Matemáticas aplicadas a las CCSS for dummies - five

Matemáticas Aplicadas a las CCSS
for Dummies
Curso 2015-2016
Jesús Garcı́a de Jalón de la Fuente
1 PROGRAMACIÓN LINEAL
1.
1.1.
2
Programación lineal
Inecuaciones
Una inecuación lineal con dos incógnitas tiene la forma:
Ax + By + C < 0
En lugar del signo < pueden aparecer >, ≤ o ≥.
Como es sabido, el conjunto de puntos que cumplen la ecuación Ax + By + C = 0 forman una lı́nea recta.
Esta recta divide el plano en dos semiplanos; en uno de ellos se cumple que Ax + By + C < 0 y en otro se
cumple que Ax + By + C > 0. Por consiguiente, la solución de la inecuación está formada por los puntos de
uno de los dos semiplanos (y la recta, en el caso de una inecuación con los signos ≤ o ≥).
Para determinar cuál de los dos semiplanos es la solución, basta probar si un punto particular de uno se los
semiplanos (por ejemplo el origen de coordenadas en el caso de que no esté contenido en la recta es solución.
Figura 1: Solución de una inecuación y de un sistema de inecuaciones
La solución de un sistema de dos inecuaciones lineales será la intersección de los dos semiplanos solución, es
decir, será una de las cuatro regiones en que las rectas que se cortan dividen el plano.
Las soluciones de un sistema formado por un número cualquiera de inecuaciones:
A1 x + B1 y + C1 < 0
A2 x + B2 y + C2 < 0
···
An x + Bn y + Cn < 0
forman una región del plano limitada por una lı́nea poligonal. Esta región puede estar acotada o no (un
conjunto de puntos es acotado si existe un cuadrado que los contiene a todos) pero siempre es un conjunto
convexo. Un conjunto de puntos es convexo, si dados dos puntos del conjunto P y Q, también pertenecen al
conjunto todos los puntos del segmento P Q.
1.2.
Programación lineal
Los problemas de programación lineal consisten en encontrar los valores de x e y que hacen que sea máxima
o mı́nima una función objetivo:
F (x, y) = M x + N y
1 PROGRAMACIÓN LINEAL
3
sujeta a un conjunto de restricciones:
A1 x + B1 y + C1 ≤ 0
A2 x + B2 y + C2 ≤ 0
·········
An x + Bn y + Cn ≤ 0
El conjunto de restricciones, definen una región del plano llamada región factible. Como hemos visto, la
región factible es convexa y puede ser o no ser acotada.
Figura 2: Región factible acotada y no acotada
Consideremos una región factible acotada como la que está representada en la figura (la superficie interior al
polı́gono dibujado con trazo grueso). Los puntos para los que la función objetivo toma determinados valores
C1 , C2 . C3 y C4 , son rectas tales como las representadas en la segunda figura. Cuanto mayor es el valor de
la función objetivo tanto más alejada está la recta del origen de coordenadas.
Figura 3: Solución de un problema de programación lineal
Queda claro que el valor máximo de la función objetivo se dará en un vértice de la región factible y entre
los vértices deberemos buscar por tanto, la solución del problema. Es posible que el mismo valor máximo se
dé en dos vértices. Entonces, como el polı́gono es convexo, el mismo valor se dará en el segmento que une
los dos vértices. En este caso la solución no es un vértice sino un lado del polı́gono
1 PROGRAMACIÓN LINEAL
1.3.
4
Ejercicios resueltos
1. Calcular la solución del siguiente sistema de inecuaciones y las coordenadas de sus vértices:

x + 3y ≤ 15





2x + y ≤ 10
x−y ≤2


x ≥ 0



y≥0
Solución:
La región factible se puede ver en la figura 4.
Figura 4: Ejercicios 1 y 2
Los vértices de la región son O(0, 0), A(0, 5), B(3, 4), C(4, 2) y D(2, 0).
2. Calcular el máximo y el mı́nimo de la función F (x, y) = 3x + 8y con las siguientes restricciones:

2x − 3y ≤ 0




x+y ≤5
y ≤ 4



x≥0
Solución:
Podemos ver la región factible en la figura 4. Los vértices de la región son los puntos O(0, 0), A(0, 4), B(1, 4) y C(3, 2).
El mı́nimo de la función se da en el punto O(0, 0) y el máximo en B(1, 4).
3. Se desea invertir una cantidad de dinero menor o igual que 125000 euros, distribuidos entre acciones del tipo A y del
tipo B. Las acciones del tipo A garantizan una ganancia del 10 % anual, siendo obligatorio invertir en ellas un mı́nimo
de 30000 euros y un máximo de 81000 euros. Las acciones del tipo B garantizan una ganancia del 5 % anual, siendo
obligatorio invertir en ellas un mı́nimo de 25000 euros. La cantidad invertida en acciones del tipo B no puede superar el
triple de la cantidad invertida en acciones del tipo A. ¿Cuál debe ser la distribución de la inversión para maximizar la
ganancia anual? Determı́nese dicha ganancia máxima.
Solución:
Llamemos:
x: cantidad invertida en acciones del tipo A
y: cantidad invertida en acciones del tipo B
La función objetivo es F (x, y) = 0,10x + 0,05y.
Las restricciones son las siguientes:


x + y ≤ 125




x ≥ 30



x ≤ 81

y ≥ 25




y ≤ 3x



x≥0, y ≥0
La región factible está representada en la figura 5.
1 PROGRAMACIÓN LINEAL
5
Figura 5: Ejercicios 3 y 4
El máximo puede darse en los vértices A(31250, 93750) o en B(81000, 44000). Calculamos la función objetivo en ambos:
F (31250, 93750) = 0,10 · 31250 + 0,05 · 93750 = 7812,50
F (81000, 44000) = 0,10 · 81000 + 0,05 · 44000 = 10300
El beneficio máximo de 10300 euros se da invirtiendo 81000 euros en acciones del tipo A y 44000 euros en acciones del
tipo B.
4. Una compañı́a naviera dispone de dos barcos A y B para realizar un crucero. El barco A debe hacer tantos viajes o más
que el barco B, pero no puede sobrepasar los 12 viajes. Entre los dos barcos deben hacer no menos de 6 viajes y no más
de 20. La naviera obtiene un beneficio de 18000 euros por cada viaje del barco A y 12000 euros por cada viaje del B. Se
desea que las ganancias sean máximas. Hallar el número de viajes que debe efectuar cada barco para obtener el máximo
beneficio. Calcular dicho beneficio máximo.
Solución:
Llamamos:
x: número de viajes del barco A
y: número de viajes del barco B
La función objetivo es F (x, y) = 18000x + 12000y.
Las restricciones son:

x≥y





x ≤ 12
x+y ≥6



x + y ≤ 20



x≥0, y ≥0
Los vértices que pueden dar el beneficio máximo son A(10, 10) o B(12, 8). Claramente, el máximo beneficio se da en
B(12, 8) y vale:
F (12, 8) = 18000 · 12 + 12000 · 8 = 312000
1.4.
Ejercicios propuestos
1. Calcular el mı́nimo de F (x, y) = 9x + y con las restricciones:

