f≤⌠ f(M)
⌡a
⌡a
⌡a
b
b
b
Ahora bien, como f(m) y f(M) son constantes, queda:1
f(m)·(b-a)≤⌠
⌡a f ≤f(M)·(b-a)
b
b
b
2
⌠
Si ⌠
⌡a f=f(m)·(b-a) o ⌡a f=f(M)·(b-a), el teorema está demostrado.
b
Si f(m)·(b-a)<⌠
⌡a f <f(M)·(b-a), como b-a>0, podemos dividir por b-a:
⌠ f
⌡a
b
f(m)< b-a <f(M)
Por la propiedad de Darboux, existe c entre m y M, y, por tanto,
en el intervalo [a,b], tal que:
⌠ f
⌡a
b
f(M)
⌠
⌡a
b
b-a =f(c)
f
(b-a)
Despejando el numerador, queda:
f(m)
⌠ f=(b-a)·f(c)
⌡a
b
O
a
• Observa que también es cierto ⌠
⌡b f=(a-b)·f(c), ya que
a
⌠ f = -⌠ f = -(b-a)·f(c) =(a-b)·f(c)
⌡b
⌡a
a
1
2
3
4
3
b
4
Ver el problema 8 de la lección I-2.
En el primer caso c=m y en el segundo c=M.
Por la extensión del concepto de integral.
Como a<b, podemos aplicar la fórmula que acabamos de demostrar.
- 1 -
m
c
M
b
2.- La función integral
Si f es una función continua en [a,b], se llama función integral
de f a la función S dada por:
• S(x)=⌠
⌡a f
• Dom(S)=[a,b]
x
* * *
Si la función f es no negativa, S(x) nos da el área del recinto
señalado para cada valor de x:
Y
f
S(x)
a
O
x
b X
3.- Teorema fundamental del cálculo integral
'
Si f es continua en [a,b], entonces S'(x)= ⌠
⌡a f =f(x), ∀x∈[a,b].
En efecto, si x0∈[a,b]:1
x
⌠
⌡a
x0+h
2
S(x0+h)-S(x0)
= lím
h
h→0
h→0
3
S'(x0) = lím
⌠ f+⌠
⌡x0 ⌡a
a
=lím
h→0
x0+h
h
= lím
h→0
⌠ 0 f
⌡x0
⌠
f-⌠
⌡a f 4
⌡a
= lím
h
h→0
x0
x0+h
f+⌠
⌡x0 f
=
h
a
x +h
f
5
= lím
h→0
h
6
= lím
h→0
(x0+h-x0)·f(c)
=
h
7
8
h·f(c)
=lím f(c) = lím
f(c)
=
f(x0)
h
c→x0
h→0
1
Si x0=a o x0=b, la siguiente derivada habrá que entenderla como una derivada lateral por
la derecha, en el primer caso, o por la izquierda, en el segundo.
2
Por la definición de derivada.
3
Por la definición de función integral.
4
Por la extensión del concepto de integral.
5
Por la propiedad de aditividad del intervalo.
6
Por el teorema del valor medio del cálculo integral. Si h es positivo, c está entre x0 y
x0+h; y si h es negativo, entre x0+h y x0:
x0
c
x0+h
c
x0
x0+h
h>0
h<0
Cuando h tiende a 0, x0+h tiende a x0 y, por tanto, c, que está entre x0 y x0+h, también
tiende a x0.
8
f es continua en x0, ya que x0∈[a,b].
7
- 2 -
I-4
4.- Problemas1
1) Deriva las siguientes funciones:
x
0
⌠ sen(3t)
a) F(x)=⌠
(
t+5)
b)
F(x)=
⌡3
⌡x
c) F(x)=⌠
⌡2 ln t
x
2) Halla los extremos relativos de las funciones:
x t-2
x
a) F(x)=⌠
b) G(x)=⌠
(t3-3t+2)
1 t2+1
⌡
-5
⌡
2
⌠
2
3) Dadas las funciones F(x)=⌠
⌡0 sen t y G(x)=⌡2 sen t:
x
x
a) ¿Tienen la misma derivada?
b) Expresa mediante una integral F(x)-G(x).
2 x
3
4) Si ⌠
⌡2 f(t)=x e +x -1, halla f(x).
x
5) Si ⌠
⌡π f(t)=sen x+cos x+x+1+k, halla f(π), f'(π) y k.
x
3
6) Sea f una función continua en [1,2] y F(x)=⌠
⌡1 f(t)=(x -1)/3. Calcula f(x). ¿Puede ser F(x)=x3/3?
x
7) Sea f una función continua y positiva en [a,b]. Comprueba que la
a
función F(x)=⌠
⌡x f(t) es decreciente en [a,b].
2
8) La función f(x)=⌠
⌡a (t -1) es una composición de dos funciones, una
de las cuales es g(x)=cos x. ¿Cuál es la otra? Aplicando la regla de
la cadena, halla la derivada de f.
cos x
9) Expresa la función f(x)=⌠
⌡a
y derívala.
10) Deriva la función f(x)=⌠
⌡a
g(x)
ln t como composición de dos funciones
g(x)
h(t).
1
En los siguientes problemas utilizamos la letra t como variable independiente de la
función integrando para distinguirla de la variable que aparece en los límites de integración.
- 3 -
I-4