guia apoyo aprendizaje n°3

GUÍA DE APOYO AL APRENDIZAJE N°3
Medidas de Variabilidad ó Dispersión.
La media aritmética no permite por sí sola conocer totalmente la población. Las medidas
de dispersión permiten calcular la variabilidad de los datos. La idea de dispersión se
relaciona con la mayor o menor concentración de los datos entorno a la media aritmética.
Mientras menos sea la medida de dispersión se dice que la población es: parecida, regular,
homogénea, estable; respecto de la variable estudiada. Las medidas de variabilidad que
estudiares son:
1º Varianza: es el promedio de los cuadrados de las diferencias entre los valores de los
datos y la media. Cuando más pequeña la varianza con respecto a la media, significa que
hay una menor dispersión de los datos con respecto a la media aritmética. La varianza no
puede ser mayor que la media aritmética. Para calcular su valor utilizaremos la siguiente
fórmula (para datos tabulados):
X
V (X ) = S =
2
VARIABLE DISCRETA:
x
2
⋅f
N
i −
MC 2 ⋅ f
V (X ) = S 2 =
VARIABLE CONTINUA:
i
i
x
N
i −
X ⋅f
i
2
i
N
MC ⋅ f
i
2
i
N
Observación: La varianza tiene una fórmula para datos poblacional y muestral, pero
nosotros utilizaremos la fórmula para datos poblacional, claro que usaremos la simbología
V ( X ) = S 2 como escritura. Para que conozcan la diferencia y las distintas maneras de
x
escribir estas fórmulas, se las escribiré a continuación (no olvidar que las que utilizaremos
serán las fórmulas anteriores, para calcular la varianza):
VARIABLE DISCRETA:
V (x ) = σ =
(X i − X )2 =
X
V (x ) = S 2 =
(X i − X )2 =
X
2
i
N
2
−NX
2
Poblacional
N
N −1
i
2
−NX
2
N −1
Muestral
VARIABLE CONTINUA:
V (x ) = σ 2 =
V (x ) = S 2 =
f ⋅ MC
i
i
2
−NX
2
−NX
2
Poblacional
N
f ⋅ MC
i
i
2
N −1
PROFESOR: RONNY GODOY GÁLVEZ
Muestral
1
Ejemplo: se tiene la información respecto al número de latas de bebidas consumidas durante
un mes, por un grupo de 39 familias en la siguiente tabla (en una tabla conviene formular dos
nuevas columnas, para determinar la varianza):
V (X ) = S =
2
x
X
i
N
2
Xi
fi
X i ⋅ fi
X i2 ⋅ f i
30
35
40
41
45
5
10
8
12
4
150
350
320
492
180
4.500
12.250
12.800
20.172
8.100
TOTAL
N = 39
1.492
57.822
⋅f
i −
X ⋅f
i
N
2
i
=
57.822 1.492
−
39
39
2
= 19,062
Observaciones:
• Saber que la varianza del ejemplo es igual a 19,062 no tiene una interpretación, sino
que es un valor comparativo entre muestras. Una solución a este problema es regresar
a las unidades de medición originales obteniendo la raíz cuadrada de la varianza.
• Si la variable tiene un valor constante ( X i = c ), entonces su varianza es cero.
Propiedades de la Varianza
i) Si Y = X + A , entonces la varianza de “ Y ”, sería: V (Y ) = V ( X + A) = V ( X ) . Siendo A una
constante.
Ejemplo: Si el número de latas de bebidas consumidas durante un mes aumenta en 5 latas,
la nueva varianza sería;
Nueva Varianza: V (Y ) = V ( X ) = 19,062
ii) Si Y = A ⋅ X , entonces la varianza de “ Y ”, sería: V (Y ) = V ( A ⋅ X ) = A 2 ⋅ V ( X ) . Siendo A
una constante.
Ejemplo: Si el número de latas de bebidas consumidas durante un mes aumenta en un 10%,
la nueva varianza sería;
Reajuste = 100% + 10% = 110% =
110
= 1,1
100
Nueva Varianza: V (Y ) = V (1,1X ) = 1,12 ⋅ V ( X ) = 23,065
iii) La varianza debe ser mayor o igual a cero ( V ( X ) ≥ 0 )
PROFESOR: RONNY GODOY GÁLVEZ
2
2º Desviación Típica ó Estándar: mide la cantidad típica en la que los valores del conjunto
de datos difieren de la media aritmética. La ventaja de esta medida es que sus unidades son
las mismas de la variable. Podemos decir que la desviación estándar es una medida de la
fluctuación (dispersión) que hay en los datos y es la medida de variabilidad de mayor uso.