x+y ≤5




3x + y ≥ 2
3x − 2y ≤ 5



x≥0
2. Calcular el mı́nimo de F (x, y) = 4x + 5y con las restricciones:
x
y


 10 + 8 ≤ 1


x
y
+ ≥1

5
8




x + y ≥1
10
4
1 PROGRAMACIÓN LINEAL
6
3. Una empresa cuenta con 3 empleados que trabajan durante 40 horas semanales para elaborar dos tipos de guitarras
eléctricas, G1 y G2 . Cada unidad de G1 requiere tres horas de trabajo y cada unidad de G2 , cuatro. Independientemente
del tipo que sea, cada guitarra proporciona un beneficio de 75 euros.
Un estudio de mercado señala que no se deben producir en total más de 32 guitarras semanales. Determina la producción
para que los beneficios sean máximos.
4. Se desea fabricar comida para gatos de dos clases diferentes: gama alta y gama media. La comida está formada por una
mezcla de carne, cereales y grasa animal en diferentes proporciones según la gama. La mezcla de gama alta incluye 3 kg
de carne, 2 kg de cereales y 1 kg de grasa animal por paquete, y produce un beneficio de 20 euros, mientras que la mezcla
de gama media incluye 1 kg de carne, 2 kg de cereales y 2 g de grasa animal por paquete y produce un beneficio de 30
euros.
Se cuenta con un total de 105 kg de carne, 110 de cereales y 85 de grasa animal para elaborar las mezclas.
¿Cuántos paquetes de cada gama se deberán fabricar para que el beneficio producido sea máximo?
5. En una empresa se editan revistas de dos tipos: de información deportiva y de cultura. Cada revista de información
deportiva, precisa dos cartuchos de tinta negra y uno de color y se vende a 3 euros. Cada revista de cultura precisa dos
cartuchos de tinta negra y dos de color y se vende a 5 euros. se dispone de 500 cartuchos de cada clase.
¿Cuántas revistas de cada tipo de deben editar para ingresar el máximo posible?
6. Para iluminar una sala de pintura es preciso colocar suficientes bombillas que sumen un total de 1440 vatios como mı́nimo.
En el mercado se pueden adquirir bombillas incandescentes tradicionales de 90 vatios al precio de un euro y bombillas
de bajo consumo de 9 vatios (equivalentes a 60 vatios) al precio de 5 euros la unidad.
Debido a la estructura del espacio, el número total de bombillas no puede ser mayor de 20. Por otra parte, las normas
del Ayuntamiento imponen que, para este tipo de salas, el número de bombillas de bajo consumo no puede ser inferior
a la mitad del de bombillas tradicionales.
Calcula el número de bombillas de cada clase que se deben colocar para que el coste sea mı́nimo.
7. Dos jóvenes empresarios se disponen a abrir un negocio de informática. Montarán y comercializarán dos tipos de ordenador: el tipo A llevará una unidad de memoria de pequeña capacidad y un disco duro; el tipo B llevará una unidad de
memoria de alta capacidad y dos discos duros.
En total se cuenta con 40 unidades de memoria de pequeña capacidad, 30 unidades de memoria de alta capacidad y 80
discos duros.
Por cada ordenador de tipo A esperan obtener 150 euros de beneficios, y por cada ordenador de tipo B, 250 euros.
(a) Cuál es la mejor decisión sobre el número de ordenadores de cada tipo?
(b) Cuáles serı́an los beneficios en ese caso?
(c) Con esa producción, ¿habrı́a algún excedente en el material mencionado?
8. En un taller de confección se van a elaborar trajes de cocinero y de camarero. Se dispone para ello de 30 m2 de algodón,
10 m2 de fibra sintética y 20 m2 de lana.
Para hacer cada traje de cocinero se precisan 1 m2 de algodón, 2 m2 de fibra sintética y 2 m2 de lana. Cada unidad de
este tipo deja 20 euros de beneficios.
Para hacer cada traje de camarero se precisan 2 m2 de algodón. 1 m2 de fibra sintética y 1 m2 de lana. Cada unidad de
este tipo deja 30 euros de beneficios.
Se deben confeccionar mayor o igual número de trajes de camarero que de cocinero y, como mı́nimo, se deben hacer un
traje de cocinero y dos de camarero. El total no puede ser superior a 20.
(a) ¿Cuántos trajes de cada tipo se deberán confeccionar de forma que el beneficio sea máximo?
(b) ¿Sobrará algún tipo de material?
(c) ¿Hay alguna condición redundante?
9. Una empresaria desea invertir los beneficios de 7500 euros obtenidos en su negocio en dos tipos de acciones A y B.
El tipo A produce un tipo de interés esperado del 6 % y el tipo B del 4 %. Como máximo desea invertir 5000 euros en A
y, como mı́nimo, 1500 en B. Además, desea que la inversión en A sea superior a dos veces y media la inversión en B.
¿Cómo deberá realizar la inversión para que las ganancias sen máximas?
10. Una empresa de siderurgia cuenta con tres tipos de recursos productivos para producir dos tipos de aleaciones de hierro,
A1 y A2 : 1000 horas de trabajo de personal y 880 y 1161 toneladas, respectivamente, de dos materias primas M1 y M2 ,
que se deben mezclar.
Para fabricar una unidad de la aleación A1 se precisan 10 horas de trabajo de personal, 20 toneladas de M1 y 50 toneladas
de M2 .
Para fabricar una unidad de la aleación A2 se precisan 40 horas de trabajo de personal, 50 toneladas de M1 y 60 toneladas
de M2 .
Gracias a un estudio de mercado, se supone que, por cada unidad de A1 se obtendrán unos beneficios de 125 unidades
monetarias, y por cada unidad de A2 se obtendrán 250 unidades monetarias.
(a) Halla la producción que maximiza los beneficios.
(b) Indica si se genera algún tipo de excedente en los recursos productivos.
(c) Si se produce una rebaja del 40 % en los beneficios obtenidos por cada unidad de A2 y se mantienen los obtenidos
por cada unidad de A1 , ¿cómo variará la producción óptima?
11. En la región determinada por:

