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Ejercicios (Sucesiones de números reales)
4.1. Utilícese la definición de límite para comprobar que el límite es el indicado:
´
1 ¯
1
2n
a) lím 2 `
,
b) lím 2
“ 0,
c) lím
“ 2,
n
n n `1
n n`1
n`1
3n ` 1
3
↵`n
n`3
d) lím
“ ,
e) lím
“ 1,
f) lím 3
“ 0,
n 2n ` 5
n
n n `4
2
`n
n2 ´ 1
1
n2 ` 2n ` 2
n
1
?
g) lím 2
“ ,
h) lím
“
1,
i)
lím
“
,
n 2n ` 3
n
n 2n `
2
n2 ` n
2
n`1
1
n⇡
sen n
j) lím sen
“ 0,
k) lím ? “ 0,
n n
n
4
n
?
?
?
8
l) límp n2 ` n ´ nq, m) límp n2 ` 1 ´ 4 n ` 1q “ 0.
n
n
4.2. Utilizar la definición de límite para probar las siguientes proposiciones.
a) Si psn q es una sucesión y s P R entonces límn sn “ s si, y solo si, límn |sn ´
s| “ 0.
b) Supongamos que existe una sucesión ptn q convergente a 0 y un n0 P N tal
que |sn ´ s| § tn si n • n0 . Entonces límn sn “ s.
4.3. De la sucesión psn q se sabe que es convergente y que sus términos son alternativamente positivos y negativos. ¿A qué converge? Razonar la respuesta y
mostrar un ejemplo.
4.4. Calcúlese, si existen, los siguientes límites:
1
2n
n2 ´ 1
,
(2)
lím
,
(3)
lím
,
nÑ8 n2 ` 1
nÑ8 n ` 1
nÑ8 2n2 ` 3
?
?
?
1
n
lím ?
,
(5) lím
,
(6) lím p n ` 1 ´ nq,
nÑ8
nÑ8 n ` 1
nÑ8
n`7
?
?
?
n2 ` 1
lím pn ´ n ` a n ` bq,
(8) lím ?
,
nÑ8
nÑ8
n`2
?
n
p´1qn n
2n ` p´1qn
lím
,
(10) lím 2
, (11) lím n`1
,
nÑ8 n2 ` 1
nÑ8 n ` 1
nÑ8 2
` p´1qn`1
?
p´1qn n sen nn
an ´ b n
lím
,
(13) lím n
, a, b ° 0,
nÑ8
nÑ8 a ` bn
n`1
bn
lím n , b ° 0,
(15) lím pan ` bn q1{n , 0 † a † b,
nÑ8 2
nÑ8
n
23n
n2
lím n , b ° 0,
(17) lím 2n ,
(18) lím 2n! ,
nÑ8 b
nÑ8 3
nÑ8
(1) lím
(4)
(7)
(9)
(12)
(14)
(16)
1
bn
2,
nÑ8 n
(19) lím n2 an ,
n!
,
nÑ8 nk
(22) lím
bn
,
nÑ8 n!
(20) lím
nÑ8
(21) lím
k P N.
4.5. Estudiar el límite de la sucesión
´ 4 ` 3 9 ´ 4 16 ` 5 25 ´ 6
¯
,
,
,
,...
1¨3 2¨4 3¨5
4¨6
4.6. Calcular el límite de las sucesiones de término general:
(1)
(2)
(4)
(6)
(8)
(10)
(12)
(14)
(16)
(18)
(20)
(22)
(24)
(25)
(26)
´
1 ”´
1 ¯2 ´
2 ¯2
n ´ 1 ¯2 ı
a`
` a`
` ¨¨¨ ` a `
,
n
n
n
n
p12 ` 22 ` ¨ ¨ ¨ ` n2 q2
1 ` 22 ` 32 ` ¨ ¨ ¨ ` n2
,
(3)
,
p1 ` 2 ` ¨ ¨ ¨ ` nq3
1 ` n ` n2 ` n3
?
? 2
?
33n´45n
n
?
b
,
(5)
?
a
3
? ,
n ´ 3p4 ´ 5 nq
n` n` n
?
?
?
4n2 ´ 1 ´ p2n ´ 1q,
(7) 3 n3 ` an2 ´ 3 n3 ´ an2 ,
a
a
?
?
´c
¯
2`
n
n
´
n2 ´ n
a
3
a
a
n
1` ´1 ,
(9)
?
? ,
n
np 3 n3 ` n ´ 3 n3 ´ nq
?
?
?
?
n2 ` n ` 1 ´ 3n2 ´ 1 ´ 3n,
(11) 9n2 ´ n ´ 3 27n3 ´ 5n2 ,
´ n2 ` 3n ´ 2 ¯ n32`2
2n `1
n`1
p4n ` 3q log n´2 ,
(13)
,
n2 ` n
2 `2
´ n ` 1 ¯ nn´3
´
3n2 ` 2n ` 1 ¯4n`1
,
(15) 1 ` log
,
n´1
3n2 ` 5n
1
´ 1 ¯ logp3{nq
1
,
(17) p2 ` 3n4 q 3`2 logpn`1q ,
n
´ logpn2 ` 1q ¯n2 log n
a
3
,
(19)
pn ` aqpn ` bqpn ` cq ´ n,
logpn2 ´ 1q
?
´ 2 ¨ 4 ¨ 6 ¨ ¨ ¨ p2n ´ 2q ¯2
22n pn!q2 n
,
(21) n
,
p2n ` 1q!
