Subespacios y Teorema de la Base Incompleta
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Subespacios y Teorema de la Base Incompleta
Profesores
Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga
Instituto de Matemáticas
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Antioquia
Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga
Subespacios y Teorema de la Base Incompleta
Ejemplo
1
−2
Calcular una base para H = gen{v1 , v2 , v3 } donde v1 = 2 , v2 = −4 y
5
−10
0
v3 = 1 .
1
Ejemplo
1
0
1
Sea H = gen v1 = 2 , v2 = 1 y sea b = −2, determinar si
5
1
1
b ∈ H, en caso afirmativo expresar a b como combinación lineal de v1 y v2 .
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Ejemplo
1
−2
Calcular una base para H = gen{v1 , v2 , v3 } donde v1 = 2 , v2 = −4 y
5
−10
0
v3 = 1 .
1
Ejemplo
1
0
1
Sea H = gen v1 = 2 , v2 = 1 y sea b = −2, determinar si
5
1
1
b ∈ H, en caso afirmativo expresar a b como combinación lineal de v1 y v2 .
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Teorema
Sea A una matriz de tamaño m × n, entonces
1
N ul(A) = 0 si y sólo si rango(A) = n = # de columnas de A.
2
Col(A) = Rn si y sólo si rango(A) = m = # de filas de A.
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Teorema
(Teorema de la base incompleta) Sean v1 , . . . , vk vectores linealmente
independientes en Rm . Si k < m se pueden escoger vectores wk+1 , . . . , wm
talque v1 , . . . , vk , wk+1 , . . . , wm forman una base para Rm .
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Ejemplo
0
1
Sean v1 = −1 y v2 = 1, calcular un vector v3 talque los vectores
1
2
v1 , v2 , v3 forman una base para R3 .
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