x+y ≥2



x ≤ y

x≥0



y≥0
1 PROGRAMACIÓN LINEAL
7
halla las coordenadas de los puntos en que la función F (x, y) = 3x + 4y alcanza su máximo y su mı́nimo.
(Solución: no existe máximo, hay un mı́nimo en (1, 1))
12. Con 80 kg de acero y 120 kg de aluminio se quieren fabricar bicicletas de montaña y de paseo que se venderán a 200 y
150 euros respectivamente. Para las de montaña son necesarios 1 kg de acero y 3 de aluminio y para las de paseo 2 kg
de cada uno de los dos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y cuántas de montaña se deben fabricar para obtener el
máximo beneficio?
(Solución: 20 bicicletas de montaña y 30 de paseo)
13. Una refinerı́a de petróleo tiene dos fuentes de crudo: ligero y pesado.
Cada barril de crudo ligero cuesta 70 dólares y con él la refinerı́a produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de
combustible de calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T ). Cada barril de crudo pesado cuesta 60
dólares y produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T .
La refinerı́a ha contratado el suministro de 900000 barriles de G, 800000 barriles de C y 500000 barriles de T . Hallar las
cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades con un coste mı́nimo.
(Solución: 3 millones de barriles de crudo pesado y ninguno de ligero)
14. Un comerciante desea comprar dos tipos de frigorı́ficos F1 y F2 . Los del tipo F1 cuestan 300 euros y los del tipo F2 500
euros. Solo dispone de sitio para 20 frigorı́ficos y de 7000 euros para hacer las compras.
¿Cuántos frigorı́ficos ha de comprar de cada tipo para obtener beneficios máximos con su venta posterior, sabiendo que
en cada frigorı́fico gana el 30 % del precio de compra?
(Solución: puntos de coordenadas enteras del segmento de extremos (0, 14), (15, 5).)
15. En la fabricación de piensos se utilizan tres ingredientes, P , Q y R. Se dispone de 90 toneladas de P , 90 de Q y 70 de
R. Se desea fabricar dos tipos de pienso M1 y M2 .
Una vagoneta de pienso M1 requiere 2 toneladas de P , 1 tonelada de Q y 1 tonelada de R y se vende a 1200 euros. Una
vagoneta de M2 requiere 1 tonelada de P , 2 de Q y 1 de R y se vende a 1000 euros.
¿Cuántas toneladas de cada pienso deben facturarse para obtener el máximo beneficio?
(Solución: 30 vagonetas de cada clase.)
16. Una refinerı́a utiliza dos tipos de petróleo, A y B, que compra a un precio de 350 euros y 400 euros por tonelada
respectivamente. Por cada tonelada de petróleo de tipo A que refina, obtiene 0,10 toneladas de gasolina y 0,35 toneladas
de fueloil. Por cada tonelada de petróleo de tipo B que refina, obtiene 0,05 toneladas de gasolina y 0,55 toneladas de
fueloil. Para cubrir sus necesidades necesita obtener al menos 10 toneladas de gasolina y al menos 50 toneladas de fueloil.
Por cuestiones de capacidad, no puede comprar más de 100 toneladas de cada tipo de petróleo. ¿Cuántas toneladas de
petróleo de cada tipo debe comprar la refinerı́a para cubrir sus necesidades a mı́nimo coste? Determinar dicho coste
mı́nimo.
17. Un distribuidor de aceite de oliva compra la materia prima a dos almazaras, A y B. Las almazaras A y B venden el aceite
a 2000 y 3000 euros por tonelada, respectivamente. Cada almazara le vende un mı́nimo de 2 toneladas y un máximo
de 7 para atender a su demanda, el distribuidor debe comprar en total un mı́nimo de 6 toneladas. El distribuidor debe
comprar como máximo a la almazara A el doble de aceite que a la almazara B. ¿Qué cantidad de aceite debe comprar
el distribuidor a cada una de las almazaras para obtener el mı́nimo coste?. Determı́nese dicho coste mı́nimo.
18. Se desea invertir una cantidad de dinero menor o igual que 125000 euros, distribuidos entre acciones del tipo A y del
tipo B. Las acciones del tipo A garantizan una ganancia del 10 % anual, siendo obligatorio invertir en ellas un mı́nimo
de 30000 euros y un máximo de 81000 euros. Las acciones del tipo B garantizan una ganancia del 5 % anual, siendo
obligatorio invertir en ellas un mı́nimo de 25000 euros. La cantidad invertida en acciones del tipo B no puede superar el
triple de la cantidad invertida en acciones del tipo A. ¿Cuál debe ser la distribución de la inversión para maximizar la
ganancia anual? Determı́nese dicha ganancia máxima.
1.5.
Soluciones a los ejercicios
Figura 6: Problemas 3, 4 y 5
1 PROGRAMACIÓN LINEAL
8
Figura 7: Problemas 6, 7 y 8
Figura 8: Problemas 9, 10 y 11
Figura 9: Problemas 12, 13 y 14
Figura 10: Problemas 15, 16 y 17
2 PROBABILIDAD
9
Figura 11: Problema 18
2.
2.1.
Probabilidad
Espacio muestral. Sucesos.
El conjunto de todos los resultados de un experimento aleatorio se llama espacio muestral. Por ejemplo en
el experimento de lanzar un dado y anotar la puntuación obtenida, el espacio muestral es
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
La probabilidad de un resultado es su frecuencia relativa cuando el experimento se repite un gran número
de veces.
Un suceso es un subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo el suceso “obtener cifra par al lanzar un
dado” es
A = {2, 4, 6}
La probabilidad de un suceso es la suma de las probabilidades de los resultados que lo componen.
El suceso formado por todos los resultados del experimento se llama suceso seguro y lo representamos por
E. El suceso ∅ = {} que no contiene ningún resultado del espacio muestral se llama suceso imposible. La
probabilidad del suceso seguro es igual a 1 y la del suceso imposible es igual a 0.
El suceso contrario de A se representa por Ā y está formado por todos los resultados del espacio muestral
que no pertenecen a A (ver figura 12).
Figura 12: Suceso contrario y suceso A ∪ B
El suceso A ∪ B (se lee A unión B o, mejor, A o B) está formado por los resultados que pertenecen a A, a
B o a los dos (ver figura 12).
El suceso A ∩ B está formado por los resultados comunes a A y a B (ver figura 13). Los sucesos A y B son
incompatibles si A ∩ B = ∅.
Finalmente, el suceso A − B o A \ B es el suceso A ∩ B̄ es decir, el conjunto de los resultados que están en
A pero no están en B (ver figura 13).
La unión y la intersección de sucesos cumplen las leyes de de Morgan:
A ∪ B = Ā ∩ B̄ ;
A ∩ B = Ā ∪ B̄
2 PROBABILIDAD
10
Figura 13: Sucesos A ∩ B y A − B
2.2.
Reglas de probabilidad
⋄ p (Ā) = 1 − p (A)
⋄ p (A ∪ B) = p (A) + p (B) − p (A ∩ B)
⋄ p (A − B) = p (A) − p (A ∩ B)
2.3.
Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes.
La probabilidad de A∩B puede considerarse compuesta por la probabilidad de que suceda A y la probabilidad
de que suceda B una vez que ha sucedido A:
p (A ∩ B) = p (A) · p (B | A)
La probabilidad p (B | A) se llama probabilidad de B condicionada a A.
Si p (B | A) = p A los sucesos A y B se llaman independientes. En este caso:
A, B independientes
⇐⇒
p (A ∩ B) = p (A) · p (B)
Figura 14: Teorema de Bayes
