M´ETODOS MATEM´ATICOS DE LA ECONOM´IA

Universidad de Valladolid
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Departamento de Economı́a Aplicada
(Matemáticas Empresariales y para Economistas)
Esquemas teóricos de la asignatura de las
licenciaturas en Economı́a y ADE - Derecho
MÉTODOS MATEMÁTICOS
DE LA ECONOMÍA
I. MATEMÁTICA FINANCIERA
Confeccionados por los profesores
Miguel Martı́nez Panero
Juan Pablo Rincón Zapatero
MÉTODOS MATEMÁTICOS
DE LA ECONOMÍA
I. MATEMÁTICA FINANCIERA
1. LEYES FINANCIERAS DE CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO.
RENTAS
2. PRÉSTAMOS Y EMPRÉSTITOS
Métodos Matemáticos
Matemática Financiera
2
TEMA 1. LEYES FINANCIERAS DE INTERÉS Y
DESCUENTO. RENTAS
1.1 Conceptos generales. Relaciones notables.
1.2 Tipos de interés y descuento: simple, compuesto y fraccionado.
Tantos equivalentes.
1.3 Tipos de rentas: enteras y fraccionadas; constantes y variables.
Valores actuales y finales.
Métodos Matemáticos
1
1.1
1.1.1
Matemática Financiera
3
LEYES FINANCIERAS DE INTERÉS Y DESCUENTO. RENTAS
CONCEPTOS GENERALES. RELACIONES NOTABLES
DEFINICIÓN
Capital financiero es la medida, expresada en unidades monetarias
(u.m.), de un bien económico en un determinado instante de tiempo.
1.1.2
OBSERVACIÓN
Un capital financiero tiene dos componentes: su cuantı́a, C u.m.,
y el instante t en que se considera disponible o exigible. Para
comparar dos capitales deben situarse en el mismo instante de
tiempo.
1.1.3
DEFINICIÓN
La ley o función matemática que describe la variación del capital
en el tiempo se denomina ley financiera. La matemática financiera
estudia la evolución de los capitales en el tiempo, regulada por las
leyes financieras.
Métodos Matemáticos
1.1.4
Matemática Financiera
4
DEFINICIONES
En virtud del principio de equivalencia financiera se sustituyen uno
o varios capitales (prestación) por otro u otros (contraprestación),
de forma que sus valores monetarios, calculados mediante alguna
ley financiera dada, coincidan en el mismo instante de tiempo.
Dicha acción constituye una operación financiera.
1.1.5
EJEMPLO
Mediante un contrato de préstamo, el prestatario o deudor adquiere
de un prestamista o acreedor (p.e. una entidad bancaria) un capital que deberá reembolsar junto con unos intereses al cabo de
un periodo de tiempo. El capital prestado, C, en el instante del
contrato debe ser ası́ equivalente al capital C + I reembolsado, t
unidades de tiempo después.
1.1.6
DEFINICIÓN
Una ley financiera de capitalización (o interés) es toda función L(t)
(con t ≥ 0 ) caracterizada axiomáticamente por
• L(0) = 1.
• t ≤ t0 ⇒ L(t) ≤ L(t0) (L es una función creciente, aunque no
necesariamente estrictamente creciente).
Métodos Matemáticos
Matemática Financiera
5
• L es continua.
Tal función rige el crecimiento de 1 u.m. a lo largo del tiempo y,
en virtud de la hipótesis de proporcionalidad que a continuación se
detalla, el de capitales de cualquier cuantı́a.
1.1.7
NOTACIONES Y RELACIONES NOTABLES (I)
Si el capital C crece mediante la ley de capitalización L(t) hasta
convertirse, con los intereses I(t) generados, en un montante M (t)
en el instante t, se tendrá:
M (t) = C + I(t) = C · L(t),
(la segunda igualdad expresa la hipótesis de proporcionalidad: el
comportamiento de C u.m. es C veces el de 1 u.m.), de donde
I(t) = C · (L(t) − 1).
1.1.8
DEFINICIÓN
Dada una ley de capitalización L(t) (con t ≥ 0 medido en años),
se define el (tanto de) interés anual (efectivo) como
i = L(1) − 1,
es decir, i es el rendimiento de 1 u.m. al cabo de un año.
Métodos Matemáticos
1.1.9
Matemática Financiera
6
DEFINICIÓN
Toda ley de capitalización L(t) lleva asociada una ley financiera
1
de actualización (o descuento)
(con t ≥ 0) caracterizada por
L(t)
•
1
= 1.
L(0)
1
1
1
≥
(
es una función decreciente, aunque
L(t) L(t0) L
no necesariamente estrictamente decreciente).
• t ≤ t0 ⇒
•
1
es continua.
L
1.1.10
NOTACIONES Y RELACIONES NOTABLES (II)
Si el capital C se anticipa t unidades de tiempo mediante la ley
1
de actualización
, efectuandose por ello un descuento D(t), el
L(t)
valor anticipado A(t) verifica:
A(t) = C − D(t) = C ·
1
,
L(t)
(de nuevo se tiene en cuenta en la segunda igualdad la hipótesis de
proporcionalidad), de donde


