Combinatoria - ONMAPS GUANAJUATO

Combinatoria (1° secundaria)
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Al inicio, hay que dar un repaso de lo que se ha visto anteriormente. Lo que vieron antes es
sólo principio aditivo, multiplicativo, caminos y permutaciones.
Para hacer ese repaso, podrías plantearles los siguientes 5 problemas. Tú decide si después de un
rato los resuelves tú en el pizarrón o que pasen ellos a explicar, pero deja que ellos los trabajen:
1. ¿De cuántas formas se puede separar un grupo de 23 niños en 4 grupos distintos (los
grupos pueden ser del tamaño que sea, incluso vacíos)? 𝑅. Como cada niño tiene 4
opciones para estar dentro de un grupo y hay 23 niños, el número total de formas es 423 .
¿Y si son 𝑛 cosas diferentes y se quieren dividir en 𝑘 grupos diferentes? 𝑅. 𝑘 𝑛 .
2. Hay 15 equipos en una liga de futbol. Si cada uno juega contra los demás en 5 ocasiones,
¿cuántos partidos se juegan en total? 𝑅. Cada equipo juega en total 4 × 14 = 56 partidos.
Como hay 15 equipos, uno podría pensar que se juegan en total 15 × 56 = 840 partidos.
Sin embargo, estamos contando 2 veces cada partido, por lo que en total se juegan sólo
420.
3. Considera el conjunto de los números del 0 al 9. ¿De cuántas formas se pueden elegir 2
números (diferentes) que sumen 10? 𝑅. Hay 4 formas: {1,9}, {2,8}, {3,7} y {4,6}. ¿Y si se
tienen que elegir 3 números? 𝑅. Hay muchas formas de contarlos. Una idea podría ser ir del
número más grande al más chico. Por ejemplo, suponer que un número de los que
agarramos es el 9. Entonces los otros dos sólo pueden ser 1 y 0. Si elegimos el 8, los otros
dos sólo pueden ser el 2 y el 0. Y así. Otra es usar el caso anterior, pero con números que
sumen 1, 2, 3, …, 10, aprovechándonos de que si tenemos 3 números que suman 10,
entonces tenemos 2 que suman 1, 2, …, 10. Por ejemplo, hay 4 formas de que dos números
sumen 10, así que si les pegamos el 0, tenemos 4 formas de que tres números sumen 10.
Hay 5 formas de elegir 2 números que sumen 9, a saber, {0,9}, {1,8}, {2,7}, {3,6}, {4,5}. A
todas estas les podemos pegar el 1, salvo por la segunda, añadiendo otras 4 formas. Y así
sucesivamente. Al final, quedan 24 formas.
4. Hay 13 caminos entre las ciudades 𝑨 y 𝑩 y 21 caminos entre las ciudades 𝑩 y 𝑪. Llamamos
trayectoria a un conjunto de 2 caminos: uno que está entre 𝑨 y 𝑩 y otro que está entre 𝑩
y 𝑪. ¿Cuántas trayectorias hay? 𝑅. 13 × 21 = 273. ¿De cuántas formas se puede ir de 𝑨 a
𝑪 y de regreso si no se puede usar una trayectoria más de dos veces (pasando únicamente
2 veces por 𝑩)? 𝑅. 273 × 272
5. Una tribu antigua tenía un lenguaje con 18 letras: 4 vocales y 14 consonantes. En todas
sus palabras se alternaban vocales y consonantes, de una por una. ¿Cuántas palabras de
9 letras podían formar en esta tribu? 𝑅. 45 144 + 44 145 = 18 × 564 = 177020928.
Lo siguiente que hay que hacer es enseñarles combinaciones. Para esto puedes hacerle como más
te acomodes. Lo usual es iniciar con un problema del estilo ¿de cuántas formas se pueden acomodar
las letras de la palabra “FRENO”? Y es fácil ver que son 5!. ¿Y de cuántas las de la palabra “CARRO”?
5!
Y ver que son 2!. ¿Y de cuántas las de la palabra “HORROR”? Y ver que son
6!
.
3!⋅2!
Una vez que les
quede claro esto, les planteas un problema como “Si queremos elegir 6 de entre las 22 consonantes
(sin importar el orden), ¿de cuántas maneras lo podemos hacer?” Y entonces ver que no son 22 ⋅
21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17, sino que, como no importa el orden, hay que dividir entre 6!. Y después de
ver un par de ejemplos de esto (haciendo énfasis de que en estos no importa el orden), darles la
𝑛!
notación de combinaciones, esto es, decirles qué significa (𝑛𝑘) = 𝑘!(𝑛−𝑘)! y ver que coincide con la
forma de hacer los cálculos de los problemas anteriores.
Y eso es todo. Te recomiendo que planees qué ejemplos vas a ver mientras explicas esto. Lo que
yo escribí es meramente una guía. Igual, agrega más problemas a los que están aquí abajo
(recuerda que están Chusito y Nathalia en 1°, por lo que ellos quizás irán bastante rápido).
Problemas:
1. Un equipo de baloncesto consta de 9 jugadores. Sin embargo, sólo 5 de ellos juegan. Uno
de esos jugadores se llama Freddy. ¿De cuántas formas se puede elegir a los 5 jugadores
que inician el partido si Freddy debe ser uno de ellos?
2. Se quieren acomodar 21 personas alrededor de una mesa circular. ¿De cuántas formas lo
pueden hacer si se consideran iguales los acomodos que se pueden obtener por rotaciones?
3. ¿Cuántos números de 11 dígitos cumplen que son múltiplos de 720?
4. ¿De cuántas formas se pueden elegir 3 números del 1 al 100 de tal forma que su suma sea
múltiplo de 3?
5. ¿Cuántos números de 6 dígitos tienen al menos un dígito par? ¿Y cuántos tienen al menos
2 dígitos pares?
6. Un estudiante tiene 14 libros de matemáticas y otro tiene 19. ¿De cuántas formas pueden
intercambiar 4 libros uno con el otro?
7. 15 puntos están marcados sobre una línea recta y 20 sobre otra línea recta, paralela a la
primera. ¿Cuántos triángulos hay tales que sus vértices sean algunos de esos puntos?
¿Cuántos cuadriláteros?
8. ¿Cuántos números de 8 cifras tienen 4 cifras pares y 4 impares? ¿Cuántos tienen 6 impares
y 2 pares?
9. Reformular los problemas de caminos con combinaciones. Esto es, ver que en una
cuadrícula de 𝑛 × 𝑚 hay (𝑛+𝑚
) formas de llegar de la esquina inferior izquierda a la esquina
𝑛
superior derecha yendo sólo por las aristas de la cuadrícula y sólo hacia arriba o hacia la
derecha.
10. Se tienen 5 bolas de billar, marcadas con los números 1, 2, 3, 4 y 5, y cuatro pelotas
marcadas con las letras A, B, C y D. ¿De cuántas formas se pueden poner en una fila si
a) Pueden estar en cualquier orden?
b) Las cuatro pelotas deben estar todas juntas?
c) Las bolas y las pelotas deben estar alternadas?
d) Las bolas de billar con los números 3 y 4 no deben estar juntas?
11. ¿De cuántas formas se pueden separar 12 personas en 6 parejas?
12. ¿Cuántos números enteros positivos y menores que 10000000 hay tales que la suma de sus
dígitos es 2?