libro representación gráfica de funciones
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i ii Morelia, Michoacán. México
iii Cubierta de CIE-CONALEP
Colaboración:
Coordinación de Innovación Educativa, CIE/QFB - UMSNH
Sistema Nacional de Educación a Distancia, SINED
Coordinadora: Silvia Ochoa Hernández
Eduardo Ochoa Hernández
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del “Copyright”, bajo las sanciones
establecidas por la ley, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la
reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.
©2011 CONALEPMICH/CIE. México
Ediciones CONALEPMICH
Álvaro Obregón 144, Morelia.
http://www.conalepmich.edu.mx/
Registro: MAT32011-A
Impreso en_____________
Impreso en México –Printed in México
iv Para los muchos
estudiantes de CONALEP que sueñan
mirando en la tecnología el espíritu de las matemáticas.
Hay formas y “formas” a la hora de promocionar y difundir los servicios y actividades de la biblioteca.
Estamos ante una sociedad donde prima lo audiovisual (fotografías, vídeos..) sobre lo textual (trípticos,
carteles…) y donde la biblioteca está muriendo por falta de educación.
v El mundo está impregnado de matemáticas, convertida
en lugar común en una era tecnológica como la actual,
es una expresión válida para todas las épocas
humanas, tan consustanciados están el contar y el
comparar con las específicas actividades del hombre:
pensar, hablar y fabricar instrumentos.
J. Rey Pastor. Historia de la Matemática
vi Prefacio
ix
Primera Parte
RELACIONES Y FUNCIONES
1.1. Relaciones y funciones
1.2. Aplicación de pares ordenados
1.3. Representación del lugar geométrico
1.4. Problemario
1.5. Autoevaluación
1.6. Conclusión
1.7. Soluciones del problemario
1.8. Soluciones de autoevaluación
1
3
27
32
35
37
38
49
Referencias y notas.
51
Segunda parte
LA RECTA EN EL PLANO CARTESIANO
2.1. Determinación gráfica de la recta
2.2. Determinación de las ecuaciones de la recta
2.3. Problemario
2.4. Autoevaluación
2.5. Conclusiones
2.6. Soluciones del problemario
2.7. Soluciones de autoevaluación
1
32
59
62
63
64
68
Referencias
69
Tercera parte
CIRCUNFERENCIA
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
La circunferencia como lugar geométrico
Ecuaciones de la circunferencia
Aplicaciones
Problemario
Autoevaluación
Conclusión
Soluciones del problemario
Soluciones de autoevaluación
1
10
40
43
46
50
51
60
Referencias
61
vii Cuarta parte
PARÁBOLA
4.1. La parábola como lugar geométrico
4.2. Ecuaciones de la parábola
4.3. Aplicaciones
4.4. Problemario
4.5. Autoevaluación
4.6. Conclusión
4.7. Soluciones del problemario
4.8. Soluciones de autoevaluación
1
4
19
23
25
26
26
28
Referencias
29
Quinta parte
ELIPSE
5.1. La elipse como lugar geométrico
5.2. Tipos de elipse
5.3. Ecuaciones de la elipse
5.4. Aplicaciones
5.5. Problemario
5.6. Autoevaluación
5.7. Conclusión
5.8. Soluciones del problemario
5.9. Soluciones de autoevaluación
1
2
5
32
36
38
39
40
42
Referencias
43
Sexta parte
HIPÉRBOLA
6.1. La hipérbola como lugar geométrico
6.2. Ecuación de la hipérbola
6.3. Aplicaciones
6.4. Problemario
6.5. Autoevaluación
6.6. Conclusión
6.7. Soluciones del problemario
6.8. Soluciones de autoevaluación
1
4
34
37
38
39
40
42
Referencias
43
viii Hoy nos encontramos ante una encrucijada entre las herramientas
informáticas y un nuevo orden de redes sociales que presionan por
soluciones; podemos llegar por primera vez al nuevo tiempo, uno más
incierto y de carácter tecnológico de innovación constante. La educación es
parte de nuestro mundo y a nuestra sociedad le corresponde juzgar si está a
la altura de su tiempo.
Este sencillo libro, expresa el intento de una institución y sus hombres por
hacer de él un medio para hablar entre generaciones, para atar las ideas que
amenazan con evaporarse, para romper las paredes del aula a muchos más
ciudadanos y para democratizar la actividad de cátedra en páginas que
representan la actitud del espíritu CONALEP.
Con el apoyo del Sistema Nacional de Educación a Distancia (SINED) para
generar los contenidos para formar profesores escritores, con la inventiva de
la Coordinación de Innovación Educativa/QFB de la Universidad
Michoacana y la clara meta del CONALEPMICH por ser una institución
que produce su propia visión de las profundidades de su programa
educativo medio superior. En una primera fase mayo –agosto de 2011,
forman profesores del sistema CONALEP con el fin de producir una cultura
de obras literarias que permitan apoyar las necesidades de conocimiento de
estudiantes, formar profesores como escribas de su cátedra. Si estas páginas
ayudan a convencer que la educación no es hacer más fácil algo, sino
fundamentalmente producir un cambio reflexivo en el desafío cognitivo
dentro del pensamiento científico técnico. Esto es prueba de que la
comunidad docente, autoridades y sindicato son capaces de sumar para un
futuro común.
Eduardo Ochoa Hdez., 2011.
ix Mtro. Leonel Godoy Rangel Gobernador Constitucional del Estado de Michoacán Mtra. Graciela Carmina Andrade García Peláez Secretaria de Educación Dr. Rogelio Sosa Pulido Subsecretario de Educación Media Superior y Superior Lic. Ana María Martínez Cabello Directora de Educación Media Superior Mtro. Wilfrido Perea Curiel Director General del Sistema Conalep Mtro. Víctor Manuel Lagunas Ramírez Titular de la Oficina de Servicios Federales en Apoyo a la Educación en Michoacán Lic. Antonio Ortiz Garcilazo Director General del Conalep Michoacán Ing. José Gilberto Dávalos Pantoja Secretario General del SUTACONALEPMICH Dr. Salvador Jara Guerrero Rector de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo M.C. Lourdes Galeana de la O Directora General del SINED Ing. Eduardo Ochoa Hernández Coordinador de Innovación Educativa (CIE/QFB) x CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
i
CONALEP-2011
1.1.
[Representación gráfica de funciones]
Relaciones y funciones
Función: Es una relación entre dos conjuntos, donde a cada elemento del primer
conjunto le corresponde uno del segundo conjunto1,2,3, estos conjuntos se llaman
dominio y contradominio. El gran matemático
Euler4, llamado por Laplace como “El
maestro de todos nosotros5”, es quien introduce el término en el vocabulario
matemático, pareciéndose al concepto de fórmula, término relacionado con variables y
constantes. La definición moderna se le atribuye al
alemán Peter Dirichlet 6; quien
introduce el concepto de función como una expresión, una regla o ley que define una
relación entre una variable (variable independiente) y otra variable (variable
dependiente).
Si observamos a nuestro alrededor, y tratamos de definir lo que ocurre, podríamos
hacerlo en términos matemáticos, tal vez quedar definido mediante los siguientes
axiomas7:
a) Todo evento en la naturaleza puede ser representado mediante ecuaciones o
funciones y viceversa, toda ecuación o función puede ser la representación de algún
evento en la naturaleza.
b) Todo evento en la naturaleza tiene patrones.
Desde la antigüedad el hombre ha intentado buscar estas relaciones, comenzó
colocando marcas en relación con el número de años o de animales que poseía. Herón
de Alejandría en el siglo II D.C. encontró una fórmula que calcula el área de un
triángulo en función de sus lados. Tratando de no malinterpretar a Platón 8, podría
decirse que llegó a la conclusión de que los números son el lenguaje para expresar las
ideas, tal vez aventurándonos, pero sin poder afirmarlo, podríamos pensar que ya
tenían una noción de lo que es una función, de la misma forma se podría afirmar que
1
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
los mayas, egipcios9 o chinos, entre otras civilizaciones, ya manejaban el concepto o
solamente uno cercano a él, el de relación.
Galileo10 al relacionar el movimiento de los cuerpos celestes en función de su posición,
pretendió relacionar los conceptos, formulando leyes, así dio un gran paso hacia la
concepción de lo que es una función. Poco después de Galileo, Descartes muestra la
relación que existe entre una gráfica y una ecuación y viceversa. Sin embargo, la
definición de función se ha ido modificando con el tiempo, desde la construcción de
tablas de raíces y potencias hasta como se emplea ahora. Se considera que Leibniz
introduce este término, seguido por Bernoulli11, quien en septiembre de 1694 escribe
una carta en respuesta a Leibniz; lo que describe como función en el sentido más
actual:
… una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades indeterminadas y
constantes12…
En 1748 el concepto de función tomó énfasis gracias a la publicación “introduction in
analysin infinitorum” de Euler, donde define función como
“…una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta, como
cualquiera que lo sea de dicha cantidad y de números o cantidades constantes 13…”
Así se da el crédito a Euler de precisar el concepto de función y del estudio de
funciones elementales. Sin embargo, es
Peter Dirichlet quien introduce el concepto
moderno de función.
2
CONALEP-2011
1.2.
[Representación gráfica de funciones]
Aplicación de pares ordenados
Producto cartesiano
Comencemos por definir el producto cartesiano de dos conjuntos, como
el conjunto
formado por todas las parejas ordenas, tales que como primer elemento de las parejas
se tome cada uno de los elementos del primer conjunto y como segundo elemento de
las parejas ordenadas cada uno de los elementos del segundo conjunto 14.
Por ejemplo: sean A= {1,2,3} y B={a,b}, A
Observe que
por ser un conjunto
B={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}
se coloca entre llaves { } y se separan sus
elementos que están formados por seis nuevas parejas ordenas, por comas; es decir,
formamos un producto cartesiano de seis parejas.
Si calculamos B × A tendremos que: B×A= {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}
Obsérvese que en el producto cartesiano no se presenta la propiedad conmutativa.
En el producto cartesiano15,
parejas ordenadas
elementos
al conjunto de todos los primeros elementos de las
se le llama dominio, y al conjunto
de todas las
formado por los segundos
parejas ordenadas se llama contradominio o codominio
(también llamado impropiamente rango).
Una relación15 es un subconjunto de un producto cartesiano que asocia a los
elementos del dominio con los del contradominio. En nuestra vida cotidiana hacemos
uso de varias relaciones, por ejemplo, cuando de acuerdo al apellido de los alumnos
les asignamos un número natural para hacer la lista de asistencia, así podría quedar un
ejemplo de ella:
A={(1,Diego Barragán), (2,Emilio Cendejas), (3,Santiago Guijosa),
(4, Gabriel Hernández),…}
3
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
En esta relación el dominio es un subconjunto de los números naturales:
Dom={1,2,3,4,…n} donde n representa el número del último alumno. El contradominio
está formado por el nombre del alumno al que se le asignó un número en la lista, el
contradominio se forma pues, con el nombre y apellido paterno de los alumnos y la
imagen es igual al contradominio.
Otro ejemplo puede ser, la relación que existe entre el color de la luz del semáforo de
tránsito y el estado de movimiento de un vehículo en la vía pública:
H= {(rojo, alto), (ámbar, disminución), (verde, siga)}
En esta relación el dominio es un subconjunto de los colores existentes y el
contradominio es el estado de movimiento de un vehículo.
Ejemplo 1. Sean A={1,2,3} y B={1,2,3,4}, obtener el producto cartesiano A B
Solución
A×B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),
(3,2),(3,3),(3,4)}
(ver gráfica número 1)
El dominio correspondiente es:
Dominio ={1,2,3}
y el contradominio ={1,2,3,4}
Ejemplo 2. Sean A={1,2,3} y B={1,2,3,4}, obtener el producto cartesiano B A
Solución
B A={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),
(4,1),(4,2),(4,3)}
Ver figura 2
Dominio={1,2,3,4} y el contradominio
={1,2,3}
Nótese que el producto cartesiano no es conmutativo.
4
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
De lo anterior, podemos concluir que el producto cartesiano entre dos conjuntos es una
operación que asigna a cada elemento del primer conjunto con todos y cada uno de los
elementos del segundo conjunto, formando un nuevo conjunto, el conjunto
de las
parejas ordenadas, dicho conjunto puede ser representado gráficamente como
veremos a continuación:
Gráfica de una relación
Es conveniente tener una representación gráfica de las relaciones, nos ayuda a ver
objetivamente cómo se comportan las variables, esto se puede hacer representando en
el eje horizontal los valores de las variables independientes (x) y en el eje vertical (y)
los valores de las variables dependientes, como se muestra a continuación:
Fig. 1. Producto A B
Fig. 2. Producto B A
Cuando tenemos una expresión algebraica a la que le asignamos diferentes valores a
una literal, la expresión tomará determinados valores, por ejemplo la expresión x2-2x
la llamamos y, y escribimos y=x2-2x, si le damos valores a la letra x, que llamaremos
variable independiente (x =-2, x=-1, x=0, x=1, x=2, x=3 etc.) la expresión y, la
nombraremos variable dependiente, tomará los valores: si x =-2, y=8, para x =-1,
y=3, para x =0, y=0, para x =1, y=-1,para x =2, y=0, para x =3, y=3, etc.,
escribiremos las parejas ordenadas colocando como primer elemento al
5
valor de la
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
variable independiente x y su segundo elemento el valor correspondiente de la variable
dependiente y, nos quedará como sigue: {(-2,8),(-1,3),(0,0),(1,-1),(2,0),(3,3)}.
En la expresión y=x2-2x, a la x se le llama variable independiente porque es a la
variable que nosotros le asignamos valores de manera arbitraria, la variable y también
cambia dependiendo del valor que le asignemos a x, por lo que recibe el nombre de
variable dependiente. Graficando la relación anterior, tenemos:
Fig. 3.
La relación y=x2-2x
Si suponemos que estamos trabajando con el conjunto de los número enteros(Z) 16, el
dominio de la relación anterior estará formado por todo Z y el rango está formado por
todos aquellos valores que cumplan con la relación y=x2-2x, también están en Z,
rango={0,-1,3,8,15}. Si trabajamos con los números reales en R R, la gráfica
quedará representada por todos los puntos que satisfagan a la relación y=x 2-2x y la
gráfica se traza con una línea continua.
6
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Fig. 4. Gráfica de la relación y=x2-2x.
El dominio de la relación y=x2-2x es R, el contradomio está en R, la imagen se obtiene
despejando x y analizando qué valores reales puede tomar y, esto es:
y=x2-2x
x2-2x +1= y+1
completando el trinomio a cuadrado perfecto
(x-1)2=y+1
factorizando el trinomio cuadrado perfecto
x-1 = √
x= √
sacando raíz cuadrada en ambos lados
+1
despejando x
para que x sea un valor real el radicando
y+1 0, esto es y≥-1
por lo que el contradominio es {yЄR/y≥-1}.
Definiremos ahora una función14, como una relación en la que a cada elemento del
dominio le corresponde una y solo una imagen o conjunto de parejas ordenadas,
donde no existen dos diferentes que tengan el mismo primer elemento.
Si A={(a,1),(b,2),(c,3),(d,2)} los primeros elementos a, b, c y d son diferentes entre
sí, respecto a los segundos no se tiene esa limitación, no importa que el elemento 2
7
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
se encuentre en la segunda y cuarta pareja, por lo tanto, se puede decir que es una
función si no existen dos parejas ordenadas
distintas que tengan el mismo primer
elemento. Para identificar si una relación es una función, podemos trazar
rectas
verticales paralelas al eje Y, y si al menos una corta a la gráfica de la relación en más
de un punto, se dice que es una relación, dicho de otra manera, si solo cortan en un
punto la gráfica de la relación representa una función.
Fig. 5. Gráfica de una recta inclinada.
Observe que para cada valor de x solo existirá un valor de y, por lo tanto es una
función. Lo mismo pasa en las dos gráficas siguientes:
Fig. 6. Gráfica de una función.
Fig. 7. Gráfica de una función.
8
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Más adelante se hablará de algunas de estas funciones, cómo obtener su gráfica y su
ecuación. La siguiente gráfica (fig.8) nos permite afirmar que no es la gráfica de una
función, ya que si trazamos una recta paralela al eje Y, la corta en dos lugares
distintos, eso es que dos parejas ordenadas diferentes tienen el mismo primer valor.
NOTA14,15: Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.
Fig. 8. Gráfica de una relación.
Ejemplo 3. Escribe el resultado del siguiente producto cartesiano y traza su gráfica
AXB, si A={1,2,3},B={2,3}
Solución
A B= {(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}
Observe
que
el
número
de
pares
ordenados,
se
puede
calcular
multiplicando el número de elementos del conjunto A por el número
de
elementos
del
conjunto
B,
esto
es,
3 2=6
correspondientes a las seis parejas ordenadas obtenidas.
Su gráfica
se muestra a continuación:
9
elementos
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Fig. 9. Gráfica del producto cartesiano A B.
Ejemplo 4. Calculemos el producto C D, si C= {rojo, azul} y D= {amarillo, verde, negro}
Solución
C D={(rojo, amarillo),( rojo, verde),( rojo, negro),
(azul, amarillo),( azul, verde),( azul, negro)}
Fig. 10. Producto cartesiano C
10
.
CONALEP-2011
Observe
que
corresponde
para
a
los
[Representación gráfica de funciones]
hacer
la
gráfica,
elementos
del
el
conjunto
eje
C
de
y
las
el
eje
abscisas
de
las
ordenadas corresponde al conjunto D.
Ejemplo 5. Hallar el producto E F, si E= {xЄ / 1<x<4},F={xЄ / 2<x<5}
Solución
El conjunto E está formado por las x, que pertenecen a los números
enteros ( ) que son mayores que uno y menores que 4, por lo que E
está formado por los elementos 2 y 3, de la misma forma, el
conjunto F está formado por los enteros mayores que 2 y menores
que 5, esto es, el 3 y 4.
Considerando que los conjuntos E={2,3} y F{3,4}
El producto cartesiano es: E F={(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)} y su
gráfica es la siguiente:
Fig. 11. Producto cartesiano E
.
Ejemplo 6. Determinar si la siguiente relación es una función, encuentra el dominio y contradomio,
y traza su gráfica: {(x,y)/x, yЄ
5x-3y=10}
11
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Solución
Partiendo de la ecuación:
5x 3y 10
5x 3y 10 0
5x 10 3y
5x 10
3
5x
10
y
3
3
y
Por lo que el dominio de la función xЄ y el contradominio es
yЄ , por lo tanto es una función, siendo su gráfica la siguiente
línea recta:
Fig. 12. De la ecuación 5x-3y=10.
Ejemplo 7. Hallar si la siguiente relación es una función, encuentra el dominio y contradomio, y
traza su gráfica: {(x,y)/x,yЄ
8x2-19y2=64}
12
[Representación gráfica de funciones]
CONALEP-2011
Solución
8x2 19y 2 64
8x2 19y 2 64 0
Igualando a cero
8x 64 19y
Despejando a y
2
y2
2
8x 64
19
2
8x2 64
y
19
Para que exista una solución real el radicando
debe de ser mayor o igual que cero.
Dominio={x/
√
√
}
√ }
También puede escribirse Dominio= {x/-√
Para encontrar el contradominio despejamos y
y=
√
√
√
y=√
elevando al cuadrado
19y2=8x2-64
19y2+64=8x2
x= √
Podemos observar que no tiene denominador indeterminado y que y
puede
tomar
cualquier
valor
real,
ya
que
si
y
es
negativa
o
positiva al elevar al cuadrado su valor es positivo, por lo tanto
13
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
el contradominio es el conjunto de los número reales y es una
relación.
Fig. 13. Gráfica de y
8x2 64
19
Ejemplo 8. Hallar si la siguiente relación es una función, encuentra el dominio y contradomio, y
traza su gráfica: {(x,y)/x,yЄ
x2-16x-12=0}
Solución
x2-16x-12=y
x2-16x+64=y+12+64
(x-8)2=y+76
x-8 = √
x=
√
sacando raíz en ambos miembros
investiguemos los valores donde y+76
Contradominio son las y mayores o iguales que 76, yЄ[-76,
Para
encontrar
el
dominio
analicemos
y=x2-16x-12
y
podemos
observar que y existe para cualquier valor de x, por lo tanto:
Dom
xЄ
y es una función.
14
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Fig. 14. Gráfica de y=x2-16x-12.
Ejemplo 9. Indica si la siguiente relación es una función, encuentra el dominio y contradomio, y
traza su gráfica: {(x,y)/x,yЄ
y2+8x-32=0}
Solución
y2+8x-32=0 para encontrar el dominio despejamos y
y=√
analizando 32-8x 0
x 4 o xЄ(
Para encontrar el contradominio despejamos x
y2=32-8x
y=√
y=√
analizando el radicando 4-x 0
x
15
CONALEP-2011
xЄ(-
[Representación gráfica de funciones]
La gráfica que representa es una parábola horizontal que
abre a la izquierda y es una relación.
Fig. 15. Gráfica de y=√
Ejemplo 10. Determinemos el dominio y el contradominio
.
de la siguiente función:
f ( x) x 1
Solución
En las funciones polinomiales su dominio y contradominio queda
definido por todos los números reales, ya que al sustituir el
valor de x
en la función polinomial, se obtiene un número real.
Por lo que el dominio y contradominio de la función
f(x)=x+1
son
todos los números reales, esto es:
Dom={x/xЄR} y Rango={y/yЄR}
También podemos notarlo cuando observamos que no tiene denominador
por lo que no existen indeterminaciones de la función, y decimos
función, ya que al observar la gráfica y seguir la regla de la
recta vertical lo podemos concluir.
16
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Fig. 16. Gráfica de f(x)=x+1.
Ejemplo 11. Encontrar el dominio y el contradominio de la siguiente función: f ( x)
x
x x
2
Solución
En una Función racional17
, su dominio queda definido por
los valores numéricos que corresponden
a Q(x)
, ya que se debe
de considerar que el denominador debe de ser distinto de cero,
porque de lo contrario no se obtendría un número real, simplemente
el dominio
omite las raíces de Q(x).
Manipulando la ecuación, factorizando el denominador y
simplificando tendremos:
f ( x)
f ( x)
f ( x)
x
x x
2
x
x ( x 1)
1
x 1
17
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Considerando que f(x) no está definida cuando el denominador es
cero, por lo que el dominio es el conjunto de las x tales que x 1
El contradominio se puede obtener haciendo
Despejando x y observando los valores reales que puede tomar y
tendremos:
Y (x-1)=1
(x-1)=
x=
+1
obsérvese que y debe ser distinto de cero para
que existan valores reales de x, por lo que se
puede concluir que y 0
Entonces el Contradominio={yЄ / y 0}
Fig. 17. Gráfica f(x)=
18
.
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 12. Calcular el dominio y el contradominio
f ( x)
de la siguiente función:
2
x 1
Solución
Tenemos una función racional, analicemos el denominador de
√
√
nótese que debe ser la condicionalidad estricta, es
Decir, debe ser mayor que 0, más no igual, ya que tendríamos una indeterminación o división entre cero.
Resolviendo:
√
x + 1 > 0
x > -1
Por lo que el dominio son todas las x que pertenecen a los números
reales que son mayores que -1
{x/xЄ
x>-1}
ó xЄ(-1,+ )18
Para obtener el contradominio despejamos la x y observamos qué
valores reales puede tomar la y para que x exista,
√
19
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
(√
√
=
)
elevando al cuadrado en ambos miembros tenemos:
Por lo que el contradominio son todas las y que pertenecen a los
números reales tales que y debe ser distinta de 0 (y 0).
Si
hacemos
una
tabla
de
valores
podemos
obtener
recuerde que x>-1
x
y
Una observación muy importante es que
-0.9
6.32
debemos considerar los dos signos de la
0
2
3
1
8
2/3
raíz.
Fig. 18. Gráfica de y=
20
√
.
la
gráfica,
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 13. Calcular el dominio y el contradominio de la siguiente función: y
x 2 3x 2
Solución
Analizando el radicando x2-3x+2
0
Factorizando (x-1)(x-2) 0
Tenemos que considerar dos casos:
Caso I
Cuando los dos factores son positivos
x-1 0
y
x-2 0
x≥1
y
x≥2
eso se cumple cuando x≥2
Caso II
x-1
0
x ≤ 1
y
x-2 ≤0
y
x ≤ 2,
esto se cumple para x≤1
Uniendo las dos soluciones de cada caso tendremos que
xЄ(-
o 2≤x≤1
Para calcular el contradominio despejamos x
valores reales puede tomar y
√
y2=x2-3x+2
21
y observamos qué
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
y2-2=x2-3x completando el trinomio cuadrado perfecto
y2-2+ =x2-3x+
reduciendo y factorizando
y2+ =(x-
sacando raíz cuadrada
√
x=
=x-
√
Contradominio=
Fig. 19. Gráfica de y=+√
Gráfica de y=√
.
cuando solo consideramos la ráiz positiva,
queda al lector terminar la gráfica cuando se consideran los dos
signos de la raíz.
22
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Plano cartesiano
Si dibujamos en un plano dos rectas perpendiculares entre sí, quedan delimitadas
cuatro regiones, las cuales reciben el nombre de cuadrantes y se denotan mediante
números romanos I, II, III y IV, como se especifica en la figura. Las rectas se llaman
ejes coordenadas y su punto de intersección se llama origen y se denota por O.
Fig. 20. Cuadrantes en el plano cartesiano.
El eje horizontal, el eje X recibe el nombre de eje de las abscisas, y el perpendicular a
este el eje Y, eje de las ordenadas. El plano y los ejes coordenados se llaman plano
cartesiano en honor a René Descartes, el precursor de la geometría analítica.
Fig. 21. Plano cartesiano.
23
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Los ejes X y Y son considerados como rectas reales, con el cero ubicado en el origen, y
con la misma escala. En su posición usual, el eje X es horizontal y su dirección positiva
es hacia la derecha con respecto al origen, por lo que los números positivos quedan en
el extremo derecho y los negativos en el izquierdo; en tanto, que el eje Y es vertical,
su dirección positiva es hacia arriba y los números negativos quedan abajo. Las
coordenadas de puntos ubicados en el plano cartesiano:
Fig. 22. Localización de puntos en el plano cartesiano.
Ejemplo 14. Localiza en el sistemas de ejes de coordenadas los siguientes puntos: A (2,5), B(-1,4),
C(2,-5), D(3,-1), E(0,2), F(-6,-4), G(-5,0)
Solución
Fig. 23.
Puntos en el plano cartesiano.
24
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 15. Dibuja el polígono cuyos vértices son: A (2,4), B(-3,5), C(-4,-4), D(0,-4), E(4,-5) y
F(3,0)
Solución
Fig. 24. Polígono en el plano cartesiano.
Ejemplo 16. Encuentra las coordenadas de los puntos señalados en el siguiente plano cartesiano:
Fig. 25. Puntos en el plano cartesiano
25
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Solución
Coordenadas de los puntos:
P1(-2,5)
P2(2,4)
P3(3,3)
P4(1,1)
P5(-1,2)
P6(4,-3)
P7(3,-4)
P8(2,-2)
P9(-2,-4)
P10(-3,-2)
P11(-5,-1)
26
CONALEP-2011
1.3.
[Representación gráfica de funciones]
Representación del lugar geométrico
Análisis de ecuaciones
Cuando se conoce una ecuación, es importante pasar a representar su lugar
geométrico, es conveniente previamente conocer algunas propiedades, tales como
1. Determinar si la recta o curva es o no simétrica respecto a los ejes y al origen.
2. Determinar
los puntos de intersección con los ejes, o si no los hay.
3. Determinar el dominio y la imagen (también llamado extensión).
4. Determinar si tiene asíntotas horizontales o verticales.
5. Hacer la gráfica.
Comencemos con el punto número uno:
Simetría respecto al eje de las X: si se sustituye en la ecuación y por –y, y la
ecuación no se altera, entonces la curva es simétrica respecto al eje de las X, por lo
tanto, basta con observar si los exponentes de la y en todos los términos tienen
exponente par.
Simetría respecto al eje Y: Si se sustituye en la ecuación x por –x , y la ecuación no
se altera, entonces la curva es simétrica respecto al eje de las Y, por lo tanto basta con
observar si los exponentes de la x en todos los términos tienen exponente par.
Simetría respecto al origen: Es suficiente con observar que los exponentes de x y de y
tengan exponente par, o bien, que cumplan con tener simetría respecto a los dos ejes.
Intersección con el eje de las X: Sustituimos y=0 y resolvemos la ecuación,
encontramos así la abscisa del punto que interseca al eje X, si no hay solución real
significa que no tiene intersección con el eje X.
27
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Intersección con el eje de las Y:
Sustituimos x=0
y resolvemos la
ecuación,
encontramos así la ordenada del punto que interseca al eje Y, si no hay solución real
significa que no tiene intersección con el eje Y.
Extensión: Dominio y contradominio
Respecto a x: Para encontrar el dominio se despeja la y y se determinan los valores
reales que puede tomar la x, de manera que sea posible obtener un valor real para y.
Respecto a y: Para encontrar el contradominio se despeja la x y se determinan los
valores reales que puede tomar la y, de manera que sea posible obtener un valor real
para x.
Asíntotas: Es la recta que no es tocada por un punto por más que se aproxime a ella,
hay asíntotas de cualquier posición, pero se hará énfasis en las asíntotas horizontales y
en las verticales.
Asíntotas verticales: Se despeja y, y se observa la x, si aparece en el denominador se
iguala a cero y los valores que hacen cero el denominador, son las abscisas
correspondientes a las ecuaciones de las asíntotas verticales.
Asíntotas horizontales: Se despeja x y se observa la y, si aparece en el denominador
se iguala a cero y los valores que hacen cero el denominador, son las ordenadas
correspondientes a las ecuaciones de las asíntotas horizontales.
Ejemplo 17. Discutir la ecuación x2+y2-9=0 y graficarla
28
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Solución
Simetría respecto al eje X: como y tiene exponente par,
se dice
que existe simetría respecto a x (o hacer también la sustitución
de x por –x)
Respecto al origen: todos los términos tienen exponente par, por
lo
tanto
simetría
es
simétrica
respecto
al
origen.
Nótese
que
existe
respecto al eje X y respecto al eje Y, entonces existe
simetría respecto al origen.
Intersecciones:
Con eje X: hacemos y=0
x2+y2-9=0
x2+(0)2-9=0
x2=9
x= √
x=
Por lo tanto la curva corta el eje X en dos puntos (-3,0) y (3,0)
Con eje Y: hacemos x=0
x2+y2-9=0
(0)2+y2-9=0
y2=9
y= √
y
por lo tanto la curva corta al eje Y en dos puntos (0,-3) y (0,3).
29
[Representación gráfica de funciones]
CONALEP-2011
Extensión:
Respecto a x: (dominio) despejamos y
x2+y2-9=0
y2=9-x2
y=
√
para que yЄR 9-x2≥0;
-x2≤-9
(-1) -x2≤-9(-1) multiplicando por -1 ambos miembros
x2≥9
recuerde que se invierte la desigualdad
-3≤x≤3 o bien xЄ[-3,3]
Respecto a y: (imagen)despejamos x
x2+y2-9=0
x2=9-y2
x=
para que yЄR
√
9-y2≥0
-y2≤-9
(-1)-y2≤-9(-1)
y2≥9
-3≤y≤3 o yЄ[-3,3]
Asíntotas:
30
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Horizontales: ya tenemos despejado x; x=
√
, si observamos,
no tiene denominador con y, por lo que la curva no tiene asíntotas
horizontales.
Verticales: ya tenemos despejado y; y=
√
, si observamos,
tampoco tiene denominador con x, por lo que la curva no tiene
asíntotas verticales.
Gráfica: podemos usar la ecuación
variable
y=
√
, damos valores a la
independiente x, que pertenezcan al intervalo que se
obtuvo para su extensión
x
-2
y
√
-1
√ =
1
√ =
2
√
Fig. 26. x2+y2-9=0.
Recordemos que la
curva es simétrica respecto a los 2 ejes y al
origen, tracemos los puntos de intersección con los ejes.
La curva trazada corresponde a una circunferencia con centro en el
origen C(0,0) y radio r=3.
