)()( xx xfxf lím - -

UNIDAD 10.- DERIVADAS
1. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. DERIVADAS LATERALES
Definición.- Se llama derivada de una función y  f (x) en un punto de abscisa x 0 al siguiente límite si
existe:
f ( x 0  h)  f ( x 0 )
.
h 0
h
significan lo mismo.
Se suele representar por f ' ( x0 ) = D f ( x0 )  y' ( x0 ) 
f ' ( x0 )  lím
df
( x0 ) y todas
dx
También se puede usar otro límite equivalente si a uno le gusta más y es:
f ' ( x0 )  lím
x  x0
f ( x)  f ( x0 )
x  x0
Ejemplo: Dada la función y  x 2  x , calcular la derivada en el punto de abscisa x0  3
Aplicamos la definición usando el primer límite (practicad usando el otro y ver que sale lo mismo)
2

y(3  h)  y(3)
3  h   3  h   32  3
9  6h  h 2  3  h   6
=
 lím
 lím
y' (3)  lím
h 0
h 0
h 0
h
h
h
6  5h  h 2  6
5h  h 2
0
lím
 lím
 (ahora nos sale una indeterminación , que la resolvemos sacando
h 0
h 0
h
h
0
h·(5  h)
factor común) = lím
 lím (5  h)  5 . Así la derivada de la función y  x 2  x en x0  3 vale 5
h 0
h 0
h

 



Ejemplo: Dada f ( x)  x , calcular la derivada en x0  5
Ahora vamos a aplicar el otro límite equivalente:
x 5
0
f ( x)  f (5)
 (ahora nos sale una indeterminación , que la resolvemos
f ' (5)  lím
 lím
x 5
x

5
x5
0
x5
   


2
2
( x  5) ( x  5)
x  5
x5
·
 lím
multiplicando por el conjugado) = lím
=
 lím
x 5
x

5
x

5
( x  5) ( x  5 )
( x  5) x  5
( x  5) x  5
1
1
1

(simplificamos) = lím
. Así la derivada de f ( x)  x en x0  5 vale
x 5
x 5
2 5
2 5




[Nota: No hacía falta multiplicar por el conjugado si nos damos cuenta que ( x  5)  ( x  5 )·( x  5 )
y simplificar]
Definición.- La derivada lateral por la derecha de una función y  f (x) en un punto de abscisa x 0 al
siguiente límite si existe:


f ' ( x0 )  D f ( x0 )  lím
h0
f ( x0  h)  f ( x0 ) lím f ( x)  f ( x0 )
= x x 
x  x0
0
h
1
UNIDAD 10.- Derivadas
Definición.- La derivada lateral por la izquierda de una función y  f (x) en un punto de abscisa x 0 al
siguiente límite si existe:


f ' ( x0 )  D f ( x0 )  lím
h0
f ( x0  h)  f ( x0 ) lím f ( x)  f ( x0 )
= x x 
x  x0
0
h
Consecuencia: Una función y  f (x) tiene derivada en un punto de abscisa x 0 si y solo si existen las
derivadas laterales y coinciden. Es decir,
f '( x0  ) y f '( x0  )
f '( x0 )  


 f '( x0 ) =f '( x0 )
Nota: las derivadas laterales se usarán sobre todo en las funciones definidas por partes o a trozos, de
manera similar a como se hacía en el estudio de la continuidad
2. CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES DERIVABLES
Propiedad: Si una función es derivable en un punto x 0 , entonces es continua en x 0 . Lo contrario no es
cierto, es decir, hay funciones continuas en un punto x 0 que no son derivables en ese punto x 0
Derivable  Continua
Resumiendo:
Continua  Derivable o no derivable
Propiedad: Si una función es continua en x 0 , la derivada existe si y sólo si existen las derivadas laterales y
estas coinciden.
Esta propiedad la utilizaremos para calcular la derivada en puntos donde la función cambia de definición.
x0
 2 x  1 si
 2
Ejemplo: Dada la función f ( x)   x  1 si 0  x  2 , estudiar si es derivable en x0  0 y en x0  2
4 x  5 si
x2

