SOLUCIONARIO CATALOGO DE ADMISION USB 2008

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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
CATÁLOGO 2008
SOLUCIONARIO
del MODELO DE
EXAMEN DE ADMISIÓN
Resuelto por los
profesores del Instituto
ALBERT EINSTEIN
Conocimientos de Matemática
51.- Se tiene:
Desarrollando:
5
3
3
52
52
5
1
2
52 • 56
2
53
1
56
=
5
1 1 2 1
+ − −
2 3 3 6
=
5
0
6
= 50 = 1
………… Respuesta C
•
52.- Conocemos el desarrollo del producto notable perteneciente al cubo de una suma:
(a + b)3 = a3 + 3 a b2 + 3 a2 b + b3
Factorizando convenientemente: (a + b)3 = a3 + 3 a b (a + b) + b3
……………. Respuesta C
53.- Sustituyendo el punto ( 3 , 2 ) en las ecuaciones de las tres rectas:
En L1:
y=x–1
→ 2=3–1
En L2
y=–x+5 → 2= –3+5
En L3
y = – 2 x + 8 → 2 = – 2 (3) + 8
Luego, el punto pertenece a las tres rectas
Es correcto. Si pertenece
Es correcto. Si pertenece
Es correcto. Si pertenece
… Respuesta E
54.- Sustituyendo los vectores “u” y “v” en la ecuación planteada tenemos:
a u + b v = ( 3, 5 )
a ( 1, 1 ) + b ( 1 , –1 ) = ( 3 , 5 )
(a,a)+(b,–b)=(3,5)
De donde extraemos dos ecuaciones:
a + b = 3 …(1)
a – b = 5 …(2)
Resolviendo convenientemente el sistemita encontramos a = 4 , b = – 1 …..Respuesta E
55.- A partir de la figura, es fácil reconocer el gráfico de un triángulo isósceles-rectángulo:
r √2
r
45°
r
……………….. Respuesta E
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56.- Sea R1 ∈ C1 y R2 ∈ C2
De acuerdo a los datos: C2 está dentro del cuadrado cuya diagonal es el doble
del radio de C1
Y se cumple la relación
(R1)2 = (R2 )2 + (R2 )2
(√2)2 = 2 (R2 )2
2 = 2 (R2 )2
(R2 )2 = 1
R2 = 1
C1
C2
R1
R2
R2
Conociendo el R2 podemos
hallar el área de C2 :
Área C2 = π (R2 )2
= π (1) ……….. Respuesta D
P1 = x + 3
P2 = x2 + 5
P3 = 6 x3 + 3 x + 1
57.- Siendo
Se busca P1(x) • P2(x) + P3(x) = (x + 3 ) (x2 + 5) + (6 x3 + 3 x + 1 )
= x3 + 5 x + 3 x2 + 15 + 6 x3 + 3 x + 1
= 7 x3 + ……….
De donde es fácil determinar que el coeficiente pedido es “7” …………… Respuesta E
58.- Siendo f(x) = x2 – 3
Tendríamos: f(1) = (1)2 – 3 = – 2
f(– 1) = (– 1)2 – 3 = 1 – 3 = – 2
Luego f(1) + f(– 1) = – 2 – 2 = – 4
2+ x
2−x
2+a
Entonces f(a) =
2−a
………. Respuesta A
59.- Si f(x) =
Luego f(a) x f(–a) =
60.-
f(–a) =
2−a
2+a
2+a
2−a
x
=1
2−a
2+a
……….. Respuesta D
Graficando el problema:
h
45º
d = 100 mts
Como el ángulo de elevación es 45º, entonces la altura de la torre (cateto h) es igual a la base del triángulo
(cateto d) , y mide lo mismo: 100 metros ….. Respuesta D
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S = 81 , entonces DB = 9
E
DB • CR
S∆ =
2
61.- De acuerdo a los datos, si
Y en el triángulo DBC:
36 =
9 • CR
2
→ CR = 8
D
R
C
81 m2
…….. Respuesta D
A
36 m2
B
62.En el triángulo QRS: ∠S + 80 + 60 = 180
∠S = 40
De donde
Luego, en el cuadrilátero tendríamos: 40 + 90 + ∠X + 90 = 360
De donde
∠X = 140º
…….. Respuesta C
63.- El área del triángulo ABC será el resultado de restar el área del triángulo PBC menos el área del triángulo
APC.
