2 MATEMÁTICAS carmen López Bote Begoña martínez elgarresta Purificación montesinos comino Francisco González Díaz coordinadora Purificación montesinos comino Revisión técnica J. Javier Orengo Valverde m.ª isabel de los santos Rayo MADRID • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MÉXICO • NUEVA YORK PANAMÁ • SAN JUAN • SANTA FE DE BOGOTÁ • SANTIAGO • SÃO PAULO AUCLAND • HAMBURGO • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI • PARÍS SAN FRANCISCO • SIDNEY • SINGAPUR • ST. LOUIS • TOKIO • TORONTO ¿CÓmo SE uTiLiZa ESTE LiBro? 2 DOBLE PÁGINA PRESENTACIÓN Comenzamos la Unidad de manera didáctica y amena, con una actividad cercana para el entorno de los alumnos. A continuación aparece un breve vocabulario en el que se recogen los términos matemáticos que se van a emplear en dicha Unidad; su objetivo es el de recordar conceptos de cursos anteriores. La representación de los números naturales en la recta numérica 0 Dentro del libro está incluido un CD para el alumno con material multimedia para que trabaje en el aula y en casa. En cada Unidad didáctica, en aquellos apartados que se complementen con el CD, aparece el símbolo que indica el empleo del CD por parte del alumno para complementar su aprendizaje. 1 2 3 4 0h +1° 5 Para multiplicar dos números enteros se multiplican los valores absolutos de los factores y el signo del resultado viene dado por la regla de los signos: +·+=+ +·–=– –·+=– –·–=+ 12 h 15 h 18 h 21 h 24 h +5° +10° +7° +5° +3° — ¿Cuál fue la temperatura media del día? Para responder a estas cuestiones es necesario alcanzar los objetivos que se proponen en esta Unidad. Los objetivos de esta Unidad son: • Utilizar los números enteros. • Conocer las propiedades de las operaciones con números enteros. 3 CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS A POLIEDROS REGULARES De todos los poliedros sólo existen cinco poliedros regulares que cumplen las tres condiciones anteriormente citadas. Caras 9h –2° — ¿Cuál fue la diferencia entre la temperatura máxima y la temperatura mínima registrada? La potencia de un número entero, al igual que la potencia de un número natural, es una forma simplificada de expresar la multiplicación de ese número por sí mismo tantas veces como indique otro número. El número que se multiplica por sí mismo se llama base. El número que nos indica cuántas veces multiplicamos la base se llama exponente. Poliedro regular 6h –4° — ¿Qué temperaturas máxima y mínima se registraron en el día? Potencia de números enteros 11 3h 0° Como ves, para describir la evolución de la temperatura a lo largo del día no son suficientes los números naturales, es necesario utilizar los números enteros. Con ellos es posible responder a cuestiones como: Regla de los signos La Unidad está estructurada en epígrafes que comienzan con una actividad que sirve de ejemplo para introducir el concepto a tratar. CÓMO SE USA EL CD El registro de las temperaturas en una estación meteorológica durante un día del mes de diciembre se describe en la tabla: Los números naturales se representan en una semirrecta de izquierda a derecha, ordenados de menor a mayor. DESARROLLO DE LA UNIDAD Al finalizar cada apartado se proponen ejercicios para resolver para que el alumno compruebe la comprensión de los conceptos estudiados. NÚMEROS ENTEROS ¿Recuerdas qué es…? Vértices Aristas Las caras son Tetraedro 4 Triángulos equiláteros Cubo 6 Cuadrados Octaedro 8 Triángulos equiláteros Dodecaedro 12 Pentágonos regulares Icosaedro 20 Triángulos equiláteros Figura Desarrollo B PRISMAS Algunos edificios y envases se