Ejercicio 1 4 puntos Ejercicio 2 3 puntos Ejercicio 3 3 puntos

Introducción a la Matemática Discreta
Ingenierı́a Informática
E.T.S. de
Ingenierı́a Informática
15 de febrero de 2003
Entreguen cada ejercicio en folios separados, sin doblar las esquinas.
Escriban en cada folio “1er APELLIDO 2◦ APELLIDO, NOMBRE” (En MAYÚSCULAS) y en ese orden.
Ejercicio 1
4 puntos
Sean p, p1 , p2 y p3 cuatro números primos tales que p1 < p2 < p3 y p = p21 + p22 + p23 . Probar
que
a) p1 no puede ser 2.
b) p1 ha de ser necesariamente igual a 3.
c) Si p = 419 ¿cuánto pueden valer p2 y p3 ? En caso de existir más de una solución,
¿existe alguna para la que el número n = p1 · p2 · p3 sea de Carmichael?
Ejercicio 2
3 puntos
¿Cuántas cadenas de 8 bits comienzan por 101 o tienen el cuarto bit igual a 1?
Ejercicio 3
3 puntos
a) Probar, mediante inducción en n, que la suma de los n primeros enteros positivos viene
dada por
1
Sn = 1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n + 1)
2
b) En un supermercado quieren apilar las naranjas en una pirámide de base triangular de
forma que cada naranja se encuentre en contacto con tres de la capa inferior. ¿cuántas
naranjas serán necesarias para formar una pirámide de n capas?
Introducción a la Matemática Discreta
Ingenierı́a Informática
E.T.S. de
Ingenierı́a Informática
3 de septiembre de 2003
Entreguen cada ejercicio en folios separados, sin doblar las esquinas.
Escriban en cada folio “1er APELLIDO 2◦ APELLIDO, NOMBRE” (En MAYÚSCULAS) y en ese orden.
Ejercicio 1
La unidad monetaria de Interia es el “ interio” existiendo únicamente billetes de 18, 20 y
45 interios.
a) Probar que se puede realizar una compra por cualquier cantidad entera.
b) ¿Cómo podrı́a pagarse 1 interio? ¿es única la solución? Justifica la respuesta.
Ejercicio 2