Veamos en x0  0
Primero por ser una función por partes vamos a estudiar la continuidad en x0  0 , como ya sabemos
a) Límites laterales
lím f ( x)  lím (2 x  1)  1
x 0 
x 0
lím f ( x)  lím ( x 2  1)  1 Como podemos apreciar son distintos, luego la función
x0
x0
presenta una discontinuidad no evitable de salto finito y amplitud 2. Por tanto, según la
propiedad al no ser continua sabemos que no es derivable x0  0 , y no hace falta calcular las
derivadas laterales.
Veamos ahora en x0  2
Vamos primero a estudiar la continuidad en x0  2
a) Límites laterales
2
UNIDAD 10.- Derivadas
lím f ( x)  lím ( x 2  1)  3
x2
x2
lím f ( x)  lím (4 x  5)  3 Como los límites laterales coinciden, entonces lím f ( x)  3
x 2
x2
b)
x2
f (2)  4·2  5  3
c) Como lím f ( x)  3  f (2) , entonces la función es continua en x0  2
x 2
Con esto no sabemos si es derivable o no, pero puede que lo sea. Para verificarlo hemos de usar las
derivadas laterales
 2  h 2  1  3
4h  h 2
h(4  h)
f (2  h)  f (2)



= lím
 lím
4
f '(2 )  lím
 lím
h 0
h 0
h 0
h 0
h
h
h
h
 4(2  h)  5  3 = lím 4h  4
f (2  h)  f (2)
f '(2 )  lím
 lím
h 0
h 0 h
h 0
h
h
Como son iguales podemos afirmar que la función es derivable en x0  2 y que f ' (2)  4
NOTA: Como vemos, en los puntos x0 donde la función cambia de definición, hemos de estudiar primero la
continuidad y si nos sale continua realizar después el estudio con derivadas laterales
3. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
La derivada de una función en un punto x 0 es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función
en el punto ( x0 , f ( x0 ))
D f ( x0 )  f ' ( x0 )  mrecta tangente en x0 .
Con esto podemos obtener la ecuación de la recta tangente a la función en x 0 en el punto ( x0 , f ( x0 ))
(NOTA: Del año pasado sabemos que la ecuación de una recta dada su pendiente m y un punto por donde
pasa (a, b) es así: r  y  b  m·(x  a) )
Aplicando la ecuación de la nota anterior tenemos la ecuación de la recta tangente:
t  y  f ( x0 )  f ' ( x0 )·(x  x0 )
3
UNIDAD 10.- Derivadas
Y de esto, podemos sacar la ecuación de la recta normal a la función en el punto ( x0 , f ( x0 )) , pues esta
1
recta tendrá por pendiente
, al ser perpendicular a la tangente. Con lo cual la ecuación de la recta
f ' ( x0 )
normal es:
 1 
·(x  x0 )
n  y  f ( x0 )  
 f ' ( x0 ) 
Ejemplo: Calcular las ecuaciones de la recta tangente y normal a la función y  x 2  x en el punto de
abscisa x0  3
Como vimos en el ejemplo, tenemos que f ' (3)  5 .
Nos falta conocer f (3)  6 y ya sólo sustituir en las ecuaciones:
t  y  6  5·(x  3)
1
n  y  6   ·(x  3)
5
Recta tangente:
Recta normal:
4. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS
Definición.- Se llama función derivada (o sólo derivada) de una función
y  f (x) y se representa por
y'  f ' ( x) , a la función que asocia a cada x el valor de su derivada.
Ejemplo: Calcular la función derivada de f ( x)  3x 2  x
Tomamos un punto cualquiera x 0 y le aplicamos la definición de derivada:
4
UNIDAD 10.- Derivadas
 


2
f ( x 0  h)  f ( x 0 )
3( x0  h) 2  ( x0  h)  3x0  x0
f ' ( x0 )  lím
 lím
 (desarrollamos y operamos) =
h 0
h 0
h
h
h(6 x0  3h  1)
6 x h  3h 2  h
 6 x0  1
lím 0
 (sacamos factor común y simplificamos) = lím
h 0
h 0
h
h
Lo que hemos obtenido es que para cualquier x 0 tenemos que f ' ( x0 )  6 x0  1 , Si en lugar de x 0
hubiésemos puesto x , nos da la función derivada o derivada f ' ( x)  6 x  1 . Esta función ya nos permite
calcula la derivada en otro punto simplemente sustituyendo y sin tener que hacer límites. Por ejemplo,
¿cuál sería la derivada en x0  4 ? Pues fácilmente, f ' (4)  6·(4)  1  23
Definición: Derivadas sucesivas son derivadas de funciones derivadas y son
Derivada primera de f: es la que hemos tratado y'  f ' ( x)
y' '  f ' ' ( x)  ( f ' )' ( x)
Derivada tercera de f: es la derivada de la derivada segunda: y' ' '  f ' ' ' ( x)  ( f ' ' )' ( x)
Derivada segunda de f: es la derivada de la derivada
Y así sucesivamente, y diremos
Derivada n-ésima de f:
y ( n)  f ( n) ( x)  ( f ( n1) )' ( x)
5. DERIVADAS DE LAS OPERACIONES CON FUNCIONES
Son una serie de fórmulas que hay que saberse de memoria. Si alguien está interesado en conocer su
demostración lo puede consultar en cualquier libro de texto.
( f  g )'  f ' g '
Derivada de la suma o diferencia de funciones
Derivada del producto de un nº real por una función (k · f )'  k · f '
Derivada del producto de dos funciones
( f ·g ) '  f '·g  f ·g '
Derivada del cociente de dos funciones
f
f '·g  f ·g '
  
