Matrices y Determinantes.

CAPÍTULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES
6.13.
103
EJERCICIOS
1. Las cantidades compradas, en litros, de tres clases de vino, se reflejan en la matriz fila:
B
T
R
L = 180 250 200
donde B=Blanco, T=Tinto y R=Rosado, y los precios pagados por cada litro en la matriz
columna:
 
28 B
5 T

1
P =
1 R
Halla los productos L·P y P·L dando una interpretación de los resultados obtenidos.
2. Dado el grafo de la figura:
Calcula su matriz de adyacencia, R. Calcula la matriz R2 , ¿qué representan los elementos de
esta matriz respecto al grafo?.
3. En la siguiente cadena de igualdades indica cuál no es siempre correcta:
(A + B) · (A − B) = A · (A − B) + B · (A − B) = A · A − A · B + B · A − B · B =
= A2 − A · B + A · B − B 2 = A2 − B 2
4. Una empresa fabrica 3 tipos de artı́culos R, S y T. Los precios de coste y los de venta por unidad
y el número de unidades vendidas de cada artı́culo quedan reflejadas en esta tabla:
R
S
T
Precio de coste
6
9’2
14’3
Precio de venta
18
28
40
Unidades vendidas anualmente
2240
1625
842
Sabemos que las matrices de costes e ingresos, C e I, son diagonales y que la matriz de venta ,
V, es una matriz fila.
a) Determina las matrices C, I y V.
b) Obtén, a partir de los anteriores, la matriz de ingresos anuales, A, correspondiente a los tres
artı́culos, la matriz de gastos anuales, G, y la de beneficios anuales, B.
5. Dadas las matrices:
1 2 3
A=
2 1 1
Se pide obtener:

−1 0
B= 2
2 
−1 −1

C=
1 −1
1 0
C + A · B, C −1 + (A · B)−1 , (C + A · B)−1 , |C|, |C −1 |
CAPÍTULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES
104
6. Calcula las inversas, si existen, utilizando el método de Gauss, de las siguientes matrices:
0 1
1 −2
1 2
A=
B=
C=
2 0
3 4
3 6






2 −1 0
1 2 3
−1 1 2
D =  1 0 3 E = 3 1 2 F = 0 0 1
5 0 1
4 9 1
1 1 1
7. Calcula, utilizando determinantes, las inversas de las matrices del ejercicio anterior.
8. Un fabricante produce 3 tipos de clavos, de aluminio (A), de cobre (Q) y de acero (H). Todos
ellos se fabrican en longitudes de 1;1’5;2 y 2’5 centı́metros con los precios respectivos siguientes:
Clavos A: 0’02
0’03
0’04
0’05
(en
¿
)
Clavos Q: 0’03
0’05
0’06
0’08
(en
¿
)
Clavos H: 0’04
0’06
0’08
0’1
(en
¿
)
Sabiendo que en un minuto se producen:
De 1 cm de longitud: 100 A
De 1’5 cm de longitud: 200 A
De 2 cm de longitud: 500 A
De 2’5 cm de longitud: 300 A
50 Q
20 Q
30 Q
10 Q
700 H
600 H
400 H
800 H
Se pide:
a) Resumir la información anterior en dos matrices M y N , siendo M de tamaño 3x4 y recoge
la producción por minuto y N de tamaño 4x3 que recoge los precios.
b) Calcular los elementos de la diagonal principal de M · N y dar su significado.
c) Hacer lo mismo para N · M .


2 2 1
9. Dada la matriz A = 1 3 1, se pide:
1 2 2
a) Calcular (A − I3 )2 · (A − 5I3 ), siendo I3 la matriz identidad correspondiente.
b) Obtener At y razonar si existe A−1
10. Calcular, sin desarrollar, aplicando y justificando las propiedades utilizadas de los determinantes:
a a2 a3 b b2 b3 c c2 c3 11. a) Calcular una matriz X tal que verifique la igualdad A · X = B, siendo:
2 3
1 1
A=
, B=
1 2
2 −1
b) ¿Verifica también la matriz X la igualdad X · A = B?