31
CONALEP-2011
1.4.
[Representación gráfica de funciones]
Problemario
Dado los siguientes conjuntos, obtener el producto cartesiano que se indica:
1.1. Si A={a,e,i,o,u} y B={2,4,5}, A B
1.2. Si C={10,15,20} y D={15,20,25}, D C
1.3. Si E={Juan, Pedro} y F={María, Diana, Karla}, F E
1.4. Si G={2,4,6,8} y H={1,3,5}, G H
1.5. Si I={0,1} J={-3,-5,-6}, J I
1.6. Si K={x/5<x<8
1.7. Si M={x/-3<x<0
} y L={y/0<y<3
}, K L
} y N={y/0<y<3
}, N M
1.8. Si O={x/-4 x 3, xЄ } y P={y/ -1 y 0, yЄ }
O P
1.9. Si Q={adenina, citosina} y R{timina, uracilo}, Q R
1.10. Si S={3,5,7,11} y T={2,4}, S T
1.11. A={los elementos que forman el ácido sulfúrico} y
B={los elementos que forman el agua}, A B
Nota: queda al lector investigar de su curso de química
cuáles son los elementos del ácido sulfúrico.
32
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
2. Identificar si las relaciones son funciones, encontrar su dominio, su contradominio y
hacer su gráfica.
2.1. y=
+5
2.2. y=5
2.3. x=4
2.4. y=3x+2
2.5. x2+8y=0
3. Determine el dominio y contradominio de las siguientes relaciones:
3.1.
f ( x) 3
3.2.
y
3.3.
x
2
1 x
2
f ( x) 3x 1
3.4. y 1 2 x
2
5 x
1
3.6. f ( x )
x2
5
3.7. f ( x ) 2
x 25
3.8. f ( x ) x
3.5. f ( x )
3.9. f ( x ) 9 x
3.10. f ( x )
1
3 x
4. Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano:
A(3,2), B(-1,3), C(0,1), D(1,2), E(4,-1), F(2,3), G(3,0),
H(4,4), J(-3,0), K(5,3)L(0,-4), M(-4,-3), N(3,-3), P(5,0)
O(0,0)
33
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
5. Ubica los pares ordenados en el plano cartesiano, une los puntos e identifica el polígono
irregular obtenido.
5.1. A(-2,2), B(-1,-2), C(2,-2)
5.2. A(-2,-2), B(-1,1), C(3,1), D(3,-1), E(1,-3)
5.3. A(1,-1), B(2,2), C(5,3), D(7,1), E(6,-2), F(3,-3)
5.4 A(-4,-2), B(0,-2), C(2,1), D(-2,1)
6. Identificar cuáles de las gráficas siguientes representan una función y cuál es una
relación (sugerencia: usa la recta vertical paralela al eje de las Y).
6.1.
6.2.
6.3.
34
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
6.4.
7. Discute las siguientes ecuaciones, indicando: si la recta o curva es simétrica respecto de
los ejes y/o del origen, las intersecciones con los ejes si las tiene, su dominio y
contradominio, las asíntotas verticales y horizontales si las tiene, bosqueja su gráfica
(puedes hacer una tabla de valores).
7.1. y=3x-7
7.2. y2-12x=0
7.3. x2+6y=0
7.4. 4x2+9y2=36
7.5. 16x2-9y2-144=0
1.5.
Autoevaluación
1. Contesta correctamente lo siguiente:
1.1. ¿Cuál es la función que se expresa como el cociente de dos funciones
polinomiales?
1.2. ¿Qué es el dominio de una función?
35
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
1.3. ¿Quién introduce el concepto moderno de función?
1.4. ¿Qué es una relación?
1.5. ¿Qué es el contradominio de una función?
1.6. ¿Qué es una función?
1.7. ¿Es conmutativo el producto cartesiano?
2. Obtener el producto cartesiano B A, si A={2,4,6} y B={3,5,7}
3. En el siguiente plano cartesiano indique el número de cuadrante, el nombre de cada uno
de sus ejes y localice los siguientes puntos colocando la letra que le corresponde:
A(0,0),B(3,0),C(2,3),D(0,4),E(-4,3),F(-5,0),G(-3,2),H(0,-3)
I (3,-2)
4. Encuentra el dominio y el contradominio de la ecuación siguiente e indica si representa
una relación o una función:
y 5x 2
36
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
5. Indica si la gráfica siguiente representa una función o una relación. Utiliza la regla de la
recta vertical paralela al eje Y.
6. Discute la ecuación x2+y2-36=0 indicando lo siguiente:
a) Simetría respecto del eje X
b) Simetría respecto del eje Y
c) Simetría respecto del origen
d) Intersección con el eje X
e) Intersección con el eje Y
f) Su dominio
g) Su contradominio
h) Si tiene asíntotas verticales
i) Si tiene asíntotas horizontales
j) Grafícala
k) Indica si representa una relación o una función.
1.6. Conclusión
En este capítulo vimos que una función es una relación donde no hay dos parejas
distintas de puntos o coordenadas
que tengan el mismo primer valor, se vieron
algunos ejemplos de funciones, sus gráficas, su dominio y contradominio, pero hay una
37
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
gran variedad de funciones que se aplican en economía, como la función de costos,
crecimiento de poblaciones, funciones logarítmicas, trigonométricas, por mencionar
algunas. Existe todo un estudio sobre las funciones y tuviste un pequeño acercamiento
a ellas, en los cursos posteriores profundizarás más en sus propiedades, clasificación y
aplicaciones.
1.7. Soluciones del problemario
1.1. A B={ (a,2),(a,4),(a,5), (e,2),(e,4),(e,5),
(i,2),(i,4),(i,5), (o,2),(o,4),(o,5),
(u,2),(u,4),(u,5)}
1.2. C D={ (10,15),(10,20),(10,25),(15,15),(15,20),(15,25),
(20,15),(20,20),(20,25)}
1.3.
F E={(María, Juan),(María, Pedro),
(Diana, Juan),(Diana, Pedro),
(Karla, Juan),(Karla, Pedro)}
1.4. G H={(2,1),(2,3),(2,5), (4,1),(4,3),(4,5),
(6,1),(6,3),(6,5),(8,1),(8,3),(8,5)}
1.5. J I={(-3,0),(-3,1),(-5,0),(-5,1),(-6,0),(-6,1)}
1.6. K L ={(6,1),(6,2),(6,3), (7,1),(7,2),(7,3)}
1.7. M={-2.-1}
y N={1,2}
N M={(1,-2),(1,-1),(2,-2),(2,-1)}
1.8. O={-3,-2,-1,0,1,2} y P={-1,0}
O P={(-3,-1),(-3,0),(-2,-1),(-2,0),(-1,-1),(-1,0),
(0,-1),(0,0),(1,-1),(1,0),(2,-1),(2,0)}
1.9. Q R={(adenina, timina),(adenina, uracilo),(citosina, timina),
38
[Representación gráfica de funciones]
CONALEP-2011
(citosina, uracilo)}
1.10. S T={(3,2),(3,4),(5,2),(5,4),(7,2),(7,4),(11,2),(11,4)}
1.11. A={H2SO4}={H1,H2,S,O1,O2,O3,O4}
B={H2O}={H1,H2,O}
{(H1,H1),(H1,H2),(H1,O),(H2,H1),(H2,H2),(H2,O),
(S,H1),(S,H2),(S,O),(O,H1),(O,H2),(O,O),
(O2,H1),(O2,H2),(O2,O), (O3,H1),(O3,H2),(O3,O),
(O4,H1),(O4,H2),(H4,O)}
Nota: en este ejemplo, si se pudiera diferenciar cada hidrógeno de
cada oxígeno se le pondría un subíndice, no debe leerse como
cantidad.
Recordemos en teoría de conjuntos
conforman no se repiten, por lo que
que
A={H,S,O} y B={H,O}
A B={(H,H),(H,O),(S,H),(S,O),(O,H),(O,O)}
2.1. y=
Dominio=
+5
o xЄ(-
Contradominio=
)
o yЄ(-
)
Sí es función
39
los
elementos
que
los
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
2.2. y=5
Dominio=
o xЄ(-
)
Contradominio=[5] o y=5
Sí es función
2.3. x=4
Dominio=[4] o x=4
Contradominio=
o xЄ(-
)
No es función es relación
2.4. y=3x +2
Dominio=
o xЄ(-
Contradominio=
)
o yЄ(-
)
Sí es función
40
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
2.5. x2+8y=0
Dominio=
o xЄ(-
)
Contradominio yЄ(Sí es función
3.1. f(x)=3Dominio=
o xЄ(-
Contradominio=
)
o yЄ(-
)
3.2. y=
Dominio=
o xЄ(-
Contradominio=
)
o yЄ(-
)
41
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
3.3. f(x)=3x-1
Dominio=
o xЄ(-
Contradominio=
)
o yЄ(-
)
o yЄ(-
)
3.4. y=√
Dominio={x/x
Contradominio=
}
3.5. f(x)=
Dominio=
Contradominio=
Ver gráfica
3.6. f(x)=
Dominio=
Contradominio=
42
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[Representación gráfica de funciones]
3.7. f(x)=
Dominio=
léase todos los reales, menos el -5 y el 5
Contradominio:
3.8. f(x)=√
Dominio={x/x
Contradominio=
o yЄ(-
)
o yЄ(-
)
3.9. f(x)=√
Dominio={x/x
Contradominio=
3.10. f(x)=
√
Dominio={x/x<3}
Contradominio=
- {0}
43
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
4. A(3,2), B(-1,3), C(0,1), D(1,2), E(4,-1), F(2,3), G(3,0),
H(4,4), J(-3,0), K(5,3)L(0,-4), M(-4,-3), N(3,-3), P(5,0),
O(0,0).
5.1. Es un triángulo escaleno.
5.2. Es un pentágono irregular.
44
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
5.3. Es un hexágono irregular.
5.4. Es un cuadrilátero.
6.1. Es relación
6.2. Es función
6.3. Es función
6.4. Es relación
7.1. Como el exponente de y es impar no hay simetría respecto del
eje X, como el exponente de x es impar
no hay simetría respecto
del eje Y, por lo tanto, no existe simetría respecto del origen.
Intersección con eje X (7/3,0)
Intersección con eje Y (0,-7)
Dominio (Contradomio(No hay asíntotas verticales ni horizontales
45
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
7.2. Como el exponente de y es impar, sí hay simetría respecto al
eje X, como el exponente de x es impar, no hay simetría respecto
al eje Y, por lo tanto no existe simetría respecto del origen.
Intersección eje X; en x=0
Intersección eje Y; en y=0
Dominio={x/x
Contradominio=
Asíntotas: no hay horizontales ni verticales.
7.3.
No existe simetría respecto a x.
Sí existe simetría respecto a y.
No existe simetría respecto al origen.
Intersección con eje X: x=0
46
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[Representación gráfica de funciones]
Intersección con eje Y: y=0
Dominio=
Contradominio={y/y
No existen asíntotas verticales ni horizontales.
7.4.
Existe simetría respecto al eje X y eje Y, por lo tanto respecto
del origen de coordenadas.
Intersección con eje X: (-3,0) y (3,0)
Intersección con eje Y: (0,2) y (0,-2)
Dominio xЄ[-3,3] léase intervalo cerrado de -3 a 3
Contradominio
yЄ[-2,2]
No existen asíntotas verticales ni horizontales.
7.5.
Existe simetría respecto al eje X y eje Y, por lo tanto respecto
del origen.
Intersecciones con eje X: (-3,0),(3,0)
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[Representación gráfica de funciones]
Intersecciones con eje Y: no existen.
Dominio: {x/-3
Contradominio=
No existen asíntotas horizontales ni verticales
Nota: Más adelante se verá que tiene dos asíntotas que cruzan por
el origen de coordenadas.
Gráfica: corresponde a una
hipérbola
y= √
48
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
1.8. Soluciones de autoevaluación
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
Función racional
El conjunto de todos los valores posibles de x
Peter Dirichlet
Es un conjunto de pares ordenados
Es el conjunto de todos los valores posibles de y
Es una relaicion donde no hay dos pares distintos, que tengan el mismo primer
valor.
1.7. No
2. B A={(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6),(7,2),(7,4),(7,6)}
3.
4.
Dominio=
Contradominio=
Es una función.
5. Es una relación.
6.
49
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
a) Simetría respecto del eje X: si existe
b) Simetría respecto del eje Y: si existe
c) Simetría respecto del origen: si existe
d) Intersección con el eje X: (-6,0) y (6,0)
e) Intersección con el eje Y: (0,6) y (-6,0)
f) Su dominio: xЄ(g) Su contradominio: yЄ(h) Si tiene asíntotas verticales: no tiene
i) Si tiene asíntotas horizontales: no tiene
j) Grafícala: una circunferencia con centro en el origen y radio 6
k) Indica si representa una relación o una función: relación
50
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Referencias y notas.
1
Engler Adriana, et al. (2010). Funciones. Santa Fe, Argentina: UNL. Recuperado 15 de junio de 2011, de
http://www.google.com.mx/#sclient=psy&hl=es&tbm=bks&source=hp&q=funciones+engler+adriana&aq=f
&aqi=&aql=&oq=&pbx=1&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.&fp=61d914ee0792f9b8&biw=1280&bih=540
2
A. Bak Thor,Lichtenberg Jonas (1972). Functions of one several variables. Barcelona: Reverté. Recuperado
15 de junio de 2011, de
http://www.google.com.mx/#sclient=psy&hl=es&tbm=bks&source=hp&q=Functions+of+one+several+varia
bles+A.+Bak+Thor%2CLichtenberg+Jonas.&aq=f&aqi=&aql=&oq=&pbx=1&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.&fp=6
1d914ee0792f9b8&biw=1280&bih=540
3
Prawda W. Juan (1995). Métodos y modelos de investigación de operaciones. México: Limusa. Recuparado
15 de junio de 201, de
http://www.google.com.mx/#sclient=psy&hl=es&tbm=bks&source=hp&q=Prawda+W.+Juan%2CM%C3%A
9todos+y+modelos+de+investigaci%C3%B3n+de+operaciones.M%C3%A9xico:+LImusa+%281995%29&a
q=f&aqi=&aql=&oq=&pbx=1&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.&fp=61d914ee0792f9b8&biw=1280&bih=540
4
Biografías y Vidas (2011). Leonhard Euler. Biografías y Vidas . Recuparado 15 de junio de 201, de
http://www.biografiasyvidas.com/biografia/e/euler.htm
5
Bradley, Robert E. & Sandifer, Charles Edward (2007). Leonhard Euler: life, work and legacy. Netherlands
: Elsevier. Recuparado 15 de junio de 201, de
http://books.google.com.mx/books?id=75vJL_YPvsC&pg=PA214&dq=Introduction+to+analysis+of+the+infinite&hl=es&ei=Ax0zTo_iHI6NsALz_OCaCw
&sa=X&oi=book_result&ct=bookthumbnail&resnum=3&ved=0CDcQ6wEwAg#v=onepage&q=Introduction%20to%20analysis%20of%20the
%20infinite&f=false
6
Enciclopedia Británica. Recuperado el 16 de junio de 2011, de
http://www.britannica.com/EBchecked/topic/165066/Peter-Gustav-Lejeune-Dirichlet
7
Axioma: proposición tan obvia, clara y sencilla que se admite sin demostrar.
8
Hidalgo de la Vega, María José, et al. (1988). Historia de la Grecia antigua. Salamanca: Universidad de
Salamanca. Recuperado el 16 de junio de 2011, de
http://books.google.com.mx/books?id=lw8XTUFXelkC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summ
ary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false
9
Barradas, Ignacio (2005). Las matemáticas del antiguo Egipto. Buenos Aires: Argenpress. Recuperado el 16
de junio de 2011, de http://www.revistaarabe.com.ar/noticias_matematicas_egipto.asp
10
James Holton, Gerald Brush, & Stephen G. (1996). Introducción a los conceptos y teorías de las ciencias
físicas. Barcelona: Reverté. Recuperado el 16 de junio de 2011, de
http://books.google.com.mx/books?id=DROlYRS_VWoC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_sum
mary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false
11
G. Furones, Daniel (2011).Biografía de Johann Bernoulli. Astroseti. Recuperado el 17 de junio de 2011, de
http://www.astroseti.org/articulo/4494/biografia-de-johann-bernoulli
51
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
12
Hairer, Ernst & Wanner, Gerhard (2008). Analysis by Its History. New York: Springer. Recuperado el 17
de junio de 2011, de
http://books.google.com.mx/books?id=Kzp4zPIL8B0C&pg=PR5&dq=Introduction+to+analysis+of+the+infi
nite,Book+I,+trad.+John&hl=es&ei=_SEzTtPVOa_CsQL287HnCg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnu
m=2&ved=0CC0Q6AEwAQ#v=onepage&q&f=false
13
Albert Dou, Euler. (1993). Métodos de máximos y mínimos. Barcelona: Universidad Autónoma de
Barcelona Recuperado el 17 de junio de 2011, de
http://books.google.com/books?id=amelmrfmwEMC&pg=PA19&dq=Euler:+institutiones+calculi+differentia
lis&hl=es&ei=3ur2TaWxOoP2tgPoszCBw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CC0Q6AEwAA#v=onepage&q=funci%C3%
B3n&f=false
14
Guerra T. Manuel (1994). Geometría analítica. México: McGraw-Hill
15
Juan Manuel Silva &Adriana Lazo (2003). Fundamentos de matemáticas:
álgebra, trigonometría, geometría analítica y cálculo. México: Limusa
http://books.google.com.mx/books?id=TyRUwQ4pKLMC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_sum
mary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false
16
Z=conjunto de los números enteros {…-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}
17
Función expresada como el cociente de dos funciones polinomiales P(x)/Q(x) donde Q(x)≠0
18
( ) notación de intervalos abiertos por los dos extremos
52
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
i
[Representación gráfica de funciones]
CONALEP-2011
2.1. Determinación gráfica de la recta
La recta
Pitágoras, filósofo, astrónomo, físico y matemático, dominó el pensamiento de su
tiempo,
su
enseñanza
era
la
doctrina
mística,
según
la
cual
“todo
era
1
número” .Conocido entre otras muchas cosas por el teorema que lleva su nombre, el
teorema de Pitágoras: el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual
a la suma de los cuadrados de los otros dos lados2.
Este teorema se usa para deducir la fórmula de distancia entre dos puntos
cualesquiera del plano. Comencemos por los casos particulares cuando los puntos se
encuentran en un segmento horizontal o vertical.
Distancia entre dos puntos
Situados en un segmento horizontal.
Sean P(x1,y1) y Q(x2,y1) dos puntos cualesquiera en el plano con la misma ordenada
y1, esto es, que están en un segmento horizontal, si lo que queremos es calcular la
distancia entre dos puntos, restamos sus abscisas x2 y x1 esto es:
Distancia ̅̅̅̅ =x2-x1
o
̅̅̅̅ =x1-x2
Nótese que en ambas formas se obtiene la distancia, pero con signos diferentes, si
consideramos la distancia entre dos puntos como una magnitud positiva, la distancia
se expresa como el valor absoluto3 de la diferencia de sus abscisas, esto es:
̅̅̅̅ = |x2-x1|=|x1-x2|
Representando los puntos P, Q y el segmento ̅̅̅̅ gráficamente tendremos:
1
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 1. Calcular la distancia entre los puntos A (1,4) y B (5,4).
Solución
El segmento ̅̅̅̅ es horizontal ya que tienen la misma ordenada
4, usando la fórmula4 tenemos:
̅̅̅̅=|x2-x1|
̅̅̅̅=|5-1|
̅̅̅̅=|4|
̅̅̅̅= 4
También podría ser
̅̅̅̅=|x1-x2|
̅̅̅̅=|1-5|
̅̅̅̅=|-4|
̅̅̅̅=4
Como se pudo comprobar, es indistinto cuál de los dos puntos
elijas como (x1,y1) y cuál (x2,y2).
2
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 2. Calcular la distancia entre los puntos C (-5,3) y D(3,3).
Solución
La distancia entre
Distancia
los puntos C y D es:
̅̅̅̅=|x2-x1|
̅̅̅̅=|x1-x2|
o bien
=|3-(-5)|
=|-5-3|
=|3+5|
=|-5-3|
=|8|
=|-8|
= 8
= 8
Ejemplo 3. Una cuerda de guitarra se hace vibrar y se desea calcular la longitud de onda
entre 2 de sus crestas cuyas coordenadas son los puntos A(10mm, 2mm) y B(15mm, 2mm).
Solución
Nota: en una onda estacionaria, la distancia entre dos puntos
idénticos cualesquiera, como las crestas se llama longitud de onda
y se le representa con la letra griega .
3
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
=|x2-x1|=|15mm-10mm|=5mm
Distancia entre dos puntos situados en un segmento vertical
Sean P(x1,y1) y Q(x1,y2) dos puntos cualesquiera en el plano con la misma abscisa x1,
esto es, están en un segmento vertical.
Para calcular la distancia entre dos puntos, restamos sus ordenadas, es decir:
Distancia
̅̅̅̅ =|y2-y1|
o
̅̅̅̅ =|y1-y2|
4
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 4. Calcular la distancia entre los puntos E(5,2) y F(5,8).
Solución
Usando la fórmula
̅̅̅̅ =|y2-y1|=|y1-y2|
̅̅̅̅ =|8-2|=|6|=6
̅̅̅̅ =|2-8|=|-6|=6
Ejemplo 5. Calcular la distancia entre los puntos G(-4,2) y H(-4,6).
Solución
Usando la fórmula
̅̅̅̅
|y2-y1|=|y1-y2|
̅̅̅̅=|6-2|=|4|=4
̅̅̅̅=|2-6|=|-4|=4
Distancia entre dos puntos situados en un segmento inclinado
Consideremos un segmento que no es horizontal ni vertical, es decir, inclinado,
consideremos el segmento en el primer cuadrante (solo por comodidad, pero es lo
mismo en cualquier cuadrante). Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos cualesquiera.
5
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Obsérvese que se forma el triángulo ∆PQR si trazamos las proyecciones de P y Q sobre
los ejes.
Nótese que se forma el triángulo rectángulo ∆PQR, si trazamos las proyecciones de P
y Q sobre los ejes.
Calculamos la distancia horizontal ̅̅̅̅ y la vertical ̅̅̅̅ , lo hacemos de la misma forma
vista anteriormente ̅̅̅̅=|x2-x1| y distancia ̅̅̅̅ =|y2-y1|, observe que ̅̅̅̅ es la
hipotenusa del triángulo rectángulo ∆PQR, aplicando el teorema de Pitágoras tenemos:
(PQ)2 (PR)2 (QR)2
6
CONALEP-2011
(PQ)2 x2 x1
2
[Representación gráfica de funciones]
y2 y1
2
2
(PQ) (x2 x1)2 (y2 y1)2
Note que cualquier número elevado al
cuadrado es positivo, podemos cambiar
(PQ)2 (x1 x2)2 (y2 y1)2
(PQ)2
(x2 x1)2 (y2 y1)2
los valores absolutos por paréntesis
sacando raíz cuadrada en ambos
miembros.
PQ
(x2 x1)2 (y2 y1)2
Es la fórmula para calcular la distancia entre
dos puntos cualesquiera, situados en el
plano cartesiano.
Ejemplo 6. Calcular la distancia entre los puntos A(2,3) y B(5,8).
Solución
Cualesquiera de los puntos puede ser el punto (x1,y1) o
(x2,y2), en nuestro ejemplo tomaremos A(x1,y1) y B(x2,y2)
AB (x2 - x1)2 (y 2 - y1)2
AB (5 - 2)2 (8 - 3)2
34
AB (3)2 (5)2
AB
9 25
AB
34
Es conveniente dejar el
resultado así, ya que la raíz
es inexacta e irreducible.
7
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 7. Calcular la distancia entre los puntos M (1,1) y N(4,5).
Solución
MN
(x2 x1)2 (y 2 y1)2
MN
(4 1)2 (5 1)2
MN
(3)2 (4)2
MN
9 16
MN
25
MN 5
Ejemplo 8. Calcular la distancia entre los puntos C(
Solución
8
y D(
.
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
2
2
CD
1
3
7
5
2
4
2
CD
9
11
2
4
CD
81
121
2
16
CD
445
16
CD
445
16
CD
445
4
2
2
Ejemplo 9. Calcular el perímetro del triángulo cuyos vértices son los puntos A(2,3), B(5,5)
y C(3,9).
Solución
El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus lados,
así que comenzaremos por calcular las distancias de los 3
lados del triángulo.
Calculemos la distancia de
̅̅̅̅
̅̅̅̅=√
3
=√ 3
=
4
9
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
3=3.60
=
Calculemos la distancia ̅̅̅̅
̅̅̅̅ =√ 3
4
=√
= 4
=
=2
reduciendo la raíz
=4.47
Calculemos la distancia
̅̅̅̅=√ 3
̅̅̅̅
3
=√
3
=
= 3 =6.08
El perímetro del triángulo ∆ABC es
P=
3+2
3 = 14.16
Nótese que el triángulo es escaleno ya que sus tres lados
tienen medidas distintas.
Ejemplo 10. Calcular el perímetro del cuadrilátero que pasa por los puntos P(-3,-5),
Q(3,-2), R(2,4), S(-2,2).
10
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Solución
Calculemos primeramente las medidas de los segmentos
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅=√ 3
3
=√ 3
3
3
=√
= 3
=3
=6.70
̅̅̅̅=√
3
4
4
=√
=√
=
3
= 3
=6.08
̅̅̅̅=√
4
=√
=√ 4
=
4
4
=
=4.47
11
CONALEP-2011
̅̅̅̅=√
[Representación gráfica de funciones]
3
3
=√
=√
4
=
=
=7.07
El perímetro del cuadrilátero es igual a la suma de sus lados
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅=6.70+6.08+4.47+7.07=24.32
Ejemplo 11. Comprueba que el triángulo formado por los vértices A (1,1), B(6,1), C(6,4)
es un triángulo rectángulo.
Solución
Calculemos las longitudes de sus tres lados:
12
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
̅̅̅̅=√
̅̅̅̅=√
̅̅̅̅=
̅̅̅̅=5
̅̅̅̅ =√
̅̅̅̅ =√
4
3
̅̅̅̅ =
̅̅̅̅ = 3
̅̅̅̅ =√
̅̅̅̅ =√
4
3
̅̅̅̅ =
̅̅̅̅ = 34
Si los lados cumplen con el teorema de Pitágoras5 entonces el
triángulo es rectángulo:
Hipotenusa2=cateto2 + cateto2
( 34)2= (5)2+(3)2
34 =
25 + 9
34
34
con lo que queda comprobado que el
triángulo es rectángulo.
13
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 12. Prueba analíticamente si las coordenadas A(0,1), B(0,5) y C( 12,3)
corresponden a un triángulo equilátero.
Solución
Considerando que una de las características del triángulo
equilátero es que
los tres lados son iguales, determinamos
las tres distancias de sus lados AB, BC y AC .
AB
(0 0)2 (5 1)2
(0)2 (4)2
0 16
BC
( 12 0)2 (3 5)2
( 12)2 (2)2
AC
( 12 0)2 (3 1)2
( 12)2 (2)2
16 4
12 4
12 4
16 4
16 4
Considerando las distancias de los segmentos AB BC AC se
cumple la condición de los tres lados iguales, por lo que se
prueba que los puntos del ABC son vértices de
equilátero.
A(0,1)
C( 12,3)
B(0,5)
14
un triángulo
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 13. Comprueba que el triángulo formado por los vértices A(1,1), B(5,-2),
C (-3,-2) es un triángulo isósceles.
Solución
Considerando que por definición el triángulo isósceles debe
de
presentar
calcular
dos
lados
primeramente
iguales,
las
por
lo
distancias
de
que
debemos
los
segmentos
AB, BC y CA .
AB
(5 1)2 (2 1)2
(4)2 (3)2
BC
(3 5)2 (2 (2))2
CA
(3 1)2 (2 1)2
16 9
(8)2 (0)2
(4)2 (3)2
25 5u
64 8u
16 9
25 5u
El ABC sí es un triángulo isósceles, ya que cumple la
condición de presentar dos lados iguales AB CA .
15
de
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 14. Determinar el área del triángulo rectángulo PQR cuyas coordenadas son
P (-3,-2), Q(1,2) y R(1,-2).
Solución
Recordemos que para calcular el área de un triángulo A
bxh
2
ubicamos las coordenadas del triángulo rectángulo en el plano
cartesiano, para identificar los segmentos que forman la base
y la altura.(también podemos descartar el lado mayor, que
representa la hipotenusa del triángulo rectángulo).
En la gráfica observamos que la base la forma la longitud del
segmento PR
y la altura es la longitud del segmento
QR ,
calculemos ambas longitudes de los segmentos (o calcule las 3
longitudes de los lados del triángulo y descarte la mayor que
es la hipotensa).
16
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
PR (1 (3))2 (2 (2))2
PR (1 3)2 (2 2)2
PR (4)2 (0)2
PR
16
PR 4
QR
(1 1)2 (2 2)2
QR
(0)2 (4)2
QR
16
QR 4u
La base es el segmento PR =4u
La altura es el segmento QR =4u
bxh
(4u)(4u)
16
El área es A
8u2
2
2
2
Ejemplo 15. Calcular el área de un círculo cuyo radio está dado por el segmento ̅̅̅̅ de
coordenadas P(-1,-2) y Q(2,-1).
Solución
Calculemos el radio, que es la
distancia de Q a P.
dPQ=√
dPQ=√
dPQ=√
dPQ=√ 3
dPQ=
17
CONALEP-2011
usemos
[Representación gráfica de funciones]
=3.14 y sustituiremos en
A=(3.14)(
A= r2
)2
A= (3.14)(10u)
A=31.4 u2
Ejemplo 16. Si la longitud de un segmento es
3
y las coordenadas de uno de sus
extremos son B(6,5), indicar la abscisa del otro extremo si su ordenada es 2.
Solución
Si llamamos A al otro punto en el extremo del segmento, sus
coordenadas serán A(2,y), conocemos ̅̅̅̅= 3
y B(6,5)
Usando la fórmula de distancia entre dos puntos tenemos:
̅̅̅̅=√
3 =√
3 =√ 4
32= 16 + (5-y)2
32-16= (5-y)2
elevando al cuadrado ambos miembros
despejando
16=(5-y)2
sacando raíz cuadrada en ambos
=√
miembros
4 =5-y
resolviendo la ecuación
y= 5 4
y1= 5+4 =9
y2=5-4=1
18
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Existen dos soluciones
A(2,1) y A’(2,9)
Ejemplo 17. La distancia entre dos genes6 ligados7 es de 10 u.m8. Uno de los genes se
encuentra localizado en el punto de coordenadas B (10,6) y hay dos genes a la misma
distancia cuya abscisa es 2. Encontrar las coordenadas de los dos genes A y A’
Solución
√
10=√
10=√
10=√ 4
elevando al cuadrado ambos miembros
100=64 +(y-6)2
100-64=(y-6)2
36=(y-6)2 sacando raíz
cuadrada en ambos
miembros
3 =√
(y-6)
y1=12
y2=0
A(2,0) Y A’(2,12)
Para calcular las coordenadas del punto medio Pm (x,y) de un segmento A(x1,y1),B(x2,y2)
usaremos las fórmulas:
19
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
,
Pendiente
Si tratamos de describir el movimiento de un cuerpo, podemos hacer una gráfica
posición contra tiempo; la variación de la posición respecto del tiempo
es la
velocidad, lo que se obtiene es la pendiente de la gráfica de dicho movimiento; esta es
una de muchas otras aplicaciones, aquí se muestra un ejemplo de la física, sin
embargo, es muy utilizada en economía, probabilidad, óptica, etc., próximamente en
tus cursos de cálculo diferencial la retomarás ya que es muy importante.