diseñan en forma de prisma recto. Este diseño los hace estables y fáciles de construir. Los de base rectangular son fáciles de apilar y almacenar como en el caso de los envases. También son fáciles de alinear con otros como en el caso de los edificios. Un prisma es un poliedro formado por dos caras paralelas que son polígonos iguales, llamados bases, y por polígonos que unen las bases que son paralelogramos, llamados caras laterales. Si las caras laterales son rectángulos o cuadrados se llama prisma recto, y si son rombos o romboides se llama prisma oblicuo. Prisma recto Caras laterales Bases Prisma oblicuo En el caso de que las bases de un prisma recto sean polígonos regulares, se llama prisma regular y en los demás casos se llama prisma irregular. También se utiliza la forma de las bases para describir el prisma: triangular (las bases son triángulos), cuadrangular (las bases son cuadrados), rectangular (las bases son rectángulos), pentagonal, hexagonal, etcétera. Cuando todas las caras de un prisma son paralelogramos se llama paralelepípedo. Ejercicios 10 Copia en tu cuaderno y completa la tabla: Poliedro Altura Bases Altura Investiga la forma de tu colegio o instituto para determinar si tiene forma de prisma. Busca también en un supermercado algún envase con forma de prisma. ¿Puedes encontrar alguno cuya base no sea un rectángulo? N.º de aristas que se unen en cada vértice Ángulos diedros (agudos, obtusos o rectos) 11 Determina cuáles de los siguientes desarrollos planos corresponden a un tetraedro. a) b) c) Cubo Ejercicios 13 Dibuja en tu cuaderno el desarrollo plano de un prisma recto cuadrangular de 3 cm de altura y cuya base tenga 2 cm de lado. 15 ¿Cuáles de los siguientes cuerpos son prismas? a) b) c) Tetraedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro 198 12 Si unes dos tetraedros por una de sus caras, ¿se obtiene un octaedro? Razona tu respuesta. 14 Escribe tres objetos cotidianos que tengan forma de prisma. Para cada uno de ellos describe cuál es el polígono que está en la base y da un valor aproximado de su altura. 199 EJERCICIOS RESUELTOS 12 EJERCICIOS RESUELTOS 1 Dibuja en tu cuaderno el cuerpo de revolución que se genera al hacer girar cada una de las siguientes figuras planas alrededor del eje indicado: a) 3 Halla el volumen del siguiente cuerpo de revolución. Podemos descomponer el cuerpo de revolución en tres cuerpos: 10 cm — En primer lugar, al cilindro de la parte superior, de 5 cm de radio y 5 cm de altura, lo llamamos C1. b) 5 cm — En segundo lugar, el cilindro de 2 cm de altura y 20 cm de radio, será C2. Debemos hallar el volumen de C1 y el de C2 y sumarlos. 2 cm — Por último, está el cilindro hueco en el interior de 4 cm de radio y 7 cm de altura, que es C3. En primer lugar se dibuja la figura simétrica respecto al eje: 8 cm 20 cm Este volumen debemos restarlo de la suma anterior y así obtendremos el volumen del cuerpo de revolución del enunciado. — Volumen de C1: π · 52 · 5 = 392,5 cm3. — Volumen de C2: π · 202 · 2 = 2 512 cm3. — Volumen de C3: π · 42 · 7 = 351,66 cm3. Volumen del cuerpo de revolución V = 392,5 + 2 512 − 351,66 = 2 552,84 cm3. Después se dibujan, en perspectiva, los círculos que se generan al girar los vértices de la figura plana: 4 Halla el área del cuerpo de revolución. 6 cm Podemos descomponer el cuerpo de revolución en dos cuerpos: un cilindro y una semiesfera. El área del cuerpo del dibujo se puede hallar como la suma de la mitad del área de la esfera de 3 cm de radio y el área lateral del cilindro más el área de una de las bases. Observa que la base del cilindro entre la semiesfera y el cilindro no debe sumarse, pues no queda en el exterior. 