 3x ≡ 2 (mod 7)
21x ≡ 15 (mod 30)
a) Resolver el sistema de congruencias

6x ≡ 5 (mod 25)
b) Probar que si x es una solución cualquiera del sistema anterior, existen enteros α y β
tales que xα + 28β = 1.
Ejercicio 3
La cuadrı́cula de la figura representa las calles de una pequeña ciudad.
r
B
rP2
rP1
r
A
a) Qué caracterı́sticas debe tener un camino de A a B de forma que no exista otro más
corto que él?
b) ¿Cuántos caminos distintos puede seguir un ladrón que roba una joyerı́a situada en la
esquina A para ir a su casa, situada en la esquina B, teniendo que cuenta que pretende
ir por uno de los caminos más cortos y que debe evitar pasar por las esquinas P 1 y P 2
en las que se encuentran las dos comisarı́as de policı́a de la ciudad?
Introducción a la Matemática Discreta
Ingenierı́a Informática
E.T.S. de
Ingenierı́a Informática
19 de noviembre de 2003
Entreguen cada ejercicio en folios separados, sin doblar las esquinas.
Escriban en cada folio “1er APELLIDO 2◦ APELLIDO, NOMBRE” (En MAYÚSCULAS) y en ese orden.
Ejercicio 1 4 puntos
Altea miró a Gaia, su superior, y dijo: creo que sólo falta un mes para producirse la próxima
conjunción de Cuzco, Inca y Machu Picchu y aún alcanzaremos a ver la siguiente antes de
que nos releven.
Sı́, gracias –contestó Gaia–. Para su interior pensó cuán equivocado estaba Altea. Se
encontraban desde hacı́a 36 años y 26 meses siderales (recuérdese que el año sideral tenı́a 60
meses siderales, cada uno de 60 dı́as estándares, los cuales, a su vez, tenı́an 60 horas cada
una de 60 minutos) en una base espacial en el sistema solar de Manco Cápac, a más de un
millón de parsecs de casa.
El sistema de Manco Cápac disponı́a de un sol mas bien pequeño y tres planetas: Cuzco,
que se alineó con la base por primera vez 0’2 años después de llegar ellos y que volverı́a a
hacerlo cada 15 meses; Inca que se alineó, por primera vez, con la base a los 3 meses de su
llegada y que volverı́a a hacerlo cada 840 dı́as y finalmente, Machu Picchu, cuya primera
alineación la observaron a los 0’15 años de su estancia en la base y que tiene un perı́odo de
11 meses.
Ahora hacı́a escasamente 36 años y medio que habı́an llegado y, oficialmente, le quedaban
aún otros 63 años y medio de servicio en la base, lo que les permitirı́a ver las dos conjunciones
que preveı́a Altea.
Pero Altea y él mismo habı́an bajado un peldaño en la escala social; ahora Altea era de
la antepenúltima generación y Gaia de la penúltima y sus contactos en la capital, el planeta
Imperia, les habı́an indicado que probablemente todos ellos fueran relevados por los de la
última generación.
. . . ¡Relevado! ¿Y después qué? ¿Era nostalgia lo que sentı́a? ¿Acaso asomaba una
lágrima de su ojo izquierdo? No lo creı́a posible, pues él era Gaia aunque, en realidad, su
verdadero nombre era C3PO, un robot de última . . . , perdón, de penúltima generación.
a) Justificar que encontrar cuándo habrá conjunción de los tres planetas equivale a resolver
el sistema de congruencias
x ≡ 12 (mod 15)
x ≡ 3 (mod 14)
x ≡ 9 (mod 11)
Nota: trabajar en meses siderales.
b) Resolver el sistema para justificar la veracidad de la predicción de Altea de que sólo
falta un mes para la conjunción de los tres planetas.
···/···
c) ¿Cuánto tiempo deberı́a tardar el relevo para poder observar la segunda conjunción de
los planetas prevista por Altea?
d) ¿Cuándo volverán a alinearse, sola y exclusivamente, Inca y Machu Picchu?
Ejercicio 2 2 puntos
Dada la sucesión de Fibonacci definida por
(
F1 = 1, F2 = 1
Fn = Fn−1 + Fn−2
∀n ≥ 3
probar, por inducción en n, que F3n es par cualquiera que sea n ∈ Z+ .
Ejercicio 3 4 puntos
Calcular el término general de la sucesión definida por