Comencemos por definir lo que es la pendiente de una recta, una recta puede tener
infinitas posiciones, pero cuando no está horizontal o vertical decimos que está
inclinada, esta medida de su inclinación la llamamos pendiente. La inclinación de la
recta que llamaremos
se da como una medida del ángulo que forma la recta respecto
de la horizontal (eje X en el extremo positivo), recordemos que un ángulo es
considerado positivo medido en el sentido contrario a las manecillas del reloj 9, observe
las figuras siguientes:
20
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
La inclinación de una recta es una medida de su ángulo de inclinación. Si la recta es
horizontal tiene una inclinación de 0° o de 180° y si es vertical su inclinación es de
90°. La pendiente de una recta es la tangente de su ángulo de inclinación10, aquí es
importante hacer una pausa y aclarar que no es lo mismo la pendiente de una recta
que la inclinación, ya que la pendiente es la tangente del ángulo de inclinación y el
ángulo es la inclinación de la recta.
Denotaremos con la letra minúscula m a la pendiente de una recta y por la definición
anterior podemos expresarla mediante la expresión:
m=tan
A continuación describiremos las distintas formas de calcular la pendiente de una
recta, una de ellas es cuando tenemos trazada la recta en un plano cartesiano,
podemos usar un transportador, medir el ángulo de inclinación
y usar la calculadora
científica para calcular su tangente, esto es en la tecla tan o bien usar una tabla de
funciones trigonométricas.
Por ejemplo si tenemos la gráfica de una recta, usamos el trasportador y medimos el
ángulo de inclinación:
usando el transportador
Por definición m=tan
m=tan 45°
m=1 la pendiente de la recta cuya inclinación es 45 vale 1.
Otra forma de obtener la pendiente de una recta es cuando conocemos dos puntos por
los que pasa la recta, sean A(x1,y1) y B(x2,y2) dos puntos cualesquiera situados en una
recta inclinada.
21
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
En el triángulo ∆AQB calculemos m=tan
Nótese que ̅̅̅̅ es un segmento vertical y su magnitud es y 2-y1
y que ̅̅̅̅ es un segmento horizontal cuya magnitud es x2-x1
Sustituyendo lo anterior en m tendremos:
m=tan =
que es la fórmula para calcular la pendiente cuando se
conocen dos puntos de la recta, apliquémosla en los
ejercicios
siguientes:
22
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo18. Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(2,3) y Q(5,7).
Solución
Usando la fórmula y sustituyendo:
Ejemplo 19. Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos R(
y
Q(5 ,7).
Solución
Usando la fórmula para la pendiente cuando conocemos dos
puntos que pertenecen a la recta:
m=
m=
3
R ,2
2
m=
23
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 20. Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos M(-4,-5) y N(2,3).
Solución
Usando la fórmula y sustituyendo:
=
=
Ejemplo 21. Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(5,-3) y Q(-5,7)
Solución
Recuerde que cualquiera de los puntos P o Q puede ser el
punto uno o
dos, usando la fórmula y sustituyendo:
Observe la inclinación de la
recta cuando la pendiente es
negativa.
24
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 22. Calcula la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos A(5,7) y B(5,4).
Solución
Usando la fórmula
m=
m=3
Cuando
sucede
que
nos
queda
una
división
entre
cero,
debemos
observar que tenemos una recta vertical, ya que sus abscisas son
iguales, por lo que el ángulo de inclinación de la recta es
y por definición m=tan
, esto, es m=tan 90° que queda
buscamos
de
en
las
tablas
funciones
matemáticas,
por
lo
si
que
podemos concluir que
Condiciones de paralelismo y perpendicularidad
De lo anterior podemos hacer la siguiente deducción: si dos rectas tienen la misma
inclinación ( )
son paralelas y como la pendiente es la tangente del ángulo de
inclinación, entonces las pendientes de dichas rectas son iguales, lo anterior puede
quedar sintetizado de la siguiente manera:
Si dos rectas son paralelas entonces sus pendientes son iguales
25
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Estas condiciones son llamadas de paralelismo11.
Las condiciones de perpendicularidad se pueden escribir mediante la siguiente
expresión: Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual
a - 1, esto es si una es la recíproca y de signo contrario de la otra, escrito de otra
forma sería así:
Esto es si
o
Cuando se conocen las pendientes de dos rectas que se cortan, el ángulo
forma cuando se cortan se puede calcular mediante la expresión:
26
que se
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
tan =
Donde m2 es la pendiente final y m1 la de la recta inicial esto es en el sentido positivo
del ángulo, vea figura siguiente:
Ejemplo 23. Sean A (-1,1) y B(5,7) dos puntos que pasan por la recta
E(-3,9) los puntos que pertenecen a la recta
, y D(3,2) y
.
Solución
Es conveniente comenzar por hacer la gráfica, ya que debemos
considerar el sentido positivo del ángulo.
27
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Calculemos mAB=
mDE=
mAB=
mDE=
m1=1
= -
m2= - de acuerdo a la figura
Sustituyendo en la fórmula para calcular el ángulo que se forma cuando dos rectas se cortan
tan
=
tan
=
tan
=
tan
=
tan
= 13
Buscar en tablas el valor del ángulo cuya
tangente sea 13
= tan-1(13)
En tu calculadora escribe shift tan (13)=
= 85.60°
inv
= 85° 36’
teclea DMS o °’” para convertir a grados
tan 13, o segunda función tan (13)
minutos y segundos.
Nótese que una vez encontrado el ángulo
se pueden conocer
los otros tres ángulos, ya que el opuesto a su vértice es
igual y los otros dos son el suplemento de
, ya que son dos
ángulos adyacentes12, por lo que valdrán 180°-85°36’=94°24’
28
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 24. Calcular la medida de los ángulos interiores del triángulo ∆ABC cuyos
vértices son las coordenadas A(-2,1), B(3,2) y C(0,6).
Solución
Comencemos por hacer la gráfica:
Obsérvese
sentido
que
los
positivo,
ángulos
esto
están
es,
en
siendo
sentido
considerados
contrario
a
en
las
manecillas del reloj.
Seguiremos con el cálculo de las pendientes, así que usaremos
la fórmula para calcular la pendiente cuando conocemos dos
puntos que pertenecen a la recta:
mAB=
=
Para calcular
tan
=
mBC=
mCA=
usaremos la fórmula:
aquí m1=mAB
y m2=mAC
29
CONALEP-2011
tan
[Representación gráfica de funciones]
( )( )
tan
( )
3
De la misma forma calculemos
tan
tan
=
aquí m1=mBC
(
y
m2=mAB
)( )
( )=64°26’
se puede calcular de la misma forma, o bien, a 180° restar
lo que queda de
ya que la suma de los tres ángulos
interiores de un triángulo vale13 180°
3
4
4
Queda por demostrar que con el otro método es lo mismo,
verifícalo.
30
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 25. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1,1), B(4,4) y
C(0,6).
Solución
dAC = 26
dAB = 18
Podemos usar cualquiera de los tres lados como base, usemos
̅̅̅̅.
Calculando la distancia entre los puntos A y B
dAB=√ 4
4
=
Si consideramos ̅̅̅̅ como la altura del triángulo, tendremos
que calcularla; para ello calculamos primero la distancia
entre los puntos A y C, que es la hipotenusa del ∆APC:
dAC=√
=
Calculemos ahora el ángulo formado entre las rectas ⃡
que llamaremos
31
y ⃡
CONALEP-2011
tan
=
=
[Representación gráfica de funciones]
=
( )=56°18’
Usemos ahora la función trigonométrica seno14 de
sen
=
̅̅̅̅
sen 56°18’=
̅̅̅̅
̅̅̅̅
sen 56°18’
̅̅̅̅
4 4
Recordemos que lo que queremos calcular es el área del
triángulo, ya tenemos la base ̅̅̅̅
A=
(
)
, y la altura ̅̅̅̅
recordemos que el área se
4 4
mide en
unidades cuadradas.
2.2. Determinación de las ecuaciones de la recta
En la naturaleza podemos encontrar muchos fenómenos que tienen una relación lineal;
la temperatura y la presión son lineales, la luz viaja en línea recta, un tipo de
movimiento es el rectilíneo uniforme, se pueden hacer análisis de un circuito
electrónico por medio de la recta de carga 15. En economía se puede analizar un
mercado con las rectas de la oferta y la demanda. Cuando representamos una relación
de proporcionalidad directa entre dos variables su representación gráfica es una línea
recta. También es usada la línea recta en el modelado, diseño y construcción, como
estos hay muchos ejemplos más en ciencias interesantes como la astronomía,
32
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
estadística, biología celular, incluso en historia encontramos relaciones lineales del
espacio tiempo.
Desde diferentes enfoques podemos visualizar a la línea recta:
1) Desde uno de los postulados de Euclides: dados dos puntos diferentes pasa una
y solo una recta.
2) Como una ecuación
3) Como un lugar geométrico donde los puntos tienen la misma pendiente
La abordaremos desde el punto 3, y comenzaremos definiendo a la línea recta como el
lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera
P(x,y) y P1(x1,y1) del lugar, el valor de la pendiente m calculado a partir de la fórmula
m=
,
con
x1 x2
resulta siempre constante.
De acuerdo con esto, si despejamos tendremos:
y-y1 =m(x-x1)
Esta forma es conocida como forma punto pendiente ya que son esos dos los
elementos que se conocen de ella, dicho resultado está expresado en el siguiente
teorema16:
Teorema: la recta que pasa por el punto dado P1(x1,y1) y tiene la pendiente dada m,
tiene por ecuación: y-y1 =m(x-x1).
Comencemos a resolver algunos ejemplos:
Ejemplo 26. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por A(1,1) y cuyo ángulo de
inclinación es =45°.
Solución
Recordemos que la pendiente es la tangente del ángulo de
inclinación, por lo que m=tan 45°=1, así con la pendiente
33
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
calculada y el punto dado A(1,1) usamos la siguiente
ecuación:
y-y1 =m(x-x1)
y-1 =1(x-1)
y-1 = x -1
0 = x-y ó
x-y=0 ecuación de la recta
Ejemplo 27. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto A(5,3) y que tiene una
pendiente con valor de 3.
Solución
Tenemos un punto que es A (5,3) y lo consideramos como
(x1,y1),también conocemos la pendiente m=3, utilizamos la
fórmula:
y-y1 =m(x-x1)
y-3 = 3(x-5)
y-3 = 3x -15
3x-y-12=0 Ecuación de la recta
Ecuación de la recta dados dos puntos
34
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Un caso particular de la ecuación de la recta es cuando se conocen dos de sus puntos:
Teorema: La recta que pasa por los dos puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) tiene por ecuación
Nótese que se realiza en la ecuación el cálculo de la pendiente, el lector deberá elegir
entre hacer aparte dicho cálculo, y con un punto y la pendiente obtener la ecuación de
la recta, o en la ecuación anterior elegir cuál es el punto uno y dos, y sustituirlos.
Veamos algunos ejemplos donde la apliquemos.
Ejemplo 28. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por C(-3,-2) y D(2,5).
Solución
Sustituyendo los dos puntos en
tenemos:
3
y-(-2)=
y + 2 =
3
despejando el 5
5(y + 2)=7(x+3)
5y + 10= 7x + 21
7x-5y+11=0 Ecuación de la recta
35
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Nota: Otra forma sería calcular
m=
la pendiente con la fórmula
, y usar uno de los puntos, se obtiene el mismo
resultado, queda como reto al lector verificarlo.
Ejemplo 29. Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(4,1) y es paralela a la recta que
pasa por los puntos C(1,1) y D(3,3).
Solución
Llamaremos
a la recta que pasa por CD y
a la recta que
pasa por el punto A (4,1).
Como
las pendientes son iguales, así que comencemos por
calcular la pendiente m1.
m1 =
m2=1
sustituyendo en
A(4,1) y m2, tenemos:
y-1 = 1(x-4)
36
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
x-y-3=0 Ecuación de la recta
Ejemplo 30. Hallar la ecuación de la recta
con la recta
que pasa por A (2,1) y que es perpendicular
que pasa por E(-1,1) y F(3,4).
Solución
Comenzaremos calculando mEF
mEF=
mA= -
como las rectas son perpendiculares, entonces:
por las condiciones de perpendicularidad
con esta pendiente y el punto por donde pasa la recta
,A(2,1) tenemos al sustituir en la ecuación de la recta de
la forma punto pendiente:
y-1=
(x-2)
3y-3=-4x+8
4x+3y-11=0 Ecuación de la recta buscada
37
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 31. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los
puntos G (2,-3) y H(6,2).
Solución
Recordemos que una mediatriz es una recta perpendicular que
pasa por el punto medio de un segmento.
Calculemos las coordenadas del punto medio del segmento ̅̅̅̅
x=
x=
y=
4
y=
Punto medio (4,
Calculemos ahora la pendiente del segmento ̅̅̅̅
mGH=
mmediatriz=-
38
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
usando la fórmula punto
pendiente tenemos:
y-(- =5(y+
5y +
4
= -4(x-4)
=-4x+16
4x+5yTodo por 2
8x+10y-27=0 Ecuación de la recta
Ejemplo 32. Sean A(-3,-3), B(4,-2) y C(1,5) los vértices de un triángulo, hallar la ecuación
de la mediana del lado AB:
Solución
Recordemos que la mediana es un segmento de recta que va del
punto medio al vértice de su lado opuesto.
Comencemos por encontrar las coordenadas del punto medio de
̅̅̅̅ :
A(-3,-3) y B(4,-2)
x=
y=
x=
y=
Punto medio ( ,
39
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ahora hay que encontrar la ecuación de la recta que pasa por
este punto medio y por el vértice C(1,5).
Calculemos primero la pendiente:
m=
Así tenemos un punto que puede ser C(1,5) y m=15
Sustituyendo en
y-5= 15(x-1)
y-5=15x-15
15x-y-10=0 Ecuación de la mediana
La gráfica es muy importante hacerla desde el inicio del
ejercicio, ya que nos ubica cuáles puntos son los que deben
considerarse.
40
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 33. Sea el triángulo ∆PQR con P (-3,2), Q(0,-3) y R(4,5), hallar la ecuación de la
altura del lado PQ.
Solución
Recordemos que una altura es el segmento perpendicular que va
del vértice al lado opuesto o a su prolongación.
Para encontrar la ecuación de la altura tenemos ya un punto
R(4,5) y al ser perpendicular con el lado opuesto la
pendiente será inversa y de signo contrario que la pendiente
que se obtenga del lado PQ, calculemos mPQ
=
mR=
con esta pendiente y el punto R(4,5)
4
y-5 =
5y-25=3x-12
3x-5y+13=0 Ecuación de la altura
41
[Representación gráfica de funciones]
CONALEP-2011
Ejemplo 34. Hallar la ecuación de la recta
el punto de intersección de las rectas
que tiene una pendiente m= y que pasa por
: 7x+4y=13 y
: 5x-2y=19.
Solución
Recordemos
que
al
resolver
un
sistema
de
ecuaciones
geométricamente estamos encontrando el punto de intersección
o punto común de las dos rectas, algunos métodos que se
vieron en cursos anteriores pueden ser aplicados; el método
de
igualación,
sustitución,
reducción
o
determinantes;
nosotros usaremos el método de igualación que consiste en
despejar la misma variable de ambas ecuaciones e igualar los
resultados.
4
{
x=
3
x=
Igualando
Despejando
5(13-4y)=7(19+2y)
65-20y=133+14y
65-133=14y+20y
-68=34y
-
= y
y=-2
42
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Sustituyendo y=-2 en cualesquiera de los despejes de x,
tenemos:
x=
3
x=
Se concluye que el punto de intersección de las rectas 1 y 2
es
(3,-2)
y
conocemos
la
pendiente
de
sustituyendo en
y-(-2)=
3
3y+6 = 2x-6
2x-3y-12=0 ecuación de
43
la
recta
3
m=
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Te preguntarás cómo se trazaron las gráficas de las rectas hasta ahora, una forma
práctica es identificar dónde cortan a los ejes, y ver qué condiciones se cumplen ahí,
esto es cuando cortan al eje X y=0, y cuando cortan al eje Y x=0, veamos un ejemplo:
Ejemplo 35. Indicar las intersecciones de la recta 4x+5y+20=0 con los ejes de
coordenadas.
Solución
Hacemos y=0 en la ecuación 4x+5(0)+20=0
4x=-20
X=-5
(-5,0) son las coordenadas
donde corta al eje X
Hacemos x=0 en la ecuación 4(0)+5y+20=0
5y=-20
y=-4
(0,-4) son las
coordenadas donde corta al eje Y
44
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ecuación de la recta forma pendiente ordenada al origen
Hemos visto algunos ejemplos de cómo obtener la ecuación de la recta cuando se
conocen un punto y la pendiente y dos puntos, veamos ahora cómo encontrarla cuando
lo que se conoce es dónde corta al eje de las Y (ordenada al origen b) y su pendiente
m.
Observe que al conocer dónde corta al eje Y (ordenada al origen b) se conoce la
coordenada de dicho punto, ya que su abscisa es cero, esto es (0,b) y si conocemos la
pendiente m podemos sustituir en:
y tendremos
y – b =m(x-0)
y – b = mx
y= mx+b Forma pendiente ordenada al origen
Resolvamos algunos ejemplos para utilizar dicha fórmula:
Ejemplo 36. Encontrar la ecuación de la recta cuya ordenada al origen es b=2 y su
pendiente es m= - 2.
Solución
Sustituyendo en
y=-2x+2 o bien
45
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
2x+y-2=0 Ecuación de la recta
Ejemplo 37. Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de 3x+y-3=0.
Solución
Para encontrar los elementos pedidos llevemos la ecuación a la
forma:
3x+y-3=0
y=-3x+3
m=-3 y b=+3
46
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 38. Hallar la intersección con el eje de las ordenadas Y, y la pendiente m de la
recta cuya ecuación es 3x+6y-18=0.
Solución
Despejando y en la ecuación
3x+6y-18=0
y=-
3
De aquí se concluye que corta al eje Y en +3 o (0,3)
Forma simétrica de la ecuación de la recta
Recordemos que b representa a la ordenada al
origen o punto de intersección donde la recta corta
al eje Y, de la misma forma hay un punto de
intersección
de la recta con el eje X, que
llamaremos abscisa al origen y la denotaremos con
la letra a, observe la figura:
Estos dos cortes en realidad también son dos
47
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
puntos que pertenecen a la recta (0,a) y (0,b), si utilizamos
pendiente de la recta tendremos m=
tomando un punto cualesquiera y dicha
pendiente, los podemos sustituir en
y-b=
y calculamos la
y tendremos:
(x-0)
ay-ab= -bx
bx +ay=ab dividiendo todo entre ab
esta es la ecuación de la recta en su
forma simétrica.
Resolvamos algunos ejemplos:
Ejemplo 39. Hallar la ecuación de la recta que corta a los ejes X y Y en 5 y 3
respectivamente.
Solución
Observe que a=5 y b=3
Sustituyendo en
tenemos
3x+5y=1(15)
3x+5y-15=0 Ecuación de la recta
48
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 40. Hallar las intersecciones con los ejes de la recta cuya ecuación es:
4x-3y-12=0
Solución
Llevemos la ecuación a la forma simétrica
4x-3y-12=0
4x–3y= 12
Todo entre 12
+
a=3 y b=-4
49
[Representación gráfica de funciones]
CONALEP-2011
Ejemplo 41. Hallar las intersecciones con los ejes de la recta cuya ecuación es:
5x+10y-20=0
Solución
Llevemos la ecuación 5x+10y-20=0 a la forma simétrica
Todo entre 20
a=4 y b=2
Nota: recuerde que podría
hacer x=0 y y=0, sustituir
cada uno en la ecuación y
obtener las intersecciones
con los ejes.
50
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ecuación general de la recta
En todos los ejemplos donde se pidió encontrar la ecuación de la recta se llegó a la
forma Ax + By + C=0 donde A,B y C Є , esta es llamada la forma general de la recta.
Un ejercicio interesante es a partir de la ecuación general de la recta obtener las
formas particulares de la ecuación de la recta, comenzaremos por obtener la forma
simétrica, para esto dividimos la ecuación entre – C, esto es:
Ax +By + C=0
Ax + By= -C
que es la forma simétrica y de aquí se
deduce:
y
Ahora obtengamos la forma pendiente ordenada al origen:
En Ax +By +C=0 despejamos y:
y=
forma pendiente ordenada al origen, se deduce:
m=
y se comprueba que b=
De lo anterior se puede resumir que si tenemos la ecuación general de la recta
Ax +By + C=0
Su pendiente, abscisa al origen y ordenada al origen son respectivamente:
,
y
A continuación resolveremos algunos ejercicios donde los aplicaremos.
51
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 42. Encontrar el valor de la pendiente, la abscisa al origen y la ordenada al origen
de la recta cuya ecuación es 2x-y-4=0.
Solución
La ecuación 2x-y-4=0 y Ax +By + C=0 se corresponden
A=2,B=-1 y C=-4, sustituyendo en m= , a=
y b=
Tenemos:
m=
a=
=2
y
b=
4
Ejemplo 43. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (3,3) y es paralela con la recta
4x+3y-12=0.
Solución
Para graficar obtenemos a y b y tendremos a=3 y b=4 además
m=
como la recta
pasa por (3,3) y es paralela con
34x + 3y-12=0 tienen la misma pendiente
52
su pendiente es m=
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Usando la fórmula para la ecuación de la recta en la forma
punto pendiente
, tenemos:
y-3 =
3
3y-9 =-4x+12
4x + 3y-21=0 Ecuación buscada
Forma normal de la ecuación de la recta
Esta ecuación se obtiene cuando se conocen la
distancia del origen de coordenadas a la recta
perpendicular o normal, de ahí viene su nombre, y
el ángulo de inclinación .
53
[Representación gráfica de funciones]
CONALEP-2011
La ecuación de
se puede obtener porque tenemos un punto que pertenece a dicha
recta Q(x,y) y su pendiente es la inversa y de signo contrario a la de P, así que
calculemos primero mP=tan
=
si trazamos las proyecciones a los ejes
tenemos un triángulo rectángulo donde calculando las funciones trigonométricas sen
y cos
sen =
tenemos:
despejando y , y=p sen
cos = despejando x, x=p cos
sustituyendo en el valor de la pendiente tenemos:
mP=tan
=
Q(x,y)=Q(pcos
con esta pendiente y
en
tenemos:
y- psen =
y sen -psen2 = xcos +pcos2
xcos + ysen -psen2
factorizando p
pero
xcos + ysen
sen2 +cos2 =1,
pcos2 =0
p(sen2 + cos2)=0
xcos + ysen
=0
es la forma normal de la ecuación de la recta.
Veamos un ejemplo de cómo obtener la ecuación en su forma normal:
Ejemplo 44. Hallar la ecuación de la recta que tiene una distancia p=6 al origen de
coordenadas y su ángulo de inclinación =30°.
Solución
Sustituyendo
p=6 y
=30° en xcos
+ ysen -p=0 tenemos:
xcos30°+ysen30°-6=0
54
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
x( )+y( -6=0
x +
-6=0 todo por 2
3x+y-12=0
Transformación de la forma general a la forma normal de la ecuación de la recta
Veamos ahora el proceso de transformar la ecuación general de la recta Ax+By+C=0 a la
forma normal xcos +ysen -p=0.
Si las dos ecuaciones representan a la recta sus coeficientes son proporcionales, esto es:
Cos
= sA
(1)
Sen
= sB
(2)
- p= sc
(3)
s representa una constante de proporcionalidad, que es la que calcularemos. Si elevamos
(1) y (2) al cuadrado y los sumamos tendremos:
cos2 =s2A2
sen2 =s2B2
cos2 + sen2 = s2A2+ s2B2
cos2 + sen2 = s2 (A2 + B2) factorizando
1= s2(A2+ B2)
= s2
55
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Así concluimos que cos =sA=
, sen = sB=
y
p=
Observe que entonces para pasar de la forma general a la normal de la ecuación de una
recta debemos dividir entre
, el signo que se elija dependerá del signo del
término independiente, ya que la distancia no puede ser negativa.
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 45. Transformar la ecuación de la recta dada en su forma general 3x+2y+12=0, a
su forma normal.
Solución
=√ 3
A=3, B=2 y C=12 calculemos primero
=
3
Aquí el término independiente tiene signo positivo, por lo
que tomaremos el signo – de la raíz, -
3
Dividamos toda la ecuación 3x+2y+12=0 entre
3
esta es la forma normal
Donde cos
=
, sen
=
y p=
Ejemplo 46. Transformar la ecuación general de la recta
Solución
Los coeficientes A= 3 , B=1 y C=-12
√
3
= 3
4 = 2
56
3x+y-12=0.
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Dividiendo cada término entre 2
3
cos =
sen = y p=6
Ejemplo 47. Calcular la distancia al origen de las coordenadas de la recta que está
expresada en su forma normal:
.
Solución
De la ecuación se deduce que
cos =
=cos-1( )
= 30°
También puede ser con
sen =
,
=sen-1( ) ,
= 30°, p=6
Una aplicación de esta transformación es el cálculo de la distancia de un punto (x1,y1) a
una recta dada en su forma general Ax+By+C=0
Solo se debe sustituir las coordenadas del punto (x1,y1) en la ecuación Ax1+By1+C, esto
es:
57
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Con ésta ecuación se debe tener cuidado en la elección del signo, se sugiere trazar la gráfica
y el punto en el plano cartesiano, observar lo siguiente; si el punto y el origen de
coordenadas están del mismo lado de la recta poner el signo menos, y si el punto y el origen
de coordenadas están en distinto lado de la recta, poner el signo positivo, ver el ejemplo
siguiente.
Ejemplo 48. Calcular la distancia del punto P(3,4) a la recta 5x+4y-4=0
Solución
Hacemos primero la gráfica
Sustituyendo en
√
4
Observe que tomamos el signo positivo porque el punto y el
origen están en distinto lado de la recta.
Los ejemplos anteriores te sirven de base para resolver los
siguientes problemas propuesto.
58
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
2.3. Problemario
1. Calcular la longitud de los segmentos cuyos extremos son los puntos:
1.2. A(1,3),B(4,3)
1.2. C(4,1),D(4,5)
1.3. E(1,1),F(4,3)
1.4. G(
3
H(
2. Calcular la distancia del origen de coordenadas al punto:
2.1. A(3,5)
2.2. B(-2,5)
2.3. C(-3,-4)
2.4. D(5,-4)
3. Calcular el perímetro del triángulo cuyos vértices son:
3.1. A(-3,-4),B(3,0),C(-2,3)
3.2. A(5,0),B(0,3),C(0,-3)
4. Calcular el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son los siguientes puntos:
4.1. A(1,2),B(0,-2),C(5,-1),D(7,4)
4.2. A(0,0),B(4,0),C(4,3),D(0,3)
5. Comprueba que los triángulos formados por los vértices que se indican son triángulos
rectángulos.
59
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
5.1. A(2,1),B(4,3),C(-1,4)
5.2. A(-5,0),B(0,0),C(0,7)
6. Indica si los triángulos formados por los vértices dados son isósceles, escaleno o
equilátero:
6.1. A(-2,6), B(3,0),C(6,3)
6.2. A(-4,10), B(-4,-4),C(3,3)
7. Calcula el área de los siguientes triángulos rectángulos cuyos vértices son los siguientes
puntos:
7.1. A(2,1),B(4,3),C(-1,4)
7.2. A(-5,0),B(0,0),C(0,7)
8. Calcula el área del círculo de diámetro, el segmento cuyos extremos son los puntos
siguientes, (considere =3.14):
8.1. A(0,4),B(3,7)
8.2. A(2,1),B(4,3)
9. Calcula el área de la circunferencia cuyo radio es el segmento formado por los puntos
dados:
9.1. A(0,4),B(3,7)
9.2. A(2,1),B(5,7)
10. Si la longitud de un segmento es 5 y las coordenadas de uno de sus extremos es B(0,-2).
Calcular la ordenada del otro extremo si su abscisa es 0 (dos soluciones).
60
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
11. Si la distancia de un punto al origen de coordenadas es 7 y la abscisa del punto es 5,
calcular su ordenada. Dos soluciones.
12. Calcula la pendiente de las rectas siguientes cuando conocemos dos puntos que
pertenecen a ellas:
12.1. A(2,3),B(-3,-7)
12.2. C(-3,5),D(4,3)
13. Comprueba usando pendientes que los siguientes triángulos son rectángulos.
(sugerencia: calcula las pendientes de los dos catetos y usa las condiciones de
perpendicularidad).
13.1. A(2,1),B(4,3),C(-1,4)
13.2. A(-5,0),B(0,0),C(7,0)
14. Comprueba usando pendientes que los tres puntos que se indican son colineales, es
decir, están sobre la misma recta.
(sugerencia: dAB + dBC = DAC)
A(-4,-4),B(-1,-1),C(3,3)
15. Calcula cada uno de los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos
que se indican A(2,2), B(6,3), C(1,5).
16. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto que se indica y tiene de pendiente el
valor indicado:
16.1. A(2,3) m=3
16.2. B(5,6) m=
16.3. C((
)
m=
16.4. D(-3,-2)m=-4
61
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
16.5. E(3 )m=17. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos dados:
17.1. A(2,3),B(5,7)
17.2. C(-1,2),D(5,-4)
17.3. E(
F(5,8)
17.4. G(3,-4),H(-6,6)
18. Hallar el valor de la pendiente, la abscisa y ordenadas al origen de las siguientes rectas:
18.1. 4x-7y-28=0
18.2. 2x-6y-14=0
18.3. x-3y+6=0
18.4. 2x-3y-5=0
19. Encontrar al ecuación de la recta
: 3x-y-2=0 &
que pasa por el punto de intersección de las rectas
2x+3y-5=0 y que es paralela a la recta
: 4x+y-7=0
20. Calcula el área del triángulo que forman los ejes de coordenadas y la recta:
2x-7y-14=0 al cortarlos.
2.4 Autoevaluación
1. Calcula el perímetro del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1,2), B(5,4) y
C(2,7)
2. Calcula la pendiente de la recta cuyo ángulo de inclinación es 60°
3. Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos C(-3,-2) y D(2,4)
62
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
4. Encontrar la ecuación de la recta
recta
que pasa por A(2,4) y es perpendicular con la
: 3x+6y-12=0
5. Una carga eléctrica está en la posición A(0,2) en un determinado momento y
viaja paralela a la trayectoria marcada por la recta
que pasa por los dos puntos
siguientes: B(0,-3) y C(2,0), encontrar la ecuación de la recta
por la cual viaja la
carga eléctrica.
6. Encontrar la ecuación general de la recta que corta en 5 y -4 a los ejes X y Y
respectivamente
7. Encontrar la ecuación de la recta que corta al eje Y en 4 y cuya pendiente es m=-5
8. Obtener la ecuación de la recta en su forma normal sabiendo que la distancia del
origen de coordenadas es 1 y el ángulo de inclinación =60°
2.5. Conclusión
Este fue un acercamiento al cálculo de distancias entre dos puntos, la pendiente de
una recta, el ángulo que se forma cuando dos rectas se cortan, la recta y sus distintas
formas de obtenerla y graficarla, te invito a que profundices más en el tema tan
apasionante y busques problemas que impliquen mayor análisis, así como su aplicación
en las distintas ciencias, ya que aquí se te ofrece una visión superficial del tema, queda
como reto del lector profundizar más en el tema y practicarlo.