4 · π · r 2 4 · 3,14 · 9 113 = = = 56,5 cm2. 2 2 2 — Área lateral del cilindro: 2 · π · r · h = 2 · 3,14 · 3 · 8 = 150,7 cm2. 8 cm — Área de la semiesfera: Finalmente, se borran los lados de la figura plana que han generado los círculos: — Área de una base del cilindro: π · r 2 = 3,14 · 9 = 28,3 cm2. — Área del cuerpo de revolución: A = 56,5 + 150,7 + 28,3 = 235,5 cm2. 5 Halla la generatriz del tronco de cono cuya altura mide 1,2 m y sus radios de las bases son 60 y 90 cm. En primer lugar, dibujamos el trapecio que forman ambos radios, la altura y la generatriz. 2 Dibuja en tu cuaderno el desarrollo plano de un cilindro de altura 3 cm y radio de la base 1,5 cm. La dificultad de este ejercicio está en el cálculo del lado de la base del rectángulo. 60 cm Observamos que trazando una línea 1,2 m paralela a la altura podemos construir un triángulo rectángulo, como ves en la imagen. La hipotenusa de ese triángulo es la generatriz g que queremos 90 cm 30 cm calcular, y los catetos son la altura (120 cm) y la diferencia entre los radios 90 – 60 = 30 cm. Por tanto, aplicando el teorema de Pitágoras: 2πr = 2 · 3,14 · 1,5 = 9,42 cm Ahora, basta dibujar dos círculos de radio 1,5 cm y un rectángulo cuyos lados midan 3 cm y 9,42 cm. g2 = 1202 + 302 = 15 300 cm2, luego g = Î15300 = 123,7 cm. 222 223 EJERCICIOS PROPUESTOS 12 EJERCICIOS PROPUESTOS 34 Dibuja el cuerpo de revolución que se genera al hacer girar cada una de las siguientes figuras planas alrededor del eje indicado: a) b) Medidas 47 48 Halla el área y el volumen de una esfera de diámetro 1,5 m. 38 Halla la generatriz de un cilindro sabiendo que la altura es 12 cm y el radio de la base 4 cm. 49 Halla el volumen de un cilindro cuya altura sea de 5 m y su radio de la base de 2 m. 39 Sabiendo que la generatriz de un cono mide 10 cm y el radio de la base 6 cm, halla su altura. 40 Compara el radio de la base de los dos conos que se describen en cada apartado: 35 ¿Cuáles de los siguientes cuerpos de revolución tienen desarrollo plano? a) a) Cono 1: h = 10 cm g = 14 cm Cono 2: h = 8 cm g = 9,8 cm b) Cono 1: h = 60 cm g = 1 m b) ¿Cuál es el área de una esfera de radio 40 cm? 37 Halla la altura de un cono cuya generatriz mida 5 cm y el radio de la base sea 3 cm. Cono 2: h = 80 cm g = 90 cm 41 Halla la generatriz de un tronco de cono cuya altura mide 12 cm y los radios de ambas bases miden 8 cm y 4 cm. 50 Un colador en forma de cono tiene una base de radio 5 cm y una altura de 14 cm. ¿Cuánta cantidad de líquido puedo colar de una vez? 51 El volumen de un cono es 30 cm. Sabiendo que el área de la base es 18 cm, calcula su altura. 52 Un cilindro tiene de altura 15 cm y de radio de la base 3 cm. Un cono tiene también de altura 15 cm y de radio de la base 3 cm. Halla el volumen de los dos cuerpos. ¿Qué relación tienen los dos números entre sí? (Orientación: observa y compara las dos expresiones para calcular los volúmenes.) 53 En una caja con forma de cilindro de altura 30 cm y radio de la base 5 cm se guardan tres pelotas de diámetro 10 cm. Calcula el volumen de la parte de la caja que queda desocupada. 