DEFINICION DE RELACIÓN Se Define como

DEFINICION DE RELACIÓN
Se Define como relación o correspondencia R entre los conjuntos B y C, a un subconjunto del producto
cartesiano
B x C, compuesto por pares de elementos que cumplen cierta regla definida. Este puede estar formado
por un solo par ordenado, varios todos o ninguno de lo que forman parte de B x C, por lo tanto:
Ejemplo:
Dados los conjuntos B = {
}, C = {
} y la relación R definida como “mayor que “
que vincula elementos de B con los de C ( en ese orden)
Forma implícita: R = {(
)
Forma explícita: R = {(
) (
}
) (
) (
) (
) (
)}
El conjunto de pares ordenados que forma parte de R está compuesto por un elemento del primer
conjunto y un elemento del segundo conjunto en ese orden y además satisfacen la condición que define
esa relación.
El dominio es el conjunto de todas las primeras componentes de las parejas ordenadas de
R. Luego Dom R={
}. El rango de R es el conjunto de las segundas componentes de las parejas
ordenadas de R. Luego Ran R = {
}, también lladado imagen de R.
RELACIONES FUNCIONALES: Una relación R es una función cuando no se encuentran dos parejas
ordenadas distintas con la misma primera componente. Ejemplo; la relación f = {(
)
} es
una función pues no se pueden encontrar dos parejas ordenadas distintas con la misma primera
componente (Figura 1)

y



x













DEFINICION DE FUNCIÓN
Una función (f) de un conjunto A en otro conjunto B es una correspondencia que asigna a cada elemento
uno y sólo un elemento
. Las funciones se pueden notar así:
;
;
( ), lo que significa que f es una función de A en B. También se dice que f envía A a B o que f
envía x a ( ).
Por ejemplo, si ( )
es ( )
( )
, entonces, f envía
. Así el valor de la función ( ) cuando x = 2
.
La notación funcional tiene la ventaja de identificar la variable dependiente “y” y la variable
independiente “x”.
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN
El dominio es el conjunto formado por todos los valores posibles que “x” puede tomar, para los cuales f(x)
está definida. Es el conjunto de las primeras componentes de las parejas ordenadas. Se escribe Dom f.
El rango es el conjunto de imágenes f(x), corresponde a todos los valores que puede tomar “y” al variar
“x” en el dominio.
Para determinar el dominio d una función tenga en cuenta lo siguiente:
1.
Si ( ) es polinómica entonces el dominio es el conjunto de todos los números reales, es decir
(
2.
Si
).
( ) es de la forma racional
( )
( )
( )
entonces el dominio se expresaría: Dom
( )
{ } donde los { }
Son aquellos valores tales que q(a) = 0
3.
Si ( ) es de la forma racional
( )
√ ( )
y n es par, entonces el dominio se expresaría
así:
Dom ( )
{
} (esto nos muestra el hecho que si el índice de la raíz es par la
( )
cantidad subradical no puede ser negativa)
FUNCIONES POLINOMICAS:
Es aquella de la forma ( )
con an
,n
, y a0, a1, a2,…, an
constantes, llamadas coeficientes del polinomio.
El dominio de una función polinómica será el conjunto R y el rango será un intervalo de R.
Ejemplo:
FUNCION CONSTANTE: es aquella en la cual
,k
( )
. El dominio de una función constante es R y
el rango K, por ejemplo: 1. Hallar el dominio y rango de las siguiente función

y



x










x
f(x)
-1
3
0
3
2
3
4
3



( )
:
2.
Sea la función constante
; el Dom ( )
( )
y el Rango f(x) ={ }
La gráfica de una función constante es paralela al eje x.
FUNCION LINEAL: una función lineal es aquella cuya gráfica describe una línea recta. Se define
donde m y b son constantes y m
( )
. Su gráfica es una recta cuya pendiente es
m y su intercepto “y” u ordenada al origen es b. El dominio de cualquier función lineal es R, es
decir, (
) , y el rango es igual a R, es decir, igual al dominio, siempre y cuando m
. Una
función lineal es afín, si su grafica no pasa por el punto
http://www.slideshare.net/laguado/funcin-afn-presentation
Ejemplos:
1.
es una función lineal donde el dominio y el rango es el conjunto de los números
( )
reales R. (figura 2)
y



x













2.
Dom
( )
. También es una función lineal, x puede tomar
( )
cualquier valor en el conjunto de los números reales. (Figura 3)