Consideremos ahora una partición del espacio muestral formada por tres sucesos A, B y C y sobre ella un
suceso S (ver figura 14).
El experimento aleatorio se puede representar también por el siguiente diagrama en árbol (figura 15):
La probabilidad del suceso S puede calcularse por:
p (S) = p (A ∩ S) + p (B ∩ S) + p (C ∩ S) = p (A)p (S | A) + p (B)p (S | b) + p (C)p (S | C)
Si sabemos que ha sucedido S, la probabilidad de A se calcula por:
p (A | S) =
p (A)p (S | A)
p (A ∩ S)
=
p (S)
p (A)p (S | A) + p (B)p (S | b) + p (C)p (S | C)
2 PROBABILIDAD
11
Figura 15: Teorema de Bayes
2.4.
Ejercicios resueltos.
1. Sean A y B dos sucesos tales que p(A) = 0,6, p(B) = 0,4 y p(A ∪ B) = 0,7.
(a) Calcula p(A ∩ B) y razona si A y B son independientes.
(b) Calcula p(A ∪ B).
Solución:
(a) De las leyes de Morgan se desprende que:
p(A ∪ B) = p(A ∩ B) = 0,7
=⇒
p(A ∩ B) = 1 − 0, 7 = 0,3
Puesto que:
p(A)p(B) = 0,6 · 0,4 = 0,24 ̸= p(A ∩ B)
los sucesos no son independientes.
(b) Aplicando la regla de la suma:
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) = 0,6 + 0,4 − 0,3 = 0,7
2. Se consideran dos actividades de ocio: A = ver televisión y B = visitar centros comerciales. En una ciudad, la probabilidad de que un adulto practique A es igual a 0,46; la probabilidad de que practique B es 0,33 y la probabilidad de que
practique A y B es igual a 0,15.
(a) Se selecciona al azar un adulto de dicha ciudad, ¿Cuál es la probabilidad de que no practique ninguna de las dos
actividades anteriores?
(b) Se elige al azar un individuo de entre los que practican alguna de las dos actividades. ¿Cuál es la probabilidad de
que practique las dos actividades?
Solución:
(a) Los datos son los siguientes:
p(A) = 0,46 ;
p(B) = 0,33 ;
p(A ∩ B) = 0,15
Entonces:
p(A ∩ B) = p(A ∪ B)
Por la regla de la suma:
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) = 0,46 + 0,33 − 0,15 = 0,64
y por consiguiente:
p(A ∩ B) = p(A ∪ B) = 1 − 0,64 = 0,36
(b) Nos piden la probabilidad de A ∩ B condicionada a A ∪ B:
p(A ∩ B|A ∪ B) =
p(A ∩ B)
0,15
15
p((A ∩ B) ∩ (A ∪ B))
=
=
=
p(A ∪ B)
p(A ∪ A)
0,64
64
3. Para la construcción de un luminoso de feria se dispone de un contenedor con 200 bombillas blancas, 120 bombillas azules
y 80 bombillas rojas. La probabilidad de que una bombilla del contenedor no funcione es igual a 0,01 si la bombilla es
blanca, es igual a 0,02 si la bombilla es azul y es igual a 0,03 si la bombilla es roja. Se elige al azar una bombilla del
contenedor.
(a) Calcular la probabilidad de que la bombilla elegida no funcione.
(b) Sabiendo que la bombilla elegida no funciona, calcúlese la probabilidad de que dicha bombilla sea azul.
2 PROBABILIDAD
12
Solución:
Los datos del problema pueden expresarse mediante el siguiente esquema:
99
hh3 F
hhhh
100hhhhhh
hhhh
hhhh
hVhVhh
VVVV
VVVV
VVVV
VVVV
VVVV
1
VV*
100
F̄
=B
{{
{
{{
{{
{
{{
200
{{
{
400 {{
{{
{{
{
98
{{
hhh3 F
{{
hhhh
h
h
{
100
h
h
{{
120
hhhh
{{
hhhh
h
h
{
h
400
{C
/ A hVhVV
VVVV
CC
VVVV
CC
VVVV
CC
VVVV
CC
2
VVVV
CC
V*
100
CC
F̄
CC
CC
CC
80
CC
CC
400
97
CC
hhh3 F
CC
hhhh
h
h
100
h
h
CC
hh
CC
hhhh
! hhhhhhh
R VVVV
VVVV
VVVV
VVVV
VVVV
3
VVVV
* F̄
100
(a) La probabilidad total de que la bombilla no funcione es:
p(F̄ ) =
1
120
2
80
3
17
200
·
+
·
+
·
=
400 100
400 100
400 100
1000
(b) Calculemos p(A|F̄ ):
p(A|F̄ ) =
p(A ∩ F̄ )
=
p(F̄ )
2
· 100
17
1000
120
400
=
6
17
4. La probabilidad de que a un habitante de un cierto pueblo de la Comunidad de Madrid le guste la música moderna es
igual a 0,55; la probabilidad de que le guste la música clásica es igual a 0,40 y la probabilidad de que no le guste ninguna
de las dos es igual a 0,25. Se elige al azar un habitante de dicho pueblo. Calcúlese la probabilidad de que le guste:
(a) Al menos uno de los dos tipos de música.
(b) La música clásica y también la música moderna.
(c) Sólo la música clásica.
(d) Sólo la música moderna.
Solución:
Llamemos:
C: al habitante elegido le gusta la música clásica
M : al habitante elegido le gusta la música moderna
Tenemos los siguientes datos: p(M ) = 0,55, p(C) = 0,40 y p(C̄ ∩ M̄ ) = 0,25.
(a) p(C̄ ∩ M̄ ) = 0,25 =⇒ p(C ∪ M ) = 0,25 =⇒ p(C ∪ M ) = 1 − 0,25 = 0,75
(b) p(C ∩ M ) = p(C) + p(M ) − p(C ∪ M ) = 0,40 + 0,55 − 0,75 = 0,20
(c) p(C ∩ M̄ ) = p(C − M ) = p(C) − p(C ∩ M ) = 0,40 − 0,20 = 0,20
(d) p(M ∩ C̄) = p(M − C) = p(M ) − p(C ∩ M ) = 0,55 − 0,20 = 0,35
5. Se dispone de tres urnas A, B y C. La urna A contiene una bola blanca y 2 bolas negras, la urna B contiene 2 bolas
blancas y 1 bola negra y la urna C contiene 3 bolas blancas y 3 bolas negras. Se lanza un dado equilibrado y si sale 1, 2
o 3 se escoge la urna A, si sale el 4 se escoge la urna B y si sale 5 o 6 se escoge la urna C. A continuación se extrae una
bola de la urna elegida.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraı́da sea blanca?
(b) Si se sabe que la bola extraı́da ha sido blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la bola haya sido extraı́da de la urna
C?
2 PROBABILIDAD
13
Solución:
En este caso el esquema es el siguiente:
1
hh4 b
hhhh
3 hhhhhh
hhh
hhhh
h
h
h
VhVhVV
VVVV
VVVV
VVVV
VVVV
2
VVVV
+n
3
=A
zz
z
zz
zz
z
zz
3
zz
z
6 zz
zz
z
z
z
2
zz
hhh4 b
hhhh
zz
h
h
z
3
h
h
1
zz
hhhh
hhhh
zz
h
h
z
h
6
zD
/ B VhVhV
VVVV
DD
VVVV
DD
VVVV
DD
VVVV
DD
1
VVVV
DD
V+ n
3
DD
DD
DD
2 DDD
DD
6
3
DD
hhh4 b
hhhh
DD
h
h
6
h
DD
hhh
DD
hhhh
! hhhhhhh
C VVVV
VVVV
VVVV
VVVV
VVVV
3
VVVV
+n
6
(a) La probabilidad de que la bola extraı́da sea blanca es:
p(b) =
1 2
2 3
4
3 1
· + · + · =
6 3
6 3
6 6
9
(b) Y la probabilidad de que haya sido extraı́da de la urna C condicionada a que haya salido blanca:
p(C|b) =
2.5.
p(C ∩ b)
=
p(b)
2
6
·
4
9
3
6
=
3
8
Ejercicios propuestos
1. Se elige al azar una ficha de dominó.
1
a) Calcula la probabilidad de haber elegido blanca doble. ( 28
)
b) Obtén la probabilidad de haber elegido una ficha doble. ( 14 )
3
)
c) Calcula la probabilidad de que los puntos de la ficha sumen 4. ( 28
2. Una experiencia aleatoria consiste en lanzar tres monedas al aire. Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) A = ’obtener tres caras’ ( 18 )
b) B = ’obtener dos caras y una cruz’ ( 38 )
c) C = ’obtener una cara y dos cruces’ ( 83 )
3. Se considera el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados y anotar la suma de los puntos de las caras
superiores. Hallar la probabilidad de los siguientes sucesos:
1
a) Obtener suma igual a 3. ( 18
)
b) Obtener suma mayor que 9. ( 16 )
5
c) Obtener suma menor o igual que 5. ( 18
)
4. Dos personas escriben al azar una vocal, cada una en un papel:
a) Obtén la probabilidad de que ambas escriban la misma vocal. ( 15 )
1
b) ¿Cuál serı́a la probabilidad de que tres personas escribiesen, al azar, cada una la misma vocal en un papel? ( 25
)
5. Se lanza dos veces un dado cúbico, con sus caras numeradas del 1 al 6. Calcular:
2 PROBABILIDAD
14
a) La probabilidad de obtener algún 6. ( 11
36 )
b) La probabilidad de no obtener algún 6. ( 25