Entonces . SABC = SPBC – SAPC
(10)(3) ( 4)(3)
−
=
2
2
= 15 – 6
=9
……………….. Respuesta A
64.- Graficando el triángulo con sus características, se observa mejor sus características y la respuesta brota
automáticamente:
x – √2
x – 2√ 2
x – 2√2
El ángulo TIENE QUE SER 45º y su seno es √2 / 2
……. Respuesta C
65.- A partir del dato: x – y = 0 sabemos que x = y …..(Condición)
Entonces x. y = x2
Entonces, el trabajo consiste n verificar en las opciones cuál de ellas es DIFERENTE a x2
Así:
A) ( – y)2 = ( – x)2 = x2
, es igual
B) – y2 = – x2
, es diferente , opción correcta ……. Respuesta B
C) y2 = x2
, es igual
D) (– x )2 = x2
, es igual
E) x2 = x2
, es igual
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66.a
b
Los vectores a y e, b y f, c y g son vectores de igual magnitud, pues parten
del centro de la circunferencia, y cada vector describe el radio de la misma.
Además tienen la misma dirección pero diferente sentido (sentidos opuestos), lo
que hace que al sumar vectorialmente estos 3 pares de vectores se anulan. Sólo
sobrevive el vector d. ……….. Respuesta D.
g
c
d
e
f
67.- Sea D(x)= x50 +3x2-7 y d(X)= x-1, R(x) el resto de la división y C(x) el cociente, entonces por el teorema
del resto se tiene:
D(x)=d(x)*C(x)+R(x), si se evalúa en el punto donde el divisor d(x) se anula, es decir, x=1 resulta que d(x)=0,
por lo tanto
D(x)=R(x) en x=1, R(1 ) = D(1) = (1)50 +3(1)2 − 7 entonces R(1) =-3 …….. Respuesta B.
68.- Aplicando la propiedad trigonométrica del seno con suma de ángulos
sen (α+π/2)=senα*cos(π/2)+cosα*sen(π/2)
donde cos(π/2)=0 y sen(π/2)=1 quedando entonces:
sen (α+π/2)=cosα …….. Respuesta B.
69.- Como el polinomio es de cuarto grado:
P4 (x) = ( x – 3 ) • C1 (x) + 100 ……………….. ( I )
Por teorema del resto
Cociente
Para esto se cumple :
P4 ( 3 ) = ( x – 3 ) C1 + 100 = 100 = Resto
Análogamente:
Por otro lado :
P4 ( 4) = ( x+ 1) C2 (x ) + (− 4 ) ……………………..… ( II )
P4 ( −1 ) = (−1 + 1 ) • C2 + (− 4 ) = − 4 = resto
Cociente
P4 (x) = (x + 1) (x – 3) • C3 + ( m x + n ) … ( III )
De aquí se desprende un sistema de ecuaciones :
P4 ( 3 )= 0 + 3 m + n = 100
Æ
3m + n = 100
P4 (− 1) = 0 + (−1m ) + n = − 4
Æ
−m+ n = −4
Entonces:
m = 26 Æ
n = 26 – 4
Æ n = 22
3m + n = 100
m – n = 4
4m
= 104
Luego, el resto será 26 x + 22 …………..Respuesta E
70.- Graficando los círculos:
Siendo R2 > R1 , si
L1 = 2 π R1
4 π = 2 π R1 → R1 = 2
Entonces L2 = 2 π R2
= 2 π (4)
………. Respuesta D
=8π
R1
R2
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71.- El trapecio ABCD de la figura tiene las siguientes dimensiones
De la figura se puede deducir que los triángulos ADE y BCF son iguales
porque los lados AE y FB son iguales, esto se debe a que las demás
longitudes dadas como datos son iguales, y se puede deducir por geometría
que X1=X2. Específicamente X1 y X2 se hallan por el Teorema de Pitágoras:
X1 =
(13cm)2 − h2
= AE
y
X2 =
(13cm)2 − h2
mayor del trapecio viene dado por la ecuación
AB = EF + X1 + X 2 = 10cm + X1 + X 2 como X1=X2=X
AB = 10cm + 2X y a su vez AB = 20cm
despeje se puede hallar el valor de X
X=
h=
= FB por lo tanto la base
la ecuación queda
por dato del problema por simple
AB − EF 20cm − 10cm
=
= 5cm De nuevo por teorema de Pitágoras puedo hallar la altura del triángulo
2
2
(AD)2 − (AE)2
=
(13cm)2 − (5cm)2
h = 12cm
= 169cm 2 − 25cm 2 = 144cm 2 = 12cm entonces la altura del trapecio es
…………………..Respuesta C.