4 cm r c) g h 12 cm 55 Calcula y compara la cantidad máxima de agua que pueden contener cada uno de los siguientes vasos: a) Uno de ellos tiene forma de cilindro de altura 15 cm y radio de la base 3 cm. Situados al final de cada Unidad, están adaptados al nivel de conocimientos de los alumnos. Se han estructurado manteniendo el orden de los diferentes epígrafes del tema objeto de estudio, marcando los mismos por nivel de dificultad para que resulte sencillo abordar su resolución. b) El otro tiene forma de tronco de cono obtenido al seccionar un cono imaginario de altura 20 cm por un plano paralelo a la base a 5 cm de distancia del vértice. Los radios de las bases del tronco son 2 y 4 cm. 56 Un cono de altura 20 cm y cuyo radio de la base es 4 cm, se corta paralelamente a la base suprimiendo así un cono de altura 5 cm. Sabiendo que el radio de la base del cono suprimido es 1 cm, calcula la generatriz de ambos conos. Halla también el área lateral y total del tronco de cono obtenido al cortar. 57 Halla el volumen del tronco de cono del ejercicio anterior. 58 Halla el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar la figura plana alrededor del eje (las unidades se expresan en metros): 4 3 2 3 10 cm 30 cm 2 R 42 ¿Cuál es la altura de un tronco de cono si su generatriz mide 20 cm y los radios de las bases son 12 cm y 9 cm? 43 Halla el área lateral y el área total de un cilindro de 2 m de altura y 30 cm de radio de la base. R: 5 cm 54 En una caja con forma de cilindro de 1 m de alto y 30 cm de diámetro se guarda un cono de 1 m de alto y 30 cm de diámetro de la base. Calcula el volumen de la parte de la caja que queda desocupada. 44 Halla el área total de un cilindro de altura 55 cm y diámetro de la base 20 cm. 1m 45 Calcula el área total de un cono que tiene radio de la base 15 cm y generatriz de 20 cm. 226 9 PARA REPASAR EN GRUPO CD En la pestaña Actividades/ Unidad 9, encontrarás la actividad Sopa de letras unidad 9, para repasar los conceptos más importantes de la circunferencia. CD En la pestaña Actividades/ Unidad 9, encontrarás la actividad Relación unidad 9, para repasar los conceptos más importantes de la unidad. 172 + 4m + = 5 m2 1,2 m 227 PARA REPASAR EN GRUPO, CURIOSIDADES, JUEGOS Y DESAFÍOS CURIOSIDADES, JUEGOS Y DESAFÍOS Elabora con tu grupo de trabajo un esquema con los siguientes conceptos de la Unidad y pon un ejemplo de cada uno de ellos. CONCEPTO 1,5 m 1m 30 cm 46 Halla el área lateral y el área total de un cono cuya generatriz mide 60 cm y el diámetro de la base es 30 cm. 60 Una torre está formada por un cilindro de altura 4 m y radio de la base 1,2 m, sobre la que se apoya un cono con el mismo radio de la base y altura 1,5 m. Halla el área y el volumen de la torre, teniendo en cuenta que, las ventanas y la puerta ocupan en total una superficie de 5 m2. 30 cm 36 Un cuerpo de revolución cualquiera puede tener desarrollo plano o no. Describe de qué cuerpos de revolución de los que has estudiado en esta Unidad tiene que estar compuesto para que tenga desarrollo plano. 59 Halla el área del cuerpo de revolución del ejercicio anterior. 8 cm DEFINICIÓN Todas las civilizaciones se han basado en la regularidad de los movimientos del Sol o la Luna para la elaboración de sus calendarios. Los egipcios hacia el 4 000 a.C. se regían por un calendario cuyo año duraba 12 meses de 30 días y 5 días más que no pertenecían a ningún mes. Los romanos en el siglo VII a.C. utilizaban un calendario de 304 días, distribuidos en 10 meses. Como la Tierra tarda 365 días 6 h 9 min 9,5 s en dar una vuelta alrededor del Sol, las estaciones no se su cedían en las mismas fechas y tuvo que añadirse al calendario dos meses más. Sistema de medida del tiempo Es sexagesimal porque una hora equivale a 60 minutos y un minuto equivale a 60 segundos. Segundo Es la unidad principal para medir el tiempo. Forma compleja de expresar el tiempo Viene dada en horas (h), minutos (min) y segundos (s). Forma decimal