63
[Representación gráfica de funciones]
CONALEP-2011
2.6. Soluciones del problemario
1.1. d=|x2-x1|=|4-1|=3
1.2. d=|y2-y1|=|5-1|=4
1.3. d=√ 4
3
=√ 3
3
1.4. d=√
=√
3
2.1. d=√
2.4. d=√
4
3.1. dAB=
3
4
=√
4
3 =
4
p=
4
34
=
=√
, dBC= 34 , dCA=
√
3 =
=√
4
3
=√
=√
2.2. d=√
2.3. d=√
4
=
=5
4
=
+ 34+
=20.11
3.2. dAB= 34 , dBC=6 , dCA= 34 p= 34+ 6 +4=16.66
4.1. dAB=
, dBC=
, dCD=
dDA= 4
p=
+
6 + 4 =20.68
4.2. dAB=4 , dBC=3 , dCD=4 dDA=3 p=4+3+4+3=14
5.1. Calcularemos los 3 lados y comprobaremos que cumplen con el teorema de Pitágoras,
el cual solo se aplica a triángulos rectángulo.
dAB=
, dBC=
, dCA=
recordemos que la hipotenusa es el lado mayor
Teorema de Pitágoras: (hipotenusa)2=(cateto)2+(cateto)2
(
)2 = (
)2 + (
)2
64
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[Representación gráfica de funciones]
26 = 8 + 18
26
26
el triángulo es rectángulo
5.2. Calcularemos los 3 lados y comprobaremos que cumplen con el teorema de Pitágoras,
el cual solo se aplica a triángulos rectángulo.
dAB=5 , dBC=7 , dCA=
4 recordemos que la hipotenusa es el lado mayor
Teorema de Pitágoras: (hipotenusa)2=(cateto)2+(cateto)2
(
4 )2 = (5)2 + (7)2
74 = 25 + 49
74
6.1. dAB=
, dBC=
6.2. dAB=14 , dBC=
7.1. dAB=
, dBC=
el triángulo es rectángulo
3
, dCA=
, dCA=
el triángulo es escaleno
el triángulo es isósceles
, dCA=
7.2. dAB=5 , dBC=7 , dCA=
8.1. dAB=
74
(
A=
)
u2
4 , A=
,que es el diámetro,
8.2. dAB=
,que es el diámetro,
9.1. dAB=
,que es el radio r=
u2
el radio r=
el radio r=
9.2. dAB= 4 ,que es el radio r= 4
A=
A=
=(3.14)(
A=
=(3.14)(
A=
=(3.14)( 4
10. y=3
65
=14.13 u2
=(3.14)(
=6.28 u2
=14.13 u2
=141.3 u2
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[Representación gráfica de funciones]
11. Los puntos son A (5,4.89) y A’ (5,-4.89)
12.1.
=
12.2.
=
13.1 Será suficiente y necesario encontrar dos pendientes inversas y de signo contrario, ya
que garantiza por las condiciones de perpendicularidad que los dos lados son
perpendiculares y esto significa que forman un ángulo recto.
mAB=1 y mAC=-1 por lo tanto es rectángulo
13.2. Será suficiente y necesario encontrar dos pendientes inversas y de signo contrario, ya
que garantiza por las condiciones de perpendicularidad que los dos lados son
perpendiculares y esto significa que forman un ángulo recto.
Cuando observamos puntos podemos ver que BC es un segmento vertical (eje y) y desde
ahí se deduce que su ángulo de inclinación es de 90°
el triángulo es rectángulo.
14.
dAB =
15.
, dBC= 3 , dAC =
=35°50’,
49°45’,
,
+ 3
=
= 94°25’
16.1. 3x-y-3=0
16.2. 3x-2y-3=0
16.3. 6x-24y+5=0
16.4. 4x+y+14=0
16.5. 2x + 10y -11=0
66
son colineales
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[Representación gráfica de funciones]
17.1. 4x-3y+1=0
17.2.
x+y-1= 0
17.3. 46x-27y-14=0
17.4. 10x+9y+6=0
18.1.m= =
, a= =
4
y b=
18.2. m= =
,a= =
y b=
18.3. m= =
,
a= =
y
b=
18.4. m= =
,
a= =
y
b=
19. 28x+7y+7=0 ecuación de
20. a=7 b=-2
A=
67
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[Representación gráfica de funciones]
2.7. Respuestas autoevaluación
1. P=13.8u
2. m= 3
3. m=
4.
5.
: 2x-y=0
3x-y+4=0
6. 4x-5y-20=0
7. 5x+y-4=0
8. x + 3y-2=0
68
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[Representación gráfica de funciones]
Referencias y notas
1
B. Bergua, Juan (1995). Pitágoras. Madrid: Fareso. Recuperado 1 de julio de 2011, de
http://books.google.com/books?id=7XV6_BL448IC&pg=PP1&dq=B.+Bergua+Pit%C3%A1goras&hl=es&ei=2lc
zTpLVEcTFsQKnvOmAAw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&sqi=2&ved=0CCkQ6AEwAA#v=onepa
ge&q&f=false
2
Strathern Paul (1999) Pitágoras y su teorema: México: Siglo XXI. Recuperado 1 de julio de 2011, de
http://books.google.com/books?id=hKYVu3VaWtMC&printsec=frontcover&dq=Strathern+Paul.+Pit%C3%A1
goras++y+su+teorema&hl=es&ei=wlgzTtPfGtGpsAKAirH1Cg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ve
d=0CCkQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false
3
|x|={x si x>0, -x si x<0
4
Fórmula: Expresión algebraica que por medio de letras y números representa una ley o principio
5
Otra forma de demostrar que es un triángulo rectángulo es calculando los ángulos interiores, y mostrando
que tiene un ángulo recto
6
Pierce Banjamín (2009). Genética: un enfoque conceptual. Madrid: Médica panamericana. Recuperado 1 de
julio de 2011, de
http://books.google.com/books?id=ALR9bgLtFhYC&pg=PR18&dq=Pierce+Banjam%C3%ADn.+Gen%C3%A9tic
a:+un+enfoque+conceptual&hl=es&ei=aFkzToT0ELOssALbt8TxCg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum
=2&ved=0CC8Q6AEwAQ#v=onepage&q&f=false
7
Cuando se encuentran en el mismo par de cromosomas homólogos
8
Las distancias en los mapas genéticos se miden en unidades de mapa, que se abrevia u.m.
9
P.R. Krugman, R. Wells (2007). Introducción a la economía: Macroeconomía. Barcelona: Reverté
Recuperado 1 de julio de 2011, de
http://books.google.com/books?id=9kuFd0Hb8T0C&printsec=frontcover&dq=R.+Krugman+Paul.+(2007).+In
troducci%C3%B3n+a+la+econom%C3%ADa:+Macroeconom%C3%ADa&hl=es&ei=ClozTsGbD6-HsAL9NCCCw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCkQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false
10
May Moreno, José A. (2003). Matemáticas 3: trigonometría y geometría analítica básicas. México:
Progreso. Recuperado 1 de julio de 2011, de
http://books.google.com/books?id=Tc_kpOcit2UC&pg=PP2&dq=May+Moreno+Jos%C3%A9+Alberto.+(2003)
.+Matem%C3%A1ticas+3:Trigonometr%C3%ADa+y+Geometr%C3%ADa+Anal%C3%ADtica+Basicas&hl=es&ei
=o1ozTrWVEsz_sQK0oYGACw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCkQ6AEwAA#v=onepag
e&q&f=false
11
Pimienta P., Julio H.; et al. (2006). Matemáticas II: un enfoque constructivista. México: Pearson
Recuperado 1 de julio de 2011, de
http://books.google.com/books?id=zLvNO4rTR6IC&pg=PA251&dq=Pimienta+P.+Julio+Herminio+(2006).+Ma
tem%C3%A1ticas+II:+un+enfoque+constructivista&hl=es&ei=dlszTu2dHsnlsQKCnn3Cg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CC0Q6AEwAA#v=onepage&q&f=false
12
Teorema: Dos ángulos adyacentes son suplementarios, es decir suman 180°
69
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
13
Teorema: la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo vale dos ángulos rectos es decir 180°
14
Función trigonométrica sen x= cateto opuesto /hipotenusa
15
Gabiola, Francisco J.; et al. (2007) Análisis y diseño de circuitos electrónicos analógicos. Teoría y Ejercicios
Resueltos. Madrid:Visión Libros. Recuperado1 de julio de 2011, de
http://books.google.com/books?id=BUT9ljPgjRUC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r
&cad=0#v=onepage&q&f=false
16
Teorema: proposición que puede ser demostrada
70
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
i
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
3.1. La circunferencia como lugar geométrico
Las cónicas
Las cónicas
también son citadas como secciones cónicas1, estas son parte
fundamental de la geometría analítica2,las cuales quedan definidas al hacer un corte
en un cono circular recto con un plano1,3,4, dando como resultados diferentes curvas,
como pueden ser la circunferencia, elipse, parábola e hipérbola5, estas generalmente
quedan representadas por ecuaciones de segundo grado6. Al griego Menecmo se le
acredita el descubrimiento de las cónicas5 y al matemático Apolonio de Perga el estudio
de las características geométricas de las mismas2,5.
La clasificación de las cónicas de acuerdo a los cortes en el cono circular recto por el
plano son las siguientes:
Fig. 1. Las cónicas
Circunferencia
Uno de los elementos más importantes en la geometría que se utilizan en nuestra vida
cotidiana es la circunferencia. Con la invención de la rueda se dio inicio a toda la
tecnología de hoy en día, es un invento genuinamente humano.
El matemático Griego Apolonio de Pergamo (262-190 a. de C.) estudió las propiedades
geométricas de las secciones cónicas, pero este estudio fue perfeccionado por los
matemáticos Franceses Pierre Fermat y René Descartes, considerados los padres de la
Geometría Analítica7.
1
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[Representación gráfica de funciones]
La circunferencia se obtiene cuando a un cono recto se le hace un corte perpendicular
a su eje, por un plano, la curva obtenida es una circunferencia1,8.
Fig. 2. La circunferencia como cónica
La circunferencia es el lugar geométrico del conjunto de puntos P(x,y) que equidistan de un
punto fijo en el plano, llamado centro9.
El punto fijo se le llama centro de la circunferencia, lo denotaremos con C(h,k).
El segmento que forma el centro y el punto P(x,y) se llama radio (r), como se muestra en la
figura3.
Fig. 3. La circunferencia
2
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[Representación gráfica de funciones]
El círculo es la superficie que se encuentra en el interior de la circunferencia10.
Fig. 4. El círculo
Observa que hay diferencia entre circunferencia y círculo, generalmente con el primero nos
referimos al perímetro (borde externo) y con el del círculo a la superficie (dentro del
borde). Por ejemplo, un anillo es una circunferencia y la pupila de tus ojos es un círculo1.
Fig. 5. La circunferencia y círculo
Lo anterior nos indica que una circunferencia y un círculo no son lo mismo.
Elementos de la circunferencia.
Centro: Es un punto fijo que equidista de cualquier punto de la circunferencia.
3
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[Representación gráfica de funciones]
Fig. 6. El centro de la circunferencia
Radio( r ): Es el segmento que une el centro C(h,k) de la circunferencia, con cualquier
punto P(x,y) de ella.
Fig. 7. El radio de la circunferencia
Diámetro: Es el segmento que está formado por dos puntos de la circunferencia y que
además su punto medio es el centro. También es considerado una cuerda.
4
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[Representación gráfica de funciones]
Fig. 8. El radio de la circunferencia
Cuerda: Es cualquier segmento cuyos extremos tocan dos puntos de la circunferencia.
Fig. 9. Cuerda de la circunferencia
Secante: Es la recta que atraviesa la circunferencia en dos puntos.
Fig. 10. Secante de la circunferencia
5
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[Representación gráfica de funciones]
Tangente: Es la recta que toca a la circunferencia solo en un punto.
Fig. 11. Tangente de la circunferencia
Arco de circunferencia: Es el segmento de circunferencia determinado por dos puntos
consecutivos sobre la misma.
Fig. 12. Arco de circunferencia
La siguiente figura muestra los elementos de la circunferencia antes mencionados
6
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[Representación gráfica de funciones]
Donde:
AB Arco de circunferencia
AB Recta secante
FG Diametro
Punto C= Centro
HC radio
IJ Cuerda
AB recta tangente
Fig. 13. Elementos de la circunferencia
Ejemplo 1. Analiza las siguientes imágenes y clasifícalas según consideres sea su forma
de un círculo o circunferencia:
No.
1
Imagen
Círculo o circunferencia
Barandal
2
Cinta
3
Llantas de la bicicleta
4
Llantas de auto
5
Tarja
6
Volante
7
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[Representación gráfica de funciones]
7
Galleta
8
Parche del bongó
9
Reloj
10
Monedas
Solución
(1) circunferencia
(5)circunferencia
(2) circunferencia
(6) circunferencia
(3) circunferencia
(4) circunferencia
(7) círculo
(8)círculo (9)círculo
(10)círculo
Ejemplo 2. Identifica cada uno de los elementos de la circunferencia de la siguiente figura:
_________________________
_________________________
_________________________
_________________________
_________________________
_________________________
8
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[Representación gráfica de funciones]
Solución
HL arco de circunferencia
DE recta secante
LY diámetro
C diámetro
CG radio
IJ cuerda
BK recta tangente
FH cuerda
Ejemplo 3. Identifica cada uno de los elementos de la circunferencia de la siguiente figura:
Solución
JL arco de circunferencia
LB DG AJ diámetro
Punto M= centro
MG MJ ML MD MA MB radio
DA LB AJ DG EG BJ LE cuerda
9
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[Representación gráfica de funciones]
3.2. Ecuaciones de la circunferencia
La circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano, de tal
manera que está siempre a la misma distancia de un punto fijo llamado centro1,2,3.
Fig. 14. La circunferencia
Para encontrar la ecuación de la circunferencia, se utiliza la fórmula de la distancia
entre dos puntos11, considerando que los dos puntos quedan representados por C(h,k)
centro y P(x,y)un punto cualquiera que pertenece a la circunferencia, la longitud del
segmento formado por estos dos puntos se denomina radio1 (r).
Consideremos el caso particular que el centro se encuentra en el origen de las
coordenadas y P(x,y) es un punto cualquiera de la circunferencia.
Fig. 15. La circunferencia con centro en el origen
10
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[Representación gráfica de funciones]
La condición geométrica es
̅̅̅̅
Al sustituir en la fórmula de distancia entre dos puntos tenemos que
√
√
O bien,
x2 + y2= r2
Observe que en esta ecuación x y y representan a cualquier punto y que esta fórmula
solo puede usarse cuando la circunferencia tiene su centro en el origen de las
coordenadas, veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 4. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio igual a
3.
Solución
Sustituyendo en la ecuación x2 + y2= r2 tenemos:
x2 + y2= (3)2
x2 + y2-9=0
esta es la ecuación de la circunferencia pedida.
11
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[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 5. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el
punto P (3,4).
Solución
Nótese que necesitamos dos datos, dónde está su centro y cuál es su radio, en éste
caso no nos indican cuál es el radio pero podemos calcularlo ya que es la distancia del
origen al punto P.
√
√
√
Una vez obtenido el radio y con centro en el origen tenemos que
x2 + y2= r2
x2 + y2= (5)2
x2 + y2= 25
x2 + y2-25=0 Ecuación que nos pedían encontrar.
Ejemplo 6. Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que es
tangente a la recta 4x+5y-20=0
12
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[Representación gráfica de funciones]
Solución
Para resolver el problema debemos tener el radio, que es la distancia del punto
C(0,0)=(x1,y1) a la recta, usamos la fórmula para calcular la distancia de un punto a
una recta:
√
r=
√
r=
r=
√
√
=
√
Una vez encontrado el radio sustituimos en la fórmula
x2 + y2= r2
x2+y2=(
√
)
x2+y2=
x2 + y2-
se multiplica todo por 41
41x2+41y2-400=0 Ecuación pedida.
Calculemos ahora la ecuación de la circunferencia cuando su centro está fuera del
origen en C(h,k) y pasa por un punto cualquiera P(x,y)
13
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[Representación gráfica de funciones]
Fig. 16. La circunferencia con centro fuera del origen
Por la condición geométrica tenemos que
d 2 (x2 x 1)2 (y2 y1)2
Observe que dicha distancia es el radio
d=r
P 1(x1,y1)=C(h,k)
P(x
2
2,y2)=P(x,y)
Al hacer estos cambios, nos queda la ecuación de la
siguiente manera:
r 2 (x h)2 (y k)2
Nos da como resultado la ecuación ordinaria o forma canónica
de la circunferencia con centro C(h,k) y radio r.
Ecuación ordinaria o canónica
r2 (x h)2 (y k)2
Obsérvese ahora que para encontrar la ecuación de la circunferencia necesitamos las
coordenadas del centro y el radio r.
Ejemplo 7. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en C(3,4) y radio
r=4.
Solución
Sustituyendo en la ecuación ordinaria
(x-h)2+(y-k)2=r2
14
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[Representación gráfica de funciones]
(x-3)2+(y-4)2=(4)2
(x-3)2+(y-4)2=16
esta es la forma ordinaria de la ecuación de la
circunferencia.
Si desarrollamos los binomios tenemos:
x2-6x+9+y2-8y+16-16=0
Ordenando
x2+y2-6x-8y+9=0
esta última ecuación recibe el nombre de ecuación general de
la circunferencia.
Ecuación general de la circunferencia
Desarrollando la ecuación ordinaria de la circunferencia obtenemos la ecuación en forma
general:
15
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[Representación gráfica de funciones]
r 2 (x h)2 (y k)2
Desarrollamos cada binomio presente
r 2 x2 2xh h2 y 2 2yk k2
Igualamos a cero la ecuación
x2 2xh h2 y 2 2yk k2 r 2 0
Organizando los terminos semejantes
x2 y 2 2xh 2yk h2 k 2 r 2 0
Considerando los siguiente cambios de variables
D 2h, E 2k, F h2 k 2 r 2
Tenemos la fórmula general de la circunferencia:
x2 y 2 Dx Ey F 0
Ecuación general de la circunferencia
x2 y 2 Dx Ey F 0
Veamos algunos ejemplos donde apliquemos lo anterior.
Ejemplo 8. Identifica el centro y el radio de la circunferencia partiendo de la siguiente
ecuación y obtén su gráfica: (x 1)2 (y 1)2 10
Solución
Partiendo de la ecuación canónica de la circunferencia
(x h)2 (y k)2 r 2
Tenemos que h=-1 y k=-1
r 2 10
r
10
Por lo anterior, el centro de la circunferencia es C(-1,-1)
y el radio r
10.
Su gráfica:
16
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[Representación gráfica de funciones]
r= 10
Ejemplo 9. Calcula el centro y el radio de la circunferencia partiendo de la siguiente
ecuación y además obtén su gráfica: (x 3)2 (y 3)2 25
Solución
Partiendo de la ecuación canónica de la circunferencia
(x h)2 (y k)2 r 2
Tenemos que h=3 y k=-3
r 2 25
r 25
r 5
Por lo anterior, el centro de la circunferencia es C(3,-3)
y el radio r 5.
Su grafica:
17
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 10. Traza su gráfica e identifica el centro y el radio de la circunferencia partiendo
de la siguiente ecuación: x2 y 2 10x 2y 21 0
Solución
Completamos los binomios al cuadrado para convertir la
ecuación general de la circunferencia a forma canónica .
x2 y 2 10x 2y 21 0
x2 10x (5)2 y 2 2y (1)2 21 (5)2 (1)2
(x 5)2 (y 1)2 5
(x h)2 (y k)2 r 2,comparamos ambas ecuaciones;
por lo que las coordenadas del centro de la circunferencia son
C(5,1) y el radio
r2 5
r
5
Su gráfica:
Ejemplo 11. Traza la circunferencia, determina el centro y radio partiendo de su ecuación:
x2 y 2 16 0
Solución
18
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Considerando que la ecuación de la circunferencia con centro
en el origen es x2 y 2 r 2, tenemos que convertir la ecuación
dada a esta forma, de la siguiente manera:
x2 y 2 16 0
x2 y 2 16
Por lo tanto, el centro de la circunferencia es el origen
C(0,0) y su radio es
r 2 16
r
16
r 4
Su gráfica:
Ejemplo 12. Halla la ecuación de la circunferencia y traza su gráfica con centro en el
origen y radio igual a 3.
Solución
Partiendo de la ecuación de la circunferencia con centro en el origen r2 x2 y 2 ,
tenemos que
19
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
r 3
x2 y 2 (3)2
x2 y 2 9
Su gráfica
Ejemplo 13. Determina la ecuación de la circunferencia y traza su gráfica con centro en el
origen y diámetro 8.
Solución
Si el diámetro es 8, el radio es 4, ya que por definición el diámetro es el doble del radio12.
r 4
x2 y 2 (4)2
x2 y 2 16
Su gráfica:
20
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 14. Calcula la ecuación de la circunferencia y traza su gráfica con centro C(0,0) y
pasa por (3,-2).
Solución
Tomando de referencia la ecuación de la circunferencia con centro en el origen
r2 x2 y 2
Calculamos primeramente el radio, aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos
d
(x2 x1)2 (y2 y1)2
Siendo el radio la distancia entre C(0,0) y P(3,-2)
d
(x2 x1)2 (y 2 y1)2
r
(3 0)2 (2 0)2
r
(3)2 (2)2
r
9 4
r
13
r 3.61
Aplicando la ecuación de la circunferencia con centro en el origen
r 2 x2 y 2
13
2
x2 y 2
x2 y 2 13
Su gráfica:
21
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 15. Encuentra la gráfica y la ecuación de la circunferencia con centro C(0,0) y el
diámetro cuyos extremos son los puntos P1(-2 ,2 ) y P2(2 ,-2 ).
Solución
Determinamos el diámetro, aplicando las fórmula de la distancia entre dos puntos, siendo
P1(-2 ,2 ) y P2(2 ,-2 ).
d
(x2 x1)2 (y 2 y1)2
d
(2 (2))2 (2 2)2
d
(2 2)2 (4)2
d
(4)2 (4)2
d
16 16
d
32
d diámetro 2r
Calculamos el radio: r
diametro
2
32
2
8
Finalmente sustituimos el radio en la ecuación de la circunferencia con centro en el origen.
r 2 x2 y 2
8
2
x2 y 2
8 x2 y 2
Su gráfica:
22
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 16. Traza la gráfica y determina la ecuación de la circunferencia que equidista al
origen 2 unidades.
Solución
El centro de la circunferencia es el origen, entonces la ecuación debe ser de la forma
r2 x2 y 2 , y su radio es 2.
(2)2 x2 y 2
x2 y 2 4
Su gráfica:
Ejemplo 17. Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y tangente
a la recta 3x – 4y -5 = 0 y grafica su ecuación.
Solución
Partiendo que la distancia perpendicular comprendida de la recta tangente al centro de la
circunferencia es el radio, aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a una recta
Ax By C 0 .
r
Ax1 By1 C
A 2 B2
Siendo la ecuación de la recta y el punto de referencia:
23
CONALEP-2011
3x 4y 5 0
y
[Representación gráfica de funciones]
P(0,0)
Por lo tanto
A 3, B 4, C 5, x1 0
y
y1 0
Sustituimos en la fórmula los datos para determinar el radio.
r=
(3 0) (4 0) (5)
32 42
r
5
9 16
r
5
25
r=|-1|
r 1
Por lo que la ecuación de la circunferencia es:
x2 y 2 r 2
x2 y 2 1
2
x2 y 2 1
Su gráfica:
24
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 18. Determina la ecuación de la circunferencia y traza su gráfica que pasa por el
punto (5,-5) y tiene como centro C (4,-3).
Solución
La distancia del segmento formado por los puntos P(5,-5) y C(4,-3) es el radio de la
circunferencia, por lo que x 5, y=-5,h 4 ,k 3 sustituimos en la
ecuación de la circunferencia:
r 2 (x h)2 (y k)2
r 2 (5 4)2 (5 (3))2
r 2 (1)2 +(-5+3)2
r 2 1 (2)2
r2 1 4
r
5
Sabiendo el radio r
ecuación:
(x h)2 (y k)2
5 y el centro de la circunferencia C(4,-3), sustituimos en la
r
2
x 4 (y (3))2
5
2
(x 4)2+(y+3)2 =5 Ecuación canónica
Desarrollamos los binomios presentes en la ecuación canónica
para obtener la fórmula general de la circunferencia
x2 8x 16 y 2 6y 9 5
16 9 5 x2 y 2 8x 6y 0
x2 +y2-8x+6y+20=0 Ecuación general
Su gráfica:
25
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 19. Encuentra la gráfica y la ecuación de la circunferencia con centro C (1,1) y
radio 3.
Solución
Sustituimos el centro y el radio en la ecuación de la circunferencia, sabiendo que
r 3, h 1,k 1 , en la ecuación canónica de la circunferencia
(x h)2 (y k)2
r2
(x 1)2 (y 1)2 (3)2
(x 1)2 (y 1)2 9 Ecuación canónica
Desarrollamos los binomios, con la intensión de encontrar
la ecucion general de la circunferncia
(x 1)2 (y 1)2 9
x2 2x 1 y 2 2y 1 9
1 1 9 x2 y 2 2x 2y 0
x2 y 2 2x 2y 7 0
Su gráfica:
Ecuación General
Ejemplo 20. Encuentra la gráfica y la ecuación de la circunferencia considerando que los
extremos de su diámetro son los puntos P1(4,-6) y P2(-2,2).
Solución
26
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Si el segmentos formado por los dos puntos P1(4,-6) y P2(-2,2)
es el diámetro, por lo tanto, el punto medio de dicho
segmento es el centro de la circunferencia y la distancia del
punto medio a uno de los extremos del diámetro es el radio.
Calculamos primeramente el punto medio.
Las coordenadas del punto medio PM(xm , y m ) son:
x1 x2
2
Siendo h=xm
xm
y
y
ym
y1 y 2
2
k= y m
Sustituimos las coordenadas de los puntos P(4,-6)
y P(-2,2).
1
2
4 (2)
2
4 2
2
2
2
1
6 2
2
4
2
xm
ym
xm
ym
xm
xm
y m 2
Pm(1, 2), por lo que el centro de la circunferencia es C(1,-2).
Ahora determinamos la longitud del radio, aplicando la
fórmula de la distancia entre dos puntos, en este caso se
tomará de referencia la distancia del centro C(1,-2) y el
P1(4,-6).
d
(x2 x1)2 (y2 y1)2
Sabiendo que
d CP r
r
(4 1)2 (6 (2))2
r
(3)2 (6 2)2
r
(3)2 (4)2
r
9 16
r 25
r 5
27
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Consideramos el centro C(1,-2) y el radio r=5 y calculamos la
ecuación de la circunferencia en su forma canónica, con
h 1, k 2,r 5
(x h)2 (y k)2
r2
(x 1)2 (y 2)2 (5)2
(x 1)2 (y 2)2 25
Ecuación canónica
Desarrollamos los binomios, con la
intensión de encontrar la ecuación
general de la circunferncia
(x 1)2 (y 2)2 25
x2 2x 1 y 2 4y 4 25
1 4 25 x2 y 2 2x 4y 0
x2 y 2 2x 4y 20 0 Ecuación General
Su gráfica:
Ejemplo 21. Encuentra la gráfica y la ecuación de la circunferencia con centro C(-2,1) y
tangente a la recta 3y-3x+2=0.
Solución
Calculamos el radio mediante que es la distancia del centro a la recta tangente, por lo que la
formula a utilizar es:
28
CONALEP-2011
r
[Representación gráfica de funciones]
Ax1 By1 C
A 2 B2
siendo la ecuación de la recta y del centro de la circunfercia
3x 3y 2 0
y
P(-2,1)
Por lo tanto
A 3, B 3, C 2, x1 2
y
y1 1
Sustituimos en la formula los datos para determinar el radio.
r=
(3)(2) (3)(1) (2)
r
r
2
2
3 3
6 3 2
9 9
11
18
121
18
2
2
18x 18y 72x 36y 31 0
(x 2)2 (y 1)2
Su gráfica:
Ejemplo 22. Determina la ecuación de la circunferencia y traza su gráfica que pasa por los
puntos P1(3,-1), P2(3,5) y P3(-1,5).
29
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Solución
Aplicando la ecuación general de la circunferencia x2 y 2 Dx Ey F 0 en
cada uno de los puntos para obtener un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas,
damos solución y encontramos la ecuación de la circunferencia.
Empecemos a sustituir cada uno de los puntos en la ecuación general de la circunferencia,
para obtener tres ecuaciones con tres incógnitas.
Siendo P1(3,-1) por lo que x=3 y y= 1, tenemos que
x2 y 2 Dx Ey F 0
Para P(3,-1)
1
por lo que x 3 y y -1
(3)2 (1)2 D(3) E(1) F 0
9 1 3D - E F 0
10 3D - E F 0
Para P(3,5)
2
Ecuación (1)
x 3 y y 5
(3)2 (5)2 D(3) E(5) F 0
9 25 3D 5E F 0
34 3D 5E F 0
Para P(-1,5)
3
Ecuación (2)
x -1 y y 5
(1)2 (5)2 D(1) E(5) F 0
1 25 D 5E F 0
26 D 5E F 0
Ecuación (3)
30
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Por lo que el sistema de ecuación queda de la siguiente manera:
10 3D - E F 0 (1)
34 3D 5E F 0 (2)
26 D 5E F 0 (3)
Damos solución al sistema de ecuaciones por cualquier método.
Multiplicamos la ecuación (1) por -1 y la ecuación resultante
la sumamos con la ecuación (2)
(10 3D - E F 0)(1)
10 3D E F 0
Esta nueva ecuación,la sumamos con la ecucación(2)
10 3D E F 0
34 +3D 5E F 0
24
+6E
=0
Despejamos la E
E -
24
; E 4
6
Ahora sustituimos el valor de E=-4, en la las ecuaciones (2)
y (3), se obtienen las siguienestes ecuaciones:
34 3D 5E F 0 (2) si E=4
34 3D 5(4) F 0
34 3D 20 F 0
14 3D F 0
Le llamaremos ecuación (4)
En la ecuación (3) sustitumos E=-4
26
26
26
6
D
D
D
D
5E F
5(4)
20 F
F 0
0
F 0
0
Le llamaremos ecuación (5)
31
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Analizamos la ecuación (4) y (5)
14 3D F 0 Ec.4
6 D F 0 Ec.5
Multiplicamos la ecuación (5) por -1
(6 D F 0)(1)
6 D F 0
Sumamos las ecuaciones (4) y (5).
6 D F 0
14 3D F 0
8 4D
0
4D 8
8
D ; D 2
4
Sustituyendo E=-4 y D=-2 en la ecuación (1)
10 3D - E F 0
10 3(2) - (4) F 0
10 6 4 F 0
8 F 0; F -8
Sustituimos los valores de las variables D -2,
E -4 y F -8
en la ecuación general de la circunferencia
x2 y 2 Dx Ey F 0
x2 y 2 (2)x (4)y (8) 0
x2 y 2 2x 4y 8 0
Ecuación general
Completando binomios al cuadrado para obtener la
ecuación en forma canónica
x2 2x 1 y 2 4y +4 8 1 -4 0
(x 1)2 (y 2)2 13 0
(x 1)2 (y 2)2 13
Ecuación en forma canónica
32
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
La gráfica de la circunferencia de acuerdo a la ecuación
obtenida: (x 1)2 (y 2)2 13, que tiene como C(1,2) y r
13
r= 13
Este problema se puede describir también como un triángulo
inscrito
(dentro)
en
una
circunferencia,
donde
el
circuncentro13 es el centro de la circunferencia inscrita,
queda como reto al lector que intente resolver éste mismo
problema usando el método de las mediatrices.
Ejemplo 23. Calcula el centro y radio de la circunferencia de la ecuación. Traza su gráfica:
Solución
4 x2 y 2 4x 2y 0
Reordenamos la ecuación
x2 4x y 2 2y 4
completamos los binomios
x2 4x (2)2 y 2 2y (1)2 4 (2)2 (1)2
(x 2)2 (y 1)2 9 Ecuación en forma canónica.
El centro de la circunferencia C(-2,1) y r=3
La representación gráfica se muestra a continuación:
33
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 24. Calcula el centro y el radio de la circunferencia considerando la ecuación
. Traza su gráfica:
Solución
6 x2 y 2 6x 2y 0
Reordenamos la ecuación
x2 6x y 2 2y 6 0
Completamos los binomios
x2 6x (3)2 y 2 2y (1)2 6 (3)2 (1)2
x2 6x 9 y 2 2y 1 6 9 1
(x 3)2 (y 1)2 4 Ecuación en forma canónica
El centro de la circunferencia C(3,1) y r 2
Su gráfica
34
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 25. Halla el centro y el radio de la circunferencia partiendo de su ecuación
, traza su gráfica:
Solución
Reordenamos la ecuación
x2 2x y 2 2y 3 0
Completamos los binomios
x2 2x (1)2 y 2 2y (1)2 3 (1)2 (1)2
x2 2x 1 y 2 2y 1 3 1 1
(x 1)2 (y 1)2 5
Ecuación en forma canónica
El centro de la circunferencia C(-1,-1) y r
5
Su gráfica
r= 5
Ejemplo 26. Calcula el centro y el radio de la circunferencia partiendo de su ecuación
, traza su gráfica:
Solución
35
[Representación gráfica de funciones]
CONALEP-2011
Reordenamos la ecuación
x2 6x y 2 8y 23 0
Completamos los binomios
x2 6x (3)2 y 2 8y (4)2 23 (3)2 (4)2
x2 6x 9 y 2 8y 16 23 9 16
(x 3)2 (y 4)2 2
Ecuación en forma canónica
El centro de la circunferencia C(3,-4) y r
2
Su gráfica:
r= 2
Ejemplo 27. Grafica la ecuación de la circunferencia
determina su centro y radio.