5 −4 2
12. Dada la matriz A =  2 −1 1 , comprobar que A2 = 2A−I3 , siendo I3 la matriz identidad.
−4 4 −1
Usando la fórmula anterior, calcula A4 .
CAPÍTULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES
13. Dadas las matrices: A =
105
1 2
−3 2
, B=
, calcular:
2 3
2 −1
A+B
,
2
(A − B)2 ,
A−1 ,
B −1
14. a) ¿Qué caracterı́stica deberı́an tener las matrices A y B para que se puedan efectuar los productos AB y BA.
b) Encontrar una matriz X tal que AX + B = C, siendo:
1 1
1 1 0
0 1 1
A=
, B=
, C=
2 1
1 2 1
1 1 3
c) ¿Se puede calcular alguna matriz Y tal que Y A + B = C?
15. Obtener los valors de x, y y z que verifiquen la
 

1
1
 2  x + 2
−1
0
siguiente ecuación matricial:

 
1 1
y


1
= 0
z
1
0
16. Indicar las propiedades de los determinantes que permiten escribir las siguientes igualdades:
2
2 8
1 4
8
=
= 8
a) 0 1
24 100 0 4
5 30 20
1 6 4
1 6 4
b) 6 9 12 = 15 2 3 4 = 15 2 3 4 = 0
1 −3 0 1 −3 0
2 3 4
17. Resolver la ecuación:
1 −1 2 2 x 1 = 10
1 3 x
18. Un constructor hace una urbanización con tres tipos de viviendas: S(sencillas), N(normales) y
L(lujo). Cada vivienda de tipo S tiene 1 ventana grande, 7 medianas y 1 pequeña. Cada vivienda
de tipo N tiene 2 ventanas grandes, 9 medianas y 2 pequeñas. Y cada vivienda de tipo L tiene
4 ventanas grandes, 10 medianas y 3 pequeñas.
Cada ventana grande tiene 4 cristales y 8 bisagras; cada ventana mediana tiene 2 cristales y 4
bisagras; y cada ventana pequeña tiene 1 cristal y 2 bisagras.
a) Escribir una matriz que describa el número y tamaño de ventanas en cada tipo de vivienda y
otra matriz que exprese el número de cristales y el número de bisagras de cada tipo de ventana.
b) Calcular una matriz, a partir de la anteriores, que exprese el número de cristales y bisagras
necesarios en cada tipo de vivienda.
19. Encontrar una matriz X que verifique

1

A= 1
0
X − B 2 = AB, siendo:



2 1
1 0 −1
3 1 B = 2 2 2 
0 2
0 0 6
20. Demostrar, usando las propiedades de los
1
1
1
determinantes:
a b + c b c + a = 0
c a + b
CAPÍTULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES
106
21. Sean A y B dos matrices cuadradas cualesquiera de segundo orden:
a) ¿Es cierta la igualdad (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 ?
b) ¿Y la igualdad (A + B)t = At + B t ?
1 1
22. Dada la matriz A =
, obtener las matrices B tales que AB = BA. Determinar qué matriz
1 2
B de las anteriores verifica que B = A−1 .


1 2 −1
23. Dada la matriz M =  2 4 m , donde m es un parámetro real, se pide:
m 2 −1
a) Determinar el rango de M según los distintos valores de m.
b) Calcular el determinante de M si m = 3. Justificar si esa matriz tiene inversa.
c) Dar un valor de m para que la matriz M sea singular (no admita inversa).
x
−1 2x
24. Resolver la ecuación: 8 x − 1 5 = 67.
−2
1
0
2 1
25. Dada la matriz A =
, hallar su inversa y calcular A2 − 2A.
2 3
26. Si A y B son dos matrices cualesquiera, ¿es correcta la siguiente cadena de igualdades?:
(A+B)(A−B) = A(A−B)+B(A−B) = AA−AB +BA+BB = A2 −AB +BA+B 2 = A2 −B 2
Justifique la respuesta.
27. Una fábrica decide distribuir sus excedentes en tres productos alimenticios A, B y C, a cuatro
paı́ses de África, P1 , P2 , P3 y P4 , según se describe en la matriz M1 (cantidades en toneladas).
Esta fábrica ha recibido presupuestos de dos empresas para el transporte de los productos a los
paı́ses de destino, como indica la matriz M2 (en ¿ por tonelada).
A
200
110
M1 = 
220
150

B
100
130
200
160
C

120 P1
200
P2
100P3
150 P4
P
P2 P3
P4
1
500 450 375 350 E1
M2 =
510 400 400 350 E2
Efectúa el producto de las matrices y responde a las cuestiones:
a) ¿Qué representa a11 de la matriz producto?
b) ¿Qué elemento de la matriz producto nos indica lo que cuesta transportar el producto C con
la empresa E2
c) Indica qué elementos de la matriz producto te permiten decir cuál es la empresa que más
barato transporta el producto B a todos los paı́ses.