 a0 = 20, a1 = 22, a2 = 24
 a = 4a
n
n
n−1 − 5an−2 + 2an−3 + n · 2
Introducción a la Matemática Discreta
Ingenierı́a Informática
E.T.S. de
Ingenierı́a Informática
5 de febrero de 2004
Entreguen cada ejercicio en folios separados, sin doblar las esquinas.
Escriban en cada folio “1er APELLIDO 2◦ APELLIDO, NOMBRE” (En MAYÚSCULAS) y en ese orden.
Ejercicio 1
Dados 12 números primos diferentes p1 , . . . , p12 , consideremos los conjuntos
P = {pi pj pk : 1 ≤ i < j < k ≤ 12}
y
P 0 = {pi pj pk : 1 ≤ i ≤ j ≤ k ≤ 12}
a) Determinar el número de elementos de los conjuntos P y P 0 .
b) Probar que existen, al menos, tres elementos de P cuyas dos últimas cifras coinciden.
c) Sabiendo que el número de divisores del entero n = pα1 1 · pα2 2 · · · pαk k viene dado por
N = (α1 + 1)(α2 + 1) · · · (αk + 1), determinar el número de elementos del conjunto P 0
que tienen exactamente 6 divisores.
Ejercicio 2
a) Hacer uso de congruencias para probar que la condición necesaria y suficiente para que
un número sea divisible por 4 es que lo sea el número formado por sus dos últimas
cifras.
b) ¿Existe algún número de Carmichael terminado en 15? En caso afirmativo, hallar el
menor de ellos.
c) ¿Existe algún múltiplo positivo de 91 terminado en 15? En caso afirmativo, hallar
todos los comprendidos entre 10000 y 30000.
Ejercicio 3
Utilizando el alfabeto { , A,B,C,D,E,I,Ñ,O,S,T } y numerando sus elementos del 0 al 10
respectivamente, se pide:
a) Si queremos cifrar mensajes mediante RSA tomando r = 2 (dividiendo el texto en
grupos de dos letras) ¿es correcta la clave (q, s) = (1213, 485)? Justifica la respuesta.
b) Teniendo en cuenta que se ha utilizado dicha clave, descifrar el mensaje
466 − 1117 − 952 − 533 − 295 − 359
Introducción a la Matemática Discreta
Ingenierı́a Informática
E.T.S. de
Ingenierı́a Informática
9 de septiembre de 2004
Entreguen cada ejercicio en folios separados, sin doblar las esquinas.
Escriban en cada folio “1er APELLIDO 2◦ APELLIDO, NOMBRE” (En MAYÚSCULAS) y en ese orden.
Ejercicio 1 2 puntos
a) Se considera la sucesión (an ) definida por a1 = 1 y an = an−1 + n para n ≥ 2. Hacer
uso del método de inducción para probar que an + an−1 = n2 cualquiera que sea el
entero n ≥ 2.
b) Sin hacer uso del método de resolución de recurrencias lineales, determinar la fórmula
explı́cita del término general de la sucesión (an ).
Ejercicio 2 4 puntos
Se considera la ecuación diofántica lineal 3x + 7y = c donde c ∈ Z+ .
a) Hallar la solución general de la ecuación.
b) ¿Cúal es el mı́nimo valor que puede tomar c para que la ecuación posea soluciones
positivas?
c) ¿A partir de qué valor de c podemos garantizar que la ecuación siempre va a tener
soluciones positivas? (Independientemente de que para algún valor anterior también
puede admitirla).
d) ¿Entre qué dos valores debe situarse c para poder garantizar la existencia de “dos”
soluciones positivas, sin poder garantizar la existencia de una tercera? ¿Podrı́a darse
el caso de que para alguno de los valores encontrados tuviese tres soluciones positivas?
e) ¿Cuál es el mı́nimo valor que puede tomar c para que la ecuación admita soluciones
pares (tanto “x” como “y” deben ser pares)? Hallar, para dicho valor de c todas las
soluciones pares de la ecuación.
Ejercicio 3 4 puntos
a) Probar que si a es una “unidad” de Zn entonces mcd (a, n) = 1.
b) Probar que si am ≡ 1 (mod n) con m ∈ Z y m ≥ 2, entonces mcd (a, n) = 1.
c) Si a no es una unidad de Z26 y a10 ≡ 10 (mod 26), ¿cuánto puede valer el mcd (a, 26)?
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Ingenierı́a Informática
E.T.S. de
Ingenierı́a Informática
30 de noviembre de 2004
Entreguen cada ejercicio en folios separados, sin doblar las esquinas.
Escriban en cada folio “1er APELLIDO 2◦ APELLIDO, NOMBRE” (En MAYÚSCULAS) y en ese orden.
Ejercicio 1 2 puntos
Dada la sucesión de Fibonacci definida por
(
F1 = 1, F2 = 1
Fn = Fn−1 + Fn−2
∀n ≥ 3
probar, por inducción en n, que
∀ n ∈ Z+
es
F1 + F3 + F5 + · · · + F2n−1 = F2n
Ejercicio 2 4 puntos
Dado el sistema:

 x ≡ 4 (mod 8)
x ≡ a (mod 6)

