Curso 2007 Práctico 8 1. Sea p : R → R

Universidad de la República
Facultad de Ciencias
Centro de Matemática
Cálculo I –Curso 2007
Práctico 8
1. Sea p : R → R un polinomio de grado n. Prueba que para a, x ∈ R cualesquiera se tiene
(n)
p(x) = p(a) + p0 (a)(x − a) + · · · + p n!(a) (x − a)n
2. Hacer las gráficas de los primeros 3 polinomios de Taylor en 0 de la función seno.
√
√
3. Hallar 7 con error menor a 0,01 mediante el desarrollo de la función x + 8.
4. Escribir la fórmula de Taylor con residuo para las siguientes funciones en los puntos
indicados. Estimar la magnitud del residuo de orden 6 en cada caso:
(a) sen(x) en π4 .
(d) log(1 + x) en 0.
(g) ex en a.
(j) x6 + 5x3 + 4 en 2.
(b) e−x en a.
(e) ax en 0.
(h) cosh(x) en 0.
(c) senh(x) en 0.
(f) cos(x) en π4 .
(i) x5 + 3x3 − 4x2 + 2 en 1.
2
5. Hallar la serie de Taylor en 0 de una primitiva de la función ex .
n+1
1
6. Use la igualdad 1−x
= 1 + x + · · · + xn + x1−x y la fórmula de Taylor para calcular
las derivadas sucesivas en el punto x = 0 de la función f : (−1, 1) → R dada por
1
f (x) = 1−x
.
7. Calcular la derivada de orden 2001 y 2003 en x = 0 de f : R → R definida por
x5
f (x) = 1+x
6.
8.
a) Sea f : I → R de clase C ∞ en el intervalo I. Suponga que existe K > 0 tal que
|f (n) (x)| ≤ K para todo x en I y todo n natural. Pruebe que, para x0 , x ∈ I vale
P
f (n) (x0 )
(x − x0 )n .
f (x) = ∞
n=0
n!
b) Aplicar el punto anterior para las funciones sen(x) y cos(x) con x0 = 0.
2 Rx
2
9. Sea f (x) = ex 0 e−t dt. Probar que f (0) = 0, f 0 (x) = 2xf (x) + 1, y encontrar la serie
de Taylor de f en 0.
10. Calcular los siguientes lı́mites:
(a) lı́mx→0
ex −(1+x)
x2
lı́mx→+∞ xα e−x
(c) lı́mx→0
(e)
sen(3x)
sen(x)
(g) lı́mx→0
(b) lı́mx→1/2
cos(πx)
2x−1
(d) lı́mx→+∞
donde α > 0.
ex −1−x2 /2+sen(x)−2x
1−cos(x)−x2 /2
log(x)
xα
donde α > 0.
(f) lı́mx→0+
(h) lı́mx→0
1
xα
ex −1
donde α ≥ 1.
log(1+x)−x−x2 /2
tan(x)−sen(x)
11. Evaluar los siguientes lı́mites:
n
n
(a) lı́mn→+∞ n 1 + n1 − e
(b) lı́mn→+∞ 2e n + n2 1 + n1 − e
n
n n2
(c) lı́mn→+∞ n 1 + n1 − e log 1 + n1
(d) lı́mn→+∞ n sen( n1 )
1
√
(e) lı́mn→+∞ n1 sen(n) n2 (f) lı́mn→+∞ n ( n a − 1) (a > 0).
12. Si f está definida en un entorno de a, f 0 es continua allı́ y f 00 (a) existe, demostrar que
f (a + 2h) − 2f (a + h) + f (a)
= f 00 (a)
h→0
h2
lı́m
13. Demostrar que si f es continua en el intervalo [0, 1], entonces
Z
1
lı́m x
x→0
14.
x
f (z)
dz = f (0)
z2
a) Aproximar la solución de cos(x) = x mediante el método de Newton con valor
inicial x0 = 34 .
√
b) Aproximar 5 mediante el método de Newton con valor inicial x0 = 2.
c) Utilizar el método de Newton para aproximar la solución de sen(x) = 0 con valor
inicial 1 y estudiar el tamaño del error absoluto cometido.
15. Verificar que las aproximaciones mediante el método de Newton de la raı́z de a, donde
a > 0, con valor inicial 1 estan dadas por
1
a
x0 = 1
xn+1 =
xn +
2
xn
√
√
Mostrar que en general, xn → a si x0 > 0 y que xn → − a si x0 < 0.
16. Fórmula de Stirling. En este ejercicio probaremos que cuando n → ∞,
n!
√
→1
n+1/2
2π n
e−n
Rn
a) Sea An = 1 log(x) dx = n log(n) − n + 1. Podemos obtener un valor aproximado Tn de An
calculando el área debajo de la poligonal cuyos vertices son los puntos (k, log(k)), k = 1, . . . , n.
Mostrar que
Tn = log(2) + log(3) + · · · + log(n − 1) +
b) Sea an = An − Tn . Notar que
Tn /An → 1.
Tn
An
= 1−
an
An
1
1
log(n) = log(n!) − log(n)
2
2
y que si probamos que an está acotada, entonces
c) Verificar que ak+1 − ak es la diferencia del área bajo la curva y = log(x) en el intervalo [k, k + 1]
y el área debajo de la poligonal en el mismo intervalo. Concluir que an es monótona creciente.
2
d ) Observar que ak+1 − ak ≤ bk donde bk es la diferencia del área bajo la tangente en el punto
x = k + 1/2 en el intervalo [k, k + 1] y el trapecio con base [k, k + 1]. Probar que
bk = log(k +
log(k) + log(k + 1)
1
)−
2
2
Concluir que
log 1 +
bk ≤
1
2k
− log 1 +
1
2(k+1)
2
e) Sumar estas desigualdades y obtener que
an ≤
1
1
1
log(3/2) − log 1 +
2
2
2n
Concluir que an está acotada y tiene lı́mite que llamaremos a.
f ) Probar que
1
1
a − an ≤ log 1 +
2
2n
g) Recordando que an = An − Tn mostrar que
n! = αn nn+1/2 e−n
donde αn = e1−an .
h) Si denotamos α el lı́mite de αn , mostrar que
n+1/2 −n
αn
i) Probar que α =
e
n+1/2 −n
≤ n! ≤ α n
e
√
2π utilizando que
√
(n!)2 22n
√
π = lı́m
n (2n!) n
3
1
1+
4n