1 
1 −
.
D(t) = C · 
L(t)
Métodos Matemáticos
1.1.11
Matemática Financiera
7
DEFINICIÓN
1
(con t ≥ 0 medido en años),
L(t)
se define el (tanto de) descuento anual (efectivo) como
Dada una ley de actualización
d=1−
1
,
L(1)
es decir, d es la rebaja efectuada a 1 u.m. por anticipar un año su
disponibilidad.
1.1.12
PROPOSICIÓN
Fijada una ley de capitalización, los tantos de interés y descuento
anuales efectivos verifican la fórmula
(1 + i)(1 − d) = 1,
y se denominan tantos equivalentes.
1.1.13
OBSERVACIÓN
Dada una ley financiera de capitalización y su correspondiente de
descuento, la operación de calcular el montante a partir de un
capital se denomina capitalizar, y la de anticipar dicho capital, actualizar. En otras palabras, capitalización es el cálculo de capitales
equivalentes a uno dado en el futuro, mientras que actualización lo
serı́a en el pasado.
Métodos Matemáticos
1.1.14
Matemática Financiera
8
NOTACIÓN
Se denota por u = 1 + i al factor de capitalización y por
v = (1 + i)−1 = 1 − d al factor de descuento.
1.1.15
DEFINICIÓN
Se dice que una ley de capitalización es escindible si verifica
L(t + t0) = L(t) · L(t0)
para cualesquiera t, t0 ≥ 0. Es decir, el resultado final de la capitalización de 1 u.m. es independiente de valoraciones intermedias.
1.2
1.2.1
TIPOS DE INTERÉS Y DESCUENTO: SIMPLE, COMPUESTO Y FRACCIONADO. TANTOS EQUIVALENTES.
DEFINICIÓN
La ley de interés simple se caracteriza por el hecho de que los intereses generados por 1 u.m. al cabo de un periodo de tiempo son
proporcionales a dicho tiempo. Tiene la expresión
L(t) = 1 + it,
1.2.2
i, t ≥ 0.
OBSERVACIÓN
La ley de interés simple no es escindible.
Métodos Matemáticos
1.2.3
Matemática Financiera
9
DEFINICIÓN
La correspondiente ley de descuento asociada a la ley de interés
simple se denomina ley de descuento racional y tiene la expresión
1
1
=
L(t) 1 + it
1.2.4
i, t ≥ 0.
DEFINICIÓN
La ley de descuento comercial se caracteriza por el hecho de que el
descuento efectuado por unidad monetaria por anticiparla un periodo de tiempo es proporcional a dicho tiempo. Tiene la expresión
1
= 1 − dt,
L(t)
1.2.5
d, t ≥ 0.
OBSERVACIÓN
Aunque definida análogamente a la ley de interés simple, la ley
de descuento comercial no es su asociada. La ley de descuento
asociada a la ley de interés simple es la ley de descuento racional,
según se ha señalado.
1.2.6
DEFINICIÓN
La ley de interés compuesto se caracteriza por el hecho de que los
intereses generados en cada unidad de tiempo son proporcionales
Métodos Matemáticos
Matemática Financiera
10
al capital al comienzo de dicho tiempo. Tiene la expresión
L(t) = (1 + i)t,
1.2.7
i, t ≥ 0.
OBSERVACIÓN
La ley de interés compuesto es escindible.
1.2.8
DEFINICIÓN
La correspondiente ley de descuento asociada a la ley de interés
compuesto se denomina ley de descuento compuesto y tiene la expresión
1
1
=
= (1 − d)t,
t
L(t) (1 + i)
i, d, t ≥ 0,
siendo i, d tantos equivalentes.
1.2.9
PROPOSICIÓN (Comparación entre las leyes simple y compuesta)
Para un tipo de interés i > 0 se verifica:



