Solución
4 x2 y 2 2x 4y 0
Reordenamos la ecuación
x2 2x y 2 4y 4 0
Completamos los binomios
x2 2x (1)2 y 2 4y (2)2 4 (1)2 (2)2
x2 2x 1 y 2 4y 4 4 1 4
(x 1)2 (y 2)2 9
Ecuación en forma canónica
El centro de la circunferencia C(1,-2) y r 3
Su gráfica:
36
, además,
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 28. Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos Q(2,5) y
P(4,-1) y el centro está situado sobre la recta y 2x 4.
Solución
La distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia
es el radio, aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos
d (x2 x1)2 (y 2 y1)2
tomamos a
Q(2,5)y C(h,k)
rQC = (h 2)2 (k 5)2
y a P(4,-1)y C(h,k); siendo d=r
Ecuación (1)
rPC = (h 4)2 (k (1))2
rPC = (h 4)2 (k 1)2
si rPC rPC r
Ecuación (2)
Y la recta pasa por el centro de la circunferencia,
por lo que las coordenadas C(h,k), las sustituimos
en la ecuación de la recta: y 2x - 4; 2x y 4 0
2h k 4 0. Ecuación (3).
37
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Tenemos un sistema de tres ecuaciones, damos solución.
Igualamos la ecuación (1) y (2)
(h 2)2 (k 5)2 (h 4)2 (k 1)2
elevamos al cuadrado ambas igualdades, para cancelar la raíz
cuadrada
(h 2)
2
(k 5)2
2
(h 4)
2
(k 1)2
(h 2)2 (k 5)2 (h 4)2 (k 1)2
al cuadrado
2
desarrollamos los binomios
h2 - 4h 4 k2 - 10k 25 h2 - 8h 16 k 2 2k 1
Reducimos terminos semejantes en cada miembro de la igualdad
h2 - 4h 4 k2 - 10k 25 h2 - 8h 16 k2 2k 1
-4h - 10k 29 8h 2k 17
igualamos a cero
-4h - 10k 29 8h 2k 17 0
4h 12k 12 0
Ecuación (4)
Multiplicamos por menos dos la ecuación (3) y la sumamos con
la ecuación (4)
2(2h k 4 0);
-4h 2k 8 0
4h 12k 12 0
- 10k 20 0
Despejamos a k
20
; k=2
10
Sustituimos k=2, en la ecuación (3): 2h k 4 0
- 10k -20; k=
2h 2 4 0
2h-6=0
2h 6
6
;h 3
2
Por lo tanto el centro de la circunferencia es C(3,2)
h
38
[Representación gráfica de funciones]
CONALEP-2011
Sustituimos en la ecuación (2), las coordenadas del centro
rPC = (h 4)2 (k 1)2
rPC = (3 4)2 (2 1)2
rPC = (1)2 (3)2
rPC = 1 9
rPC = 10
Finalmente el radio de la circunferencia es r = 10
y las
coordenadas del centro C(3,2).
Su ecuación en forma canónica:
(x 3)2 (y 2)2
10
2
(x 3)2 (y 2)2 10
Desarrollamos los binomios al cuadrado, para encontrar
la ecuacion general de la circunferencia
x2 6x 9 y 2 4y 4 10
x2 y 2 6x 4y 9 4 10 0
x2 y 2 6x 4y 3 0
La gráfica de la circunferencia (x 3)2 (y 2)2 10
r= 10
39
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
3.3. Aplicaciones
Si buscamos a nuestro alrededor podemos observar construcciones con diseños
circulares, vehículos
que en sus partes contienen las formas circulares, en la
elaboración de juguetes, ruedas de bicicleta, volantes de automóviles, discos, tuberías,
instrumentos especializados, encontramos esta figura.
La circunferencia está presente de manera normal en nuestra vida, aunque no lo
parezca. En nuestra vida actual se puede utilizar en
En la salud
La circunferencia de la cintura cuenta en la actualidad con mayor respaldo como reflejo
de la adiposidad regional (obesidad abdominal). El National Cholesterol Education
Progam (programa nacional para la educación sobre el colesterol, NCEP, 2001) sugiere
el empleo del punto de corte para la circunferencia de la cintura ˃102 cm en los
hombres y ˃88 cm en las mujeres; con el fin de estimar la obesidad como factor de
riesgo para la aparición de enfermedades cardiovasculares y metabólicas14 . La
circunferencia abdominal es un factor predictivo del riesgo de la salud relacionada con
la obesidad.
40
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
En el embarazo
La circunferencia abdominal en el embarazo, permite al médico identificar la restricción
del crecimiento intrauterino cuando se desconoce la edad gestacional. La variabilidad
de la circunferencia abdominal puede deberse a movimientos respiratorios fetales,
comprensión o posición del feto15.
En la naturaleza
Los ingenieros forestales utilizan el concepto de circunferencia para determinar la edad
que tiene un árbol. Un árbol se desarrolla con el paso de los años, cuando se corta se
pueden apreciar demasiados anillos que conforman el tronco, se mide el diámetro de
cada anillo y el tamaño de cada anillo determinará la edad del árbol16
Como puedes observar las aplicaciones son muchas y variadas, este capítulo hace una
breve introducción y te brinda la herramienta para profundizar más en el tema tan
apasionante y de múltiples aplicaciones en nuestra vida diaria.
Algunos ejemplos de aplicaciones de circunferencia
Ejemplo 29. La rueda de una motocicleta tiene un punto de pintura roja en el borde, si la
rueda tiene 21 pulgadas de diámetro y un sistema de referencia se ubica en el origen en el
centro de esta, ¿Cuál es el lugar geométrico que describe la marca?
Solución
41
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Considerando que el centro de la rueda de la motocicleta
es el origen con coordenadas C(0,0) y su diametro es
de 21 in, el radio es
21
r
2
x2 y 2 r 2
2
21
x2 y 2
2
441
x2 y 2
4
2
2
(4)(x y ) 441
4x2 4y 2 441
4x2 4y 2 441 0
Ejemplo 30. ¿Cuál es la ecuación del lugar geométrico descrito por la trayectoria de un
helicóptero, que se mantiene sobrevolando la ciudad de México a una distancia constante
de 5 km de la torre del aeropuerto, esperando instrucciones para su aterrizaje?
Solución
Si la torre del aeropuerto se considera el centro de la circunferencia, por lo que las
coordenadas del origen son C(0,0) , y su radio es 5 km.
r 5 km
x2 y 2 r 2
x2 y 2 (5)2
x2 y 2 = 25
x2 y 2 25 0
Ejemplo 31. Un sismólogo de Michoacán detectó un sismo con origen en la ciudad de
Lázaro Cárdenas a 5 km este y 3 km sur del centro de la ciudad, con un radio de 4 km a
la redonda. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia del área afectada?
42
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Solución
El centro de la circunferencia C(3,5) y su radio r=4
(x h)2 (y k)2 r 2
(x 3)2 (y 5)2 (4)2
(x 3)2 (y 5)2 16
x2 6x 9 y 2 10y 25 16
x2 6x 9 y 2 10y 25 16 0
x2 y 2 6x 10y 9 25 16 0
x2 y 2 6x 10y 18 0
Ecuación de la circunferencia
3.4. Problemario
1. Determine cada uno de los elementos de la circunferencia en las siguientes figuras:
1.1. Figura (1)
43
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
1.2. Figura (2)
1.3. Figura (3)
44
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
2. Identifica el centro y el radio de las siguientes ecuaciones de la circunferencia.
2.1. (x 1)2 (y 2)2 25
2.2. (x 2)2 (y 3)2 41
2.3. (x 2)2 y 2 4
2.4. (x 4)2 (y 2)2 20
2.5.
x2 (y 1)2 13
2.6.
x2 y 2 10
2.7.
x2 y 2 6x 4y 5 0
2.8.
x2 y 2 6x 4y 39 0
2.9.
x2 y 2 2x 10y 21 0
2.10. x2 y 2 8x 6y 23 0
3. Determina la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria y general. Traza su
gráfica.
3.1.
Centro en el origen y radio
29
3.2.
Centro C(5,-3)y radio
3.3.
3.4.
3.5.
Centro C(0,0)y radio 2
Centro en el origen y radio igual a la unidad
Centro en el origen y diametro igual a la cuatro
3.6.
Centro C(-2,-4)y diámetro 2 13
3.7.
Centro C(3,-4)y diámetro 2 8
3.8.
3.9.
3.10.
Centro C(3,-3)y pasa por el punto P(4,-2)
Centro C(2,-2)y pasa por los puntos P(-1,-2) y Q(5,-2)
Con centro C(5,-5) y radio igual a tres
3.11.
3.12.
Centro en el origen y tangente a la recta 2x - 4y - 10 0
Con centro C(-1,2) y tangente a la recta 6x - 4y - 12 0
3.13.
3.14.
Con un diametro formado por los puntos P(-7,2) y
Con un diametro formado por los puntos P(-6,2) y
3.15.
3.16.
Pasa por los puntos N(-1,-2), P(2,-1) y Q(2,-5)
Pasa por los puntos A(1,3), B(1,-5) y C(5,-5)
5
45
Q(3,2)
Q(2,-4)
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
4. Calcula el centro y el radio de las siguientes ecuaciones de la circunferencia. Traza su
gráfica.
4.1. x2 y 2 12x 2y 29 0
4.2. x2 y 2 6y 4 0
4.3. x2 y 2 4x 6y 12 0
4.4. x2 y 2 6x 8y 8 0
4.5. x2 y 2 8x 0
5. Graficar y determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P(3,0) y
x 1
Q(7,0), y el centro está situado sobre la recta y
.
2
6. Graficar y determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,5) y
B(2,-3) y el centro está situado sobre la recta y X 2.
3.5. Autoevaluación
1. ¿Cuál de las siguientes opciones completa la frase “Segmento rectilíneo que tiene
como extensión el doble del radio de la circunferencia?
a) Cuerda
b) Secante
c) Diámetro
d) Tangente
2. ¿Qué opción hace correcta la siguiente frase “Es la recta que atraviesa la circunferencia
en dos extremos”
a) Cuerda
b) Secante
c) Diámetro
d) Tangente
46
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
3. Analiza la siguiente figura y escribe el nombre de los elementos de la circunferencia
según corresponda.
4. Identifica la ecuación de la circunferencia que se muestra en la siguiente gráfica:
a) x2 y 2 16 0
b) x2 y 2 4 0
c) x2 y 2 16 0
d) x2 y 2 4 0
47
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
5. Identifica la ecuación de la circunferencia que se muestra en la siguiente gráfica:
a) x2 y 2 2x 4y 0
b) x2 y 2 2x 4y 0
c) x2 y 2 2x 4y 0
d) x2 y 2 2x 4y 0
6. Identifica la ecuación de la circunferencia si sus extremos del diámetro son A(0 ,3 ) y
B(2,-1 ).
a) x2 y 2 2x 2y 3 0
b) x2 y 2 2x 2y 3 0
c) x2 y 2 2x 2y 3 0
d) x2 y 2 2x 2y 3 0
48
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
7. En función de la ecuación x2 y 2 14x 2y 37 0 identifica el radio y el
centro de la circunferencia:
a) C(-7,+1),r=13
b) C(-7,-1),r= 13
c) C(+7,-1),r= 13
d) C(+7,+1),r=13
8. Identifica la ecuación de la circunferencia que presenta el centro en el origen:
a) x2 y 2 4y 0
b) x2 y 2 6x 0
c) x2 y 2 36 0
d) x2 y 2 4y 0
9. El punto B(x, 2) pertenece a una circunferencia con centro en el origen y radio 2.
Encuentra la abscisa del punto x.
a) x 1
b) x 4
c) x 0
d) x 2
10. Fernando desea saber cuál es la ecuación de la trayectoria de un perro que se encuentra
atado a una estaca con una correa de 3m de longitud, considerando que la correa esté
completamente tensa y además que el origen se encuentra en la estaca.
a) x2 y 2 9 0
b) x2 y 2 3x 0
c) x2 y 2 9 0
d) x2 y 2 3y 0
49
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
11. Cuál de las siguientes circunferencias tiene su centro sobre el eje X
a) x2 y 2 6x 0
b) x2 y 2 8y 0
c) x2 y 2 10y 20 0
d) x2 y 2 6y 5 0
3.6. Conclusión
En esta unidad se definió círculo y circunferencia, se mostraron los elementos de la
circunferencia, se presentaron las ecuaciones de la forma ordinaria o canónica, además de
la general. La circunferencia y el círculo son una herramienta básica para tus próximos
cursos; considerando las muchas aplicaciones que se le pueden dar, como las que aquí se
mostraron, representan una pequeña muestra de los posibles contextos en los que estas
pueden aparecer.
Es importante siempre tener presente que el estudio de los lugares geométricos, y en
particular de la circunferencia, nos permite adquirir madurez y comprensión en relación a
situaciones reales de la vida cotidiana, o situaciones abstractas como antecedente para uso
futuro. Por ejemplo, antiguamente estudiosos y científicos destacados como Tolomeo,
Copérnico, Galileo, Neper, entre otros, pasaban de discutir un modelo astronómico donde la
tierra era el centro de todo el universo, en el cual los planetas giraban en órbitas circulares
en torno a ella, a convencerse de que, en realidad, es la tierra y los demás planetas los que
giran en torno al sol describiendo trayectorias elípticas, en cuyo modelo (heliocéntrico) el
sol ocupa uno de los focos.
En resumen: la formación básica que hasta este momento has adquirido, con respecto al
tema de circunferencia, te permitirá tener todos los elementos necesario, ya sea para
abordar estudios similares en asignaturas futuras, o bien para el estudio y comprensión de
los siguientes temas (parábola, elipse e hipérbola).
50
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
3.7. Soluciones de problemario
1.1.
EP EM MP NB NQ QB Cuerda
DA AJ DJ LK KG LG Tangente
Punto H centro
EN
Arco de circunferencia
1.2.
LD DI IF FL Tangente
BE EJ JY BY BJ EY Cuerda
DF LI Secante
BJ EY Diametro
Punto H centro
EJ arco de circunferencia
1.3.
QL Tangente
CD DB DG AK AG JK JE EC Cuerda
DB KJ CE GA Diametro
AJ arco de circunferencia
MN secante
51
[Representación gráfica de funciones]
CONALEP-2011
2.1. C(1, 2) y r 5
2.2. C(2, 3) y r= 41
2.3. C(2,0) y r 2
2.4. C(4, 2) y r= 20
2.5. C(0, 1) y r= 13
2.6. C(0,0) y r
10
2.7. C(3, 2) y r
8
2.8. C(3,2) y r
52
2.9. C(1, 5) y r
2.10. C(4,3) y r
3.1.
5
2
x2 y 2 29, x2 y 2 29 0
3.2. (x 5)2 (y 3)2 5, x2 y 2 10x 6y 29 0
3.3.
x2 y 2 4, x2 y 2 4 0
52
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
3.4. x2 y 2 1; x2 y 2 1 0
3.5.
x2 y 2 4; x2 y 2 4 0
3.6.
(x 2)2 (y 4)2 13; x2 y 2 4x 8y 7 0
53
CONALEP-2011
3.7.
[Representación gráfica de funciones]
(x 3)2 (y 4)2 8; x2 y 2 6x 8y 17 0
3.8. (x 3)2 (y 3)2 2; x2 y 2 6x 6y 16 0
3.9.
(x 2)2 (y 2)2 9; x2 y 2 4x 4y 1 0
3.10.
54
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
(x 5)2 (y 5)2 9; x2 y 2 10x 10y 41 0
3.11.
3.12.
x2 y 2 5; x2 y 2 5 0
(x 1)2 (y 2)2 13; x2 y 2 2x 4y 8 0
55
CONALEP-2011
3.13.
3.14.
3.15.
[Representación gráfica de funciones]
(x 2)2 (y 2)2 25; x2 y 2 4x 4y 17 0
(x 2)2 (y 1)2 25; x2 y 2 4x 2y 20 0
(x 1)2 (y 3)2 5; x2 y 2 2x 6y 5 0
3.16.
56
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[Representación gráfica de funciones]
(x 3)2 (y 1)2 20; x2 y 2 6x 2y 10 0
4.1. C(6, 1) y r
4.2. C(0,3) y r
8
5
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[Representación gráfica de funciones]
4.3. C(2,3) y r 1
4.4. C(3,4) y r
17
4.5. C(4,0) y r 4
58
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[Representación gráfica de funciones]
5. (x 5)2 (y 2)2 8; x2 y 2 10x 4y 21 0
6. (x 3)2 (y 1)2 17; x2 y 2 6x 2y 7 0
59
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
3.8. Soluciones de autoevaluación
1. c
2. b
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
a
c
d
b
c
c
a
a
60
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Referencias y notas
1
Swokowski, Earl W., Cole, Jeffery A., Cole, Jeffery A. (2009) Algebra y Trigonometría con Geometría
Analítica. México. Cengage Learning. Recuperado 7 de junio de 20011, de
http://books.google.com.mx/books?id=xDL0yU37K4wC&pg=PA816&dq=parab%C3%B3la+geometr%C3%
ADa+anal%C3%ADtica&hl=es&ei=9rnuTfTnCoXAsAPtleX_Bg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum
=2&ved=0CC0Q6AEwATgK#v=snippet&q=c%C3%B3nicas&f=false
2
Contreras, Lira,; et al. (2007) Geometría Analítica. México. Umbral. Recuperado 7 de junio de 20011, de
http://books.google.com.mx/books?id=lUZCCAYSM0AC&pg=PA118&dq=parab%C3%B3la+geometr%C3
%ADa+anal%C3%ADtica&hl=es&ei=EbnuTYKDHor2tgPnpcSKBw&sa=X&oi=book_result&ct=result&res
num=6&ved=0CEUQ6AEwBQ#v=snippet&q=c%C3%B3nicas&f=false
3
Ibáñez Carrasco, Patricia, García Torres, Gerardo (2006). Matemáticas III. México. Thomson. Recuperado 7
de junio de 20011, de
http://books.google.com.mx/books?id=zfEsLBNneb0C&pg=PA297&dq=parab%C3%B3la+geometr%C3%A
Da+anal%C3%ADtica&hl=es&ei=EbnuTYKDHor2tgPnpcSKBw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnu
m=8&ved=0CE4Q6AEwBw#v=onepage&q=c%C3%B3nica&f=false
4
Sullivan, Michael (2003) Trigonometría y geometría analítica. México. Pearson. Recuperado 7 de junio de
20011, de
http://books.google.com.mx/books?id=nt64q3HX_T0C&printsec=frontcover&dq=conicas+geometr%C3%A
Da+anal%C3%ADtica&hl=es&ei=qbruTYLGNIa4sQPI5fn_Bg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=
5&ved=0CD8Q6AEwBDgK#v=snippet&q=c%C3%B3nicas&f=false
5
Bompiani, Enrico (2005) Geometría analítica. Santa Fe Argentina: Universidad Nacional del Litoral.
Recuperado 7 de junio de 20011, de
http://books.google.com.mx/books?id=jLHB0fdw67AC&printsec=frontcover&dq=conicas+geometr%C3%A
Da+anal%C3%ADtica&hl=es&ei=e7ruTdiOJP2swOGx4GABw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10&ved=0CFkQ6AEwCQ#v=onepage&q
=c%C3%B3nicas&f=false
6
Flores Meyer, Marco Antonio (2004) Geometría Analítica Básica. México. Progreso. Recuperado 7 de junio
de 20011, de
http://books.google.com.mx/books?id=fBMVkFN6ZqUC&pg=PP3&dq=conicas+geometr%C3%ADa+anal%
C3%ADtica&hl=es&ei=qbruTYLGNIa4sQPI5fn_Bg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=8&ved=0C
E0Q6AEwBzgK#v=snippet&q=c%C3%B3nicas&f=false
7
Jaime P., Patricia; et al.(2007). Geometría Analítica. México. Umbral: Recuperada 10 de Julio de 2011, de
http://books.google.com.mx/books?id=zfEsLBNneb0C&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summa
ry_r&cad=0#v=onepage&q&f=false
8
Engler, Adriana; et al. (2005). Geometría Analítica. Santa Fe Argentina. Universidad Nacional del Litoral:
Recuperada 10 de Julio de 2011, de
http://books.google.com.mx/books?id=zfEsLBNneb0C&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summa
ry_r&cad=0#v=onepage&q&f=false
9
Becerra Espinosa, José Manuel (2004) Matemáticas V…el placer de dominarlas sin complicaciones.
México. UNAM. Recuperado 3 de julio de 20011, de
http://books.google.com.mx/books?id=gZu_FRMy2cEC&pg=PA162&dq=aplicaciones+de+la+circunferencia
61
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
&hl=es&ei=h2gOTuapJ5S6sQONg7GmDg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCkQ6AE
wAA#v=onepage&q=aplicaciones%20de%20la%20circunferencia&f=false
10
Lira Contreras, Ana Rosa, Jaime Pérez, Patricia, Rodríguez Ceja, Carmen Patricia (2007) Geometría
Analítica. México. Umbral. Recuperado 3 de julio de 20011, de
http://books.google.com.mx/books?id=lUZCCAYSM0AC&pg=PA118&dq=parab%C3%B3la+geometr%C3
%ADa+anal%C3%ADtica&hl=es&ei=EbnuTYKDHor2tgPnpcSKBw&sa=X&oi=book_result&ct=result&res
num=6&ved=0CEUQ6AEwBQ#v=snippet&q=c%C3%B3nicas&f=false
11
Munem, Mustafá A. y Yizze J. P. (2006) Precalculus Introducción funcional. Union Europea. Reverte.
Recuperado el 3 de julio de 2011 de
http://books.google.com.mx/books?id=g_xQOfSosCEC&pg=PA65&dq=distancia+entre+dos+puntos&hl=es
&ei=o9sQTuCvMuHniAK0haGDBw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CDcQ6AEwAjg
K#v=onepage&q=distancia%20&f=false
12
Silva, Juan Manuel y Lazo Adriana .(2003) Fundamentos de matemáticas. México. Limusa. Recuperado el
3 de julio de 2011 de
http://books.google.com.mx/books?id=TyRUwQ4pKLMC&pg=PA126&dq=producto+cartesiano+geometria
+analitica&hl=es&ei=Z3YKToXBCIf4swP9_fibCQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10&ved=0
CF4Q6AEwCQ#v=onepage&q=circunferencia&f=false
13
Circuncentro: punto de intersección de las 3 mediatrices de un triángulo, que es el centro de una
circunferencia inscrita en dicho triángulo.
14
Heyward (2008) Evaluación de la aptitud física y prescripción del ejercicio. España. Panamericana:
Recuperada 12 de Julio de 2011, de
http://books.google.com.mx/books?id=zn3dDE0R3IMC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summ
ary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false
15
Albert E. Reece, John Hobbins (2010) Obstetricia Clinica. Buenos Aires. Panamericana: Recuperada 12 de
Julio de 2011 de
http://books.google.com.mx/books?id=RSl1QMxGgA8C&pg=PA517&dq=que+se+puede+determinar+con+l
a+circunferencia+abdominal+en+el+embarazo?&hl=es&ei=eewcTvj5DI76sAPWmr2nDA&sa=X&oi=book_
result&ct=result&resnum=1&ved=0CCgQ6AEwAA#v=onepage&q=que%20se%20puede%20determinar%2
0con%20la%20circunferencia%20abdominal%20en%20el%20embarazo%3F&f=false
16
Patricia Ibañez Carrasco & Gerardo García Torres (2010) Matemáticas III. México. Cengage Learning:
Recuperada 11 de Julio de 2011, de
http://books.google.com.mx/books?id=P4LmPLPhfCEC&hl=es&source=gbs_navlinks_s
62
CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
i
CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
4.1. La parábola como lugar geométrico
Está documentado que Apolónio de Perga1,3, estudioso de las propiedades geométricas de
las secciones cónicas, es quien les da el nombre a la parábola, elipse e hipérbola, después
René Descartes, encuentra la relación de dichas curvas con su ecuación, lo anterior no
significa que no se hubieran hecho estudio de ellas antes. El origen semántico es el
siguiente; elipse significa deficiencia, hipérbola exceso, -en lenguaje ordinario hipérbola es
una exageración- y por último parábola significa equiparación, la obra de apolonio3 fue
base de la obra de Fermat y Descartes a quienes se les considera los padres de la geometría
analítica, dichas obras son soporte para la revolución astronómica de Kepler.
En ésta unidad abordaremos la definición de parábola como lugar geométrico, deduciremos
las ecuaciones ordinarias y generales de parábolas horizontales y verticales, no se
abordarán parábolas inclinadas.
Parábola
La parábola se define como el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de
tal manera que está siempre a la misma distancia de un punto fijo llamado foco que de una
1
CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
recta fija llamada directriz, situados tanto el foco como la directriz en el mismo plano de la
parábola2,3.
En la siguiente figura se muestran los principales elementos de la parábola, entre ellos está
una recta que pasa por el foco (eje) y es la que indica si la parábola es horizontal, vertical o
inclinada, también es eje de simetría de la misma, por dicho eje a la altura del foco pasa una
recta perpendicular al eje, se llama lado recto que es paralelo con la recta fija llamada
directriz, entre la directriz y el lado recto se encuentra el vértice.
V: vértice de la parábola
F: foco de la parábola
Lr: lado recto de la parábola
d: directriz
p: distancia del vértice al foco, o del vértice a la directriz
Al observar una parábola debemos tener cuidado en algunos detalles, como en dónde está
ubicado el vértice, el eje de parábola, con cuál eje coincide o es paralelo, si abre a la
izquierda, a la derecha, hacia arriba o hacia abajo, a continuación se muestran las gráficas
de las distintas posiciones que puede tomar la parábola, en nuestro curso no abarcaremos la
parábola inclinada.
2
CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
Parábola horizontal abre hacia la derecha
Parábola horizontal abre hacia la izquierda
Parábola vertical que abre hacia arriba
Parábola vertical que abre hacia abajo
Parábola horizontal con vértice fuera del
origen y cuyo eje es paralelo al eje X.
Parábola vertical con vértice fuera del
origen y cuyo eje es paralelo al eje Y.
3
CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
4.2. Ecuaciones de la parábola
Parábolas horizontales y verticales con vértice en el origen.
Recuerde que la distancia p es la distancia del vértice al foco y del vértice a la recta fija es
llamada directriz, ésta distancia p es positiva cuando la parábola abre a la derecha y hacia
arriba, y es negativa cuando abre hacia abajo o a la izquierda.
Comencemos encontrando la ecuación en su forma ordinaria de la parábola horizontal con
vértice en el origen, como se muestra en la figura
Por definición la distancia del punto P(x,y) a la recta fija llamada directriz es la misma que
la distancia del foco al punto P(x,y).
Esto lo podemos expresar algebraicamente de la siguiente manera: dPF=dPd
usando la fórmula de distancia entre dos puntos
√
Sustituyendo tenemos
√
(√
x+p
)2=(x+p)2
elevando al cuadrado
(x-p)2 + y2=(x+p)2
elevando al cuadrado los binomios
x2-2px+p2+y2=x2+2px+p2
reduciendo términos semejantes
4
CONALEP
y2=4px
[Representación gráfica de funciones]
Forma ordinaria de la parábola horizontal con vértice en el origen
Para encontrar las ecuaciones de las parábolas horizontales seguimos el mismo
procedimiento y obtendremos
x2=4py Forma ordinaria de la parábola vertical con vértice en el origen.
Recuerde que el signo de p nos indica hacia dónde abre la parábola.
Longitud del lado recto
Observe la siguiente figura donde señalamos cómo obtener el lado recto:
Como ya vimos la distancia de P(x,y) a la recta d es la misma que de P(x,y) a F(p,0)
dPd=dPF
2p=dPF
Observe que la distancia de PF es la mitad del lado recto por lo que Lr=|4p|, la distancia es
positiva por eso va en valor absoluto ya que p puede ser negativo o positivo.
Haciendo un resumen:
Si la parábola es horizontal con vértice en el origen su ecuación ordinaria es
y2=4px si p>0 abre a la derecha si p<0 a la izquierda
Si la parábola es vertical con vértice en el origen su ecuación ordinaria es
x2=4py si p>0 abre hacia arriba si p<0 hacia abajo
5
CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
Lr=|4p|
A continuación veremos algunos ejemplos del uso de las fórmulas que se obtuvieron.
Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen V(0,0) y su foco
F(4,0)
Solución
Las coordenadas del foco nos indican que se trata de una
parábola horizontal ya que su ordenada vale 0, así que está
sobre el eje X, por lo tanto su ecuación tendrá la forma:
y2=4px
p es la distancia del vértice al foco p=4-0=4 lo sustituimos
y2=4(4)x
y2=16x
que es la ecuación de la parábola o bien
y2-16x=0
Para hacer la gráfica localizamos el foco
Calculamos la longitud del lado recto Lr=|4p|=|4(4)|=16
Por ser simétrico respecto del eje X 8 unidades hacia arriba
y 8 unidades hacia abajo, la directriz está a la misma
distancia p=4 a la izquierda del vértice, su ecuación es x=-4
6
CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
Observe que hicimos la gráfica sin necesidad de hacer una
tabla de valores.
Ejemplo 2. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el origen V(0,0) y foco
F(0,-3). Encuentra la ecuación de la directriz, de su eje Y la longitud de su lado recto Lr.
Solución
Al graficar el foco nos damos cuenta que se trata de una
parábola vertical ya que F(0,-3) su abscisa es cero, como el
vértice está en el origen se deduce que abre hacia abajo por
lo tanto p=-3
Su ecuación será
de la forma
x2=4py
Sustituyendo p=-3
x2=4(-3)y
x2=-12y o x2+12y=0
que es la ecuación buscada.
La
directriz
es
una
recta
que
se
encuentra
a
la
misma
distancia del vértice al foco, por lo que pasa por el eje Y
en 3 y su ecuación es y=3 para escribir su ecuación observa
qué eje corta y por dónde pasa y esa es su ecuación.
7
CONALEP
El
lado
recto
[Representación gráfica de funciones]
Lr=|4p|=|4(-3)|=|-12|=12
nos
indica
que
el
segmento que pasa por el foco y es perpendicular al eje se
dibuja 6 unidades a la izquierda y 6 a la derecha por su
simetría.
El eje de la parábola coincide con el eje de las ordenadas el
eje Y, su ecuación es x=0
Ejemplo 3. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen V(0,0) y directriz la
recta con ecuación es x=-2
Solución
Grafiquemos primero la directriz, en el eje X en -2, como es
vertical la parábola es horizontal, como el vértice está en
el origen p=2 la parábola
abre hacia la derecha, su ecuación
es:
y2=4px
Sustituyendo p=2
y2=4(2)x
y2=8x ó y2-8x=0
8
CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
si queremos las coordenadas del foco F(p,0) son F(2,0) y la
longitud del lado recto Lr=|4p|=|4(2)|=8 4 unidades hacia
arriba y 4 hacia abajo en la recta que pasa por el foco y es
paralela a la directriz.
Un ejercicio interesante, es una vez que tenemos la ecuación
encontrar el lugar geométrico y los elementos de la parábola,
resolvamos algunos ejemplos.
Ejemplo 4. Hallar los elementos de la parábola cuya ecuación es y2=20x y hacer su gráfica.