1 ¨ 3 ¨ 5 ¨ ¨ ¨ p2n ´ 1q
a
n
pn ` 1qpn ` 2q ¨ ¨ ¨ pn ` nq
1a
n
,
(23)
p3n ` 1qp3n ` 2q ¨ ¨ ¨ p4nq,
n
n
log n ´ n,
1p ` 2p ` ¨ ¨ ¨ ` np
n
´
, p P N,
p
n
p`1
cos 1 ` cos ?12 ` ¨ ¨ ¨ ` cos ?1n ´ n
,
logpn3 ` 1q
2
(27)
(28)
(29)
(30)
(32)
(33)
a
?
?
1 ¨ 2 ¨ 3 ` 2 ¨ 3 ¨ 4 ` ¨ ¨ ¨ ` npn ` 1qpn ` 2q
?
,
n2 n
log 1 ´ log 2 ` log 3 ´ ¨ ¨ ¨ ` logp2n ´ 1q ´ logp2nq
,
log n
?
?
?
2! tan 12 ` 3 3! tan 13 ` ¨ ¨ ¨ ` n n! tan n1
?
,
n2 ` 1
cb
`n˘`n˘ `n˘
1
1
1
n n
¨¨¨ n ,
(31) 2 `
` ¨¨¨ `
,
1 2
2
n
pn ` 1q
pn ` nq2
p2n ` 3n q1{n ,
n2 ⇡
n2 ⇡
n2 ⇡
sen
` sen
` ¨ ¨ ¨ ` sen
.
2pn2 ` 1q
2pn2 ` 2q
2pn2 ` nq
4.7. Hallar una relación entre a, b y c para que
lím na
n
pn ` 1qb ´ nb
pn ` 1qc ´ nc
sea real y distinto de cero. En ese caso, hallar dicho límite.
4.8. Discutir, según el valor de a P R, la existencia y el valor de límn
1
1
4.9. Sea un “ 1`n
` 2`n
`
comprendido entre 1{2 y 1.
1
3`n
` ¨¨¨ `
1
.
n`n
Probar que existe límn un y está
4.10. Hallar, si existe, el límite de la sucesión dada por sn`1 “
4.11. Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones:
a) x1 ° 1 y xn`1 “ 2 ´ 1{xn , n P N.
?
b) x1 ° 0 y xn`1 “ a ` xn , n P N, donde a ° 0.
a
c) x1 ° 1 y xn`1 “ 1 ` x2n , n P N.
1´
a¯
d) x1 ° 0 y xn`1 “
xn `
, donde a ° 0.
2
xn
e) x1 “ m y xn`1 “ xn ´
x2n ´ m
, donde m P N.
2xn
f) x1 † x2 y xn “ 12 pxn´2 ` xn´1 q, n • 3.
g) x1 † x2 y xn “ 13 yn´1 ` 23 yn´2 .
3
an `n
.
an´1 `2n
n
s .
2n`1 n
4.12. Sean pan q y pbn q dos sucesiones de números reales definidas por su primer
término a1 “ 2, b1 “ 2 y por las relaciones an`1 qpan ` 3bn q{4 y bn`1 “ p3an `
bn q{4. Discutir la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:
a) La sucesión un “ an ` bn es constante.
b) La sucesión vn “ an ´ bn es una sucesión geométrica.
c) Para cada n P N, se verifica que an “ 3 ´ 1{2n y bn “ 3 ` 1{2n .
4.13. Este ejercicio supone una aproximación a la prueba de la Fórmula de Stirling.
a) Probar que la sucesión
´
1 ¯n`1{2
sn “ 1 `
n
es estrictamente decreciente y converge a e. En consecuencia, sn ° e.
Indicación: Es más fácil mostrar que ps2n q es decreciente.
b) Probar que la la sucesión
n!en
nn`1{2
converge, mostrando que es decreciente y positiva. En consecuencia, existe una
constante C tal que
Cnn`1{2
n! „
en
cuando n ?
Ñ 8. Este resultado se debe a De Moivre. Posteriormente, Stirling probó
que C “ 2⇡, así que
?
nn 2⇡n
n! „
.
en
cuando n Ñ 8.
tn “
4.14. Sea pxn q una sucesión. Probar que si existen límn x2n , límn x2n´1 y límn x3n ,
entonces existe límn xn y coincide con los anteriores.
4.15. ¿Para qué valores de a P R es pan q una subsucesión de p n1 q? ¿Y de p 21n q? ¿Y
1
1
de p 2n
q? ¿Y de p 2n´1
q?
4.16. Construir una sucesión psn q con la siguiente propiedad, o mostrar que no
existe tal sucesión:
Para todo número natural m, psn q tiene una subsucesión que converge
a m.
4
4.17. Demostrar que si psn q converge a l, entonces la sucesión de medias
xn “
s1 ` s2 ` ¨ ¨ ¨ ` sn
n
converge también a l. Dar también un ejemplo en el que pxn q converja, pero psn q
no.
4.18. Calcular los límites superior y inferior de las sucesiones de término general:
p´1qn
a) a `
,
n
´
p´1qn ¯n
d) 1 `
,
n
´
2n ` 1 ¯
g) p´1qn 3 `
,
3n ` 2
`
˘
j) p´1qn ` 1 n2 ,
n⇡
,
3$
’
2,
’
&
ñ) sn “ 0,
’
’
%1,
m) sen
p´1qn
` 1 ` p´1qn ,
n
p´1qn n
2n ` p´1qn pn ` 2q
e)
,
f)
,
2n ` 1
3n ` 3
p´1qn pn ` 1q
n
h) a ´ np´1q ,
i)
,
2n ` 1
´
´
1¯
n⇡
1¯
n⇡
k) 1 `
cos
, l) 1 ´ 2 sen
,
n
2
n
2
¯
n ` 1´
n⇡
n)
sen
` cos n⇡4 ,
n`2
4
si n es múltiplo de 4,
b) p´1qn `
1
,
n
si n es par y no es múltiplo de 4,
si n es impar.
5
c)