(1 + i)t < 1 + it,
t ∈ (0, 1)
(1 + i)t = 1 + it,
t=1
(1 + i)t > 1 + it, t ∈ (1, ∞)
Métodos Matemáticos
1.2.10
Matemática Financiera
11
DEFINICIÓN
Dada una ley de capitalización L(t) (con t ≥ 0 medido en años), se
define el (tanto de) interés (efectivo) en 1/m años (m ∈ IN) como
1
im = L   − 1,
m


es decir, im es el rendimiento de 1 u.m. al cabo de 1/m años.
1.2.11
DEFINICIÓN
1
Dada una ley de actualización L(t)
(con t ≥ 0 medido en años),
se define el (tanto de) descuento (efectivo) en 1/m años (m ∈ IN)
como
1
dm = 1 −
,
L( m1 )
es decir, dm es la rebaja efectuada a 1 u.m. por anticipar 1/m años
su disponibilidad.
1.2.12
PROPOSICIÓN
Fijada una ley de capitalización, los tantos de interés y descuento
anuales efectivos en 1/m años verifican la fórmula
(1 + im)(1 − dm) = 1,
y se denominan tantos equivalentes.
Matemática Financiera
Métodos Matemáticos
1.2.13
12
DEFINICIONES
El (tanto de) interés (anual) nominal capitalizable en 1/m años, denotado por i(m) viene dado por la fórmula
i(m) = m · im.
El (tanto de) descuento (anual) nominal capitalizable en 1/m años,
denotado por d(m) viene dado por la fórmula
d(m) = m · dm.
1.2.14
PROPOSICIÓN (Equivalencia de tantos)
Fijada una ley escindible (usualmente la ley compuesta) se verifican
las siguentes equivalencias:
m
i(m) 

m
 ,
1. (1 + i) = (1 + im) = 1 +
m

m
d(m) 