Solución
Al observar la ecuación vemos que corresponde a:
y2=4px
y2=20x
Por lo tanto 4p=20; p=5
Se trata de una parábola horizontal con vértice en el origen
V(0,0),cuyo eje coincide con el eje X como p>0 la parábola
abre hacia la derecha y las coordenadas del foco son F(5,0),
su lado recto Lr=|4(5)|=20 para graficarlo trazar un segmento
que pase por el foco perpendicular al eje y mida 10 unidades
hacia arriba y 10 hacia abajo ya que el eje de la parábola es
el eje de simetría. La directriz tiene por ecuación x=-5.
9
CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 5. Hallar los elementos de la parábola cuya ecuación es: x2=12y
Solución
Al observar su forma vemos que corresponde a una parábola
vertical con vértice en el origen cuya ecuación es:
x2=4py
x2=12y
V(0,0) y su eje coincide con el eje Y
4p=12
p=
por ser positivo abre hacia arriba, su
foco tiene coordenadas F(0,p), esto es F(0,3), la ecuación de
su directriz es y=-3 y la longitud de su lado recto es
Lr=|12|=12.
Parábolas horizontales y verticales con su vértice un punto cualquiera en el plano
Partiremos de las ecuaciones obtenidas cuando la parábola tiene el vértice en el origen. Si el
vértice se encuentra ahora en cualquier punto del plano V(h,k) , tracemos un nuevo sistema
de coordenadas X’ y Y’ y hagamos coincidir el origen de coordenadas con el vértice
V(h,k), como se muestra en la siguiente figura:
10
[Representación gráfica de funciones]
CONALEP
La ecuación de la parábola horizontal respecto de los nuevos ejes X’ y Y’ es:
y’2=4px’
al haber trasladado los ejes tenemos que:
x’=x-h
y y’=y-k
sustituimos lo anterior:
(y-k)2=4p(x-h) ésta es la ecuación de la parábola con vértice
en cualquier punto del plano.
Análogamente se deduce la ecuación de la parábola vertical, la cual queda:
(x-h)2=4p(y-k)
Apliquemos en algunos ejemplos dichas ecuaciones.
Ejemplo 6. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en V(4,3) y foco F(7,3)
Solución
Las coordenadas del vértice
y foco nos indican que se trata
de una parábola horizontal que abre a la derecha ya que el
foco
está
horizontal
a
ya
la
derecha
que
del
tienen
vértice,
la
misma
distancia entre V y F, calculémosla:
11
y
es
un
ordenada,
segmento
p
es
la
CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
p=dVF=7-4=3 es un segmento horizontal
Su ecuación tiene la forma:
recuerde V(h,k)
Ecuación de la parábola en su
forma ordinaria
Si deseamos obtener la fórmula general desarrollamos el
binomio:
y2-6y+9=12x-48
y2-12x-6y+57=0
Forma General de la ecuación de la parábola.
El lado recto Lr=|4p|=|4(3)|=12 al graficarlo 6 unidades
arriba y 6 abajo, la ecuación de la directriz es x=1
Ejemplo 7. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en V(3,-4) y foco F(3,-9).
Solución
Como tienen la misma abscisa se trata de una parábola cuyo
eje es vertical y la distancia entre el vértice y el foco es
12
CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
p=-9-(-4)=-9+4=-5 como p<0 la parábola abre hacia abajo y su
ecuación tiene la forma:
Sustituyendo p=-5 y V(3,-4)=(h,k) tenemos
Forma ordinaria
Desarrollando
x2-6x+9=-20y-80
x2-6x+20y+89=0 Forma general
13
CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 8. Hallar la ecuación de la parábola que tiene su vértice en V(-3,-2) F(-5,-2)
Solución
El eje de la parábola es horizontal
Y la distancia de V a F es p=-5+3=-2 si lo hubieras hecho al
contrario y te queda 2 debes tener cuidado de poner el signo
menos ya que abre hacia la izquierda.
Lr=|4p|=|4(-2)|=|-8|=8, 4 unidades arriba y 4 abajo.
La ecuación de la directriz es x=-1
La ecuación es de la forma:
Forma ordinaria
y2+8x+4y+28=0 Forma general
14
CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 9. Hallar la ecuación de la parábola con foco F(-3,-2) y la ecuación de la directriz
es x=5
Solución
El vértice está en el punto medio de F y d, a la altura del
foco, V(1,-2)
como abre a la izquierda p<0 vale p=-4
Lr=16
La ecuación corresponde a una parábola horizontal:
(y+2)2=-16(x-1) Forma ordinaria
y2+4y+16x-12=0 Forma general
Ejemplo 10. Hallar el vértice, foco, ecuación del eje, y ecuación de la directriz de la
parábola cuya ecuación es (y+4)2= 20(x+2)
Solución
La ecuación corresponde a una parábola horizontal con vértice
en V(h,k)
V(-2,-4) y 4p=-20 entonces p=-5 abre a la izquierda
15
CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
Lr=|4(-5)|=20, ecuación del eje es y=-4 y ecuación de la
directriz es x=3, su gráfica en la siguiente:
Ejemplo 11. Hallar los elementos de la parábola que describe un proyectil, cuya ecuación
es x2-6x+8y+41=0, la persona que lo observa está ubicada en la posición del foco, ¿En qué
punto se encuentra ubicada?
Solución
x2-6x+8y+41=0
tenemos la ecuación general, pasemos a la forma ordinaria
x2-6x = -8y -41
completando el trinomio cuadrado perfecto (recuerde se divide
6 entre 2 y el resultado se eleva al cuadrado)
x2-6x+9 = -8y -41+9
Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto
(x-3)2 =-8y-32
factorizamos -8
(x-3)2 =-8(y+4) forma ordinaria parábola vertical
V(3,-4) 4p=-8 entonces p=-2 abre hacia abajo
El foco que es desde donde la persona observa el movimiento
es F(3,-6) , la ecuación del eje es x=3 y la ecuación de la
directriz es y=-2, lado recto Lr=8, la gráfica:
16
CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
Forma general de la ecuación de la parábola
Forma general de la ecuación de la parábola horizontal:
Partimos de la ecuación ordinaria de la parábola con vértice en V(h,k), esto es:
desarrollando el binomio tenemos:
y2-2ky+k2=4px-4ph
y2-4px-2ky+k2+4ph=0
Si comparamos la ecuación con la ecuación general de segundo grado en dos variables:
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 vemos que:
A=0, B=0, C=1, D=-4p, E=-2k, F=k2-4ph sustituyendo esto valores en la ecuación
y2+Dx+Ey+F=0 Ecuación general de la parábola vertical
Análogamente se desarrolla la ecuación ordinaria de la parábola vertical y se obtiene la
ecuación:
x2-2hx+h2-4py+4pk=0
17
[Representación gráfica de funciones]
CONALEP
x2-2hx-4py+h2+4pk=0
Si comparamos la ecuación con la ecuación general de segundo grado en dos variables:
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 vemos que:
A=1, B=0, C=0, D=-2h, E=-4p, F=h2+4pk
Nótese que en los dos casos B=0 ya que el término xy no aparece, pero más adelante
cuando tomes cursos más avanzados te encontrarás con él cuando obtengas la ecuación
general de la parábola inclinada.
Ejemplo 12. La ecuación que describe una antena parabólica es x2-6x-16y+25=0 y
deseamos encontrar dónde colocar el receptor éste se debe situar en el foco de la parábola,
localice las coordenadas.
Solución
Una forma es pasar de la ecuación general a la ordinaria y
obtener de ahí sus elementos, ahora lo resolveremos aplicando
lo anterior.
La ecuación:
x2-6x-16y+25=0
corresponde a la ecuación general de la parábola vertical
x2+Dx+Ey+F=0
D=-6,
donde D=-2h
E=-4p
F=h2+4pk
E=-16 , F=25
-6=-2h
h=3
-16=-4p
p=4
25=(3)2+4(4)k K=1
18
CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
El vértice V(h,k)=(3,1) como p es positivo p=4 abre hacia
arriba, la ecuación de su eje es x=3 y de su directriz y=-3,
finalmente el foco que son las coordenadas que necesitamos
para colocar el receptor son F(3,5).
4.3. Aplicaciones
La parábola tiene muchas aplicaciones, una de las más importantes es la reflexión 4, por la
cantidad de aplicaciones prácticas que tiene, como la construcción y diseño de antenas
parabólicas, y de los lentes de telescopios, un ejemplo de ello fue el ejemplo 12. Ya se
mencionó también que algunas construcciones como el Golden Gate puente en San
Francisco California, posee el diseño de parábolas en el cableado que lo sostiene, los faros
de algunos automóviles aprovechan dicha forma, los radares, en el diseño y construcción se
aplica mucho, desde puentes, arcos en puertas, hay un tipo de arco que es muy utilizado y
desde Aristóteles conocían sus propiedades, es el arco parabólico, dicha forma se ilustra en
la siguiente figura y del cual veremos algunas aplicaciones.
19
CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
Arco parabólico
Llamemos h a la altura máxima del arco, y 2s a la longitud del claro o luz ̅̅̅̅ , como lo
muestra la figura:
Hacemos coincidir el vértice con el origen de las coordenadas y la ecuación tendrá la
forma:
x2=4py
tomando un punto que pertenece a la parábola C(s,-h), sabemos que satisface a la ecuación
anterior, lo sustituimos y tenemos:
(s)2=4p(-h)
que es la ecuación que nos relaciona
2s=claro y h=la altura máxima
También de aquí se deduce la distancia del vértice al foco ya que
Veamos a continuación algunas aplicaciones del arco parabólico.
20
CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
EJEMPLO 13. Se quiere construir una antena parabólica de manera que su receptor esté a
una distancia de 0.5m del vértice. Hallar la ecuación de la parábola para su diseño.
Solución
Observemos primero que la forma que tiene la estructura como
su nombre lo indica es el de una parábola (antena parabólica)
y que una vez que se conozca su ecuación, la superficie de
revolución que se obtiene es la forma de la parábola.
Para encontrar la ecuación hacemos coincidir el vértice con
el
origen
de
las
coordenadas
V(0,0)
y
por
comodidad
la
consideramos orientada hacia arriba, en dicha posición el
receptor de la parábola está situado en el foco de la misma,
entonces
sus
coordenadas
son
F(0,0.5m)
y
la
ecuación
corresponde a la de una parábola vertical con vértice en el
origen
x2=4py
así
x2=4(0.5)y
esto es x2=2y
Ejemplo 14. Se usará un espejo parabólico para construir un telescopio, mide 10m de
diámetro y 0.5m de profundidad, determinar la ecuación del espejo.
Solución
Utilizando la fórmula deducida anteriormente:
s=5m y h=0.5m
x2= 50y Ecuación del espejo
21
CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 15. Uno de los arcos del acueducto de Morelia tiene aproximadamente 7.5m de
claro o luz y su altura máxima es de 6.5m, se desea colocar una lámpara que tenga
iluminación máxima, ¿a qué distancia de la parte más alta del arco se debe colocar?
Solución
Hacemos coincidir el arco con una parábola vertical hacia
arriba
con
reflexión,
vértice
la
en
lámpara
el
se
origen,
debe
por
colocar
las
en
propiedades
el
foco
de
de
la
parábola, como ya se vio:
p=
0.5408m esto nos indica que debemos
colgar la lámpara a 54.08cm de la parte más alta del arco.
22
CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
4.4. Problemario
1. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y que cumple con el dato que se
indica en cada ejercicio.
1.1. F(0,-5)
1.2. Directriz; x=5
1.3. F(6,0)
1.4. Directriz; y=-2
1.5. F(-4,0)
2. Encuentra el foco, directriz, lado recto, ecuación del eje, de las parábolas cuya ecuación
es:
2.1. y2-24x=0
2.2. x2+24y=0
2.3. x2+8y=0
2.4. y2-8x=0
2.5. y2=16x
3. Hallar la ecuación de la parábola en su forma ordinaria y general, que cumpla con los
datos que se dan en cada ejercicio.
3.1. V(2,-1), F(4,-1)
3.2. V(-3,-3), F(-1,-3)
3.3. V(2,3), F(2,6)
3.4. V(1,-3), F(1,-5)
3.5.
V(2,2),directriz; x=-2
23
CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
3.6. V(2,-2), directriz; x=6
3.7. F(-2,-3), directriz y=3
3.8. F(2,4) directriz x=-4
4. Calcula el vértice, foco, ecuación de la directriz, longitud del lado recto, ecuación del eje,
y el valor de p, de las parábolas cuya ecuación es:
4.1. x2-6x-16y+25=0
4.2. x2-6x+8y+41=0
4.3. y2+16x+4y-12=0
4.4. y2+20x+8y+56=0
4.5. y2-12x-6y+57=0
5. Hallar la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el centro de la circunferencia
cuya ecuación se da y su foco es el punto que se indica
24
CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
4.5. Autoevaluación
1. Describe qué es una parábola
2. Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en V(0,0) y foco F(2,0)
3. Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuya directriz es la recta
x= 5
4. Encuentra el vértice, foco, lado recto, la ecuación de la directriz d, y la ecuación del eje
de la parábola cuya ecuación es:
x2 4y=0
5. Halla la ecuación de la parábola con vértice en V(4,5) y foco F(4,1)
6. Encuentra la ecuación de la parábola en su forma ordinaria y general, que tiene su vértice
en el centro de la circunferencia cuya ecuación se da y su foco es el punto que se indica
x2+y2-2x+4y-5=0, F(1,4)
25
CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
4.6. Conclusión
En éste capítulo hablamos sobre la parábola, sus elementos y el lugar geométrico que
describe, en la vida diaria podemos ver sus aplicaciones en el lanzamiento de proyectiles,
antenas parabólicas, el diseño y construcción de lentes para telescopios, acústica de
edificios, faros de luz, diseño de estufas solares, en física al describir el movimiento
parabólico como cuando lanzas un balón de básquet bol , otro ejemplo es el diseño del
puente de San Francisco el Golden Gate,5 ,la herramienta aquí brindada servirá de base para
el estudio de otras ciencias, y en cursos que más adelante llevarás. Esta fue una pequeña
introducción en el campo de las cónicas, ésta figura resulta del corte hecho por un plano
paralelo a un cono circular recto,(sección cónica) como se muestra en la siguiente figura.
Parábola
4.7. Soluciones del problemario
1.1. x2= 20y
1.2. y2= 20x
26
CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
1.3. y2=24x
1.4. x2=8y
1.5. y2= 16x
2.1. F(6,0), directriz; x= 6, Lr=24, ecuación del eje; y=0
2.2. F(0,-6), directriz; y=6, Lr=24, ecuación del eje; x=0
2.3. F(0,-2), directriz; y=2, Lr=8, ecuación del eje; x=0
2.4. F(2,0), directriz; x= 2, Lr=8, ecuación del eje; y=0
2.5. F(4,0), directriz; x= 4, Lr=16, ecuación del eje; y=0
3.1. (y+1)2=8(x-2); y2 8x+2y+17=0
3.2. (y+3)2=8(x+3); y2 8x+6y 15=0
3.3. (x-2)2=12(y-3); x2 4x 12y+40=0
3.4. (x-1)2= 8(y+3); x2 2x+8y+25=0
3.5. (y-2)2=16(x-2); y2-16x-4y+36=0
3.6. (y+2)2= 16(x-2); y2+16x+4y 28=0
3.7. (x+2)2= 12(y+3); x2+4x+12y+40=0
3.8. (x+1)2=12(y 4); x2+2x 12y+49=0
4.1. V(3,1), F(3,-5), Lr=16 , d; y= 3, eje; x=3, p=4
4.2. V(3,-4), F(3,-6), Lr=8 d; y= 2, eje; x=3, p= 2
4.3. V(1,-2), F(1,-6), Lr=16 d; x=5, eje; y= 2, p= 4
4.4. V(-2,-4), F(-7,-4), Lr=20 d; x=3, eje; y=-4, p= 5
4.5. V(4,3), F(7,3), Lr=12 d; x=1, eje; y=3, p=3
5. (x+4)2=16(y+5); x2+8x-16y-64=0
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CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
4.8. Soluciones de autoevaluación
1. Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano, que equidista de un punto
fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
2.
3.
4. V(0,0), F(0,1), Lr =4, ecuación de la directriz y= 1, ecuación del eje x=0.
5. (x 4)2= 16(y-5); x2-8x+12y 64=0
6. (x-1)2=24(y+2); x2-2x-24y-47=0
28
CONALEP
[Representación gráfica de funciones]
Referencias
1
Real Sociedad Matemática Española(2000). El legado de las matemáticas: de Euclides a Newton, los genios
a través de sus libros. Sevilla: Consejería de Cultura. Recuperado 24 de julio de 2011, de
http://books.google.com.mx/books?id=oH07PIAJJJ0C&printsec=frontcover&dq=inauthor:%22Real+Socieda
d+Matem%C3%A1tica+Espa%C3%B1ola%22&hl=es&ei=dG0fTrLpHvPKiALlxfioAw&sa=X&oi=book_re
sult&ct=result&resnum=1&ved=0CCwQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false
consultado 14 de julio de 2011
2
Guerra Manual T. et. al. (1992) Geometría analítica. México: McGraw-Hill
3
Hérbert Y.(1980) Matemáticas generales, probabilidades y estadística. Barcelona: Reverté. Recuperado 24
de julio de 2011, de http://books.google.com.mx/books?id=fEjfB2qSlcC&pg=PA99&dq=PAR%C3%81BOLA+MATEM%C3%81TICAS&hl=es&ei=NbYbToqEJ8HkiA
KioLnzCA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CDEQ6AEwAg#v=onepage&q&f=falseCo
nsultado 11 de julio de 2011
4
García C. Julia.(2006) Álgebra lineal: sus aplicaciones en economía, ingenierías y otras ciencias. Amdrid:
Delta. Recuperado 24 de julio de 2011, de
http://books.google.com.mx/books?id=F1VP8g2E_TEC&pg=PA417&dq=par%C3%A1bola+conica+aplicaci
ones&hl=es&ei=amAfTqrNOfZiALmvemZAw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CC0Q6AEwAQ#v=onepage&q=
APLICACIONES%20DE%20LA%20PAR%C3%81BOLA&f=false
5
Jaime P. Patricia et al. (2007) Geometría Analítica. México: Umbral. Recuperado 14 de julio de 2011, de
http://books.google.com.mx/books?id=lUZCCAYSM0AC&pg=PA132&dq=par%C3%A1bola+conica+aplica
ciones&hl=es&ei=amAfTqrNOfZiALmvemZAw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=10&ved=0CFcQ6AEwCQ#v=onepage&q
&f=false
29
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
i
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
5.1. La elipse como lugar geométrico
Menaechmus estudió la elipse como curva geométrica, la investigó Euclides1 y su nombre
se atribuye a Apolonio de Pergamo. En 1602, Johannes Kepler (1571-1630) estudiaba los
movimientos de Marte, observó que al aplicar el modelo de Copérnico de órbitas circulares
alrededor del Sol, los cálculos divergían ligeramente de la posición real del planeta en el
firmamento, por lo que arregló la órbita a otras curvas y encontró que la elipse se ajustó de
forma extraordinaria a ella, de esta manera obtuvo su primera ley del movimiento de los
planetas2.
Elipse significa acortada. Elipse es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya
suma de distancias de cada uno a dos puntos fijos (llamados focos) en el plano es una
constante positiva3,4.
LA ELIPSE
La elipse es una curva cerrada que se forma cuando un plano no paralelo a la base de un
cono circular recto la corta5.
1
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
La elipse se define como el lugar geométrico de los puntos en el plano que cumplen la
condición de que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, situados en el mismo plano,
llamados focos, se mantiene constante y mayor que la distancia entre los focos6.
5.2. Tipos de elipse
La elipse que estudiaremos tendrá su centro en el origen de las coordenadas y fuera de él,
en posición horizontal y vertical, no trataremos el tema de la elipse inclinada. Ver figuras:
Elipse horizontal con centro en el origen
Elipse vertical con centro en el origen
Elipse horizontal con centro fuera del origen
Elipse vertical con centro fuera del origen
2
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
La elipse tiene dos ejes perpendiculares, uno siempre es mayor que el otro, los llamaremos
eje mayor y eje menor, el punto de intersección de dichos ejes se llama centro de la elipse,
la posición del eje mayor nos indica si la elipse en horizontal o vertical. Sobre el eje mayor
están situados los focos y por ellos perpendicularmente pasan los lados rectos, que son
segmentos que unen dos puntos de la elipse, la longitud del eje mayor se representa con 2a
y la del eje menor 2b, por lo tanto el semieje mayor vale a y el semieje menor b, la distancia
del centro a los focos, llamada distancia focal es c. La elipse es una figura simétrica
respecto de los dos ejes. Ver la figura siguiente de una elipse horizontal con centro en el
origen
Elementos de la elipse
V,V’: son los vértices
F, F’: son los focos
C: centro
Eje mayor: ̅̅̅̅̅=2a
Eje menor: 2b
Lr: longitud del lado recto
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
3
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
Si observamos, en la definición dijimos que la suma de las distancias desde cualquier punto
a los focos es constante, esa constante es siempre 2a, la longitud del eje mayor de la elipse,
esto se puede observar si consideramos un punto cualquiera el vértice de la elipse, observe
la siguiente figura:
Podemos observar que la simetría nos permite afirmar que
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅=constante y que ̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ así que:
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
Entonces la constante es 2a.
Encontremos la relación que existe entre los valores a, b y c. Consideremos una elipse
horizontal con centro en el origen P un punto situado en uno de los extremos del eje menor,
ver figura:
4
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Basados en la definición, la suma de las distancias de ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
y como ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
por estar situado el punto P en el eje de simetría, la distancia a cada foco es la misma.
Entonces podemos cambiar ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ y tendremos:
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
En la gráfica anterior observe que se forma un triángulo rectángulo donde la hipotenusa es
a y los catetos son c y b. Por el teorema de Pitágoras tenemos que
a2=b2+c2
que es la relación que existe entre estos valores
5.3. Ecuaciones de la elipse
Forma ordinaria de la ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen
Consideremos P(x,y) un punto cualquiera, como se observa en la siguiente figura:
5
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Partimos de la definición de elipse:
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
Calculemos la distancia entre ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ con la fórmula de distancia entre dos puntos:
√
√
+√
√
Despejando
=
=
-√
Elevando al cuadrado ambos miembros para eliminar raíces:
(√
)
(
√
)
(x-c)2 + y2 =4a2-4a√
+
Elevando al cuadrado los binomios y reduciendo términos semejantes:
x2-2xc+c2+y2=4a2-4a√
-4cx-4a2=-4a√
xc+a2=a√
+x2+2xc+c2+y2
multiplicando por -1 y dividiendo entre 4
elevando al cuadrado
( √
)
x2c2+2a2cx+a4= a2
x2c2+2a2cx+a4=a2(x2+2cx+c2)+y2)
x2c2+2a2cx+a4=a2x2+2a2cx+a2c2+a2y2 reduciendo términos semejantes
x2c2 +a4=a2x2+a2c2+a2y2
pero a2=b2+c2 despejando c2=a2-b2
x2(a2-b2)+a4=a2x2+a2(a2-b2)+a2y2
a2x2-x2b2+a4=a2x2+a4-a2b2+a2y2 reduciendo términos semejantes
6
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
-b2x2=-a2b2+a2y2
- b2x2-a2y2=-a2b2
multiplicando por -1
b2x2 + a2y2 = a2b2
dividiendo todo entre a2b2
=
Forma ordinaria de la ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen.
Forma ordinaria de la ecuación de la elipse vertical con centro en el origen
Consideremos P(x,y) un punto cualquiera de una elipse vertical, como se observa en la
siguiente figura:
Aplicando la definición de elipse:
̅̅̅̅
√
̅̅̅̅̅
√
7
[Representación gráfica de funciones]
CONALEP-2011
(√
)
x2+(y-c)2=4a2-4a√
x2+y2-2cy+c2=4a2-4a√
(
√
)
+
+x2+y2+2cy+c2
-4cy-4a2=-4a√
cy+a2= √
=( √
)
c2y2+2a2cy+a4=a2(x2+(y2+2cy+c2)
c2y2+2a2cy+a4=a2x2+a2y2+2a2cy+a2c2
c2y2+a4=a2x2+a2y2+a2c2
pero c2=a2-b2
(a2-b2)y2+a4= a2x2+a2y2+a2(a2-b2)
a2y2-b2y2+a4=a2x2+a2y2+a4-a2b2
-b2y2=a2x2-a2b2
-a2x2-b2y2=-a2b2
a2x2 + b2y2= a2b2
Forma ordinaria de la elipse vertical
Longitud de los lados rectos
Partiremos de la forma ordinaria de la ecuación de la elipse horizontal con centro en el
origen:
8
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
despejemos la y
sacando raíz en ambos miembros
√
√
tomaremos solo el signo más por tratarse de una longitud
recuerde que el F(c,0) su abscisa es c y como pertenece a la elipse
Entonces satisface la ecuación anterior, la sustituimos
√
y de la relación a2=b2+c2 despejamos b2=a2-c2
√
esta cantidad es la mitad del lado recto, por lo que la longitud de Lr=
Este resultado es el mismo para la elipse vertical.
Excentricidad
La excentricidad se define como el cociente y puesto que c<a entonces e<1 e=
Esto es para las elipses verticales y horizontales.
Veamos algunos ejemplos donde apliquemos lo anterior.
9
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la elipse con vértices V(2,0) y V’(-2,0) y focos F(1,0) y F’(-1,0)
Graficamos los datos disponibles
Como el centro está entre los vértices verificamos que está en el origen de las coordenadas
Y la ecuación corresponde a la forma
x2
y2
1
a2
b2
Determinamos los valores de a, b, c
Eje mayor 2a 2 2 4
Eje menor 2b 2
3
Distancia entre los foco 2 1 2
Para calcular "b"
b2 a 2 c2
b2 4 1
b2 3
Sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación correspondiente
x2
y2
1
a2
b2
x2 y 2
1
4
3
Ecuación de la elipse en su forma canónica.
10
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
También se pueden obtener más elementos como son: Lr=
y el valor de
la excentricidad
Ejemplo 2. Encuentra la ecuación de la elipse con vértices V(0,4) y V’(0,-4) y
3
excentricidad, igual a e= .
4
Graficamos los vértices, y de ahí se deduce que el centro está en el origen de las
coordenadas.
Observamos que la elipse corresponde al tipo
x2
y2
1 , por estar en el origen y
b2
a2
sobre el eje de las Y.
Deducimos los valores para a, b, c.
e=
c 3
a 4
c 2 3 9
2
a 4 16
2
2
Para calcular "b"
b2 a 2 c2
b 2 16 9
b2 7
Sustituimos los valores obtenidos en la ecuación correspondiente.
11
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
x2
y2
1
b2
a2
=1
Ecuación ordinaria o canónica de la elipse con centro en el origen
Ejemplo 3. Hallar la ecuación de la elipse con focos F(3,0) y F’(-3,0) y excentricidad
3
e= .
4
Graficamos los focos y observamos que están sobre el eje X y que por simetría el centro
está en el origen de las coordenadas, por lo que corresponde a una elipse horizontal.
la ecuación de la elipse es :
x2
y2
1
a2
b2
Calculamos los valores de a, b, c
e=
c 3
a 4
c 3 9
2
2
a 4 16
2
2
Para calcular "b"
b2 a 2 c2
b 2 16 9
b2 7
Sustituimos los valores obtenidos en la ecuación correspondiente.
x2
y2
1
a2
b2
x2
y2
1
16
7
Ecuación en su forma ordinaria o canónica
12
CONALEP-2011
Además Lr=
[Representación gráfica de funciones]
y los vértices tienen de coordenadas V(4,0) y V’(-4,0)
Ejemplo 4. Hallar la ecuación de la elipse con vértices V(3,0) y V’(-3,0) y longitud de los
lados rectos Lr =4.
Al graficar los vértices vemos que se trata de una elipse horizontal, ya que el eje mayor está
sobre el eje X, y además tenemos el valor de a=3, distancia del centro al vértice.
F'(- 3,0)
Como Lr=4 y Lr=
entonces
F( 3,0)
, 12=2b2
b2=6
Como ya tenemos los valores de a2=9 y b2=6 mediante la relación c2=a2-b2 obtenemos el
valor de c2
c2=9-6
c2=3 entonces c=√
los focos tienen de coordenadas F √
e=
y F’
√
, el valor de la excentricidad es
√
La ecuación de la elipse es de la forma:
x2
y2
1
a2
b2
13
CONALEP-2011
Es decir:
[Representación gráfica de funciones]
Ecuación ordinaria o canónica de la elipse
Ejemplo 5. Encuentra la ecuación de la elipse con focos F(0,3) y F’(0,-3) y Lr=9
Al graficar los focos podemos observar que se trata de una elipse vertical y por simetría se
deduce que el centro está en el origen de las coordenadas, además tenemos el valor c=3
Conocemos el valor del lado recto Lr=9 entonces
tenemos una ecuación con dos
incógnitas, de tus cursos pasados viste que se necesitan 2 ecuaciones cuando se tienen dos
incógnitas; así que obtengamos otra, esta se puede obtener a partir de la relación c2=a2-b2
conocemos c=3 así que queda 9=a2-b2
Así tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas :
y
9 =a2-b2
Despejamos b2 de la primera y la sustituimos en la segunda
14
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
9=a2-( ) multiplicando por 2 tenemos
b2=
18= 2a2-9a
2a2-9a-18=0 nos queda una ecuación de segundo grado
Resolviendo por la fórmula general:
√
a=2, b=
y c=
Descartamos
tenemos a1=6 y a2=
ya que es una longitud y estas se deben considerar positivas.
Por lo tanto a=6, una vez conocido el valor de a=6 lo sustituimos en cualquiera de las dos
ecuaciones y tenemos:
9=
b2=
=27
La ecuación de la elipse en su forma ordinaria es
También se pueden indicar sus vértices V(0,6) y V’(0,-6) y
la excentricidad e=
Ejemplo 6. Dada la elipse de ecuación 4 x2 9 y 2 36 obtener:
a)
b)
c)
d)
e)
Excentricidad
Ejes mayor y menor
Ancho focal
Coordenadas de vértices y focos
Gráfica
x2
y2
De acuerdo a la ecuación de la elipse
2 1 , se debe de considerar su forma,
a2
b
por lo que dividimos entre 36 toda la ecuación.
4 x 2 9 y 2 36
36
36 36
15
CONALEP-2011
x2 y 2
1
9
4
[Representación gráfica de funciones]
Ecuación de la elipse, los vértices sobre el eje de “X”
Calculemos los valores de a, b, c, para después obtener los ejes mayor y menor y la
distancia focal.
a2 9
b2 4
a 9
a3
b 4
b2
Para obtener el valor de c usamos la relación a 2 b2 c2
c2 a 2 b2
c2 9 4 5
c 5
Calculamos ejes mayor y menor y distancia focal
Ejemayor 2a 2 3 6
Eje menor 2b 2 2 4
Distancia entre los foco 2 5
Por lo tanto los focos tienen coordenadas F(√
) y F’( √
)
Se determinemos la excentricidad con la ecuación correspondiente.
e
c
5
a
3
Calculemos el lado recto, considerando que el valor de b=4 y a=3
16
CONALEP-2011
Lado recto
[Representación gráfica de funciones]
Lr=
Gráfica:
Ejemplo 7. Dada la elipse de ecuación 16 x2 9 y 2 144 obtener:
a)
b)
c)
d)
e)
Excentricidad
Ejes mayor y menor
Ancho focal
Coordenadas de vértices y focos
Gráfica
x2
y2
De acuerdo a la ecuación de la elipse 2 2 1 , se debe de considerar su forma, por
a
b
lo que dividimos entre 144 toda la ecuación.