g2
g
Derivada de la función compuesta. Regla de la
cadena
( g  f )' ( x)  g ' ( f ( x))· f ' ( x)
'
Ya se verán su utilidad más adelante.
5
UNIDAD 10.- Derivadas
6. FUNCIONES DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES Y COMPUESTAS. TABLA
Vamos a dar unas tablas, que habrá que conocer de memoria también, donde vienen las derivadas de las
funciones elementales y compuestas, así como un ejemplo de cada una
FUNCIONES BÁSICAS
DERIVADA
Constante
f ( x)  c
f '( x)  0
Identidad
f ( x)  x
f '( x)  1
Potencial canónica
f ( x)  x 2
f '( x)  2·x
1
x
1
x2
1
f '( x) 
2 x
Racional básica
f ( x) 
Irracional básica
f ( x)  x
f '( x)  
FUNCIÓN
SIMPLE
FUNCIÓN COMPUESTA
DERIVADA FUNCIÓN
SIMPLE
DERIVADA FUNCIÓN COMPUESTA
y  xn
y  f ( x) n
y´ n·x n1
y´ n· f ( x)n1· f ´( x)
1
xn
ó
y  xn
1
f ( x) n
ó
y  f ( x)  n
n
x n 1
ó
y´ n·x  n1
yn x
ó
y  n f ( x)
ó
y´
1
n
1
n
y
yx
y
y  f ( x)
y´
1
n·n x n 1
ó
1 1n 1
y  ·x
n
n
· f ´( x)
f ( x)n 1
ó
y´ n· f ( x) n1· f ´( x)
y´
1
y´
· f ´( x)
n·n f ( x) n 1
ó
1
1
1
y  · f ( x) n · f ´( x)
n
y  ex
y  e f ( x)
y´ e x
y´ e f ( x )· f ´( x)
y  ax
y  a f ( x)
y´ a x ·ln a
y´ a f ( x )·ln a· f ´( x)
y  ln x
y  ln f ( x)
y  log a x
y  log a f ( x)
y´
y´
1
x
1
x·ln a
y´
y´
1
· f ´( x)
f ( x)
1
· f ´( x)
f ( x)·ln a
6
UNIDAD 10.- Derivadas
Ejemplos: Derivamos las siguientes funciones:
FUNCIÓN
DERIVADA
7
y´ 7·x71  y´ 7·x6
yx
5
1
f ´( x)  6
f ( x)  5
x
x
2
4
2
41
2
y´ 4·(2 x  5) ·(2 x  5)´ y´ 4·(2 x2  5)3·4 x  y´ 16·(2 x2  5)3·x
y  (2 x  5)
2
2
1
6
f ´( x) 
f ( x) 
·(3x  1)´ f ´( x) 
·3  f ´( x) 
2 1
3
2
3
 3x  1
 3x  1
 3x  1
 3x  1
y  8x
y5 x
y
1
3
x2
2
yx3
f ( x)  e
x
f ( x)  5 x
f ( x )  L( x )
y  log3  x 2  1
12·x 2
12·x 2
6·x
y´
·(8 x )´ y´
·24·x  y´
 y´
 y´
3
3
3
2·x· 2 x
2x
2· 8 x
2· 8 x
8x
1
y´
5·5 x 4
2 32 1
2 35
2
2
y´
x
 y´
x  y´ 5  y´
3
3
3·3 x5
3·x 3
1
e x
f ´( x)  e x ·
 f ´( x) 
2· x
2· x
x
f ´( x)  5 ·ln 5
1
1 1
1
f ´( x) 
x ´ f ´( x) 
·
 f ´( x) 
2x
x
x 2· x
1
1
2x
y´ 2
· x 2  1´ y´ 2
·2 x  y´ 2
 x  1·ln 3
 x  1·ln 3
 x  1·ln 3
1
3
3
1
2
 
Ejemplos: Ejercicios resueltos de derivadas:
FUNCIÓN
SOLUCIÓN
7
UNIDAD 10.- Derivadas
Ejemplos: Ejercicios resueltos de derivadas:
FUNCIÓN
SOLUCIÓN
8
UNIDAD 10.- Derivadas
Ejemplos: Ejercicios resueltos de derivadas:
FUNCIÓN
SOLUCIÓN
9
UNIDAD 10.- Derivadas