m
 ,
2. (1 − d) = (1 − dm) = 1 −
m

∀m ∈ IN
∀m ∈ IN
Si i y d son equivalentes, entonces se dice que todos los tantos de
interés y descuento que aparecen en las fórmulas también lo son.
1.2.15
DEFINICIONES
La ley de interés compuesto fraccionado se caracteriza por el hecho
de que los intereses generados en 1/m años son proporcionales al
Métodos Matemáticos
Matemática Financiera
13
capital al comienzo de dicho tiempo (t medido en años). Tiene la
expresión
L(t) = (1 + im)tm,
i, t, m ≥ 0.
Su ley de descuento asociada se denomina ley de descuento compuesto
fraccionado y toma la expresión
1
= (1 − dm)tm,
L(t)
i, t, m ≥ 0,
siendo dm equivalente a im.
1.2.16
OBSERVACIÓN
Las leyes fraccionadas no son sino las compuestas a las que se ha
efectuado un cambio de escala en el tiempo. Ası́, si en la expresión
(1 + interés)tiempo el interés es i, el tiempo debe figurar en años;
si el interés es i12, el tiempo se debe medir en meses, etc. Si hay
discordancia entre la unidad de tiempo a la que se refiere el tipo
de interés y la de la duración de la operación debe hacerse una
conversión de tiempo o una equivalencia de tantos para evitar este
hecho.
Métodos Matemáticos
1.3
1.3.1
Matemática Financiera
14
TIPOS DE RENTAS: ENTERAS Y FRACCIONADAS; CONSTANTES Y VARIABLES. VALORES ACTUALES Y FINALES
DEFINICIÓN
Una renta es una sucesión de capitales disponibles o exigibles en
momentos equidistantes en el tiempo.
1.3.2
EJEMPLOS
Los pagos mensuales por el alquiler de una casa; la loterı́a de la
O.N.C.E. que premia con 72.000 euros al año durante 25 años,
constituyen ejemplos de rentas.
1.3.3
DEFINICIONES
Los elementos principales que intervienen en una renta son:
• Los términos, cuotas o plazos de la renta son los pagos realizados periódicamente.
• El periodo de la renta es el tiempo transcurrido entre dos cuotas consecutivas. Si el periodo es anual, mensual, etc., las
cuotas llevan el nombre de anualidades, mensualidades, etc.,
respectivamente.
• La duración de la renta es el número de periodos con cuota.
Métodos Matemáticos
Matemática Financiera
15
• El tanto de valoración de la renta es el tipo de interés con el
que se capitalizan/actualizan las cuotas (ley compuesta).
• El origen de al renta es el instante de su contrato.
• El final de la renta es el del último periodo con cuota.
• El valor actual de la renta es el capital equivalente en el origen
al conjunto de todas sus cuotas.
• El valor final de la renta es el capital equivalente en el final al
conjunto de todas sus cuotas.
Atendiendo a dichos elementos, las rentas se pueden clasificar
1. Según la periodicidad de las cuotas en relación al tanto de
valoración:
• Enteras: el periodo de tiempo al que se refiere el tanto de
valoración coincide con el de la renta.
• Fraccionadas: si no se da tal coincidencia.
2. Según la cuantı́a de las cuotas:
• Constantes: todas las cuotas son iguales.
• Variables: las cuotas difieren entre sı́. Estudiaremos únicamente el caso en que las cuotas varı́an en progresión
geométrica.
3. Según el momento de su contrato:
Métodos Matemáticos
Matemática Financiera
16
• Inmediatas: el origen se sitúa al comienzo del primer periodo con cuota.
• Diferidas: desde el origen hasta el primer periodo con cuota
existe un periodo de diferimiento.
4. Según la situación de cada cuota en el periodo:
• Pospagables: las cuotas se consideran (o vencen) al final
de cada periodo.
• Prepagables: las cuotas se consideran (o vencen) al comienzo
de cada periodo.
5. Según la duración de la renta:
• Temporales: de duración finita.
• Perpetuas: de duración infinita.
1.3.4
NOTACIONES
Denotaremos por VA y VF los valores actual y final, respectivamente, de una renta pospagable sin diferimiento y por VÄ y VF̈
los valores actual y final, respectivamente, de una renta prepagable
sin diferimiento.
Si existe un periodo de diferimiento de m años tales valores se
denotarán por m/VA y m/VÄ, m/VF y m/VF̈.
Métodos Matemáticos
1.3.5
Matemática Financiera
17
PROPOSICIÓN (Factores de transformación de rentas)
En rentas de n años de duración a un tanto de valoración i y
periodo de diferimiento m se cumple:
• VÄ = uVA,
• VF = unVA,
VF̈ = uVF
VF̈ = unVÄ
• m/VA = v mVA, m/VÄ = v mVÄ,
m/VF = VF, m/VF̈ = VF̈
1.3.6
OBSERVACIONES
• La utilización de estos factores de transformación permite reducir considerablemente la casuı́stica siguiente en el estudio de
valores actuales y finales de los distintos tipos de rentas, para
los que se introducirán notaciones especı́ficas. Habida cuenta
del principio de proporcionalidad, se considerarán únicamente
rentas de cuotas unitarias.
• Aunque las fórmulas consignadas en este resumen teórico se
refieren usualmente a periodos y tantos de valoración anuales,
seguirán teniendo validez para otros periodos y tantos de valoración siempre que en éstos se considere la misma unidad de
tiempo. Ası́, por ejemplo, en una renta mensual pospagable
de n meses de duración a un tanto de interés o valoración de
Matemática Financiera
Métodos Matemáticos
18
i12 se tendrá
VF = (1 + i12)nVA
• Asimismo, tanto las fórmulas anteriores como las subsiguientes
son generalizables cuando hay concordancia de unidades de
tiempo entre el periodo de las rentas y el referido al interés. Si
hay discordancia entre la unidad de tiempo a la que se refiere
el tanto de valoración de la renta y la de su duración, debe
hacerse una conversión de tiempo o una equivalencia de tantos
para evitar este hecho.
1.3.7
PROPOSICIÓN (Valoración de rentas constantes)
• Si denotamos por a n i y por s n i los valores actual y final,
respectivamente, de una renta anual unitaria de n años de
duración al tanto de valoración i > 0, se tiene
an i
1 − vn
= v + ··· + v =
i
n
y
sn i = u
n−1
un − 1
+ ··· + 1 =
.
i
• Si, con las mismas caracterı́sticas la renta es perpetua denotaremos por a ∞ i su valor actual y entonces
a ∞ i = v + · · · + vn + · · · = 1i .
Métodos Matemáticos
1.3.8
Matemática Financiera
19
PROPOSICIÓN (Valoración de rentas variables en progresión geométrica)
• Si denotamos por va n i y por vs n i los valores actual y
final, respectivamente, de una renta anual pospagable de n
años de duración en progresión geométrica de cuotas sucesivas
1, q, q 2, . . . , q n−1, se tiene