36 )
6. Sean A, B y C tres sucesos que forman un sistema completo de sucesos y donde p(A) = 0,1, p(B) = 0,7. Calcular p(C).
(0,6)
7. Se extrae una carta de una baraja española. Consideramos los siguientes sucesos: A = “sacar una figura”, B = “sacar
un as”, C = “sacar una carta de espadas”:
a) ¿Son A y B incompatibles? Calcula p(A ∪ B). (SÍ
b) ¿Son A y C compatibles?. Calcula p(A ∪ C). (SÍ
2
5)
19
40 )
8. Se lanza un dado cúbico, con sus caras numeradas de 1 a 6 y se anota la puntuación obtenida. Se consideran los sucesos
A = “salir un número par ”, B = “salir un número divisor de 12 ”.
a) ¿Son A y B sucesos compatibles? (SÍ)
b) Calcular la probabilidad de A ∪ B. ( 32 )
9. En un experimento se sabe que p(A) = 0,5, p(B) = 0,7 y p(A ∪ B) = 0,85. Calcula:
a) p(A ∩ B (0,35)
b) p(A/B) (0,50)
c) p(B/A) (0,7)
d) p(A/(A ∩ B)) (1)
10. El 60 % de los alumnos de un centro aprobaron Filosofı́a y el 70 % aprobaron Matemáticas. Además, el porcentaje de
alumnos que aprobaron Filosofı́a habiendo aprobado Matemáticas es del 80 %. Si un alumno sabe que ha aprobado
Filosofı́a, ¿qué probabilidad tiene de haber aprobado también Matemáticas? ( 14
15 )
11. Se sabe que dado el suceso A, la probabilidad de que suceda B es de 0,3. ¿Cuánto vale la probabilidad de que dado A,
no ocurra B?. (0,7)
12. Calcula la probabilidad p(A ∪ B) y p(A ∩ B), sabiendo que p(A ∪ B) − p(A ∩ B) = 0,4, que p(A) = 0,6 y que p(B) = 0,8.
(0,9 y 0,5)
13. Sean A y B dos sucesos con p(A) = 0,5, p(B) = 0,3 y p(A ∩ B) = 0,1. Calcular las siguientes probabilidades:
a) p(A ∪ B) (0,7)
b) p(A/B) (1/3)
c) p(A/A ∩ B) (1)
d) p(A/A ∪ B) (5/7)
14. De dos tiradores se sabe que uno de ellos hace dos dianas de cada tres disparos y el otro consigue tres dianas de cada
cuatro disparos. Si los dos disparan simultáneamente, halla la probabilidad de que:
a) Ambos acierten. ( 21 )
5
b) Uno acierte y el otro no. ( 12
)
1
c) Ninguno de los dos acierte. ( 12
)
d) Alguno acierte, ( 11
12 )
15. Una clase tiene 24 alumnos y todos ellos cursan inglés y matemáticas. La mitad aprueban inglés, 16 aprueban matemáticas
y 4 suspenden inglés y matemáticas.
a) Realiza una tabla de contingencia con los resultados de esta clase.
b) Calcula la probabilidad de que, al elegir un alumno de esta clase al azar, resulte que aprueba matemáticas y
suspende inglés. ( 13 )
c) En esta clase, ¿son independientes los sucesos “aprobar inglés” y “aprobar matemáticas”? (SÍ)
16. Una caja con una docena de huevos contiene dos de ellos rotos. Se extraen al azar y sin reemplazamiento cuatro huevos.
Calcula la probabilidad de extraer:
14
a) Los cuatro huevos en buen estado. ( 33
)
b) De entre los cuatro huevos, exactamente uno roto. ( 16
33 )
17. En un experimento aleatorio consistente en lanzar simultáneamente tres dados equilibrados se pide calcular la probabilidad de obtener:
1
a) Tres unos. ( 216
)
91
b) Al menos un dos. ( 216
)
c) Tres números distintos. ( 59 )
3
d) Una suma de cuatro. ( 216
)
18. Sea A un suceso con 0 < p(A) < 1.
a) ¿Puede A ser independiente de su contrario A? (NO)
b) Sea B otro suceso tal que B ⊃ A. ¿Serán A y B independientes? (NO)
2 PROBABILIDAD
15
c) Sea C un suceso independiente de A. ¿Serán A y C independientes? (SÍ)
19. Una fábrica dispone de tres máquinas A B y C que fabrican arandelas. Se sabe que la máquina A produce un 1 % de
arandelas defectuosas; la B, un 3 %, y la C, un 2 %. La máquina A produce el 25 % del total de las arandelas; la máquina
B, el 40 % y la máquina C el 35 % restante. Al cabo de un dı́a se toma una arandela al azar de la producción total. Si
5
la arandela elegida es defectuosa, calcula la probabilidad de que haya sido fabricada en la máquina A. ( 43
)
20. En una caja hay 10 bombillas, 2 de las cuales son defectuosas. Con el fin de detectarlas, vamos probando una tras otra.
2
¿Cuál es la probabilidad de que la tarea finalice exactamente en el tercer intento? ( 45
)
21. Un médico ha observado que el 40 % de sus pacientes fuma, y de estos, el 75 % son hombres. Entre los que no fuman, el
60 % son mujeres. Calcula la probabilidad de que:
a) Un paciente no fumador sea hombre. (0,40)
b) Un paciente sea hombre fumador. (0,30)
c) Un paciente sea mujer. (0,46)
22. En una empresa de auditorı́as se ha contratado a tres personas para inspeccionar a las empresas bancarias realizando
las correspondientes auditorı́as. La primera de ellas se encarga de efectuar el 30 %; la segunda, el 45 %, y la tercera, el
25 % restante. Se ha comprobado que el 1 % de las inspecciones que realiza la primera persona son erróneas, la segunda
persona comete un 3 % de errores, y la tercera un 2 %.
a) Halla la probabilidad de realizar una auditorı́a correctamente. (1957/2000)
b) Al elegir una inspección correcta, ¿cuál es la probabilidad de que la haya realizado la segunda persona? (873/1957)
23. La plantilla de empleados de unos grandes almacenes está formada por 200 hombres y 300 mujeres. La cuarta parte de
los hombres y la tercera parte de las mujeres solo trabajan en el turno de la mañana. Elegido uno de los empleados al
azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre o solo trabaje en el turno de mañana?
b) Sabiendo que el empleado elegido no solo trabaja en el turno de mañana, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?
24. En una empresa se producen dos tipos de bombillas, halógenas y de bajo consumo en una proporción de 3 a 4 respectivamente. La probabilidad de que una bombilla halógena sea defectuosa es de 0,02, y las de que lo sea una de bajo consumo
es de 0,09. Se escoge una bombilla al azar:
a) Calcular la probabilidad de que no sea defectuosa. (658/700)
b) Si la bombilla escogida resulta no defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea halógena? (294/658)
25. El 25 % de los aparatos que llegan a un servicio técnico tienen garantı́a. Entre los que no tienen garantı́a, un 20 % ya
fueron reparados en otra ocasión. Finalmente, el 5 % de los aparatos tienen garantı́a y además ya fueron reparados en
otra ocasión.
a) ¿Qué porcentaje de los aparatos que llegan al servicio técnico ya fueron reparados en otra ocasión? (20 %)
b) ¿Qué porcentaje no fueron reparados en otra ocasión y además no tienen garantı́a? (60 %)
c) Un aparato que acaba de llegar ya fue reparado en otra ocasión. ¿Qué probabilidad hay de que tenga garantı́a?
(1/4)
26. Juan es el responsable del aula de informática de una empresa y no se puede confiar en él, pues la probabilidad de que
se olvide de hacer el mantenimiento de un ordenador en ausencia de su jefe es de 2/3. Si Juan le hace el mantenimiento
a un ordenador, éste tiene la misma probabilidad de estropearse que de funcionar correctamente, pero si no le hace el
mantenimiento, solo hay una probabilidad de 0,25 de que funcione correctamente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un ordenador funcione correctamente a la vuelta del jefe? (1/3)