x ≡ −1 (mod 15)
a) Determinar todos los posibles valores del parámetro a ∈ Z que hacen que el sistema
tenga solución.
b) Probar que la solución del sistema, en caso de tener solución, es independiente del
parámetro a.
c) Resolver el sistema en los casos en que tiene solución.
Ejercicio 3 4 puntos
Hallar una recurrencia lineal cuyo término general sea
an = n · 2n−1 + 3n+1 ∀ n ≥ 0
¿Cuántos términos iniciales es necesario conocer para que dicha fórmula recurrente defina la
sucesión dada cualquiera que sea n ≥ 0?
Indicación: A la vista de la forma del término general, trata de escribir la ecuación caracterı́stica de la recurrencia.
Introducción a la Matemática Discreta
Ingenierı́a Informática
E.T.S. de
Ingenierı́a Informática
7 de febrero de 2005
Entreguen cada ejercicio en folios separados, sin doblar las esquinas.
Escriban en cada folio “1er APELLIDO 2◦ APELLIDO, NOMBRE” (En MAYÚSCULAS) y en ese orden.
Ejercicio 1 4 puntos
Enviamos por correo dos tipos de paquetes A y B. Por enviar los del tipo A nos cobran 15
céntimos de euro más que por los del tipo B. Sabiendo que hemos enviado más paquetes
del tipo B que del tipo A, que en total hemos enviado 12 paquetes y que nos han cobrado
un total de 13 euros con 20 céntimos, ¿cuántos hemos enviado de cada tipo y qué nos han
cobrado por cada uno?
Ejercicio 2 2 puntos
a) Un entero n = p1 ·p2 · · · pk con k > 1 es de Carmichael si, y sólo si, es libre de cuadrados
y pi − 1 divide a n − 1 cualquiera que sea i = 1, 2, . . . k.
Probar que cualquier número de Carmichael es el producto de, al menos, tres primos
diferentes.
b) Un entero n se dice que es pseudoprimo para la base a si, siendo compuesto, verifica
que an ≡ a (mod n).
Probar, haciendo uso del teorema de Fermat, que si n es el entero resultante del
producto de dos primos gemelos (impares consecutivos), no puede ser pseudoprimo
para la base 2.
···/···
Ejercicio 3 4 puntos
La empresa inmobiliaria española Ladrillitos S.A. (LASA) decide construir urbanizaciones
de lujo en Venezuela y crea la filial Ladrillitos Venezuela S.A. (LAVENSA). Para ello LASA
transfiere un millón de euros a LAVENSA y al final del primer año incrementa el capital
hasta 8 millones. Las previsiones son que, a partir del segundo año, LAVENSA invierta
mensualmente el valor del capital al principio del año anterior y que obtenga unos ingresos
por venta de seis veces el valor del capital al inicio del año en curso.
Sea un el valor del capital de LAVENSA al final del año n-ésimo.
a) Probar que se verifica la relación de recurrencia
(
u0 = 1, u1 = 8
un − 7un−1 + 12un−2 = 0 ∀ n ≥ 2
b) Hallar la función U (x) generadora de un .
c) Determinar el capital de LAVENSA al final del quinto año de funcionamiento haciendo
uso de la función generadora U (x).
d) Determinar el capital de LAVENSA al final del quinto año de funcionamiento resolviendo la recurrencia (sin hacer uso de la función generadora).
Introducción a la Matemática Discreta
Ingenierı́a Informática
E.T.S. de
Ingenierı́a Informática
5 de septiembre de 2005
Entreguen cada ejercicio en folios separados, sin doblar las esquinas.
Escriban en cada folio “1er APELLIDO 2◦ APELLIDO, NOMBRE” (En MAYÚSCULAS) y en ese orden.
Ejercicio 1
Se considera la sucesión de Fibonacci definida por