va n i = v + qv2 + · · · + qn−1vn = 



1 − qnvn
si q =
6 u
u−q
nv
si q = u







vs n i = un−1 + qun−2 + · · · + qn−1 = 



un − q n
si q =
6 u
u−q
nun−1 si q = u
• Si, con las mismas caracterı́sticas la renta es perpetua, denotaremos por va ∞ i su valor actual y entonces







va ∞ i = v + qv2 + · · · + qn−1vn + · · · = 



1
si q < u
u−q
∞ si q ≥ u
Métodos Matemáticos
Matemática Financiera
TEMA 10. PRÉSTAMOS Y EMPRÉSTITOS
2.1 Préstamos. Conceptos generales
2.2 Sistemas de amortización de préstamos
2.3 Empréstitos. Conceptos generales
2.4 Empréstitos normales
2.5 Empréstitos no normales. Normalización de empréstitos
2.6 Amortización práctica de empréstitos
2.7 Tanto de rendimiento de un empréstito
20
Métodos Matemáticos
2
2.1
2.1.1
Matemática Financiera
21
PRÉSTAMOS Y EMPRÉSTITOS
PRÉSTAMOS. CONCEPTOS GENERALES
DEFINICIONES
Un préstamo es una operación financiera en la que se sustituye
un capital C dado en el instante t = 0, por un conjunto de
capitales, X1, X2, . . . , Xk , con momentos de disponibilidad posteriores, t1, t2, . . . , tk , respectivamente. Cada uno de estos capitales
se denomina cuota de cancelación y el periodo de tiempo entre dos
cualesquiera consecutivas, periodo del préstamo.
2.1.2
EJEMPLO
La financiación de un coche, la hipoteca de un inmueble, constituyen ejemplos de préstamos.
2.1.3
OBSERVACIÓN
La sustitución del capital prestado por los capitales de cancelación
se realiza de acuerdo con el principio de equivalencia financiera,
mediante alguna ley financiera, normalmente la ley compuesta. En
este caso:
C = X1v + X2v 2 + · · · + Xk v k ,
y i es el tanto de interés efectivo en el periodo del préstamo.
Matemática Financiera
Métodos Matemáticos
2.1.4
22
NOTACIÓN Y RELACIONES NOTABLES (PRÉSTAMOS)
C: capital prestado o sustituido
i: tanto de interés efectivo en el periodo del préstamo
n: número de cuotas de cancelación
Xk : cuota de cancelación o plazo en el periodo k (anualidad si el
periodo del préstamo es anual)
Rk : cuota de amortización en el periodo k, destinada a restituir
el capital prestado
Ik : cuota de interés en el periodo k, generada por la deuda pendiente al inicio del periodo k.
Sk+1: capital pendiente de amortización al comienzo del periodo
k + 1.
Ek : capital amortizado al final del periodo k.
Xk = Rk + Ik
C = R1 + . . . + Rn
C = X1v + X2v 2 + · · · + Xnv n
(Equivalencia Financiera)
Ik = iSk
Sk − Sk+1 = Rk
Sk = R k + . . . + R n
Métodos Matemáticos
Matemática Financiera
23
Ek = R1 + . . . + Rk
Ek + Sk+1 = C
Sk+1 = Xk+1v + . . . + Xnv n−k
2.2
(Equivalencia Financiera)
SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS
Existen diversos métodos para la amortización de un préstamo,
algunos de los cuales se muestran a continuación.
2.2.1
REEMBOLSO ÚNICO DE CAPITAL E INTERÉS
El capital prestado se sustituye por un único capital M (n)
M (n) = Cun.
2.2.2
REEMBOLSO ÚNICO Y PAGO PERIÓDICO DE INTERÉS
En cada periodo del préstamo se devenga el interés generado por
la deuda en un periodo, Ci, y a la finalización se reembolsa C .
C = Civ + · · · + Civ n + Cv n.
Se denomina a este método de amortización sistema americano simple.
2.2.3
REEMBOLSO PERIÓDICO DE CAPITAL E INTERÉS
El capital prestado se sustituye mediante pagos periódicos que se
descomponen en cuota de amortización y cuota de interés. Se
Matemática Financiera
Métodos Matemáticos
24
distinguen los siguientes tipos:
1.
SISTEMA DE AMORTIZACIÓN UNIFORME
La cuota de amortización es constante:
R1 = · · · = Rn = R ⇒ R =
2.
C
.
n
SISTEMA DE AMORTIZACIÓN FRANCÉS
La cuota de cancelación es constante:
X1 = · · · = Xn = X ⇒ X =
C
a n i.
Por otra parte,
X = Xk