b) A su vuelta, el jefe se encuentra un ordenador averiado. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan no le hiciera el
mantenimiento? (3/4)
27. En una biblioteca hay dos estanterı́as con 100 libros en cada una. En la primera hay 25 libros en mal estado y en la
segunda 20. Un estudiante coge al azar un libro de la primera estanterı́a y lo deja en la segunda. ¿Cuál es la probabilidad
de que otro estudiante coja al azar un libro en buen estado de la segunda estanterı́a? (323/404)
28. Sean A y B dos sucesos tales que p(A) = 0,6, p(B) = 0,2 y p(A ∪ B) = 0,7.
a) Calcula p(A ∩ B) y razona si A y B son independientes. (0, 3 NO)
b) Calcula p(A ∪ B). (0,5)
29. Sean A y B dos sucesos tales que p(A) = 0,7, p(B) = 0,6 y p(A ∪ B) = 0,9.
a) Justifica si A y B son independientes. (NO)
b) Calcula p(A/B) y p(B/A). (3/4 2/3)
30. En un experimento aleatorio, la probabilidad del suceso A es el doble que la del suceso B, y la suma de la probabilidad
del suceso A y la del suceso contrario a B es 1,3. Se sabe además que la probabilidad del suceso intersección de A y B
es de 0,18. Calcula la probabilidad de que:
a) Se verifique el suceso A o el B. (0,72)
2 PROBABILIDAD
16
b) Se verifique el suceso contrario de A o el contrario de B. (0,82)
c) ¿Son independientes los sucesos A y B? SÍ
31. Un dominó consta de 28 fichas, se las cuales 7 son dobles. Escogidas tres fichas al azar, calcula la probabilidad de que
alguna sea doble si:
a) Se extraen las tres simultáneamente. (139/234)
b) Se extraen una a una con reemplazamiento. (37/64)
32. Se hacen dos lanzamientos de un dado. Si en el primer lanzamiento sale un 2, ¿qué es más probable, que la suma de las
puntuaciones sea un número par o que tal suma sea impar? igual
33. Se lanza un dado dos veces consecutivas. Calcula la probabilidad de que en el primer lanzamiento haya salido un 1
sabiendo que la suma de las dos puntuaciones es 4. (1/3)
34. Se escuchan tres discos y se vuelven a guardar al azar. ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de los discos haya
sido guardado en el envoltorio que le correspondı́a? (2/3)
35. De una urna con 4 bolas blancas y 2 negras se extraen al azar, sucesivamente y sin reeemplazamiento, dos bolas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean blancas? (2/5)
b) Si la segunda bola es negra, ¿cuál es la probabilidad de que la primera también lo sea? (1/5)
36. El 45 % del censo de una cierta ciudad vota al candidato A; el 35 % al candidato B y el resto se abstiene. Se eligen al
azar tres personas del censo. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Las tres personas votan al candidato A. (729/4000)
b) Dos personas votan al candidato A y otra al B. (1701/8000)
c) Al menos una de las tres personas se abstienen. (61/125)
37. De una baraja española se extraen sucesivamente tres cartas al azar sin reemplazamiento. Determina la probabilidad de
obtener:
a) Tres reyes.(1/2470)
b) Una figura con la primera carta, un cinco con la segunda y un seis con la tercera. (12/3705)
c) Un as, un tres y un seis, en cualquier orden. (24/3705)
38. Se tienen tres cajas iguales. La primera contiene tres bolas blancas y cuatro negras; la segunda, cinco negras, y la tercera,
cuatro blancas y tres negras.
a) Si se elige una caja al azar y luego se extrae una bola al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraı́da sea
negra? (2/3)
b) Si se extrae una bola negra, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la segunda caja? (1/2)
39. En una empresa se producen dos tipos de bombillas, halógenas y de bajo consumo en una prporción de 3 a 4 respectivamente. La probabilidad de que una bombilla halógena sea defectuosa es de 0,02, y las de que lo sea una de bajo consumo
es de 0,09. Se escoge una bombilla al azar:
a) Calcular la probabilidad de que no sea defectuosa. (658/700)
b) Si la bombilla escogida resulta no defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea halógena? (294/658)
40. En una competición de tiro con arco, cada tirador dispone como máximo de tres intentos para hacer diana. En el momento
en que lo consigue deja de tirar y supera la prueba, y si no lo consigue en ninguno de los tres intentos, queda eliminado.
Si la probabilidad de hacer blanco con cada flecha es de 0,8:
a) Calcula la probabilidad de que no quede eliminado.
b) Si sabemos que superó la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que lo haya conseguido en el segundo intento;
41. En un juego consistente en lanzar dos monedas y un dado de seis caras, un jugador gana si obtiene dos caras y un número
par en el dado, o bien exactamente una cara y un número mayor o igual que cinco en el dado.
a) Calcula la probabilidad de que un jugador gane.
b) Se sabe que una persona ha ganado. ¿Cuál es la probabilidad de que obtuviera dos caras al lanzar las monedas?
3 ESTADÍSTICA.
3.
3.1.
17
Estadı́stica.
La distribución normal.
Una distribución de probabilidad es un modo de asignar probabilidades mediante una función. Sea X una
variable estadı́stica continua. Las probabilidades se definen mediante una función de densidad g(x) de tal
forma que la probabilidad de que la variable se encuentre comprendida entre dos valores x1 y x2 se define
por (figura 3.1):
∫ x2
p (x1 < X < x2 ) =
g(x) dx
x1
Como la suma de todas las probabilidades debe ser igual a 1, la función de densidad debe cumplir que el
Y
y=g(x)
p (x1 <X<x2 )
O
x1
x2
X
Figura 16: Distribución de probabilidad. Función de densidad.
área total bajo la curva debe ser 1, o lo que es lo mismo:
∫ +∞
g(x) dx = 1
−∞
La media y la desviación tı́pica de una distribución de probabilidad de variable continua se obtiene mediante
fórmulas similares de las expuestas para variable discreta sustituyendo las sumas por integrales:
∫ ∞
∫ ∞
∫ ∞
µ=
xf (x) dx
σ2 =
(x − µ)2 f (x) dx =
x2 f (x) dx − µ2
−∞
−∞
−∞
La función de distribución F (x) representa probabilidades acumuladas. Ası́, F (x) es la probabilidad de
obtener un resultado menor (o menor o igual cuya probabilidad es la misma) que x.
Y
y=g(x)
F (x)
O
x
X
Figura 17: Función de distribución.
Conocida la función de distribución F (x) puede calcularse fácilmente la probabilidad asociada a cualquier
intervalo mediante diferencias:
p (a < X < b) = F (b) − F (a)
Una distribución de probabilidad de variable continua cuya importancia se comprenderá en el tema de
inferencia estadı́stica es la distribución normal. La distribución normal de media µ y desviación tı́pica σ
3 ESTADÍSTICA.
18
tiene la siguiente función de densidad:
f (x) =
1 x−µ 2
1
√ e− 2 ( σ )
σ 2π
La distribución normal de media 0 y desviación tı́pica 1 se indica mediante N (0, 1). Los valores de la función
de distribución de N (0, 1) se encuentran en las tablas de la distribución normal (ver cuadro 1). En la tabla
aparecen los valores F (x) de la función de distribución solamente para valores positivos de x pero, por la
