calculo diferencial e integral en varias variables

FRANCISCO MONTALVO DURÁN
CALCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL
EN VARIAS VARIABLES
Departamento de Matemáticas,
Universidad de Extremadura,
Badajoz 2003
Índice General
I
Iniciación a los Espacios Normados
1
1 Espacios Normados
Conceptos básicos . . . . . . . . .
La estructura de espacio normado
Conexión en espacios normados . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
6
8
10
2 Normas Equivalentes
Equivalencia de normas . .
Espacios de dimensión finita
Lı́mites y continuidad . . .
Ejercicios . . . . . . . . . .
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15
15
17
21
27
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3 El Teorema de Stone-Weierstrass
31
El teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
El teorema de Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Linealidad
Aplicaciones lineales continuas . . . . . .
Norma de una aplicación lineal y continua
Aplicaciones multilineales continuas . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II Cálculo Diferencial para Funciones de
Varias Variables Reales
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39
39
40
42
44
47
5 Derivadas Parciales
49
Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
vii
viii
Contenido
Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
55
6 La Diferencial de Fréchet
57
Tangencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Diferenciabilidad en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7 Funciones de Clase C1
Preliminares . . . . . .
Condición suficiente de
Algunos ejemplos . . .
Ejercicios . . . . . . .
. . . . . . . . . .
diferenciabilidad
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
8 Reglas Formales de Derivación
Regla de la cadena . . . . . .
Fórmula de Leibnitz . . . . .
El teorema del valor medio .
Ejercicios . . . . . . . . . . .
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69
69
71
73
76
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77
77
80
82
86
9 Derivadas Parciales de Orden Superior
91
Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
El teorema de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
10 Diferenciales de Orden Superior
La diferencial de orden r en un punto
Relación con las derivadas parciales . .
Reglas de derivación . . . . . . . . . .
Permutación en el orden de derivación
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . .
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97
. 97
. 98
. 102
. 105
. 108
11 Teoremas de Taylor
111
Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Los teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
12 Extremos Relativos
123
Condiciones necesarias de extremo . . . . . . . . . . . . . . . 123
Condición suficiente de extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
La matriz hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Contenido
ix
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
13 Funciones Implı́citas: Existencia
Un teorema de punto fijo . . . . . . . .
El problema de las Funciones Implı́citas
Existencia de funciones implı́citas . . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 Funciones Implı́citas:
Lema fundamental
Teorema general .
Ejercicios . . . . .
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131
. 131
. 133
. 136
. 138
Derivación
141
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
15 Funciones Inversas
147
Derivada de funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Inversión local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
16 Variedades y Extremos Condicionados
Variedades diferenciables . . . . . . . . .
Variedad tangente . . . . . . . . . . . .
Multiplicadores de Lagrange . . . . . . .
Distintas presentaciones de una variedad
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . .
III
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Medida e Integración en Rn
153
153
155
157
159
161
165
17 Medida Exterior
167
n
Semintervalos de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Medida exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
18 Conjuntos Medibles
La identidad de Caratheodory . . .
La σ-álgebra de conjuntos medibles
Conjuntos medibles y no medibles
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .
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181
181
183
186
190
x
Contenido
19 La Medida de Lebesgue
193
Propiedades de la medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . 193
El problema de la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
20 Conjuntos de Borel
σ-Álgebras . . . . . . . . . .
La σ-álgebra de Borel . . . .
Transformaciones de medibles
Otras propiedades de m∗ . .
Ejercicios . . . . . . . . . . .
21 Caracterización de Funciones
Definiciones . . . . . . . . .
Funciones simples . . . . . .
El teorema principal . . . .
Ejercicios . . . . . . . . . .
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199
199
200
202
204
207
Medibles
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209
209
210
212
215
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217
217
222
223
227
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22 Espacio de Funciones Medibles
Definiciones y ejemplos . . . . . . . . .
Aritmética en [−∞, ∞] . . . . . . . . .
Propiedades de las funciones medibles
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . .
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23 Integración
Preliminares . . . . . . . .
Conjuntos de medida nula
Propiedades de la integral
Los espacios Lp . . . . . .
Ejercicios . . . . . . . . .
. . .
en la
. . .
. . .
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. . . . . . .
integración
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229
229
231
233
240
241
24 Teoremas de Convergencia
Convergencia monótona .
Convergencia dominada .
Consecuencias . . . . . . .
Ejercicios . . . . . . . . .
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245
245
248
251
254
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25 Primitivas e Integrales
257
Las integrales de Riemann y Lebesgue . . . . . . . . . . . . . 257
Teorema Fundamental del Cálculo Integral . . . . . . . . . . . 259
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Contenido
xi
26 El Teorema de Fubini-Tonelli
267
El teorema de Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
El teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
27 T. Cambio de Variables
273
Transformación de medibles por funciones de clase C 1 . . . . 273
El teorema del cambio de variables . . . . . . . . . . . . . . . 276
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280