 f0 = 0, f1 = 1
 f =f
∀n ≥ 2
n
n−1 + fn−2
1 1
fn+1 fn
n
a) Probar, por inducción en n, que si F =
se verifica que F =
1 0
fn fn−1
cualquiera que sea el entero positivo n.
b) Haciendo uso de la propiedad anterior, probar que fn+1 fn−1 = fn2 + (−1)n cualquiera
que sea n ∈ Z+ .
Ejercicio 2
Laura trabaja cuatro dı́as seguidos y descansa al quinto. Marı́a trabaja dos y descansa al
tercero.
a) Si sólo se ven cuando ambas descansan y hay Luna llena (la Luna tiene un perı́odo
de 28 dı́as) ¿cuándo volverán a verse si Marı́a descansó ayer, Laura lo hará pasado
mañana y hace diez dı́as que hubo luna llena?
b) Hasta esa fecha, ¿cuántos dı́as habrán descansado ambas pero no se habrán visto por
falta de Luna llena?
Ejercicio 3 Dada la sucesión (an ) con a0 = 2 y a1 = 12 y la función f : N → Z definida
de la forma f (n) = an+1 − 5an , calcular el término general de la sucesión sabiendo que
f (n)
= 7 cualquiera que sea el entero positivo n:
f (n − 1)
a) Planteando una recurrencia para (an ) y resolviéndola.
b) A través de la función generadora U (x) de la sucesión (an ).
Introducción a la Matemática Discreta
Ingenierı́a Informática
E.T.S. de
Ingenierı́a Informática
24 de noviembre de 2005
Entreguen cada ejercicio en folios separados, sin doblar las esquinas.
Escriban en cada folio “1er APELLIDO 2◦ APELLIDO, NOMBRE” (En MAYÚSCULAS) y en ese orden.
Ejercicio 1
Sean p y q dos números primos con p > q y tales que p · q + 1 también es primo. Probar,
razonadamente, las siguientes afirmaciones:
a) q ha de ser, necesariamente, 2.
b) Si p 6= 3 entonces p + 1 es múltiplo de 6.
c) Si p 6= 3, p no puede ser un primo de Mersenne.
d) Probar que los números Fn de Fermat verifican la recurrencia
(
F0 = 3
Fn = (Fn−1 − 1)2 + 1
∀n ≥ 1
y hacer uso de dicha propiedad para probar que si n ≥ 3 entonces Fn termina en 7.
e) Si p 6= 3 y p 6= 5, p no puede ser un primo de Fermat.
Ejercicio 2
a) Hallar el menor número a > 800 tal que si lo dividimos por 21, si 7a lo dividimos por
15 o si 2a lo dividimos por 5, obtenemos siempre un resto igual a 4.
b) Determinar el número b de formas en que podemos ordenar las letras de la palabra
EXAMEN teniendo en cuanta que las dos letras E no pueden ir juntas.
c) Calcular φ(682) haciendo uso del principio de inclusión y exclusión (no utilizar la
expresión de la función de Euler).
···/···
Ejercicio 3
Dada la sucesión definida por
a0
a1
a2
a3
a4
..
.
=2
=2+1=3
=2+1+2=5
=2+1+2+1=6
=2+1+2+1+2=8
a) Hallar una fórmula explı́cita de su término general.
b) Encontrar la función generadora de dicha sucesión.
Introducción a la Matemática Discreta
Ingenierı́a Informática
E.T.S. de
Ingenierı́a Informática
2 de febrero de 2006
Entreguen cada ejercicio en folios separados, sin doblar las esquinas.
Escriban en cada folio “1er APELLIDO 2◦ APELLIDO, NOMBRE” (En MAYÚSCULAS) y en ese orden.
Ejercicio 1
(
Dada la sucesión de Fibonacci definida por
f1 = 1,
f2 = 1
fn = fn−1 + fn−2
probar, por inducción en n, que
n
X
∀n ≥ 3
fi · (fi − 1) = (fn − 1)(fn+1 − 1).
i=1
Ejercicio 2
La compañı́a Cabitele nos cobra por llamar desde una de sus cabinas 50 céntimos de euro
el minuto por una llamada a Madrid y 1 euro con 20 céntimos si es a Parı́s. No contabiliza
fracciones, es decir, por 1 minuto y 1 segundo nos cobra 2 minutos.
Si la cabina no devuelve cambio pero podemos (sin colgar) volver a marcar otro teléfono
mientras exista crédito, ¿se pueden consumir 10 euros sin perder dinero y sin que se nos corte
la llamada teniendo en cuenta que queremos hablar necesariamente con dos personas, una
que se encuentra en Madrid y otra que se encuentra en Paris? ¿Cuántos minutos podremos
hablar con cada una de ellas? ¿Existe más de una solución?
Ejercicio 3
Se considera la sucesión