simetrı́a de la función de densidad, pueden hallarse también las probabilidades para valores negativos de la
variable aleatoria.
Para obtener las probabilidades a partir de la tabla pueden aplicarse las siguientes reglas:
⋄ a y b positivos:
− p (X < a) = F (a)
− p (X > a) = 1 − F (a)
− p (a < X < b) = F (b) − F (a)
⋄ Para valores negativos:
− p (X < −a) = p (X > a) = 1 − F (a)
− p (−a < X < b) = F (a) + F (b) − 1
− p (−a < X < −b) = F (a) − F (b)
A partir de estos valores puede obtenerse la función de distribución de N (µ, σ) tipificando la variable, esto
es, si z es la variable de N (0, 1) y x la variable de N (µ, σ), se pasa de una a otra mediante el cambio:
z=
x−µ
σ
o bien
x = µ + zσ
La función es simétrica respecto a x = µ y es tanto más aplanada cuanto mayor sea σ. La probabilidad
correspondiente al intervalo (µ − σ, µ + σ) (es decir al intervalo (−1, 1) para la variable tipificada z) es
aproximadamente de 0, 68. Para el intervalo (µ−2σ, µ+2σ) es aproximadamente de 0, 95 y para (µ−3σ, µ+3σ)
de 0, 99.
3.2.
Muestras
En ocasiones, resulta imposible efectuar medidas sobre todos los objetos de una población, bien debido a
que su tamaño lo hace imposible, bien porque el proceso de medida es destructivo (por ejemplo cuando se
mide la duración de una población de bombillas) o por otras razones. En este caso se toma una muestra y
a partir de los resultados de las medidas efectuadas sobre la muestra se trata de sacar conclusiones sobre la
población.
Estas conclusiones tienen necesariamente un carácter probabilı́stico y por tanto, junto al dato poblacional
que se deduzca habrá que especificar cuál es la probabilidad de que sea erróneo.
Para poder sacar conclusiones es esencial que el muestreo es decir, el proceso de obtención de la muestra
sea aleatorio. El muestreo es aleatorio si todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad
de ser elegidos.
3.3.
Intervalos caracterı́sticos
Consideremos una distribución normal de media cero y desviación tı́pica 1, N (0, 1). Se llaman intervalos
caracterı́sticos a intervalos centrados en la media (−zp , zp ) a los que corresponde una probabilidad dada
p.
Junto a la figura se han puesto los valores de los zp para los valores de la probabilidad que se presentan más
frecuentemente en la práctica.
3 ESTADÍSTICA.
19
p
1−p
2
−zp
p = 0, 9
zp = 1, 645
p = 0, 95
zp = 1, 96
p = 0, 99
zp = 2, 575
1−p
2
zp
Figura 18: Intervalos caracterı́sticos
El cálculo de intervalos caracterı́sticos en una distribución normal cualquiera N (µ, σ) puede hacerse sin
dificultad recordando las fórmulas de cambio a puntuaciones tı́picas:
z=
x−µ
⇐⇒ x = µ + zσ
σ
por lo que el intervalo caracterı́stico correspondienta a una probabilidad p será:
(µ − zp σ, µ + zp σ)
3.4.
Distribución de medias muestrales. Intervalos de confianza
Supongamos que en una población se ha medido una magnitud y se ha obtenido una media µ y una desviación
tı́pica σ. Tomamos una muestra de tamaño N y nos preguntamos por los valores de la media de los valores
de la muestra x̄, es decir, nos preguntamos cuál es la probabilidad de que la media muestral x̄ se encuentre
en un cierto intervalo (a, b).
El teorema central del lı́mite establece que si los valores de la variable en la población se distribuyen
normalmente segun la distribución√N (µ, σ), las medias muestrales se distribuyen normalmente con la misma
media µ y una desviación tı́pica σ/ N . Además, para muestras grandes (N > 30) se puede aplicar el teorema
aunque la población de partida no sea normal.
En resumen, si la población es normal o si no siéndolo N > 30 podemos obtener probabilidades para los
valores de la media muestral a partir de la distribución:
σ
N (µ, √ )
N
En la práctica, el valor de la desviación tı́pica de la población σ es desconocido por lo que se toma como
valor aproximado, la desviación tı́pica de la muestra s.
En una población, una variable estadı́stica tiene una media µ y una desviación tı́pica σ. Se toma una muestra
de tamaño N y se mide la media muestral de la misma magnitud x̄. Si las medias muestrales se distribuyen
normalmente, podemos
√ decir que con
√una probabilidad c, llamada nivel de confianza, x̄ se encontrará en
el intervalo (µ − zc σ/ N , µ + zc σ/ N ).
Con la misma probabilidad podemos decir que la media poblacional se encontrará en el siguiente intervalo:
(
)
σ
σ
x̄ − zc √ , x̄ + zc √
N
N
llamado intervalo de confianza para la media correspondiente a un nivel de confianza c.
3 ESTADÍSTICA.
3.5.
20
Ejercicios resueltos.
1. Se supone que el nivel de glucosa en sangre de los individuos de una población (medido en miligramos por decilitro) se
puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media µ desconocida y desviación tı́pica igual
a 35 mg/dl. ¿Cuál es el tamaño muestral mı́nimo que permite garantizar que el valor absoluto de la diferencia entre la
media muestral y µ es menor que 20 mg/dl con una probabilidad mayor o igual que 0,98?
Solución:
Si el nivel de confianza es de 0,98 la tabla de la distribución normal nos da zc = 2,33. El error en la estimación está dado
por:
zc σ
E= √
N
donde N es el tamaño de la muestra. Puesto que el erro debe ser menor que 20, tenemos que:
zc σ
√ < 20
N
=⇒
2,33 · 35
√
< 20
N
=⇒
√
N >
2,33 · 35
20
De aquı́ obtenemos:
(
)
2,33 · 35 2
N >
= 16,626
20
Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero tiene que ocurrir que N ≥ 17.
2. Se supone que el precio de un kilo de patatas en una cierta región se puede aproximar por una variable aleatoria con
distribución normal de desviación tı́pica igual a 10 céntimos de euro. una muestra aleatoria simple de tamaño 256
proporciona un precio medio del kilo de patatas igual a 19 céntimos de euro.
(a) Determı́nese un intervalo de confianza del 95 % para el precio medio de un kilo de patatas en la región.
(b) Se desea aumentar el nivel de confianza al 99 % sin aumentar el error en la estimación. ¿Cuál debe ser el tamaño
muestral mı́nimo que ha de observarse?
Solución:
(a) El intervalo de confianza es:
(
)
zc σ
zc σ
x̄ − √ , x̄ + √
N
N
Con los datos del problema x̄ = 19, σ = 10, N = 256 y zc = 1,96. Sustituyendo obtenemos el intervalo:
(17,775 ; 20, 225)
(b) El error en la estimación anterior es
1,96 · 10
zc σ
E= √ = √
= 1,225
2576
N
Si queremos mantener el mismo error aumentando el nivel de confianza al 99 % (es decir zc = 2,575) tenemos que:
(
)
2,575 · 10 2
2,575 · 10
√
=⇒ N =
= 441, 858
1,225 =
1,225
N
Por consiguiente el tamaño mı́nimo debe ser como mı́nimo de 442.
3.
(a) La edad de un determinado grupo de personas sigue una distribución N (37, 9). Calcula la probabilidad de que una
persona de ese grupo, elegido al azar, tenga más de 40 años.
(b) La edad de los alumnos de segundo de bachillerato de cierto instituto sigue una distribución N (17,8; 0,6). Los
