Instituto Raúl Scalabrini Ortiz Matemática 4º Año Funciones cuadráticas A la función polinómica de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c siendo a, b, c números reales y a ≠ 0, se la denomina función cuadrática. Los términos de la función reciben los siguientes nombres: y = ax2 + bx + c Término cuadrático Término independiente Término lineal La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Se presentan diferentes casos según el valor que tomen a, b y c. 1) y = ax2 en donde b = 0 y c = 0 y = x2 y= 1 2 x 2 y = - 2 x2 a > 0 ⇒ La parábola “va” hacia arriba. a < 0 ⇒ La parábola “va” hacia abajo. 0 < |a| < 1 ⇒ La parábola se abre. |a| > 1 ⇒ La parábola se cierra. Prof. Ana Rivas 1 Instituto Raúl Scalabrini Ortiz 2) Matemática 4º Año y = x2 + c en donde a = 1 b = 0 y = x2 +2 y = x2 y = x2 - 3 c > 0 ⇒ La gráfica se desplaza hacia arriba. c < 0 ⇒ La gráfica se desplaza hacia abajo. 3) y = a x2 + bx en donde c = 0 Si a y b tienen el mismo y = 1 2 x + 2x 2 signo, la gráfica se desplaza hacia la izquierda. y =- Prof. Ana Rivas 1 2 x - 2x 2 2 Instituto Raúl Scalabrini Ortiz Matemática 4º Año y= − 1 2 x + 2x 2 Si a y b tienen distinto signo, la gráfica se desplaza hacia la derecha. y= 1 2 x − 2x 2 Resolve los ejercicios 1 y 2 Y después hace la actividad con el graficador Prof. Ana Rivas 3 Instituto Raúl Scalabrini Ortiz Matemática 4º Año Gráfica de la parábola Para realizar el gráfico de una parábola, f(x) = ax2 + bx + c se deben calcular los elementos de la misma y luego representarla: 1) Raíces de la parábola 2) Vértice de la parábola 3) Eje de simetría 4) Ordenada al origen Vértice Ordenada al origen Punto Simétrico Raíz X1 Raíz X2 Eje de Simetría 1) Raíces de la parábola: Son los puntos de intersección de la gráfica con el eje x, vale decir que f(x) = 0. − b ± b2 − 4ac x1,2 = 2a 2) Vértice de la parábola: xv = x1 + x2 2 Prof. Ana Rivas o xv = −b 2a 4 Instituto Raúl Scalabrini Ortiz yv = f (xv ) Matemática 4º Año 4ac − b2 yv = 4a o Las coordenadas del vértices son: V = (xv ; yv ) 3) Eje de Simetría: Es la recta que tiene por ecuación: x = xv 4) Ordenada al origen: Es el punto de intersección de la gráfica con el eje y, vale decir que f (0) = c La parábola tiene un y sólo un punto de intersección con el eje Y. Las coordenadas de ese punto son: ( 0 , c ) Ejemplo: Dada la siguiente función f(x) = x2 + 2x – 3 calcular los elementos de la misma: a=1 b=2 c=-3 Raíces: x1,2 = − 2 ± 4 − 4.1.(−3) − 2 ± 4 + 12 − 2 ± 16 − 2 ± 4 = = = 2.1 2 2 2 x1 = −2+4 =1 2 x2 = −2−4 = −3 2 Vértice: xv = −2 = −1 2.1 Resolver el ejercicio 3 yv = (- 1)2 + 2 . (- 1) – 3 = - 4 V = (- 1; - 4) Eje de simetría: x=-1 Ordenada al origen: ( 0; - 3) Punto simétrico: Prof. Ana Rivas ( - 2; - 3) 5 Instituto Raúl Scalabrini Ortiz Matemática 4º Año Posiciones relativas respecto del eje de las abscisas Las raíces de una parábola, y = ax2 + bx + c se calculan mediante la fórmula: x1,2 = − b ± b2 − 4ac 2a Al radicando b2 – 4.a.c se lo llama discriminante, ya que el valor del mismo sirve para discriminar la naturaleza de las raíces y se lo simboliza con la letra griega ∆ ( delta) ∆ = b2 – 4.a.c Si ∆> 0 ⇒ Raíces reales distintas Si ∆= 0 ⇒ Raíces reales iguales Si ∆< 0 ⇒ Raíces no reales ∆> 0 la grafica tiene dos puntos de intersección con el eje x. x1 x2 ∆= 0 La gráfica tiene 1 punto de intersección con el eje x x1 ≡x2 Prof. Ana Rivas 6 Instituto Raúl Scalabrini Ortiz Matemática 4º Año ∆< 0 La gráfica no tiene puntos de intersección con el eje x Ejemplo: Calcular el discriminante e indicar cuantas raíces tiene: a) y = x2 + 2 x – 3 ∆ = 22 – 4. 1. (- 3) = 16 dos raíces distintas b) y = x2 + 2 x + 1 ∆ = 22 – 4. 1. 1 = 0 una raíz coincidente c) y = x2 + 2 x + 2 ∆ = 22 – 4. 2. 1 = - 4 no tiene raíces Ejercicio: Completar con > , <, o =, según corresponda: ∆ 0 ∆ 0 ∆ 0 Resolver los ejercicio 4 y 5 Prof. Ana Rivas 7 Instituto Raúl Scalabrini Ortiz Matemática 4º Año Ecuación polinómica, canónica y factorizada La función cuadrática puede ser expresada de distintas manera: Se desarrolla el cuadrado de un binomio Se buscan las raíces POLINOMICA f(x) = ax2 + b x + c Se busca el vértice Se aplica propiedad distributiva CANÓNICA f(x) = a.(x - x v)2+ yv FACTORIZADA f(x) = a.(x - x 1).