= Rk + Ik
X = Xk+1 = Rk+1 + Ik+1



⇒ Rk+1 = Rk + (Sk − Sk+1)i.
De donde se obtiene:
Rk+1 = uRk ,
y, de forma recurrente,
Rk+1 = uk R1.
Para hallar R1,
R1 + · · · + Rn = C ⇒ R1(1 + u + · · · + un−1) = C,
es decir,
R1 =
C
s n i.
De otra forma,
R1 = X − I1 = X − S1i = X − Ci.
Métodos Matemáticos
3.
Matemática Financiera
25
SISTEMA DE AMORTIZACIÓN AMERICANO CON FONDOS
El deudor constituye un fondo de amortización con el que reembolsa el capital prestado en el momento pactado. Al mismo
tiempo, abona el interés devengado por la deuda pendiente de
forma periódica. Si F denota la cuantı́a de las aportaciones
al fondo y r es el tanto de interés efectivo, entonces la cuota
constante de cancelación del préstamo es
X = Xk = Rk + Ik = F + Ci =
2.3
2.3.1
C
s n r + Ci.
EMPRÉSTITOS. CONCEPTOS GENERALES
DEFINICIONES
Un empréstito es un préstamo en el que el valor de la prestación está
repartida en un conjunto de tı́tulos u obligaciones que representan
la misma fracción del préstamo. En cada periodo se amortiza un
número entero de tı́tulos, de acuerdo a su valor de reembolso. El
valor nominal de una obligación es el cociente de la cuantı́a del
préstamo entre el número de obligaciones. El interés generado por
cada tı́tulo en un periodo se llama cupón.
El precio de emisión de una obligación es su valor de adquisición.
La prima de emisión (resp. prima de reembolso) es la diferencia
entre el valor nominal y el precio de emisión (resp. entre el valor
nominal y el valor de reembolso).
Métodos Matemáticos
Matemática Financiera
26
Un empréstito es normal si los valores de emisión y de reembolso
coinciden con el valor nominal y si el cupón es periódico. En caso
contrario se dice que el empréstito es no normal.
2.3.2
EJEMPLO
La deuda pública es el conjunto de empréstitos (obligaciones del
Estado, bonos, letras del Tesoro, etc.) ofertados por el Estado.
2.3.3
NOTACIÓN Y RELACIONES NOTABLES (EMPRÉSTITOS)
C: valor nominal de una obligación
i: tanto de interés efectivo en el periodo del empréstito
n: duración del empréstito
N : número de obligaciones del empréstito
CN : valor nominal del empréstito
Ce: valor de emisión de una obligación
Cr : valor de reembolso de una obligación
Xk : cuota de cancelación o plazo en el periodo k (anualidad si el
periodo del empréstito es anual)
Rk : cuota de amortización en el periodo k, destinada a restituir
el capital prestado
Métodos Matemáticos
Matemática Financiera
27
Ik : cuota de interés en el periodo k, generada por la deuda pendiente al inicio del periodo k
rk : número teórico de tı́tulos amortizados en el periodo k
lk+1: número de obligaciones pendientes de amortización al comienzo del periodo k + 1
Nk : tı́tulos amortizados al final del periodo k
Ci: cupón
Xk = Rk + Ik
Rk = Cr rk
C = R1 + . . . + Rn
C = X1v + X2v 2 + · · · + Xnv n
(Equivalencia Financiera)
Ik = lk Ci
lk − lk+1 = rk
lk = rk + . . . + rn
Nk = r 1 + . . . + r k
Nk + lk+1 = N
Cr lk+1 = Xk+1v + . . . + Xnv n−k
(Equivalencia Financiera)
Métodos Matemáticos
2.4
2.4.1
Matemática Financiera
28
EMPRÉSTITOS NORMALES
AMORTIZACIÓN UNIFORME
El número de obligaciones amortizadas en cada periodo es costante:
r1 = · · · = rn = r ⇒ r =
2.4.2
N
,
n
Rk = R = C
N
.
n
SISTEMA DE AMORTIZACIÓN FRANCÉS
El plazo es constante:
X1 = · · · = Xn = X ⇒ X =
NC
a n i.
Por otra parte,