agrupamos al azar de 10 en 10 para una competición. Halla el intervalo caracterı́stico del 95 % correspondiente a
las edades medias de los grupos.
Solución:
40 − 35
(a) p(x ≥ 40) = p(z ≥
) = p(z ≥ 0,50) = 0,3085
10
(
)
0,5
(b) Las medias muestrales se distribuyen de acuerdo con N 17,6 ; √
= N (17,6 ; 0,158): El intervalo caracterı́stico
10
es:
(17,6 − 1,96 · 0,158 ; 17,6 + 1,96 · 0,158) = (17,2903 ; 17,9097)
4. En una determinada empresa, se seleccionó al azar una muestra de 100 empleados cuya media de ingresos mensuales
resultó igual a 705 euros, con una desviación tı́pica de 120 euros. Halla un intervalo de confianza al 99 % para la media
de los ingresos mensuales de todos los empleados de la empresa.?
Solución:
Los datos son x̄ = 705, c = 0,99, σ = 120, N = 100. Con estos datos, el intervalo de confianza es:
(
)
120
120
; 705 + 2,575 √
705 − 2,575 √
= (674,10 ; 735,90)
100
100
3 ESTADÍSTICA.
21
5. La duración de un lavavajillas sigue una distribución normal con una desviación tı́pica de 0,5 años. ¿Cuántos lavavajillas
tenemos que seleccionar en la muestra si queremos que la media muestral no difiera en más de 0,25 años de la media de
la población. con un nivel de confianza del 90 %?
Solución:
El error en la estimación debe ser menor que 0,25. Esto significa queda
(
)
(
)
zc σ
zc σ 2
1,645 · 0,5 2
E = √ ≤ 0,25 =⇒ N ≥
=
= 10,82
0,25
0,25
N
Por consiguiente, puesto que el tamaño de la muestra debe ser entero, N ≥ 11.
6. Un fabricante de lámparas de bajo consumo sabe que el tiempo de duración, en horas, de las lámparas que fabrica sigue
una distribución normal de media desconocida y desviación tı́pica 180 horas. Con una muestra de dichas lámparas elegida
a azar y con un nivel de confianza del 97 %, obtuvo para la media el intervalo de confianza (10072, 1; 10127, 9). Si se
quiere que el error de su estimación sea como máximo de 24 horas y se utiliza una muestra de tamaño 225, ¿cuál será
entonces el nivel de confianza?
Solución:
Puesto que el error en la estimación debe ser menor que 24, debe cumplirse que:
zc σ
zc · 180
24 · 15
E= √ =
≤ 24 =⇒ zc ≤
=2
15
180
N
Por consiguiente:
c ≤ p(−2 ≤ z ≤ 2) = 0,9772 − 0,0228 = 0,9544
7. El número de dı́as de ausencia en el trabajo de los empleados de cierta empresa para un perı́odo de seis meses, se puede
aproximar mediante una distribución normal de desviación tı́pica 1,5 dı́as. Una muestra aleatoria de 10 empleados ha
proporcionado los siguientes datos:
5 4 6 8 7 4 2 7 6 1
(a) Determinar el intervalo de confianza del 90 % para el número medio de dı́as que los empleados de esa empresa han
faltado durante los últimos seis meses.
(b) ¿Qué tamaño debe tener la muestra para que el error máximo de la estimación sea de 0,5 dı́as con el mismo nivel
de confianza?
Solución:
(a) La media de los datos es 5. Ası́ pues, x̄ = 5, c = 0,90, zc = 1,645 y N = 10. El intervalo de confianza es:
(
)
1,5
1,5
5 − 1,645 √ , 5 + 1,645 √
= (4,22; 5,78)
10
10
(b) El error en la estimación debe ser menor que 0,5. Entonces:
(
)
zc σ
1,645 · 1,5
1,645 · 1,5 2
√ ≤ 0,5 =⇒
√
≤= ,5 =⇒ N ≥
= 24,35
0,5
N
N
Por consiguiente, puesto que N es entero, debe verificarse que N ≥ 25.
8. La temperatura corporal de una cierta especie animal es una variable aleatoria que tiene una distribución normal de
media 36,7o C y desviación tı́pica 3,8o C. se elige aleatoriamente una muestra de 100 ejemplares de esa especie. Hallar la
probabilidad de que la temperatura corporal media de la muestra:
(a) Sea menor o igual que 36,9o C.
(b) Esté comprendida entre 36,5o C y 37,3o C.
Solución:
Las medias muestrales siguen la distribución normal:
(
)
3,8
N 36,7, √
= N (36,7; 0,38)
100
Entonces
(
)
36,9 − 36,7
= p(z ≤ 0,52) = 0,6985
p(x ≤ 36,9) = p z ≤
0,38
(
)
36,5 − 36,7
37,3 − 36,7
p(36,5 ≤ x ≤ 37,3) = p
≤z≤
= p(−0,53 ≤ z ≤ 1,58) = 0,6448
0,38
0,38
9. En una encuesta se pregunta a 10000 personas cuántos libros lee al año, obteniéndose una media de 5 libros. Se sabe que
la población tiene una distribución normal con desviación tı́pica 2.
(a) Hallar un intervalo de confianza al 80 % para la media poblacional.
(b) Para garantizar un error de estimación de la media poblacional no superior a 0,25 con un nivel de confianza del
95 %, ¿a cuántas personas como mı́nimo serı́a necesario entrevistar?
Solución:
Calculemos en primer lugar el valor de zc para c = 0,80:
p(−zc ≤ z ≤ zc ) = 0,80 =⇒ p(z ≤ zc ) = 0,90 =⇒ zc = 1,28
(a) Puesto que x̄ = 5, σ = 2, zc = 1,28 y N = 10000, el intervalo es:
(
)
2
2
5 − 1,28 √
; 5 + 1,28 √
= (4,97; 5,03)
1000
1000
(b) Debe ocurrir queda
(
)
1,96 · 2 2
N ≥
= 245,86 =⇒ N ≥ 246
0, 25
3 ESTADÍSTICA.
22
TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
z
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
0.00
.5000
.5398
.5793
.6179
.6554
.6915
.7257
.7580
.7881
.8159
.8413
.8643
.8849
.9032
.9192
.9332
.9452
.9554
.9641
.9713
.9772
.9821
.9861
.9893
.9918
.9938
.9953
.9965
.9974
.9981
.9987
.9990
.9993
.9995
.9997
0.01
.5040
.5438
.5832
.6217
.6591
.6950
.7291
.7611
.7910
.8186
.8438
.8665
.8869
.9049
.9207
.9345
.9463
.9564
.9649
.9719
.9778
.9826
.9864
.9896
.9920
.9940
.9955
.9966
.9975
.9982
.9987
.9991
.9993
.9995
.9997
.02
.5080
.5478
.5871
.6255
.6628
.6985
.7324
.7642
.7939
.8212
.8461
.8686
.8888
.9066
.9222
.9357
.9474
.9573
.9656
.9726
.9783
.9830
.9868
.9898
.9922
.9941
.9956
.9967
.9976
.9982
.9987
.9991
.9994
.9995
.9997
.03
.5120
.5517
.5910
.6293
.6664
.7019
.7357
.7673
.7967
.8238
.8485
.8708
.8907
.9082
.9236
.9370
.9484
.9582
.9664
.9732
.9788
.9834
.9871
.9901
.9925
.9943
.9957
.9968
.9977
.9983
.9988
.9991
.9994
.9996
.9997
.04
.5160
.5557
.5948
.6331
.6700
.7054
.7389
.7704
.7995
.8264
.8508
.8729
.8925
.9099
.9251
.9382
.9495
.9591
.9671
.9738
.9793
.9838
.9875
.9904
.9927
.9945
.9959
.9969
.9977
.9984
.9988
.9992
.9994
.9996
.9997
.05
.5199
.5596
.5987
.6368
.6736
.7088
.7422
.7734
.8023
.8289
.8531
.8749
.8944
.9115
.9265
.9394
.9505
.9599
.9678
.9744
.9798
.9842
.9878
.9906
.9929
.9946
.9960
.9970
.9978
.9984
.9989
.9992
.9994
.9996
.9997
.06
.5239
.5636
.6026
.6406
.6772
.7123
.7454
.7764
.8051
.8315
.8554
.8770
.8962
.9131
.9279
.9406
.9515
.9608
.9686
.9750
.9803
.9846
.9881
.9909
.9931
.9948
.9961
.9971
.9979
.9985
.9989
.9992
.9994
.9996
.9997
.07
.5279
.5675
.6064
.6443
.6808
.7157
.7486
.7794
.8078
.8340
.8577
.8790
.8980
.9147
.9292
.9418
.9525
.9616
.9693
.9756
.9808
.9850
.9884
.9911
.9932
.9949
.9962
.9972
.9979
.9985
.9989
.9992
.9995
.9996
.9997
Cuadro 1: Tabla de la distribución normal
.08
.5319
.5714
.6103
.6480
.6844
.7190
.7517
.7823
.8106
.8365
.8599
.8810
.8997
.9162
.9306
.9429
.9535
.9625
.9699
.9761
.9812
.9854
.9887
.9913
.9934
.9951
.9963
.9973
.9980
.9986
.9990
.9993
.9995
.9996
.9997
.09
.5359
.5753
.6141
.6517
.6879
.7224
.7549
.7852
.8133
.8389
.8621
.8830
.9015
.9177
.9319
.9441
.9545
.9633
.9706
.9767
.9817
.9857
.9890
.9916
.9936
.9952
.9964
.9974
.9981
.9986
.9990
.9993
.9995
.9997
.9998