(x – x2) El vértice y el eje de simetría se reconocen con facilidad Las raíces se identifican en forma inmediata Ejemplo: 1) Pasar de la forma canónica a la polinómica: y = (x - 2)2 + 3 = x2 – 4 x + 4 + 3 = x2 – 4 x + 7 2) Pasar de la forma factorizada a la polinómica: y = - 2(x + 1) (x + 3) = - 2( x2 + 3x + x + 3) = - 2( x2 + 4x + 3) = - 2 x2 - 8x - 6 3) Pasar de la forma polinómica a la factorizada: y= 1 2 7 1 x - x + 5 ⇒ las raíces son x1 = 2 y x2 = 5 ⇒ y = (x - 2) (x - 5) 2 2 2 4) Pasar de la forma polinómica a la canónica: y=- 1 2 7 x – 3x ⇒las coordenadas del vértice son: V (3 ; 1) 2 2 ⇒y=- 1 ( x + 3)2 + 1 2 Resolver los ejercicios del 6 al 8 Prof. Ana Rivas 8 Instituto Raúl Scalabrini Ortiz Matemática 4º Año Reconstrucción de una ecuación de segundo grado: Dada la ecuación: y = ax2 + bx + c los coeficientes de su forma polinómica son: a, b y c; y las raíces son: x1, x2 Estos elementos se relacionan de la siguiente manera: x1 + x2 = − ax2 + bx + c = 0 ⇒ b a y x1.x2 = c a ax 2 bx c 0 bx c + + = ⇒ x2 + + =0 a a a a a a Ejemplo: Reconstruir la ecuación de segundo grado cuyas raíces son x1 = − − 2 3 y x2 = 3 2 2 3 b 5 b b 5 + =− ⇒ =− ⇒ =− 3 2 a 6 a a 6 2 3 c 6 c c − . = ⇒ − = ⇒ = −1 3 2 a 6 a a ⇒ x2 − 5 x −1 = 0 6 Resolver el ejercicio 9 Prof. Ana Rivas 9 Instituto Raúl Scalabrini Ortiz Matemática 4º Año Máximos y mínimos. Crecimiento y decrecimiento Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 24 m/seg. La altura alcanzada por la pelota (h, expresada en metros) en función del tiempo (t, expresado en segundos), está dada por la siguiente fórmula: h(t) = - 3 t2 + 24 t. Analizando el gráfico que describe la trayectoria de la pelota, se puede concluir que: • La altura máxima alcanzada por la pelota es 48 m. • Alcanza la altura máxima a los 4 seg de haber sido lanzada. • El intervalo de tiempo en el cual la pelota asciende (desde que es lanzada hasta el momento que alcanza la altura máxima) es (0;4) ; intervalo de crecimiento. • El intervalo de tiempo en el cual la pelota desciende (desde que alcanza la altura máxima hasta que vuelve a tocar el suelo) es (4;8) ; intervalo de decrecimiento. f(x) es creciente si: x2 > x1 ⇒ f(x2) > f(x1) Una función continua es creciente en un cierto intervalo de su dominio cuando al aumentar los valores de la variable independiente (x), aumentan los valores de la variable dependiente(y). Prof. Ana Rivas f(x) es decreciente si: x2 > x1 ⇒ f(x2)< f(x1) Una función continua es decreciente en un cierto intervalo de su dominio cuando al aumentar los valores de la variable independiente (x), disminuyen los valores de la variable dependiente(y) 10 Instituto Raúl Scalabrini Ortiz Matemática 4º Año En general, dada la función f(x) = ax2 + bx + c , se verifica que: Si a > 0, la función: • Alcanza un mínimo en el vértice de la parábola. • Decrece en el intervalo (- ∞; xv). • Crece en el intervalo (xv ;+∞). Si a < 0, la función: • Alcanza un máximo en el vértice de la parábola. • Crece en el intervalo (- ∞; xv). • Decrece en el intervalo (xv ;+∞). Resolver los ejercicios del 10 al 12 Prof. Ana Rivas 11 Instituto Raúl Scalabrini Ortiz Matemática 4º Año Intersección de parábolas, parábolas y rectas: Resolver analíticamente un sistema de ecuaciones significa encontrar los valores de las incógnitas que verifican simultáneamente las ecuaciones del sistema. Resolver gráficamente un sistema de ecuaciones significa encontrar los puntos de intersección de ambas gráficas. En los casos en que el sistema está formado al menos por una ecuación de segundo grado, se puede reconocer cuantas soluciones tiene el mismo analizando el discriminante de la ecuación cuadrática que surge al resolver el sistema por el método de igualación o sustitución. ∆>0 ∆=0 ∆< 0 Dos puntos de Un punto de Ningún punto de Intersección Intersección Intersección La recta es secante a La recta es tangente la parábola a la parábola Sistema formado por una recta y una parábola y = mx + d y = ax2 +bx +c La recta es exterior a la parábola Sistema formado por dos parábolas y = ax2 +bx +c y = dx2 +ex +f Ejemplo: a) y=2x+1 y = – x2 – x + 5 Prof. Ana Rivas 12 Instituto Raúl Scalabrini Ortiz Matemática 4º Año 2 x + 1 = – x2 – x + 5 – x2 – 3x + 4 = 0 ⇒ x1 = - 4 ∧ x2 = 1 ⇒ La recta es secante a la parábola en los puntos (- 4; - 7) y (1;3). b) y = 3 x2 + 2x + 1 y = x2 + x - 4 3 x2 + 2x + 1 = x2 + x - 4 2 x2 + x + 5 = 0 ⇒ No tiene raíces reales. Las parábolas no se cortan. Resolver los ejercicios del 13 al 15 Prof. Ana Rivas 13