 a0 = 1, a1 = 9, a2 = 38
 a = 3a
n
n−2 + 2an−3
∀n≥3
a) Hallar la función generadora de dicha sucesión.
b) Hacer uso de la función generadora para calcular el término general de la sucesión.
c) Determinar la fórmula del término general de la sucesión definida por

 a0 = 1, a1 = 9, a2 = 38
 a = 3a
n
n
n−2 + 2an−3 + 9 · 2
∀n≥3
Introducción a la Matemática Discreta
Ingenierı́a Informática
E.T.S. de
Ingenierı́a Informática
14 de septiembre de 2006
Entreguen cada ejercicio en folios separados, sin doblar las esquinas.
Escriban en cada folio “1er APELLIDO 2◦ APELLIDO, NOMBRE” (En MAYÚSCULAS) y en ese orden.
Ejercicio 1
Determinar todos los puntos enteros del primer octante (x, y, z ≥ 0) de la recta determinada
por los planos
2x + 3y + 5z = 17
3x + 4y + 4z = 18
Ejercicio 2
Juan saca a pasear a su perro cada 6 horas y Pedro cada 10. Si Juan lo ha sacado a las 8 de
la mañana y Pedro a las 12
a) ¿Cuál es la última hora de la mañana a la que puede sacar su perro Luis si quiere
sacarlo cada 15 horas y no coincidir nunca ni con Juan ni con Pedro?
b) ¿A qué hora de la tarde deberı́a sacarlo si quisiera coincidir con ambos? y ¿cuándo
coincidirı́an?
Ejercicio 3
a) Determinar el término general de la sucesión (an ) cuya función generadora es
f (x) =
2 − 7x + 4x2
1 − 7x + 16x2 − 12x3
b) Definir la sucesión (an ) de forma recursiva.
c) Determina, a partir de la definición recursiva, el término general de dicha sucesión.
Introducción a la Matemática Discreta
Ingenierı́a Informática
E.T.S. de
Ingenierı́a Informática
4 de diciembre de 2006
Entreguen cada ejercicio en folios separados, sin doblar las esquinas.
Escriban en cada folio “1er APELLIDO 2◦ APELLIDO, NOMBRE” (En MAYÚSCULAS) y en ese orden.
Ejercicio 1
a) Probar que todos los números de Carmichael son impares.
b) Sabiendo que el número de divisores del entero n = pα1 1 · pα2 2 · · · pαk k viene dado por
s = (α1 + 1) · (α2 + 1) · · · (αk + 1), probar que si N es de Carmichael entonces s divide
a φ(N ).
c) Determinar todos los enteros de la forma n = 2α · 3β · pγ sabiendo que α, β y γ son
enteros positivos, que p es un primo distinto de 2 y de 3 y que φ(n) = 432.
Ejercicio 2
Una empresa posee seis ordenadores y los quiere colocar en red. Si cada ordenador debe
conectase con otros dos, y sólo con otros dos, ¿cuánto tiempo tardarán en estudiar todas
las configuraciones posibles, para encontrar la más adecuada, si emplean dos minutos en
analizar cada una de ellas por separado?
Ejercicio 3
a) Probar que las sucesiones definidas por

 a0 = 3, a1 = 12, a2 = 54
 a = 9a
n
n−1 − 24an−2 + 20an−3
son, exactamente, la misma sucesión.
b) Calcula su función generadora.
y