Para calcular su valor utilizaremos la siguiente fórmula:
S = S2
x
x
En el ejemplo anterior sería:
S = 19,062 = 4,366
x
3º Coeficiente de Variación: mide la variación con relación a la variable que se está
considerando. Expresa que porcentaje es la desviación estándar de la media aritmética de la
variable, lo que da una medida de la incidencia real de la variabilidad respecto de lo que se
quiere medir. Otra manera para explicar este concepto es decir que el coeficiente de
variación es un número abstracto y mide la dispersión de los valores de la variable respecto
al promedio expresado en tanto por ciento; aquella distribución que tenga menos dispersión
significa que la información es más Homogénea en torno a la media, y por lo tanto es mejor.
Observación: El coeficiente de variación es una medida que se emplea fundamentalmente
para;
• Comparar la variabilidad entre dos grupos de datos referidos a distintos sistemas de
•
•
•
unidades de medida. Por ejemplo, kilogramos y centímetros.
Comparar la variabilidad entre dos grupos de datos obtenidos por dos o más personas
distintas.
Comparar dos grupos de datos que tienen distinta media aritmética.
Determinar si cierta media es consistente con cierta varianza.
Para calcular su valor se utiliza la siguiente fórmula:
S
CV ( X ) = x ⋅100%
X
En el ejemplo anterior sería:
X=
1.492
= 38,256
39
;
CV ( X ) =
4,366
⋅ 100% = 11,41%
38,256
Interpretación: el número de latas consumidas durante un mes tiene una variación del
11,41%.
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3
Ejemplo: la siguiente tabla representa los sueldos (en miles de $) de 40 trabajadores de la
empresa GAMA.
a) Identifique la variable, población y de qué tipo es.
b) Calcule e interprete el promedio de los sueldos.
c) ¿Qué porcentaje de trabajadores tienen un sueldo entre $320.000 y $450.000?
d) ¿Cuál es la variación de los sueldos de los trabajadores de la empresa GAMA?
e) Si los sueldos se aumentan en un 5%. ¿Cuál es la nueva variación de los sueldos?
SUELDOS
fi
Fi
MCi
MCi ⋅ f i
MCi2 ⋅ f i
250 – 300
5
5
275
1.375
378.125
300 – 350
12
17
325
3.900
1.267.500
350 – 400
20
37
375
7.500
2.812.500
400 – 550
3
40
475
1.425
676.875
TOTAL
N = 40
14.200
5.135.000
SOLUCIÓN:
a) Variable
= sueldos (en miles de $).
Población
= 40 trabajadores de la empresa GAMA.
Clasificación = cuantitativa – continua.
b) X =
MC ⋅ f
i
N
i
X=
14.200
= 355
40
Interpretación: el sueldo promedio de los trabajadores es de $355.000
c) ¿Qué porcentaje de trabajadores ganan entre $320.000 y $450.000?
$320.000
Pk ∈ [300 − 350[ , por lo que para calcular el porcentaje que está en este
intervalo, utilizaremos la fórmula;
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4
K⋅N
100
Pk = Li + A ⋅
k ⋅ 40
−F
i −1
f
320 = 300 + 50 ⋅ 100
12
i
−5
0,4k − 5 (320 − 300)
=
12
50
0,4k − 5
= 0,4
12
(0,4 ⋅12 + 5) = 24,5%
k =
1
0,4
Pk ∈ [400 − 550[ , por lo que para calcular el porcentaje que está en este
$450.000
intervalo, utilizaremos la fórmula;
K⋅N
Pk = Li + A ⋅
100
k ⋅ 40
−F
i −1
f
450 = 400 + 150 ⋅ 100
3
i
− 37
0,4k − 37 (450 − 400)
=
3
150
0,4k − 37
= 0,33
3
(0,33 ⋅ 3 + 37) = 94,975% ≈ 95%
k =
2
0,4
Porcentaje Pedido = 95 − 24,5 = 70,5%
Interpretación: el 70,5% de los trabajadores que tienen un sueldo entre $400.000 y
$550.000.
d) ¿Cuál es la variación de los sueldos de los trabajadores de la empresa GAMA?
2
S =
x
MC 2 ⋅ f
i
N
i −
S = 2.350 = 48,477
x
MC ⋅ f
i
2
i
N
CV ( X ) =
5.135.000 14.200
=
−
40
40
2
= 2.350
48,477
⋅100% = 13,65%
355
Interpretación: los sueldos tienen una variación del 13,65%.
PROFESOR: RONNY GODOY GÁLVEZ
5
e) Si los sueldos se aumentan en un 5%. ¿Cuál es la nueva variación de los sueldos?
Y = Nuevos Sueldos
;
Y = 1,05 ⋅ X
Por lo tanto el nuevo promedio será: Y = 1,05 ⋅ X = 1,05 ⋅ 355 = 372,75
Por lo tanto la nueva varianza será: S 2 = 1,05 2 ⋅ S 2 = 1,05 2 ⋅ 2350 = 2.590,875
y
x
Luego el nuevo coeficiente de variación, es:
CV (Y ) =
2.590,875
⋅100% = 13,65%
372,75
Interpretación: los sueldos tienen la misma variación del 13,65%.
PROFESOR: RONNY GODOY GÁLVEZ
6