16 x 2 9 y 2 144
144 144 144
x2 y 2
1
9 16
Podemos ver que se trata de una elipse vertical
Calculamos los valores de a, b, c, para después obtener los ejes mayor y menor y la
distancia focal.
a 2 16
b2 9
a 16
b4
b 9
b3
Para obtener el valor de c usamos la relación: a 2 b2 c2
17
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
c2 a2 b2
c 2 16 9
c2 7
c 7
De lo anterior tenemos que
Excentricidad e
7
4
Eje mayor=2a =2(4)=8
Eje menor=2b=2(3)=6
Lado recto =
2b2
2(9)
18
9
a
4
4
2
Coordenadas de focos F’(0,- 7 ) y F(0, 7 )
Coordenadas de vértices V’(0,-4) y V(0,4)
Gráfica :
F(0, 7)
F'(0,- 7)
18
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ecuación de la elipse horizontal y vertical con centro en cualquier punto del
plano
Para los dos casos de la elipse horizontal y vertical el centro es el punto C(h,k), mediante
una traslación de ejes obtenemos las ecuaciones, recordando que x’=x-h y y’=y-k
Elipse vertical con centro fuera del origen
Elipse horizontal con centro fuera del origen
Por lo tanto la ecuación de la elipse respecto de los ejes X’ y Y’ es:
Sustituyendo x’ y y’ tenemos:
que es la forma ordinaria o canónica de la ecuación de la elipse horizontal con centro en
C(h,k).
Análogamente se obtiene la ecuación de la elipse vertical con centro en C(h,k)
19
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
A continuación veremos algunos ejemplos que nos ilustren el uso de dichas fórmulas
Ejemplo 8. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son V(4,8) y V’(4,-2) y cuyos
focos son F(4,6) y F’(4,0).
Al observar que los vértices y los focos tienen la misma ordenada vemos que se trata de una
elipse vertical con centro fuera del origen. El centro se obtiene sacando el punto medio de
los vértices o de los focos, este es C(4,3). También conocemos la distancia del centro al
vértice a=5, la distancia del centro al foco c=3, con estos datos y con la relación c2=a2-b2
calculamos el lado b:
b2=a2-c2
b2=25-9
b2=16
b=4
Con los datos anteriores podemos escribir la ecuación de la elipse en su forma ordinaria:
Si se desea, se puede calcular la longitud del lado recto: Lr=
y e=
De la forma ordinaria de la ecuación de la elipse se desarrollan los binomios, se reduce y
obtenemos:
25(x-4)2+16(y-3)2=1
25(x2-8x+16)+16(y2-6y+9)=400
25x2-200x+400+16y2-96y+144-400=0
25x2+16y2-200x-96y+144=0
Esta ecuación se conoce como ecuación general de la ecuación de la elipse.
20
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 9. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son V(8,2) y V’(-4,2) y focos
F(6,2) y F’(-2,2).
Al observar que los vértices y focos tienen la misma ordenada se deduce que se trata de una
elipse horizontal, cuyo centro está en el punto medio de los vértices o de los focos y es
C(2,2), de los vértices tenemos a=6 y de los focos c=4, mediante la relación c2=a2-b2
obtenemos b:
b2=a2-c2
b2=36-16
b2=20
b=√
Calculando los elementos Lr=
y e=
La ecuación buscada corresponde a una elipse horizontal con centro fuera del origen:
21
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Y en su forma general:
20(x-2)2+36(y-2)2=720
20(x2-4x+4)+36(y2-4y+4)=720
20x2-80x+80+36y2-144y+144-720=0
20x2+36y2-80x-144y-496=0
Reduciendo
5x2+9y2-20x-36y-124=0
Ejemplo 10. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos F(6,3) y F’(-4,3) y
tiene el valor e= de excentricidad.
El valor e=
por lo tanto a=8 y c=5 mediante la relación b2=a2-c2
b2=64-25=39
Encontremos los elementos: Lr=
El centro está en el punto medio de los vértices o los focos y es C(1,3)
Por tener la misma ordenada los focos, se trata de una elipse horizontal, con vértices en
V(9,3) y V’(-7,3) y por ecuación :
22
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Es la forma ordinaria o canónica de la elipse.
Obtengamos la fórmula general desarrollando los binomios y reduciendo términos
semejantes:
39(x-1)2+64(y-3)2=2496
39(x2-2x+1)+64(y2-6y+9)=2496
39x2-78x+39+64y2-384y+576-2496=0
39x2+64y2-78x-384y-1881=0 Ecuación general de la elipse.
Ejemplo 11. Encuentra la ecuación de la elipse cuyos vértices son V(10,-2) y V’(2,-2) y
cuya excentricidad es e=
Como los vértices tienen la misma ordenada se trata de una elipse horizontal que tiene su
centro en el punto medio de los vértices, esto es, C(6,-2), de los vértices obtenemos a=4
distancia del centro al vértice.
Como e=
4=2c
c=2
La b, la obtenemos de la relación b2=a2-c2=16-4=12 b=√
23
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
La longitud del lado recto:
=
La ecuación ordinaria es:
Sustituyendo el centro a y b tenemos:
Que en su forma general queda:
12x2+16y2-144x+64y+304=0
3x2+4y2-36x+16y+76=0
Ejemplo 12. Encuentra, el centro, los vértices, los focos, los ejes mayor y menor, distancia
focal, valor de la excentricidad y lado recto de la elipse cuya ecuación es:
x 1
16
2
y 2
7
2
1
Observamos que la ecuación dada tiene la forma
24
x h
a2
2
y k
b2
2
1
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
De esta ecuación obtenemos los siguientes datos:
Centro
eje mayor
eje menor
distancia focal
c a 2 b2
c 1, 2
a 2 16
c h, k
b2 7
c 16 7
a 16
h 1
k 2
a4
2a 8
b 7
c 9
2b 2 7
c3
2c 2(3) 6
Vértices V’(-3,-2) , V(5,-2)
Focos
F’(-2,-2), F’(4,-2)
Calculamos la excentricidad con la siguiente relación.
c 3
e
a 4
2b 2 2(7) 7
Longitud del lado recto Lr=
a
4
2
Ejemplo 13. Encuentra, el centro, los vértices, los focos, los ejes mayor y menor,
distancia focal, valor de la excentricidad y lado recto de la elipse cuya ecuación es:
4x2+9y2+16x-18y-11=0
4 x2 9 y 2 16 x 18 y 11 0
Agrupamos términos semejantes
4x
2
16 x 9 y 2 18 y 11
25
[Representación gráfica de funciones]
CONALEP-2011
Factorizamos cada expresión
4 x 2 4 x 9 y 2 2 y 11
Completamos los cuadrados
4 x2 4 x 4 9 y 2 2 y 1 11 16 9
Factorizamos los trinomios y obtenemos 4 x 2 9 y 1 36
2
2
Dividimos la ecuación entre 36, para igualar a 1 y despejar los numeradores.
4 x 2 9 y 1
36
36
36
36
2
x 2
9
2
2
y 1
4
2
1
Ecuación en su forma ordinaria o reducida.
Observamos que la ecuación dada es de la forma
x h
a2
2
y k
2
b2
1
De esta ecuación obtenemos los siguientes datos:
Centro
Eje mayor
Eje menor
c 2,1
a2 9
b2 4
c a 2 b2
c h, k
a 9
a3
2a 6
b 4
b2
2b 4
c 94
h 2
k 1
Vértices V’(-5,1) , V(1,1)
Focos
F’(-2- 5 ,1), F’(-2+ 5 ,1)
Calculamos la excentricidad con la siguiente relación:
e
c
5
a
3
Longitud de los lados rectos:
26
Distancia focal
c 5
2c 2 5
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Gráfica:
Ejemplo 14. Hallar los elementos de la elipse cuya ecuación es:
3x2+4y2+6x-24y+27=0
Transformemos la ecuación general en su forma ordinaria:
(3x2+6x)+(4y2-24y)=-27
3(x2+2x)+4(y2-6y)=-27
3(x2+2x+1) + 4(y2-6y+9)=-27+3+36
3(x+1)2+4(y-3)2=12
De aquí se deduce que el centro tiene coordenadas C(-1,3)
El valor de a2=4 y b2=3, por lo que se trata de una elipse horizontal y mediante la relación
c2=a2-b2=4-3=1
c=1
El valor de la excentricidad e=
y
Las coordenadas de los vértices son V(1,3) y V’(-3,3) y las de sus focos F(0,3) y F’(-2,3)
27
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Forma general de la ecuación de la elipse
A partir de las formas ordinarias de la elipse con centro en cualquier punto del plano,
obtendremos las generales, comencemos por la ecuación de la elipse horizontal.
Su forma ordinaria o canónica es :
Sumando las fracciones
Despejando
Desarrollando los binomios
Multiplicando
Ordenando
Si comparamos lo obtenido con la ecuación general de segundo grado con dos variables:
Ax2+Bxy++cy2+Dx+Ey+F=0
Vemos que B=0, ya que no existe término xy, A=b2, C=a2, D=-2b2h, E=-2a2k y
F=b2h2+a2k2-a2b2
28
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
De acuerdo con estos valores la ecuación general de la elipse horizontal es:
Ax2+Cy2+Dx+F=0
Note que A C y tienen el mismo signo.
Forma general de la ecuación de una elipse vertical
Partimos de la forma ordinaria o canónica de la ecuación de la elipse vertical con centro
fuera del origen:
Si comparamos lo obtenido con la ecuación general de segundo grado con dos variables:
Ax2+Bxy++cy2+Dx+Ey+F=0
Vemos que B=0 ya que no existe término xy, A=a2, C=b2, D=-2a2h, E=-2b2k y
F=a2h2+b2k2-a2b2
De acuerdo con estos valores la ecuación general de la elipse horizontal es:
Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0
Note que A C y tienen el mismo signo.
Resolvamos un ejemplo donde las apliquemos:
29
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 15. Encuentra los elementos de la elipse suya ecuación es:
9x2+6y2+54x-36y+81=0
De las formas generales de las elipses horizontal y vertical vemos que si el coeficiente de x2
es menor que el coeficiente de y2 se trata de una horizontal y cuando el coeficiente de x2 es
mayor que el de y2 como es nuestro caso se trata de una elipse vertical, 9>6, y usaremos las
fórmulas:
A=a2,C=b2, D=-2a2h, E=-2b2k, F=a2h2+b2k2-a2b2
9=a2, 6=b2, 54=-2(9)h , -36=-2(6)k
K=3
Por lo tanto el centro está en C(h,k), C(-3,3), los vértices están en V(-3,6)y V’(-3,0), los
focos en F(-3,3+√ ) y
F’(-3,3-√ ) a=3, b=√ y c=√ .
30
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Radio vectores
A las distancias desde un punto cualquiera de la elipse hasta cada uno de los focos se le
llama radio vector.
Usando la fórmula de distancia entre dos puntos tenemos que esta suma es igual a
√
√
31
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
5.4. Aplicaciones
La elipse tiene una propiedad de reflexión parecida a la de la parábola, si un rayo sale de un
foco de la elipse, este la refleja en ella hacia el otro foco7, en astronomía es básico su
estudio, ya que algunos cuerpos celestes siguen órbitas de forma elíptica, los cuerpos
celestes alrededor del sol, siguen este tipo de órbitas, de ahí la primera ley de Keppler que
dice:
Un planeta gira alrededor del Sol, en órbita elíptica con el Sol en un foco8.
Así se ha podido predecir la órbita del Cometa Halley9
La elipse tiene curiosas e interesantes propiedades, las que resultan sumamente útiles en la
naturaleza, la ciencia, maquinaria o el arte.
En la naturaleza
Los satélites terrestres viajan en torno a nuestro planeta en órbitas elípticas. Los planetas
del sistema solar giran en torno al Sol en órbitas elípticas, y el Sol ocupa el lugar de uno de
los focos.
En algunos museos, la galería de los susurros es una atracción interesante,su forma es
elíptica, si dos personas se colocan en los focos, pueden susurrar y escucharse claramente
una a la otra, mientras que las personas situadas en otros lugares no los pueden escuchar.
Esto sucede en virtud de que las ondas de sonido que emanan de un foco se reflejan en el
otro, concentrándose en él.10
Galería de susurros
32
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
En la ciencia
Una aplicación científica es el empleo de reflectores elípticos de ultrasonido para disgregar
los cálculos renales: se coloca el reflector de tal modo que el cálculo esté en uno de los
focos y la fuente sonora en el otro, las ondas se concentran en la piedra haciéndola vibrar y
desintegrándola11.
En maquinaria
Se utilizan ruedas dentadas de forma elíptica, cuando se necesitan distintas velocidades de
marcha, como en las máquinas afiladoras, limadoras, mortajadoras o cepilladoras, en las
que la velocidad de corte es menor que la velocidad de retorno12.
En el arte
En la Arquitectura se utiliza frecuentemente la elipse por la belleza de sus formas. Obras
famosas se han construido con forma elíptica; por ejemplo, el Coliseo en Roma13. La elipse
se ha utilizado también para estructuras de puentes, en viaductos; así como en arcos,
vidrieras, puertas y edificios.
A continuación veremos dos ejemplos de aplicaciones de la elipse:
Ejemplo 16. Sobre el río Sena navegará un barco turístico que tiene una altura de 6
metros, sobre el río está construido un puente de forma elíptica, se conoce la excentricidad
1
del mismo que es e= , si el ancho del puente es de 16 metros, determina la altura máxima
8
para saber si el barco pasará por debajo del puente.
Si consideramos el ancho del río como la longitud del eje mayor
V 8, 0 , V 8, 0 ; e=
1
8
si la excentricidad es: e=
c 1
c2 1
a 8
a 2 64
c
a
Utilizamos la siguiente relación: a2=b2+c2
33
[Representación gráfica de funciones]
CONALEP-2011
b2 a 2 b2
b 2 63
b 64 1
2
b 63
b 2 63
Por lo tanto la altura es de b=7.9m, por lo que el barco puede pasar por debajo del puente
sin ningún problema.
Ejemplo 17. El satélite natural de la tierra es la luna , que gira alrededor de esta,
describiendo una órbita elíptica con la tierra en uno de los focos. Si las longitudes de los
ejes mayor y menor son 768,800km y 767,640km, respectivamente, cuáles son las
distancias máxima y mínima (apogeo y perigeo) entre los centros de la tierra y la luna.
Como:
2a 768,800
y
2b=767,690
a=384,400
y
b=383,820
Utilizamos la siguiente relación para obtener el valor de “c”:
c a 2 b2
c
384,800
2
383,820
2
c 21,108.47
Por lo tanto la distancia mayor entre el centro de la tierra y el de la luna es:
a + c = 384,800 + 21108 = 405,508km
y la distancia menor entre el centro de la tierra y el de la luna es:
34
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
a – c = 384,400 – 21108 = 363,292km
Ejemplo18. Debido a la excentricidad de la órbita terrestre, la distancia entre el sol y la
tierra varia a lo largo del año, y la tierra se mueve con velocidad variable, generando una
trayectoria elíptica. Por lo que la distancia máxima aproximada de la Tierra al sol (afelio)
es 152 millones de kilómetros y la distancia más cercana (perihelio) aproximadamente es
de 147 millones de kilómetros. Determina los ejes mayor y menor de la elipse que forma la
trayectoria de la tierra alrededor del sol.
Considerando que el sol es el centro de la elipse, por lo
tanto los ejes se determinan de la siguiente manera:
Eje mayor 2a= 2(152 x106) = 304 x106 Km
Eje menor 2b = 2(147 x106) = 294 x106 Km
35
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
5.5. Problemario
1. Encontrar la ecuación de la elipse cuando se conocen los
siguientes datos:
1.1. V(5,0) y V’(-5,0),
F(3,0) y F’(-3,0)
1.2. V(0,6)y V’(0,-6), F(0,4) y F’(0,-4)
1.3. V(9,0) y V’(-9,0), F(7,0) y F’(-7,0)
1.4. V(7,0) y V’(-7,0),
1.5. F(0,2) y F’(0,-2) y
1.6. V(6,0) y V’(-6,0), lado recto Lr=9
1.7. V(0,5) y V’(0,-5), lado recto Lr=
1.8. V(7,0) y V’(-7,0), lado recto Lr=
2. Encuentra los siguientes elementos de la elipse; vértices,
focos, longitud de los lados rectos, excentricidad y centro
de la elipse cuya ecuación es:
2.1.
16x2+25y2-400=0
2.2.
36x2+20y2-720=0
2.3. 3x2+81y2-2592=0
2.4.
33x2+49y2-1617=0
3. Hallar la ecuación de la elipse cuando se conocen los
siguientes datos:
3.1.
V(6,-2) y V(-2,-2) y F(5,-2)y F’(-1,-2)
3.2.
V(-3,7) y V(-3,-3) y F(-3,5) y F’(-3,-1)
36
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
3.3.
V(9,1),V’(-3,1) y F(7,1),F’(-1,1)
3.4.
V(3,7),V’(3,-3) y F(3,5), F’(3,-1)
3.5.
V(10,-3),V’(-2,-3) y
3.6.
V(1,4), V’(1,-8) y
3.7.
V(3,3), V’(-7,3) y
3.8.
V(-2,3),V’(-2,-9) y
3.9.
V(8,2), V’(0,2),
3.10. V(1,2), V’(1,-4),
3.11. F(3,1),F’(-1,1),
3.12. F(7,2),F’(-1,2) y eje mayor=10
3.13. V(3,2),V’(3,-8) y longitud del eje menor=6
4. Encontrar el centro, vértices, focos, excentricidad,
longitud de los lados rectos de las elipses cuya ecuación es:
4.1.
16x2+25y2+64x-150y-111=0
4.2.
5x2+9y2-10x+18y-31=0
4.3. 9x2+25y2-54x-100y-44=0
4.4.
9x2+25y2-54x+150y+81=0
37
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
5.6. Autoevaluación
1. Hallar la ecuación de la elipse si sus vértices son V(6,0) y V’(-6,0) y sus focos son F(4,0)
Y F’(-4,0).
2. Hallar los vértices, focos, longitud de los lados rectos, excentricidad y centro de la elipse
cuya ecuación es:
16x2+25y2-400=0
3. Conociendo la excentricidad e= y los vértices V(3,1) y V’(-9,1) encontrar la ecuación
de la elipse.
4. Encuentra el centro, vértices, focos, excentricidad y longitud de los lados rectos de la
elipse que tiene por ecuación:
4x2+y2+16x+6y+21=0
5. Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la gráfica de la elipse.
a) 7x 2 16 y 2 56 x 64 y 64 0
b) 7x 2 16 y 2 56 x 64 y 64 0
c) 7x 2 16 y 2 56 x 64 y 64 0
d) 7x 2 16 y 2 56 x 64 y 64 0
38
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
5.7. Conclusión
Las cónicas son importantes porque forman parte de los conocimientos matemáticos
básicos de cualquier persona, por ejemplo, las curvas elípticas son características de las
trayectorias cerradas de los cuerpos celestes: planetas, satélites y aún estrellas. El análisis
geométrico, haciendo uso de las ecuaciones, los astrónomos pueden anticipar las posiciones
de estos cuerpos en el tiempo, gracias a esto se puede predecir los eclipses.
La elipse no se puede dibujar de un solo trazo con una regla y un compás, pero estos
instrumentos son útiles para localizar suficientes puntos de ella, también se puede construir
con hilos y dos clavos.
Las elipses son tanto más excéntricas cuanto más alargadas son: si una elipse es parecida a
una circunferencia su excentricidad es próxima a cero, mientras que si es muy alargada, su
excentricidad es próxima a uno.
En este capítulo hablamos sobre la elipse horizontal y vertical con el centro dentro y fuera
del origen, así como algunos de sus principales elementos. En próximos estudios podrás
profundizar en la elipse inclinada, así como muchas otras aplicaciones tanto en ciencia,
tecnología y salud.
39
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
5.8. Soluciones del problemario
1.1.
x2 y 2
1
25 16
1.2.
x2 y 2
1
20 36
1.3.
x2 y 2
1
81 32
1.4.
x2 y 2
1
49 33
1.5.
x2 y2
1
12 16
1.6.
x2 y 2
1
36 27
1.7 .
x2 y2
1
9 25
x2 y 2
1.8.
1
49 33
2.1.
V 5, 0 y V' 5, 0 , F 3, 0 y F' 3, 0 , Lr=
32
3
, e= , C 0, 0 .
5
5
2.2.
V 0, 6 y V' 0, 6 , F 0, 4 y F' 0, 4 , Lr=
20
2
, e= , C 0, 0 .
3
3
2.3.
V 9, 0 y V' 9, 0 , F 7, 0 y F' 7, 0 , Lr=
64
7
, e= , C 0, 0 .
9
9
2.4.
V 7, 0 y V' 7, 0 , F 4, 0 y F' 4, 0 , Lr=
66
4
, e= , C 0, 0 .
7
7
3.1.
x 2
16
2
y 2
7
2
1; 7x 2 16 y 2 28 x 64 y 20 0
40
CONALEP-2011
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
4.1.
x 3
2
16
x 3
y 2
16
2
36
x 1
2
1; 25x 2 16 y 2 150 x 64 y 111 0
x 2
25
2
1; 11x 2 36 y 2 88 x 216 y 104 0
11
2
1; 36x 2 20 y 2 72 x 80 y 604 0
36
y 3
2
2
1; 16x 2 25 y 2 64 x 150 y 111 0
16
x 2
2
11
x 4
y 3
y 2
2
20
2
16
x 1
x 1
y 3
y 2
2
9
x 3
2
1; 36x 2 11 y 2 144 x 66 y 153 0
36
2
5
2
1; 7x 2 16 y 2 56 x 64 y 64 0
7
y 1
2
1; 9x 2 5 y 2 18 x 10 y 31 0
9
y 1
2
1; 5x 2 9 y 2 10 x 18 y 31 0
5
2
25
x 3
9
1; 20x 2 36 y 2 120 x 72 y 504 0
25
x 4
1; 25x 2 16 y 2 150 x 64 y 111 0
2
20
2
2
25
y 1
2
36
x 3
y 2
2
[Representación gráfica de funciones]
y 2
2
1; 9x 2 25 y 2 54 x 100 y 44 0
9
y 3
25
2
1; 25x 2 9 y 2 150 x 54 y 81 0
3
32
C 2, 3 , V 3, 3 y V' 7, 3 , F 1, 3 y F' 5, 3 , e , Lr=
5
5
41
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
4.2.
2
10
C 1, 1 , V 1, 2 y V' 1, 4 , F 1,1 y F' 1, 3 , e , Lr=
3
3
4.3.
4
18
C 3, 2 , V 8, 2 y V' 2, 2 , F 7, 2 y F' 1, 2 , e , Lr=
5
5
4.4.
C 3, 3 , V 2, 3 y V' 8, 3 , F 1, 3 y F' 7, 3 , e
4
18
, Lr
5
5
5.9. Soluciones de autoevaluación
1.
2. V(5,0) y V’(-5,0), F(3,0) y F’(-3,0),
, C(0,0)
3.
4. C(-2,-3),V(-2,-1) y V’(-2,-5),F(-2,+√ ) y F’(-2,-√ ),
5. c
42
√
, Lr=1
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Referencias
1
Little Heath Sir Thomas (1981) A history of Greek mathematics. Toronto. Courier Dover Publications.
Recuperada 20 de Julio de 2011, de
http://books.google.com.mx/books?id=41s9fPYjxJQC&dq=elipse,+Menaechmus&hl=es&source=gbs_navlin
ks_s
2
Oteyza, Elena, et al. (2005) Geometría analítica. México. Pearson. Recuperada 15 de julio de 2011 de
http://books.google.com.mx/books?id=cYRE9rWilbkC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summa
ry_r&cad=0#v=onepage&q&f=false
3
Flores Meyer Marco Antonio & Fautsch Tapia Eugenio L. (2005) Geometría Analítica Básica. México.
Progreso: Recuperada 19 de julio de 2011, de
http://books.google.com.mx/books?id=fBMVkFN6ZqUC&dq=elipse,+geometria+analitica&hl=es&source=g
bs_navlinks_s
4
Swokowski/, Cole (2009) Álgebra Y Trigonometría con Geometría Analítica. México. Cengage Learning:
Recuperado 19 de julio de 2011, de
http://books.google.com.mx/books?id=xDL0yU37K4wC&dq=elipse,+geometria+analitica&hl=es&source=g
bs_navlinks_s
5
Jaime P. Patricia et al (2007) Geometría Analítica.,México: UMBRAL. Recuperado 19 de julio de 2011, de
http://books.google.com.mx/books?id=lUZCCAYSM0AC&printsec=frontcover&dq=geometria+analitica&hl
=es&ei=XhMlTvvXKYbKiAK52NCKCg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CDYQ6AE
wAg#v=onepage&q&f=false
6
Engler Adriana et al(2005)Geometría Analítica. Santa Fe, Argentina: UNL. Recuperado 19 de julio de
2011, de
http://books.google.com.mx/books?id=jLHB0fdw67AC&printsec=frontcover&dq=geometria+analitica&hl=e
s&ei=OBIlTsjeHMzTiAKb75TmCQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CDEQ6AEwAQ#
v=onepage&q=ELIPSE&f=false
7
De Oteyza De Oteyza Elena, et al (2001) Geometría y Trigonometría. México: Pearson. Recuperado 19 de
julio de 2011, de
http://books.google.com.mx/books?id=4bHgbXfpDrkC&pg=PA492&dq=aplicaciones+de+la+elipse&hl=es&
ei=MNMlTtKxJ4LniAKUt73dCQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCgQ6AEwAA#v=
onepage&q=aplicaciones%20de%20la%20elipse&f=false consultado el 19 de julio de 2011
8
Stewrt James (2008).Cálculo De varias variables: trascendentes tempranas.México: CENGAGE Learning.
Recuperado 19 de julio de 2011, de
http://books.google.com.mx/books?id=pXen9LeyRzMC&pg=PA848&dq=primera+ley+de+kepler&hl=es&ei
=UtslTuCUBNPUiAKrsYmVCg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCsQ6AEwAA#v=o
nepage&q=%20kepler&f=false
9
Larson H. Ron (2008) PrecálculoMéxico: Reverté. Recuperado 19 de julio de 2011, de
http://books.google.com.mx/books?id=opIn4vEn3pAC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summar
y_r&cad=0#v=onepage&q&f=false
10
Smith, A Stanley; et al (1998) Algebra, trigonometría y geometría analítica. México. Pearson Educación:
Recuperada el 19 de julio de 2011 de
http://books.google.com.mx/books?id=qSZ7yArbAb4C&dq=elipse,+geometria+analitica&hl=es&source=gbs
_navlinks_s
43
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
11
Douglas F. Riddle (1996) Geometría analítica. México. Cengage Learning : Recuperada el 19 de julio de
2011, de
http://books.google.com.mx/books?id=XpABZBRV4gQC&dq=elipse,+geometria+analitica&hl=es&source=
gbs_navlinks_s
12
Palmer Claude Irwin (2003) Matemáticas prácticas. España. Reverté: Recuperada el 20 de julio de 2011,
de
http://books.google.com.mx/books?id=svzuB4pZKjkC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summar
y_r&cad=0#v=onepage&q&f=false
13
Ibáñez Carrasco Patricia & Gerardo García Torres (2010) Matemáticas III. Geometría Analítica. Cengage
Learning: Recuperada 19 de julio de 2011, de
http://books.google.com.mx/books?id=zfEsLBNneb0C&hl=es&source=gbs_navlinks_s
44
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
i
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
6.1. La hipérbola como lugar geométrico
En la época de Platón los griegos consideraban que las secciones cónicas: elipse, parábola e
hipérbola se derivan de la intersección de un cono con un plano (de ahí se atribuye el
nombre de secciones cónicas). Uno de los predecesores más importantes fue Menecmo
(325-375 aC), matemático griego, discípulo de Eudoxo, amigo de Platón y tutor de
Alejandro Magno, fue quien descubrió las propiedades de la hipérbola1. Con Newton la
hipérbola empieza a considerarse como una curva de dos ramas, pues Apolonio no
consideraba ambas ramas como pertenecientes a una misma curva2.
Aún cuando las hipérbolas no se presentan en construcciones físicas, como la parábola y la
elipse, son curvas muy útiles, aparecen frecuentemente en graficas de ecuaciones en física,
biología y economía, así como en curvas de oferta y demanda. La ley de Ohm, la Ley de
Boyle y la acción capilar son ejemplos de hipérbolas1.
La definición de la hipérbola es análoga a la de una elipse. El único cambio es que en lugar
de usar la suma de distancias desde dos puntos fijos, usamos la diferencia.
La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos, cuya diferencia de las distancias a
dos puntos fijos llamados focos se mantiene constante y es positiva3.
La hipérbola
La hipérbola es el conjunto de puntos que se mueven en el plano de manera que la
diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, es una cantidad constante e
igual al eje transverso4.
La recta que pasa por los focos es un eje de la hipérbola llamado eje focal y al segmento
que une los vértices se llama eje transverso, también hay otro eje que es perpendicular al
anterior y se llama eje conjugado, dichos ejes el conjugado y el transverso se interceptan y
el punto de intercepción se llama centro de la hipérbola.
La hipérbola tiene dos lados rectos, que son segmentos que pasan por los focos
perpendiculares al eje de la hipérbola y que unen dos puntos de la hipérbola.
1
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
La hipérbola presenta simetría respecto a sus ejes y tiene dos asíntotas que pasan por el
centro de la hipérbola, veamos la siguiente figura donde se muestran los elementos de la
hipérbola antes mencionados:
Elementos:
Focos: F y F’
Vértices: V y V’
Centro: C
Eje transverso=2a=̅̅̅̅̅
Eje conjugado=2b
Distancia entre los focos=2c=̅̅̅̅̅
Semieje transverso=a
Semieje conjugado=b
Distancia del centro al foco=c
Longitud del lado recto ̅̅̅̅
a<c
2
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
A continuación se muestran las distintas posiciones de las hipérbolas horizontales y
verticales en el curso no se abordarán las inclinadas, dicha posición la determina su eje
transverso.
Basándonos en la definición, consideremos un punto cualquiera de la hipérbola uno de los
vértices, la siguiente gráfica nos muestra que el valor absoluto de la diferencia de sus
distancias a los focos, es la distancia entre los vértices ̅̅̅̅̅=2ª.
||̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅|
|̅̅̅̅̅
̅̅̅̅|
|̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅=2a ya que ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ |
̅̅̅̅
Obsérvese que la hipérbola es una curva abierta y consta de dos ramas o secciones, con
extensión infinita. La longitud del semieje conjugado forma un triángulo rectángulo con
3
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
catetos; el semieje conjugado y semieje transverso, y la hipotenusa c, que al aplicar el
teorema de Pitágoras resulta: c2=a2+b2.
6.2. Ecuación de la hipérbola
Comencemos con una hipérbola horizontal con centro en el origen, ver figura:
Por la definición:
|̅̅̅̅
̅̅̅̅̅|
que equivale a ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
…(a)
De la misma manera, si tomáramos el punto en la rama izquierda tendríamos:
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
….(b)
Observe que dependiendo de la rama que se tome, las distancias del punto a los focos son
menores o mayores, si lo tomamos como en el ejemplo en la rama derecha ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅.
Deduciremos la fórmula con el punto en la rama derecha, ya que análogamente se obtiene
la misma si se toma con la rama izquierda, por lo que usaremos la ecuación (a).
Usando la fórmula de distancia entre dos puntos:
√
Calculamos las distancia del punto a los focos y las sustituimos en (a), y tenemos:
̅̅̅̅
√
y ̅̅̅̅̅
√
4
CONALEP-2011
√
[Representación gráfica de funciones]
√
Despejamos
√
Elevamos al cuadrado (√
)
X2-2cx+c2+y2
Reduciendo
√
(
√
)
= 4a2+4a√
+
=
+x2+2cx+c2+y2
4a2+4a√
-4cx-4a2=4a√
-cx-a2=a√
todo entre 4
elevando al cuadrado
( √
)
c2x2+2a2cx+a4=a2(
c2x2+2a2cx+a4=a2(x2+2cx+c2+y2)
c2x2+2a2cx+a4=a2x2+2a2cx+a2c2+a2y2
reduciendo
factorizando
c2x2 - a2x2+a2c2-a2y2 = a2c2-a4
x2(c2-a2)-a2y2=a2(c2-a2)
pero de la relación c2=a2+b2, vemos que: c2-a2=b2 lo sustituimos y tenemos:
b2x2-a2y2=a2b2 dividiendo entre a2b2
Esta es la ecuación de la hipérbola horizontal con vértice en el origen.
Análogamente se trabaja para deducir la ecuación de la hipérbola vertical con vértice en el
origen, (queda al lector obtener la deducción).