 b0 = 3
 b = 2b
n−1
n
n−1 + 6 · 5
Introducción a la Matemática Discreta
Ingenierı́a Informática
E.T.S. de
Ingenierı́a Informática
30 de enero de 2007
Entreguen cada ejercicio en folios separados, sin doblar las esquinas.
Escriban en cada folio “1er APELLIDO 2◦ APELLIDO, NOMBRE” (En MAYÚSCULAS) y en ese orden.
Ejercicio 1 4 puntos
Un coleccionista de obras de arte ha adquirido varios cuadros y dibujos de un artista moderno.
Las pinturas le han costado 649 euros cada una y los dibujos se los han dejado a 132 euros
cada uno. Cuando el coleccionista llega a su casa, no recuerda si el coste total de las obras
de arte ha sido de 2716 o 2761 euros.
a) ¿Cuánto les han costado exactamente?
b) ¿Cuántos cuadros y cuantos dibujos ha comprado?
Ejercicio 2 2 puntos
Probar que si p es un primo impar, entonces
a) 1p−1 + 2p−1 + · · · + (p − 1)p−1 ≡ −1 (mod p)
b) 1p + 2p + · · · + (p − 1)p ≡ 0 (mod p)
Ejercicio 3 4 puntos


a0 = 3



 y
(
Se considera la sucesión (an ) para la que
2 si n es par



a
−
4a
=

n
n−1

−8 si n es impar
a) Probar que se verifica que an − 3an−1 − 4an−2 = −6 para cualquier n ≥ 2.
b) Calcular su término general.
c) Determinar su función generadora.
Introducción a la Matemática Discreta
Ingenierı́a Informática
E.T.S. de
Ingenierı́a Informática
14 de septiembre de 2007
Entreguen cada ejercicio en folios separados, sin doblar las esquinas.
Escriban en cada folio “1er APELLIDO 2◦ APELLIDO, NOMBRE” (En MAYÚSCULAS) y en ese orden.
Ejercicio 1
Determinar para qué valores de a ∈ Z+ tiene solución el sistema

x ≡ 1 (mod 7)


x ≡ 2 (mod 54)


x ≡ a (mod 189)
y resolverlo para el menor de todos ellos.
Ejercicio 2
Considérese la sucesión de Fibonacci definida por
(
f0 = 0, f1 = 1
fn = fn−1 + fn−2 ∀ n ≥ 2
a) Hallar la fórmula explı́cita de su término general.
b) Sabiendo que x − y divide a xn − y n para cualquier n ∈ Z+ probar que si n divide a
m entonces fn divide a fm donde fn representa el término n-ésimo de la sucesión de
Fibonacci.
c) Probar que f1000000 es divisible por 7.
Introducción a la Matemática Discreta
Ingenierı́a Informática
E.T.S. de
Ingenierı́a Informática
5 de diciembre de 2007
Entreguen cada ejercicio en folios separados, sin doblar las esquinas.
Escriban en cada folio “1er APELLIDO 2◦ APELLIDO, NOMBRE” (En MAYÚSCULAS) y en ese orden.
Ejercicio 1 3 puntos
Hacer uso del teorema de Wilson para probar que si p es un primo impar entonces
2(p − 3)! + 1 ≡ 0 (mod p)
Ejercicio 2 4 puntos
Para promocionar sus magdalenas, una determinada empresa ha decidido premiar a sus
consumidores. En cada bolsa de magdalenas incluyen una tarjeta con un código formado
por tres sı́mbolos, que pueden ser dı́gitos (del 0 al 9) o letras (de entre las 27 del alfabeto
castellano). La únicas restricciones son que no pueden aparecer letras repetidas y que no
pueden aparecer dos letras juntas en el código. Para obtener premio hay que reunir tres
tarjetas iguales. ¿Cuántas bolsas de magdalenas es necesario comprar para estar seguro de
que vamos a lograr el premio?
Ejercicio 3 3 puntos
La sucesión (an ) está definida mediante