y



x













FUNCION CUADRATICA:
Una función f es una función cuadrática si y solo si f(x) puede escribirse de la forma:
( )
, donde a, b y c son constantes y a
Por ejemplo:
;
( )
;
( )
;
( )
( )
A las funciones cuadráticas también se les llama funciones de segundo grado porque si observas la
expresión
el mayor exponente de la variable es 2.
( )
La representación gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola. En la parábola se
pueden distinguir varios elementos: abertura (concavidad), vértice, eje de simetría, intercepto con el eje
“y” e intercepto con el eje “x”.
Si en la expresión a es mayor que cero entonces la parábola abre hacia arriba y su punto mínimo es el
vértice. Si a es menor que cero abre hacia abajo y su punto máximo es el vértice.
El vértice V es un punto de coordenadas (h, k) en el cual h o la coordenada en “x” se obtiene con la
expresión
y k es la imagen, es decir, el elemento en “y”, así
(
)
(
(
(
). Es decir el vértice sería:
)).
La recta paralela al eje y que pasa por el vértice se llama eje de simetría.
La parábola tiene un intercepto con el eje “y” en el punto (0,c), este valor se halla al remplazar la
coordenada de x por cero (0) en la función
. Mientras que los interceptos con el
( )
eje ” x”, se hallan al reemplazar la coordenada de y por cero (0) en
Observa la gráfica de la función
.
( )
, el vértice es la pareja ordenada (-4,2)
( )
y





x










El dominio de una función cuadrática es el conjunto en R, el rango es el intervalo
hacia arriba, y es (
( )
) si la parábola abre
si la parábola abre hacia abajo. Si analizamos la gráfica de la función
notamos que el rango estaría dado por el intervalo (
) , es decir, el Rango f(x) =
), recuerda que k se halla con las coordenadas del vértice. Ejemplo:
( )
es una función cuadrática es decir de segundo grado, entonces, el domino será todo
el conjunto de los números reales.
( )
(figura 4)
y



x













El eje “y” empieza a tomar valores (de abajo hacia arriba) a partir de -4 lo que quiere decir que
el Rango =
FUNCIONES RACIONALES
( )
Una función f es racional si ( )
( )
( )
( )
( )
El dominio de f está formado por todos los números reales excepto los ceros del
polinomio que está en el denominador.
Son ejemplo de funciones racionales:
; ( )
( )
;
( )
Hallemos el dominio y el rango a cada una:
1.
Sea la función
,
( )
determina el dominio y el rango. Igualando el denominador a
cero:
Se encuentra que x = 3 lo que significa que en el dominio no puede estar el valor real 3 es decir:
( )
{ } (
) (
)
{ } (
) (
)

y



x













2.
( )
.
El dom g(x) = R -{
}
y




x













3.
.
( )

El dominio de h(x) es Dom h(x) = R
y



x













El rango de una función racional puede determinarse al trazar su gráfica.
GRAFICA DE UNA FUNCION RACIONAL:
http://www.matematicaspr.com/l2dj/blog/funciones-racionales
Para trazar la gráfica de una función racional es importante tener en cuenta los valores para los cuales la
función no está definida.
Asintota vertical: La recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de una función racional f, si
o si ( )
( )
cuando x tiende a “a” por la izquierda o por la derecha.
Asintota horizontal: La recta y = c es una asíntota horizontal de la gráfica de una función raciona f, si
cuando
( )
o cuando
Ejemplo: Trazar la gráfica de las siguientes funciones racionales y halla dominio y rango
1.
a)
( )
Determinamos los ceros reales del numerador y denominador, es decir,
(
)(
)
de donde:
( )
( )
b)
Luego, las asíntotas verticales son las rectas
c)
Como
( )
entonces
( )
, luego, ( )
( )
d)
Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador, es decir,
el eje x es
asíntota horizontal
e)
Observemos otros valores y la gráfica a continuación. Concluimos que el Dom ( )
{
} y
el Rango ( )
x
-3
-1
1
4
F(x)

y



x













TASK; Trazar la gráfica y hallar el dominio y el rango }
( )
FUNCIONES RADICALES:
Una función radical es una función que contiene raíces de variables.
( )
Por ejemplo:
( )
√
√
El dominio de una función radical depende del índice de la raíz. Si el índice es par, la función no está
definida para valores de x para los cuales el radicando es negativo.
Si el índice es impar, la función está definida para todos los números reales.
El rango de una función radical puede determinarse al trazar su gráfica. Si la función posee un polinomio
en el denominador, para graficarla se utiliza el tratamiento descrito para las funciones racionales.
Ejemplos: hallar el dominio y el rango de:
a)
( )
1.
√
Es una función que no está definida si
.
.
empieza a partir de
2.
No existen asíntotas verticales, ya que no es una función racional.
3.
No tiene intersección con el eje y, ya que f(x) no está definido para x = 0
4.
No tiene asíntota horizontal, ya que no es una función racional.
5.
Otros valores y gráfica de la función son los siguientes:
x
f(x)
1
1
2
5
3
√

luego, la gráfica
y





x











El dom f(x) = [
b)
( )
Rango f(x) =
)
)
√
1.
( )
. Además h(x) no está definida si
2.
Asíntota vertical: la recta x = -1
3.
No tiene intersección con el eje y, pues la función no está definida para x = 0
4.
Como el grado del numerador es igual al grado del denominador, es decir, n = m, hay una
asíntota horizontal en y =
5.
, es decir, y = 1
Otros valores y la gráfica de la función se muestran a continuación:
x
h(x)
-3
√
-2
2
3
4
√












      








y
x
          