X = Xk




X = Xk+1 = Rk+1 + Ik+1 = Crk+1 + lk+1Ci 
= Rk + Ik
= Crk + lk Ci

⇓
rk+1 = rk + (lk − lk+1)i.
De donde se obtiene:
rk+1 = urk ,
y, de forma recurrente,
rk+1 = uk r1.
Para hallar r1,
r1 + · · · + rn = N ⇒ r1(1 + u + · · · + un) = N,
Matemática Financiera
Métodos Matemáticos
29
es decir,
r1 =
N
s n i.
De otra forma,
R1 = X − I1 = X − l1Ci = X − N Ci ⇒ r1 =
R1 X
=
− N i.
C
C
2.5
EMPRÉSTITOS NO NORMALES. NORMALIZACIÓN DE
EMPRÉSTITOS
2.5.1
EMPRÉSTITO CON PRIMA DE REEMBOLSO Y PLAZO CONSTANTE
Se caracteriza por Cr 6= C. Se transforma el plazo X = Xk en
uno correspondiente a un empréstito normal:
X = Xk = Cr rk + lk Ci = Cr rk + lk Cr
C
i = Cr rk + lk Cr i0,
Cr
C
i y el valor nominal de la
Cr
obligación es Cr . Procediendo como en 2.4.2, se obtiene:
en el que el interés efectivo es i0 =
X=
N Cr
an i
y
rk+1 = (1 + i0)rk ,
rk = (1 + i0)k−1r1.
Se dice que i0 es el tanto que normaliza el empréstito.
Matemática Financiera
Métodos Matemáticos
2.5.2
30
EMPRÉSTITO SIN CUPÓN Y PLAZO CONSTANTE
No existe cupón periódico. El interés acumulado se abona en el
momento de la amortización de la obligación, junto con su valor
de reembolso. Se verifica:
Xk = X = rk Cuk ,
k = 1, . . . , n.
Por otra parte,
X=
NC
a n i,
y, por tanto,
rk =
2.5.3
N
uk a n i
.
EMPRÉSTITO CON AMORTIZACIÓN SECA Y PLAZO CONSTANTE
La obligación pierde el cupón correspondiente al periodo de amortización. Puede considerarse que existe una prima de reembolso
negativa, Cr = C − Ci < C. Aplicando los resultados de 2.5.1,
se obtiene:
N C(1 − i)
X=
an i
y
i 
i k−1


rk+1 = 1 +
rk ,
rk = 1 +
r1 .
1−i
1−i
Se observa que el último plazo se dedica ı́ntegramente a amortización:
Xn = Crn.