 a0 = 1, a1 = 3
 a =a
n
n−1 + an−2 + cn−2
para
n≥2
donde (cn ) es una sucesión de función generatriz g(x).
Expresa, en función de g(x), la función generatriz f (x) de la sucesión (an ).
Introducción a la Matemática Discreta
Ingenierı́a Informática
E.T.S. de
Ingenierı́a Informática
8 de febrero de 2008
Entreguen cada ejercicio en folios separados, sin doblar las esquinas.
Escriban en cada folio “1er APELLIDO 2◦ APELLIDO, NOMBRE” (En MAYÚSCULAS) y en ese orden.
Ejercicio 1 4 puntos
a) En el año 213 a.C. el general cartaginés Anı́bal se disponı́a a cruzar los Apeninos y
atacar a la poderosa Roma. Para afrontar dicha travesı́a con una unidad compuesta
por e elefantes y c caballos debı́a transportar 7700 kg de provisiones consigo. Si cada
elefante consumirı́a 123 kg en el viaje y cada caballo 19 kg, calcular la máxima cantidad
de elefantes que podrı́a llevar para consumirlas todas.
b) La vanguardia cartaginesa se componı́a de 3 unidades de infanterı́a, 2 de caballerı́a y
1 de elefantes. Calcular el número de las posibles disposiciones que podrı́a adoptar
suponiendo que las unidades se colocan alineadas en el frente.
c) Tras cruzar los Apeninos se producen bajas en el contingente de elefantes, sobreviviendo
30 de ellos. Anı́bal designa 20 cuidadores para hacerse cargo de ellos. Calcular de
cuántas formas pueden repartirse si cada cuidador debe ocuparse de, al menos, un
elefante.
Ejercicio 2 3 puntos
Llegado el ejército cartaginés a orillas del lago Trasimeno, el cónsul Flaminio envı́a un mensaje cifrado a sus tropas, utilizando el método RSA (¡un adelantado a su tiempo!) con r = 3,
n = 1517, e = 823 y usando el alfabeto {A, C, D, T } numerado del 0 al 3. Dicho mensaje
rezaba 1003 − 210. Calcular la clave privada y descifrar dicho mensaje.
Ejercicio 3 3 puntos
Iniciada ya la batalla, y llamando an al número de unidades en la misma, Anı́bal sigue
la siguiente táctica: en cada intervalo de tiempo mantiene los efectivos del anterior, los
incrementa en 4 veces los de dos intervalos antes, y retira 4 veces los que habı́a tres intervalos
antes. Expresar dicha táctica como una recurrencia lineal homogénea y resolverla para
a0 = 6, a1 = 3 y a2 = 21.
Introducción a la Matemática Discreta
Ingenierı́a Informática
E.T.S. de
Ingenierı́a Informática
8 de septiembre de 2008
Entreguen cada ejercicio en folios separados, sin doblar las esquinas.
Escriban en cada folio “1er APELLIDO 2◦ APELLIDO, NOMBRE” (En MAYÚSCULAS) y en ese orden.
Ejercicio 1 3 puntos
¿De cuántas formas pueden reordenarse las letras de la palabra APROBADO?
¿Y si no queremos que haya dos vocales iguales juntas?
Ejercicio 2 4 puntos
a) Probar que ∀ n ≥ 2 se verifica que
(n − 1)x ≡ 1 (mod n) ⇐⇒ x ≡ n − 1 (mod n)
b) Probar que el sistema formado por las m congruencias lineales
2ix ≡ 1 (mod (2i + 1))
1≤i≤m
admite siempre solución.
c) Resolverlo para el caso m = 4.
d) Encontrar la solución para el caso general de m ecuaciones.
Ejercicio 3 3 puntos
Dadas las sucesiones (an ) y (bn ) definidas mediante
a0 = 3, a1 = 5, a2 = 8
(an ) :
an = 4an−1 − 5an−2 + 2an−3 ∀ n ≥ 3
(bn ) :
b0 = 3
bn = 2bn−1 − n
∀n ≥ 1
a) Probar que se trata de la misma sucesión.
b) Calcular su función generadora.
c) Calcular el término general de la sucesión a partir de su función generadora.