5
[Representación gráfica de funciones]
CONALEP-2011
Esta es la forma ordinaria de la ecuación de la hipérbola vertical con centro en el origen.
¿Pero cómo diferenciar las dos ecuaciones? Si prestamos atención el término en x2 nos
puede auxiliar, cuando este es positivo es horizontal y cuando es positivo el término en y2
es vertical.
Al igual que la elipse, la hipérbola tiene dos lados rectos y para obtenerlos usaremos la
ecuación ordinaria de la hipérbola horizontal con centro en el origen y despejamos y:
y= √
y=
√
pero por tratarse de una longitud
y= √
tomamos el valor positivo
Recordemos que comenzamos con la ecuación de una hipérbola horizontal, entonces el
foco tiene coordenadas F(c,0) sustituimos el valor de la abscisa en la ecuación anterior:
y= √
Usando la relación c2=a2+b2, despejamos b2=c2-a2, que es lo que tenemos dentro del radical
Lo sustituimos y tenemos:
y= √
Lr=
=
este es el valor de la mitad del lado recto
.
6
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Excentricidad: Recuerda que la excentricidad se denota con la letra e y es igual a e=
ya que c>a.
Asíntotas de la hipérbola
Las asíntotas son rectas a las que cada rama de la hipérbola se acerca pero jamás llega a
tocarlas, y tienen por ecuación:
y=
asíntotas de la hipérbola horizontal con centro en el origen
y=
asíntotas de la hipérbola vertical con centro en el origen
A continuación veremos algunos ejemplos donde apliquemos lo anterior:
Ejemplo 1. Encuentra la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son V(3,0) y V’(-3,0) y
cuyos focos son F(5,0) y F’(-5,0).
Solución
Las coordenadas de los vértices son V(a,0) y V´(-a,0), de aquí
observamos que un dato que tenemos es a=3.Esto nos indica que la
hipérbola es horizontal.
Las coordenadas de los focos F(c,0), F´(-c,0) nos arrojan otro
dato,
c=5.
La ecuación ordinaria o canoníca es de la forma
x2 y 2
1
a 2 b2
Y para encontrar la ecuación solo se sustituye en la ecuación
anterior los valores de a y b; para encontrar el valor de b
utilizamos la ecuación c2=a2+b2
Despejando b se tiene:
7
,
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
b c2 a2
Sustituyendo los valores de c y a:
b 52 32 25 9 16 4
La ecuación buscada es:
x2 y 2
1
32 42
x2 y 2
1
9 16
La excentricidad
e
c 5
a 3
Lado recto
Lr
2b2 2(16) 32
a
3
3
El eje real o transverso VV´=2a = 2(3)=6
Eje imaginario o conjugado AA´=2b=2(4)=8
Las ecuaciones de las asíntotas
y
b
x
a
y
b
x
a
Sustituyendo los valores de a y b:
y
4x
3
y
4 x
3
8
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 2. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son: V(0,2) y V’(0,-2) y cuya
excentricidad es e= .
Solución
Como los vértices están sobre el eje y, es una hipérbola vertical
y su ecuación tiene la
forma:
y 2 x2
1
a 2 b2
De las coordenadas de los vértices tenemos el valor de a=2
Por lo tanto la excentricidad es:
e
c 5
a 2
Entonces c=5, por lo que las coordenadas de los focos son:
F(0,5),F´(0,-5)
Para calcular b, utilizamos la relación c2=a2+b2
b c 2 a 2
b 52 22 25 4 21
La ecuación
pedida es:
9
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
y 2 x2
1
4 21
O bien,
21y2-4x2-84=0 que es
su forma general
El lado recto
2b3 2 21
Lr
a
2
2
42
21
2
Las ecuaciones de las asíntotas y
bx
a
y
bx
a
Sustituyendo los valores de b y a:
y
21x
2
y
21x
2
El eje real o transverso ̅̅̅̅̅=2a = 2(2)=4
Eje imaginario o conjugado ̅̅̅̅̅=2b= 2 21
y
y
2x
21
10
2x
21
[Representación gráfica de funciones]
CONALEP-2011
Ejemplo 3. Encuentra la ecuación de la hipérbola cuyos focos son F(0,3) y F’(0,-3) y cuya
longitud de sus lados rectos es Lr=16.
Solución
Tenemos la ecuación de lado recto Lr
Conocemos
c=3 y
y despejamos b2
2b2
y la relación c2 a 2 b2
a
Lr=16, entonces sustituimos el valor de Lr
de la ecuación, sustituimos este valor en la
segunda ecuación y resolvemos:
2b 2
2b 2
Lr
como Lr=16 tenemos 16
a
a
2
16a 2b
despejamos b 2
16a
b2
2
2
b 8a
sustituyendo el valor de b 2 =8a y c=3 en la ecuación c 2 a 2 b 2
queda 32 a 2 8a quedando una ecuación de segundo grado
a 2 8a 9 0
la ordenamos , y resolvemos utilizando la fórmula general
b b 2 4ac
2a
para este caso los coeficientes de la variable son : a=1, b=8, c=-9
x
Descartamos a=-9 por que no representa una magnitud y
tomamos como valor a=1.
Con los datos a 1, c 3 y usando la relación
b2 8a
b 8(1) 8
11
CONALEP-2011
Como los
[Representación gráfica de funciones]
focos están sobre el eje vertical, se trata de una
hipérbola de la forma
y 2 x2
1
a 2 b2
sustituyendo a=1, b= 8
y2
x2
1
2
12
8
y 2 x2
1 es la ecuación ordinaria de la hiperbola
1 8
la excentricidad:
c 3
3
a 1
las coordenadas de los vertices V(0,a), V'(0,-a)
e=
V(0,1) y V´(0,-1)
las ecuaciones de la asíntotas y=
y
a
a
x, y=
x
b
b
8
x
8
8
x
8
la longitud del eje VV '=2a=2(1)=2
y
la longitud de eje conjugado=2b=2 8
y
y
8
x
8
12
8x
8
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 4. Encuentra los elementos de la hipérbola cuya ecuación es:
y 2 x2
1
9 49
Solución
Como la ecuación ya está en forma canónica, se observa
directamente de esta los valores de a y b, y por tener el
término y2 positivo es vertical.
a 9 3 , b 49 7
Calculando c, con la relación: c a 2 b2
c 32 72 9 49 58
Con los valores a=3,b=7 y c 58 , y por tratarse de una
hipérbola vertical, calculamos los vértices V(0,a), V´(0,-a),
quedando:
V(0,3),V´(0,-3)
Focos: F(0,c),F´(0,-c)
F(0, 58 ),F´(0,- 58 )
El ancho focal o lado recto está dado por la ecuación Lr
2(7)2 2(49) 98
3
3
3
c
58
La excentricidad: e
a
3
Lr
13
2b 2
, entonces,
a
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Las asíntotas están dadas por y
a
x ; como b=7 y a=3
b
tenemos:
y
3
x
7
y
3
x
7
F(0, 58)
F'(0,- 58)
Ejemplo 5. Hallar los elementos de la hipérbola cuya ecuación es:
x2 – 4y2- 16=0
Solución
Como el término cuadrático positivo es x2 se trata de una hipérbola
horizontal.
Dividiendo toda la ecuación entre 16, para que el término
independiente se convierta en uno y obtener la forma ordinaria:
x 2 4 y 2 16
16
16
x 2 4 y 2 16
16 16 16
x2 y 2
1
16 4
Comparándola con la ecuación ordinaria
x2 y 2
1
a 2 b2
Al hacer la comparación
se observa que; a2 =16 y b2=4 por lo que
14
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
a 16 4
b 4 2
Utilizando la relación:
c a 2 b2
Y sustituyendo los valores a=4 y b=2
c 42 22
c 16 4
c 20 2 5
Con los valores ya calculados de a,b y c, encontramos que
Las coordenadas de los focos son:
F (2 5, 0) y F´(2 5, 0)
Las coordenadas de los vértices son:
V(4,0) y V´(-4,0)
Finalmente las ecuaciones de las asíntotas y=
sustituyendo los valores a=4, b=2:
y
1
x
2
,
1
y x
2
Para graficar las asíntotas se hace una tabla de valores, con 2
son suficiente, ya que sabemos que por dos puntos pasa una recta.
15
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ecuación de la hipérbola con centro en cualquier punto del plano
Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en cualquier punto del plano
Respecto de los nuevos ejes coordenados X’ y Y’ la ecuación de la hipérbola horizontal es:
16
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
(
)
Hacemos uso de las fórmulas de traslación de ejes:
x’=x-h
y y’=y-k
Esta es la fórmula ordinaria de la ecuación de la hipérbola horizontal.
Ecuación de la hipérbola vertical con centro en cualquier punto del plano
Análogamente se hace para la ecuación de la hipérbola vertical y se obtiene:
De las formas ordinarias podemos pasar a la forma general quitando los denominadores,
elevando los binomios y reduciendo los términos semejantes.
17
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Dichas hipérbolas tienen la relación:
c2=a2+b2
El valor de su excentricidad: e=
Longitud de los lados rectos: Lr=
Asíntotas horizontales:
Asíntotas verticales:
0
A continuación veremos unos ejemplos donde las apliquemos.
Ejemplo 6. Encuentra la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son V(5,3),V’(-1,3) y
cuyos focos son F(6,3) y F’(-2,3).
Solución
Como los vértices y focos tienen la misma ordenada se trata
de una hipérbola horizontal.
Cuando la hipérbola no tiene el centro en el origen las
coordenadas de los vértices y los focos son:
V(h+ak), V’(h-a,k)
F(h+c,k), F´(h-c,k)
De estas últimas coordenadas, comparándola con los focos que
nos da el enunciado del problema, tenemos:
h+c=6,
18
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
h-c=-2
que son 2 ecuaciones con 2 incógnitas despejando c en las 2
igualdades:
c=6-h
c=h+2
Igualando:
6-h=h+2
6=h+h+2
h+h+2=6
2h=6-2
h
4
2
2
Sustituyendo este valor en c=h+2
c 22 4
De las coordenadas de los vértices V(h+a,k) y V(5,3)
Establecemos que h+a=5, como sabemos que h=2, sustituimos:
2a 5
a 52 3
Para encontrar el valor de b, utilizamos la relación
y los valores de c=4,a=3
b
4 3
2
2
16 9 7
Tenemos los valores:
19
7
c2=a2+b2
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
a 3, b 7, c 4, h 2, k 3
Ahora podemos calcular los datos que se nos piden.
El centro es C(h,k),entonces C (2,3) .
Observe: qué resulta más práctico, calcular el punto medio de
los vértices o de los focos.
La ecuación
corresponde a una
hipérbola horizontal con
centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje de las x:
( x h) 2 ( y k ) 2
1
a2
b2
sustituyendo los valores de h,k,a,b
( x 2) 2
3
2
( y 3) 2
7
2
1
( x 2) 2 ( y 3) 2
1
9
7
O bien, desarrollando y quitando denominadores, la fórmula
general:
7x2+9y2-28x+54y+46=0
Para obtener el lado recto:
Lr
2b2 2( 7)2 2(7) 14
a
3
3
3
Lado recto =2a=2(3)=6
Longitud del eje conjugado: 2b= 2 7
Longitud del eje transverso: 2a=
Las asíntotas son:
20
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
b
( y k ) ( x h)
a
por lo tanto las ecuaciones de las asisntotas son:
(y-3)=
7
( x 2)
3
(y-3)= -
7
( x 2)
3
Observe que las asíntotas son ecuaciones de la recta de la forma punto pendiente.
Ejemplo 7. Hallar al ecuación de la hipérbola cuyos vértices son V(5,-2) y V’(-3,-2) y
cuya excentricidad es e= .
Solución
De las coordenadas del V(h+a,k),V´(h-a,k) y comparando los
datos tenemos:
h+a=5
h-a=-3
Despejando h en ambas ecuaciones y luego igualando para
encontrar el valor de a:
21
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
h=5-a
h=a-3
5-a=a-3
8=2a
a=4
como h=5-a
h=5-4
h=1
Recuerda que es más práctico encontrar las coordenadas del
punto medio de los vértices.
Conocemos el valor de la excentricidad e:
c
a
5 c
4 4
5(4)
c
4
5c
e
para encontrar el valor de b utilizamos la relación b= c2 a 2
b 52 42 25 16 9 3
La ecuación de la hipérbola la obtenemos sustituyendo los
valores a=4,b=3,c=5,h=1,k=-2 en
22
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
( x h) 2 ( y k ) 2
1
a2
b2
sustituyendo los valores de h,k,a,b
( x 1) 2
4
2
( y (2) 2
1
32
( x 1) 2 ( y 2) 2
1 forma ordinaria
16
9
9x2-16y2-18x-64y-155=0
forma general
Para obtener el lado recto:
Lr
2b 2 2(32 ) 2(9) 18 9
a
4
4
4 2
Eje transverso ̅̅̅̅̅
2a=2(4)=8
Longitud del eje conjugado ̅̅̅̅̅
Las asíntotas son:
b
( y k ) ( x h)
a
por lo tanto las ecuaciones de las asisntotas son:
3
3
(y-(-2))= ( x 1) esto es (y+2)= ( x 1)
4
4
3
(y+2)= ( x 1)
4
23
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 8. Encuentra la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son los puntos V(2,10) y
V’( 2 , 2 ) y cuya longitud de los lados rectos es Lr=18.
Solución
Como vemos, en las coordenadas de
los vértices el valor de
las abscisas es igual, lo que nos indica que es una hipérbola
vertical:
( y k ) 2 ( x h) 2
1
a2
b2
con asíntotas
a
(y-k)= ( x h)
b
coordenadas
V (h, k a), V '(h, k a)
F ( h, k c), F '(h, k - c)
Usando las coordenadas dadas:
24
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
h=2
k+a=10
k-a=2
Estas dos últimas son dos ecuaciones simultáneas de 2
incógnitas, despejamos k de ambas y después igualamos:
Despejando k
K=10-a
K=a+2
Igualando
10-a=a+2
Resolviendo
10=a+a+2
10-2=2a
8=2a
a=4
En la ecuación k=10-a, sustituimos el valor encontrado de a=4
para obtener el valor de k
k=10-a
k=10-4
k=6
Por lo tanto el centro está en C(2,6)
25
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Es más práctico encontrar con las coordenadas del punto medio
de los vértices.
Utilizando la relación
2b 2
Lr=
a
sustituyendo Lr=18, a=4
2b 2
18
4
b6
Calculando ahora el valor de c con la ecuación c2=a2+b2
c 2 42 62
c 2 16 36
c 2 52
c 52
cambiando los miembros y resolviendo:
2b 2
18
4
b 2 36
b6
Con los valores obtenidos
a=4, b=6, c= 52, h 2, k 6
encontramos la ecuación ordinaria,
( y 6)2 ( x 2) 2
1
16
36
9y2-4x2-108y+16x+164=0
O bien:
Ancho focal
̅̅̅̅̅
2a=2(4)=8
Longitud del eje conjugado ̅̅̅̅̅=2b=2(6)=12
26
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ecuaciones de las asíntotas:
a
(y-k)= ( x h)
b
4
( y 6) ( x 2) simplificando la fracción
6
4
( y 6) ( x 2)
6
y excentricidad: e
2
( y 6) ( x 2)
3
2
( y 6) ( x 2)
3
c
52
52
26
a
4
2
Ejemplo 9. Hallar las coordenadas del centro, focos y vértices, longitud de los lados rectos,
valor de la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es:
25x2 4 y 2 150 x 32 y 261 0
Solución
Convertimos
la ecuación general en su forma ordinaria:
27
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
agrupando los términos
25 x 2 150 x 4 y 2 32 y 261 0
factorizando y pasando en el miembro derecho el término independiente:
25( x 2 6 x) 4( y 2 8 y ) 261
completando cuadrados.
25( x 2 6 x 9) 4( y 2 8 y 16) 261 225 64
factorizando los trinomios:
25( x 3) 2 4( y 4) 2 100
se divide entre -100 para que el miembro de la derecha sea 1.
25( x 3) 2 4( y 4) 2
100
100
25( x 3) 4( y 4) 2 100
100
100
100
2
2
( x 3) ( y 4)
1
4
25
reacomodando
2
( y 4) 2 ( x 3)
1
25
4
2
Comparando con la forma canónica de una hipérbola vertical
con eje focal paralelo al eje de las y:
( y k ) 2 ( x h) 2
1
a2
b2
los valores obtenidos son:
k=4,h=3,a=5,b=2
para calcular c,utilizamos la relación c2=a2+b2
c 2 52 2 2
c 2 25 4
c 29
28
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Con los valores ya obtenidos
las coordenadas del centro,
C(h,k)=C(3,4)
lado recto Lr
2b2 2(22 ) 8
a
5
5
Longitud del eje transverso =2a=2(5)=10
Longitud del eje conjugado=2b=2(2)=4
Ecuaciones de las asíntotas
a
(y-k)= ( x h)
b
5
( y 4) ( x 3)
2
5
( y 4) ( x 3)
2
Excentricidad: e
c
29
a
5
29
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Forma general de la ecuación de la hipérbola
Forma general de la ecuación de la hipérbola horizontal:
Comenzaremos por la ecuación ordinaria de la ecuación de la hipérbola:
Quitando el denominador, desarrollando los binomios y reduciendo términos semejantes:
b2(x2-2hx-h2)-a2(y2-2ky+k2)=a2b2
b2x2-2b2hx- b2h2 -a2y2+2 a2ky - a2k2=a2b2
b2x2 -a2y2-2b2hx+2 a2ky+ b2h2- a2k2- a2b2=0
Comparemos la ecuación obtenida con la ecuación general de segundo grado para encontrar
la relación entre los coeficientes de ambas:
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
A=b2, B=0, C=-a2, D=-2b2h, E=2a2k, y F=b2h2-a2k2-a2b2
Así la ecuación general de la hipérbola horizontal queda:
Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0
Forma general de la ecuación de la hipérbola vertical
Comenzaremos por la ecuación ordinaria de la ecuación de la hipérbola:
30
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Quitando el denominador, desarrollando los binomios y reduciendo términos semejantes:
b2(y2-2hy-k2)-a2(x2-2hx+h2)=a2b2
b2y2-2b2kx+ b2k2 -a2x2+2 a2hx - a2h2-a2b2=0
-a2x2 +b2y2+2a2hx-2b2ky+ b2k2- a2h2- a2b2=0
Comparemos la ecuación obtenida con la ecuación general de segundo grado para encontrar
la relación entre los coeficientes de ambas:
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
A= -a2, B=0, C=-b2, D=-2a2h, E=-2b2k, y F=b2k2-a2h2-a2b2
Así la ecuación general de la hipérbola horizontal queda:
Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0
Si la hipérbola es horizontal el coeficiente de x2 es positivo y si es vertical el coeficiente de
y2 es positivo.
Veamos la aplicación de lo anterior:
Ejemplo 10. Hallar, pasando de la forma general a la ordinaria y después usando la fórmula
general, los elementos de la hipérbola:
36 x2 64 y 2 216 x 512 y 3004 0
Solución
Convertiremos
la ecuación general a su forma ordinaria
agrupando los términos
36 x 2 216 x 64 y 2 512 y 3004 0
factorizando y pasando en el miembro derecho el término independiente:
36( x 2 6 x) 64( y 2 8 y ) 3004
31
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
completando cuadrados.
36( x 2 6 x 9) 64( y 2 8 y 16) 3004 324 1024
factorizando los trinomios:
36( x 3)2 64( y 4)2 2304
se divide entre 2304 para que el miembro de la derecha sea 1.
36( x 3) 2 64( y 4)2
2304
2304
36( x 3) 2 64( y 4) 2 2304
2304
2304
2304
2
2
( x 3) ( y 4)
1
64
36
De ahí los valores observados son:
a2=64,b2=36,y centro C(-3,-4)
para calcular c, utilizamos la relación c2=a2+b2
c 2 82 6 2
c 2 64 36
c 100 10
Lado recto Lr
2b2 2(62 ) 72
9
a
8
8
Longitud del eje transverso =2a=2(8)=16
Longitud del eje conjugado=2b=2(6)=12
Ecuaciones de las asíntotas
b
(y-k)= ( x h)
a
3
( y 4) ( x 3)
4
3
( y 4) ( x 3)
4
32
[Representación gráfica de funciones]
CONALEP-2011
Excentricidad: e
Resolveremos
c 10 5
a 8 4
ahora la misma ecuación utilizando la ecuación
general de la hipérbola: Ax 2 By 2 Cx Dy E 0
Las relaciones entre los coeficientes
de la ecuación general
y los valores de los elementos de la hipérbola son:
A b2 B= - a 2
C=2b2 h
D=2a 2 k
Con A=36,B=-64, C=-216, D=-512
Tenemos:
b2 36, b=6
a 2 64, a 8,
216 2b2 h
h
216
3
64
512 2a 2 k
33
CONALEP-2011
k
[Representación gráfica de funciones]
512
4
2(64)
c 82 66 100 10
Nuevamente los valores encontrados son los mismos
a=8, b=6, h= -3, k= -4
6.3. Aplicaciones
Las hipérbolas aparecen en muchas situaciones reales, por ejemplo, un avión que vuela a
velocidad supersónica paralelamente a la superficie de la tierra, deja una huella acústica
hiperbólica sobre la superficie. La intersección de una pared y el cono de luz que emana de
una lámpara de mesa con pantalla troncocónica, es una hipérbola. La hipérbola tiene
propiedades de reflexión, las cuales se aplican en el diseño de telescopios del tipo de
Cassegrain5.
La hipérbola es la trayectoria de muchos cometas, aquellos cuerpos que son desviados y
atraídos por el sol, pero cuya velocidad respecto a él les permite escapar de su atracción y
abandonar para siempre el sistema solar, su trayectoria es abierta, formando una hipérbola.
Esta curva es también usual en las radiocomunicaciones. La hipérbola es el modelo
comúnmente utilizado en navegación para localizar un sitio específico, mediante el
conocimiento de cierta información en tres puntos distintos1.
Veamos algunos ejemplos:
34
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Ejemplo 11. En una ciudad existe un canal de drenaje sobre el cual está un puente
vehicular en forma hiperbólica, como se muestra en la figura, se desea construir 2 puentes
peatonales, a una distancia de 12 metros de la parte más angosta del puente la cual mide 36
metros. ¿Cuántos metros debe medir cada puente peatonal?
Solución
Situando el origen a la mitad de la parte más angosta del puente
vehicular, tenemos que la longitud del eje transverso es el ancho
del puente 2a=36
Por lo tanto a=18
Ubicando los
focos a 12 metros sus coordenadas son:
F(30,0), F´(-30,0)
V(18,0), V´(-18,0)
Los puentes representan el lado recto de la hipérbola,
Necesitamos saber el valor de b, para poder aplicar la
Lr
2b 2
a
De la relación: c 2 a 2 b2
Sabemos que a=18, c=30, calculemos b
b 302 182 900 324 576 24
35
fórmula
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
2b2 2(242 ) 1152
Lr
64
a
18
18
Por lo que la longitud de cada puente peatonal debe de ser de
64 metros.
Ejemplo 12. Dos estaciones LORAN(es un sistema de navegación de largo alcance, por sus
siglas en inglés Long Range Navigation) están a una distancia de 500 Km entre sí a lo largo
de un litoral recto. Un barco registra una diferencia de tiempo de
segundos entre
las dos señales LORAN(señales a la velocidad de la luz). ¿En qué lugar tocaría tierra si
siguiera la hipérbola correspondiente a esta diferencia de tiempo?
Considere la velocidad de la luz c=
Km/seg
Solución
En este sistema de navegación se necesitan dos estaciones que
envían señales a los barcos, estas estaciones representan los
focos de la hipérbola,las llamaremos estación 1 y estación 2.
Hacemos que en el sistema
rectangular las dos estaciones
estén sobre el eje x y el origen a la mitad de la distancia
entre ellas.
El barco se encuentra en una hipérbola cuyos focos están en
la posición de las estaciones. Puesto que la diferencia de
tiempo es de 0.00090 seg y la velocidad de la luz es 300,000
Km/seg, la diferencia entre las distancias del barco a cada
estación es
distancia velocidad tiempo 300, 000
km
0.00090s 270 Km
s
La diferencia entre las distancias del barco a cada estación
270= 2a, de manera que a = 135 y el vértice de la parábola
está en (135,0) .Como el foco está en (250,0), si el barco
sigue la trayectoria hiperbólica tocará tierra a 250-135 =
115 Km de la estación 1.
36
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Estación 2
F´(-250,0)
Estación 1
F(250,0)
6.4. Problemario
1. Encontrar la ecuación de la hipérbola si se conocen:
1.1. V(4,0), V’(-4 ,0) y los focos F(√
,0) , F’(-√
,0)
1.2. V(0,5), V’(0,-5) y los focos F(0,13) , F’(0,-13)
1.3. V(6,0), V’(-6,0) y e=
1.4. F(0,20) y F’(0,-20) y e=
1.5.
V(2,0), V’(-2,0) y longitud de los lados rectos Lr=16
2. Encuentra las coordenadas del centro, de los vértices y los focos, la longitud de cada lado
recto, el valor de la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas de cada hipérbola cuya
ecuación es:
2.1.
x2-y2 =1
2.2.
y2-x2=1
2.3. 3x2-9y2=27
37
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
2.4. 4y2-9x2=36
2.5. 7x2-3y2=21
3. Encuentra la ecuación de la hipérbola si se conocen los siguientes datos:
3.1. V(3,13), V’(3,3) , los focos F(3,14) y F’(3,2)
3.2. V(-5,9), V’(-5,-1) , los focos F(-5,10) y F’(-5,-2)
3.3. V(-1,-6), V’(-5,-6) , los focos F(1,-6) y F’(-7,-6)
3.4. V(4,1), V’(-3,-1) , los focos F(5,1) y F’(-4,1)
3.5. V(7,-6), V’(1,-6) y e=2
3.6. F(0,1) , F’(6,1) y e=
3.7. V(8,1), V’(2,1) y Lr=
3.8. V(-10,8), V’(-10,6) y Lr=8
4. En cada ecuación de la hipérbola encontrar las coordenadas del centro, los vértices, y
focos, la longitud de los lados rectos, el valor de la excentricidad y las ecuaciones de las
asíntotas
4.1. -3x2+4y2-6x-24y+21=0
4.2. 16x2-9y2-64x+54y-161=0
4.3. 16x2-9y2+64x+54y-161=0
6.5. Autoevaluación
1. Hallar la ecuación de la hipérbola si se conocen los siguientes elementos.
V (5,0), V’ (-5,0) y F (7,0), F’ (-7,0)
2. Encuentra la ecuación de la hipérbola a partir de los siguientes elementos.
V (0,6), V’ (0,-6) y e 2
38
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
3. Encuentra las coordenadas de los focos y vértices, el valor de la excentricidad de la
hipérbola cuya ecuación es:
x2
y2
1
529 225
4. Calcula las coordenadas del centro, focos y vértices, la longitud de los lados rectos, el
valor de la excentricidad, las ecuaciones de las asíntotas, de la hipérbola cuya ecuación
5x2-4y2-20x+8y-4=0
es:
6.6. Conclusión
Las hipérbolas poseen ciertos elementos comunes, los cuales, al tomar valores distintos se
distingue una de otra. Estos son:
1. Puntos importantes: vértices, focos y centro
2. Ejes importantes: eje focal, eje transverso (es el segmento que une los vértices) y eje
conjugado.
3. Lado recto
4. Excentricidad (es la razón de las longitudes del eje focal y el eje transverso)
En la hipérbola aparecen las asíntotas. Las ramas de la hipérbola, se llaman asíntotas. Se
dice que el crecimiento de una curva es asintótico si es posible trazar una recta, tal que la
curva se aproxime sin medida a la recta sin cruzarse.
Las hipérbolas poseen dos asíntotas. Un par de rectas cruzadas cuyo trazo es útil para
graficarla.
39
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
En éste capítulo se habló de las hipérbolas horizontales y verticales donde el término en xy
no aparece, pero existen hipérbolas inclinadas que lo contienen, queda al lector profundizar
en el tema.
6.7. Soluciones del problemario
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
2.1. Centro C(0,0),vértices V(1,0),V’(-1,0),focos
F(√
,0),F’( √ ,0), longitud de los lados rectos Lr= √ ,
e=√ , ecuaciones de las asíntotas y= x.
2.2. Centro C(0,0),vértices V(0,1),V’(0,-1),focos
F( √
),F’(
√ ),longitud de los lados rectos Lr= √ , e=√ ,
ecuaciones de las asíntotas y= x.
2.3. Centro C(0,0),vértices V(3,0),V’(-3,0),focos
F(√
),F’( √
),longitud de los lados rectos Lr=2,
ecuaciones de las asíntotas y=
√
e=
x.
2.4. Centro C(0,0),vértices V(0,3),V’(0,-3),focos
F( √
),F’(
√
),longitud de los lados rectos Lr= , e=
ecuaciones de las asíntotas y=
x.
),V’( √
2.5. Centro C(0,0),vértices V(√
40
),focos
√
,
√
,
[Representación gráfica de funciones]
CONALEP-2011
),F’( √
F(√
√
),longitud de los lados rectos Lr=
,
e=√ , ecuaciones de las asíntotas y= √ x.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5
3.6.
3.7.
x 5
9
2
y 1
2
25
1;
25 x 2 9 y 2 250 x 18 y 391 0
3.8.
4.1. Centro C(-1,3),vértices V(-1,3+√ ),V’(-1,3 √ ),focos
F(-1,3 √ ),F’(
e=√
√ ),longitud de los lados rectos Lr=
,ecuaciones de las asíntotas y-3=
√
√
x+1)
4.2. Centro C(2,3),vértices V(5,3),V’(-1,3),focos F(7,3),F’(
Longitud de los lados rectos Lr= , e=
asíntotas y-3=
)
ecuaciones de las
x-2)
4.3. Centro C(-2,3),vértices V(1,3),V’(-5,3),focos F(3,3),F’(
Longitud de los lados rectos Lr= , e=
asíntotas y-3=
,
x+2)
41
ecuaciones de las
)
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
6.8. Soluciones de la autoevaluación
1.
2.
3. F(√
),F’( √
),V(23,0),V’(-23,0),e=
√
4. C(2,1),V(4,1),V’(0,1),F(5,1),F’(-1,1),Lr=5,e= ,asíntotas
√
42
CONALEP-2011
[Representación gráfica de funciones]
Referencias
1
Norma. Alfa 10 con estándares. Norma: Recuperada el 21 de Julio de 2011 de
http://books.google.com.mx/books?id=auOvPFEjXDMC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_sum
mary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false
2
Anfossi Agustín & Flores Meyer Marco Antonio (2004) Geometría analítica. México: Progreso:
Recuperada el 21 de julio de 2011 de
http://books.google.com.mx/books?id=i1BUlYPaKQsC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summa
ry_r&cad=0#v=onepage&q&f=false
3
Engler, Adriana et al. (2005) Geometría Analítica. Santa Fe, Argentina. Universidad Nacional del Litoral:
Recuperada el 21 de julio de 2011 de
http://books.google.com.mx/books?id=jLHB0fdw67AC&pg=PA160&dq=hiperbola,+geometria+analitica&hl
=es&ei=UFkoTvayJI70swObuIDnCA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=6&ved=0CEcQ6AEwBQ
#v=onepage&q&f=false
4
Mejía D. Francisco,et al.(2005) Matemáticas previas al cálculo. Colombia: Universidad de Medellín
http://books.google.com.mx/books?id=VfKMGiAftL4C&pg=PA523&dq=geometr%C3%ADa+anal%C3%A
Dtica+charles+h.+lehmann&hl=es&ei=vUoTqTWEdPZiAKLwbWwAg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=6&ved=0CEUQ6AEwBQ#v=o
nepage&q=HIP%C3%89RBOLA&f=false consultado 21de julio 2011
5
Stewart, James, et al. (2001) Precálculo: Matemáticas para el cálculo. México. Cengage Learning:
Recuperada el 21 de Julio de 2011 de
http://books.google.com.mx/books?id=psh0TZNE16QC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summ
ary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false
43
