D ep a rta m en to de In g en ierıa M a tem a tica

FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Introducción al Álgebra 08-1
Guı́a de Ejercicios
N
Departamento de Ingenierı́a Matemática - Universidad de Chile
Ingenierı́a Matemática
Observación: En esta guı́a la notación Ak , para un A conjunto y k ∈
≤ 1, está dada
por:
Ak = A × · · · × A = {(x1 , x2 . . . , xk ) | (∀i ∈ {1, . . . , k}) xi ∈ A}.
|
{z
}
k veces
1. Demuestre que:
N × Z| = |N|.
Q × Z| = |N|.
(c) |N| < |R × Z|.
(a) |
(b) |
R
R × Z|.
Indicación: Pruebe que | | ≤ |
N
R N
(d) | | < | \ ( \ {0})|.
Indicación: Use la demostración de | | < | |.
N
R
2. Muestre que los siguientes conjuntos son finitos.
(a) A = {f : {1, ..., n} → {1, ..., n}/f es biyectiva }
(b) B = { todas las permutaciones de n elementos distintos }
(c) C = {f :
R → N/ f es biyectiva }
(d) D = { todas las estaturas de los habitantes del planeta tierra }
(e) Dados a < b ∈
R, E = (−∞, b] ∩ [a, ∞) ∩ N
3. Muestre que los siguientes conjuntos son numerables. Recuerde que puede probar primero
que el conjunto es infinito y luego que su cardinal es menor o igual al de uno numerable.
Z2 /m ≤ n}
(b) C = {x ∈ R/∃k ∈ Z, ∃i ∈ N, x = k/3i }
(c) D = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ Z3 /x1 < x2 < x3 }
(a) A = {(m, n) ∈
(d) G = { circunferencias de radio y centro racional }
4. Muestre que los siguientes conjuntos son no numerables. Recuerde que aquı́ basta probar
que el cardinal del conjunto es mayor o igual al de uno no numerable.
(a) B = {(x, y) ∈
R2/x + y = 1}
Q \ {0}, C = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 = r2 }
(c) Sean a, b ∈ Q con a < b, E = (−∞, b] ∩ [a, ∞)
(b) Sea r ∈
130
Departamento de Ingenierı́a Matemática - Universidad de Chile
5. Señale si las siguientes operaciones son o no son leyes de composición interna. Justifique
por qué.
Z.
(b) + en Z \ {0}.
(c) + en N.
(d) · en R.
(a) + en
(e) / (división) en
Q.
(f) Dado A 6= ∅. ◦ (composición de funciones) en el conjunto de las funciones de A en
A.
(g) ∩ en P(A), para cierto A 6= ∅.
6. Considerando las operaciones anteriores, en los casos que corresponda:
(a) Estudie si la operación es asociativa.
(b) Estudie si la operación es conmutativa.
(c) Determine la existencia de neutros.
(d) Determine la existencia de inversos. Dé condiciones sobre un elemento para que posea
inverso.
(e) Determine la existencia de elementos aborbentes.
(f) Determine la existencia de elementos idempotentes.
7. Demuestre las siguientes propiedades dejadas propuestas en la tutorı́a, para una estructura algebraica asociativa (A, ∗):
(a) Si x ∈ A posee inverso, entonces x−1 también. Más aun, (x−1 )−1 = x.
(b) Si x ∈ A posee inverso, entonces es cancelable. Es decir, para y, z ∈ A:
x∗y =x∗z ⇒y =z
y∗x=z∗x⇒y =z
131