Métodos Matemáticos
2.6
Matemática Financiera
31
AMORTIZACIÓN PRÁCTICA DE EMPRÉSTITOS
En cada periodo se debe amortizar un número entero de obligaciones. Dado que rk puede no ser entero, se necesita algún método
práctico de amortización que no difiera demasiado de la amortización teórica. El método de redondeo de las amortizaciones teóricas
consiste en obtener la parte entera de rk , k = 1, . . . , n, [rk ], y
considerar la diferencia N − ([r1] + · · · + [rn]). Cada una de estas
obligaciones se amortiza en el periodo k tal que la parte fraccionaria de rk sea mayor. De esta forma se obtiene el plan real de
amortización.
2.6.1
EJEMPLO
Cuadro de amortización de un empréstito con sistema francés y
plazo constante, con los siguientes datos: C = 1.000 u.m., N =
1.000, i = 0, 06, n = 5 años y Cr = 1.200 u.m.
• Normalización: i0 =
1.000×0.06
1.200
• Anualidad teórica: X =
= 0, 05.
1.200
a 5 0.05 = 277.169, 7578
u.m.
• Amortización teórica: R1 = 277.169, 7578 − 1.000 × 60 =
217.169, 7578 u.m., r1 = 217.169,7578
= 180, 9748.
1.200
r2 = 1, 05r1 = 190, 0235
r3 = 1, 05r2 = 199, 5247
Matemática Financiera
Métodos Matemáticos
32
r4 = 1, 05r3 = 209, 5009
r5 = 1, 05r4 = 219, 9759
• Amortización práctica: N − 5k=1[rk ] = 3. Estas tres obligaciones se reparten en los periodos en los que rk tienen parte
fraccionaria mayor:
P
Periodo
1
Amortización
181∗
2
190
3
200∗
4
209
5
220∗
Cuadro de amortización:
0
1
2
3
4
5
Anualidad
efectiva
–
277.200
277.140
277.740
276.540
277.299
Interés Amortización Obligaciones amortizadas Obligaciones
efectiva
anual
total
vivas
–
–
–
–
1.000
60.000
217.000
181
181
819
49.140
228.000
190
371
629
37.790
240.000
200
571
429
25.740
250.800
209
780
220
13.200
264.000
220
1.000
0
Métodos Matemáticos
2.7
Matemática Financiera
33
TANTO DE RENDIMIENTO DE UN EMPRÉSTITO
Existen dos puntos de vista en la valoración del tanto efectivo o de
rendimiento de un empréstito.
2.7.1
DEFINICIÓN
El tanto de rendimiento de una obligación que vence en el periodo
k, ik , es aquél que verifica la equivalencia financiera entre el valor
de emisión Ce y los ingresos obtenidos por el obligacionista hasta
el momento de la amortización.
2.7.2
OBSERVACIÓN
En consecuencia, cuando el empréstito se rige por el sistema francés
y es de plazo constante, ik verifica:
Ce = Ci a k
2.7.3
−k
+
C
(1
+
i
)
.
r
k
ik
DEFINICIÓN
El tanto de rendimiento del empréstito, i∗, es aquél que verifica la
equivalencia financiera entre la prestación y los pagos que constituyen la contraprestación.
Métodos Matemáticos
2.7.4
Matemática Financiera
34
OBSERVACIÓN
Si en el empréstito existen gastos fijos de cuantı́a G u.m. en
el momento de emisión y gastos proporcionales del gk % sobre el
plazo Xk , entonces i∗ verifica:
N Ce − G = (1 + g1)X1(1 + i∗)−1 + · · · + (1 + gn)Xn(1 + i∗)−n.
Cuando el empréstito es normal, de plazo constante y
G = g1 = · · · gn = 0, se tiene i∗ = i.