008 Un individuo ha invertido en acciones de cierta compañía

Curso ON LINE
Tema 10
Un individuo ha invertido en acciones de cierta compañía durante los últimos 10
años. El valor de su cartera a lo largo del tiempo (dinero invertido más beneficios
obtenidos, en miles) viene dado por la siguiente expresión (x en años):
008
F(x) = (x - 2)2·(1 - 2x) + 252x + 116
0 ≤ x ≤ 10
(a) Determinar los intervalos de tiempo en que el valor de la cartera creció y
aquellos en que decreció.
BH2
PAU
OVIEDO
Sept.
1999
(b) El individuo retira sus ingresos transcurridos los 10 años. ¿Cuál hubiera sido
realmente el mejor momento para haberlo hecho? ¿cuánto pierde por no haberlo
retirado en el momento óptimo?.
MÉTODO 1: RESOLUCIÓN MEDIANTE EL ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES A TRAVÉS DE DERIVADAS
RESOLUCIÓN apartado a
F(x) ≡ "Valor de la cartera (Inversión + beneficios) en miles".
x ≡ "Tiempo, en años, que el individuo tiene invertido su dinero".
F(x) = (x - 2)2 · (1 - 2x) + 252x + 116 =
Simplificamos la expresión:
2
(x + 4 - 4x) (1 - 2x) + 252x + 116 =
2
= x - 2x3 + 4 - 8x - 4x + 8x2 + 252x + 116 =
F(x) = - 2x3 + 9x2 + 240x + 120
(0 ≤ x ≤ 10)
Si al aumentar el número de años que permanece invertida la cartera, aumenta el valor de dicha
cartera, diremos que la función es creciente; así pues, vamos a comprobar el crecimiento en todo su
dominio.
Para que F(x) sea estrictamente creciente Æ F'(x) > 0
Para que F(x) sea estrictamente decreciente Æ F'(x) < 0
F'(x) = - 6x2 + 18x + 240
Estudiamos el signo de esta nueva función, para lo que, previamente, factorizamos la expresión:
x=
− 18 ± 182 − 4 ⋅ (−6) ⋅ 240
2 ⋅ (−6)
=
− 18 ± 6084
−18 ± 78
=
=
− 12
− 12
x1 = - 5
x2 = 8
Estos 2 valores determinan 3 intervalos en la recta real:
- 6·(x + 5) (x - 8)
¿?
¿?
¿?
-5
8
ℜ
- 6·(x + 5) (x - 8)
F'(x)
F(x)
x<-5
-·-·- → -
F'(x) < 0
Estrictamente decreciente
-5<x<8
-·+·- → +
F'(x) > 0
Estrictamente creciente
x>8
-·+·+ → -
F'(x) < 0
Estrictamente decreciente
Del análisis de la función mediante derivadas, y a la vista de su dominio, vemos que el valor de
la cartera crece hasta el año 8, momento a partir del cual el valor empieza a decrecer hasta
llegado el décimo año.
NOTA: No se consideran los valores de x < 0 ni los valores x > 0 ya que no pertenecen al dominio de la
función.
RESOLUCIÓN apartado b
Veamos cuándo se obtiene el máximo valor de la cartera.
Para que la función F(x) alcance un máximo → F'(x) = 0
F'(x) = - 6x2 + 18x + 240 = 0
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 Abel Martín
"Estudio local de una función"
x1 = - 5
x2 = 8
x1 = - 5 No lo consideramos ya que está fuera del dominio de la función.
x2 = 8 ¿Máximo o mínimo?
Estudiamos la derivada segunda para conocer dónde se encuentra el máximo y el mínimo:
F''(x) = - 12x + 18
F''(8) = - 12·8 + 18 < 0 MÁXIMO
A los 10 años el valor de la cartera es:
F(10) = - 2·103 + 9·102 + 240·10 + 120 = 1420
A los 8 años el valor de la cartera es:
F(8) = - 2·83 + 9·82 + 240·8 + 120 = 1592
F(8) - F(10) = 1592 - 1420 = 172
El mejor momento para retirar el dinero hubiese sido a los 8 años, momento en el cual la
cartera tiene un valor de 1 592 000 unidades monetarias mientras que a los 10 años se
produce una pérdida de 172 000 unidades ya que la cartera alcanza un valor de 1 420 000.
NOTA: Omitimos las unidades en las que viene expresado el valor de la cartera, ya que el
enunciado no nos lo aclara.
COMPROBACIÓN MEDIANTE EL ANÁLISIS GRÁFICO DE LA FUNCIÓN CON CALCULADORA GRÁFICA
Si representamos gráficamente la función se pueden ratificar y comprobar visualmente, de forma fácil y
rápida, las conclusiones obtenidas a través del estudio analítico de la función mediante derivadas:
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Matemáticas y TIC