0 0 1
28. Sea la matriz A = 1 0 0.
0 1 0
a) Comprueba que A−1 = At .
b) Utilizando el resultado anterior, calcula (At · A)2004 .
CAPÍTULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES

1

 2
29. Dada la matriz A =  √
 3
2
107
√ 
− 3

2 
, demuestra que su inversa y su traspuesta coinciden.
1 
2
30. Resuelve la ecuación AX = B siendo:


6 4
6
A = 4 6 −2
2 10 4
 
4

B = 2
4
31. Determinar la matriz X que satisface la ecuación:
3X + I3 = AB − A2


−1 1 2
A =  2 0 3
3 1 2
siendo:


−1 0 2
B= 2 1 1 
3 2 −1
e I3 la matriz unidad de orden 3.
32. ¿Puede ocurrir que dos matrices se puedan sumar pero no se puedan multiplicar?
33. En un instituto se imparten los cursos de 1º, 2º, 3º y 4º de E.S.O. Los profesores tienen asignado
un número de horas de clase, tutorı́as y guardias a cubrir, de acuerdo con la siguiente matriz:
Clase

Guardias
20
18
M =
22
25
El colegio paga cada hora de clase a 20
a 10 ¿, según la matriz:
¿
5
6
1
2
Tutorı́as

3 1º
5
2º
43º
4 4º
, cada hora de guardia a 5
¿
y cada hora de tutorı́a


20
C =5
10
Además dispone de 5 profesores para primer curso, 4 para segundo, 6 para tercero y 5 para
cuarto:
P = 5 4 6 5
Calcúlese cada uno de los siguientes productos de matrices e interprétense los resultados:
a) P M
b) M C
c) P M C
34. Resolver la ecuación matricial AX
−1
A=
−2
= BX + C, siendo:
2
−3 1
, B=
,
0
1 2
C=
0
−1
35. Consideremos una matriz A de orden mxn con m = n. Razonar si se puede calcular la expresión
AAt − At A
siendo At la matriz traspuesta de A.
CAPÍTULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES
108
36. Dadas las matrices C y D:


−3 1 2
C =  1 −2 0 ,
0
1 0


1 0 1
D = −1 2 −1
2 0 1
se pide:
a) Calcular C −1 y D−1 .
b) Calcular la inversa de C · D.
c) Comprobar que: (C · D)−1 = D−1 · C −1 .


1
1
2
37. Dada la matriz A =  2
0 −1, calcula, si existen, las siguientes matrices:
−6 −1 0
a) Una matriz X tal que XA = 1 0 −1 .
1 0 1
b) Una matriz Y tal que AY =
.
0 1 0
38. Determina las matrices A y B que son soluciones del sistema:




0
5 −4
7
1
2
3A − 2B =  5
9
0  2A + B = −6 6
7 
15 −4 4
10 −5 −2
39. Resuelve la ecuación matricial 2A = AX + B, siendo:
1 0
−1 2
A=
B=
−1 1
−3 1
40. ¿Cómo tienen que ser dos matrices A y B, para que su producto AB sea un escalar? ¿Cómo
será entonces BA?
41. Resuelve la ecuación matricial AX = B, siendo:
1 2
0 3
A=
B=
2 1
3 0
42. Considera la ecuación matricial:
X·
2
2
2 m2 + m
=2
2 1
4 0
con m un parámetro real. Se pide:
a) ¿Para qué valores del parámetro m existe una única matriz X que verifica la ecuación anterior?
b) Si es posible, resuelve la ecuación anterior cuando m = 0 y m = 1.


1 −1 2
43. Dada la matriz A = 2 k 1, calcula los valores de k para los cuales A no posee inversa, y
1 3 k
calcula, si es posible, la inversa de A cuando k = 0.