1
1− x 2
−x =
x
x
1
1− x 2
De igual manera: f(–x) =
+x =
−x
−x
1
1 1
1
x2 −1
f( ) = −
= x− =
1 x
x
x
x
x
Es fácil observar que las conclusiones I y II son falsas mientras que la III es verdadera.
……………….. Respuesta C.
72.-
Si
f(x) =
73.- Tenemos
a + b = 3 …….(1)
a2 + b2 = 5 ……(2)
Para encontrar “ab” , partimos del producto notable
(a+b)2 = a2 + b2 + 2 a b
(3)2 = 5 + 2 ab
De donde a+ b = 2 …………(3)
A partir del producto notable:
a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 – ab) ………(4)
Sustituyendo (1), (2) y (3) en (4) encontraremos el valor solicitado
a3 + b3 = (3) (5 – 2)
a 3 + b3 = 9
………… Respuesta A
74.- En el cubo, el área rayada del plano diagonal es un rectángulo, cuya altura es “a” y cuya base es la
diagonal “D” de una cara del cubo.
Hallando D = a 2 + a 2 = a 2
Entonces el área del rectángulo solicitado será
S = a • a √2 = a2 √2 ……Respuesta B
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75.- Teniendo (a+b+c)2
Realizamos un cambio de variable, haciendo a+b = m
De donde: ( m+c)2 = m2 + 2mc+ c2
Luego, volviendo a la variable original, seguimos desarrollando:
( m+c)2 = (a+b)2 + 2c (a+b) + c2
= a2 + 2 ab+ b2 + 2 ac + 2 bc + c2
Ordenando
= a2 + b2 + c2 + 2 ab + 2 ac + 2 bc
............................ Respuesta C
76.-
Sabemos que
P. A. =
Aplicando datos:
De donde
∑ números
Cantidad de números
x + y + 28 + 30 + 32
5
170 = (x+y) + 90
x+ y = 80
……….Respuesta E
34 =
77.
Por propiedad de rectas paralelas:
Por propiedad de de un triángulo isósceles:
X
125º
Y
X
De donde ∠X = 125º …….(I)
(ángulos opuestos por el vértice)
∠ X = ∠ Y …….(2)
De (1) y (2) concluimos que ∠ X = ∠ Y = 125º …….Respuesta B
78.- Evaluando el polinomio en x = −1 y evaluando el polinomio a cero se tiene
p(−1)=5(−1)3 −6(−1)2 + h(−1) −3 = 0, pues por definición p(−1) = 0 dice automáticamente que x = −1 es un cero
de p(x). Al resolver la expresión anterior y despejar h se tiene:
−5 −6 –h −3 = 0
despejando h =14 ………………… Respuesta A.
79.- Aplicando la división sintética (Ruffini) tenemos:
1
–3
1
0
0
0
81
–3
+9
– 27
+ 81
–3
+9
– 27
+ 162
Línea de residuo
De donde.. C(x) = x3 – 3 x2 + 9 x – 27
R(x) = 162
………… Respuesta E
80.- Por fórmula: S◊ =
D•d
48x20
=
= 480 cm2 ………………….. Respuesta C
2
2