de expresar el tiempo Viene dada por un número decimal y una sola unidad de medida. Grado sexagesimal Es la unidad principal de medida de ángulos y corresponde a cada una de las noventa partes en que se divide un cuadrante. Sistema de medida de ángulos Es sexagesimal porque un grado equivale a 60 minutos y un minuto equivale a 60 segundos. Forma compleja de expresar un ángulo Viene dada en grados (°), minutos (‘) y segundos (‘’). Forma decimal de expresar un ángulo Viene dada por un número decimal y una sola unidad de medida. Ángulos complementarios Dos ángulos que suman 90°. Lewis Carroll, profesor de Matemáticas en la Universidad de Oxford y autor de Alicia en el País de las Maravillas, escribió un cuento que planteaba la siguiente cuestión: Ángulos suplementarios Dos ángulos que suman 180°. «¿Cuál de estos relojes da mejor la hora? ¿El que atrasa un minuto diario o el que está parado?» Ángulos opuestos por el vértice Uno se forma al prolongar los lados del otro a partir del vértice. Lewis Carroll llegó a la conclusión de que el reloj parado daba mejor la hora. ¿Sabrías explicar por qué? Ángulos consecutivos Son los que tienen un lado común. Ángulos adyacentes Son consecutivos y suplementarios. ¿Cómo sabemos si un año es bisiesto? Un año es bisiesto si el número formado por las dos últimas cifras es divisible entre 4, excepto cuando ambas son cero. En el año 45 a.C., Julio César encargó a los astrónomos mejorar el calendario y se adoptó el calendario juliano, en el que la duración del año es de 365 1 días, más de día. Cada año tenía 12 meses de distinta duración. Cada 4 años 4 se añadía un día al año. Si el número formado por las cuatro cifras del año es divisible por 400 entonces el año es bisiesto aunque sus dos últimas cifras sean cero. Con el calendario juliano se acumulaba un error de 1 día cada 128 años, por lo que el Papa Gregorio XIII, en el año 1582, mandó reformarlo. Batería de actividades en las que se recoge una recopilación de estrategias de resolución de problemas, teniendo en cuenta la relación entre diferentes conceptos, desarrollada para cada una de las Unidades del libro, cuya finalidad es la de transmitir y aclarar al alumno los procedimientos para su resolución. El calendario gregoriano es el que se utiliza en la actualidad. El error que se acumula con este calendario es de 1 día en 3 226 años. Los dos relojes 1 DESAFÍO MATEMÁTICO Polígono regular estrellado Medida del ángulo central Es la del arco que abarcan sus lados. Medida de un ángulo inscrito Es la mitad del arco que abarcan sus lados. Medida de un ángulo circunscrito Es la mitad de la diferencia de los arcos que abarcan sus lados. Eneágonos regulares estrellados Medida de un ángulo semiinscrito Es la mitad del arco que abarcan sus lados. Si se divide una circunferencia en nueve partes y se unen las divisiones de 2 en 2 y de 4 en 4 se obtienen dos eneágonos estrellados. Medida de un ángulo interior Es la mitad de la suma de los arcos que abarcan sus lados. Medida de un ángulo exterior Es la mitad de la diferencia de los arcos que abarcan sus lados. Si se divide una circunferencia en partes iguales y se unen los puntos de división de dos en dos, o de tres en tres, etc., se obtiene una línea poligonal. Si esta línea poligonal se cierra, recorriendo la circunferencia un número entero de veces, se obtiene un polígono regular estrellado. Si observas los eneágonos estrellados puedes comprobar que hay diferentes ángulos en la circunferencia. Describe qué tipos de ángulos son y calcula su medida sin utilizar un transportador. 2 9 3 8 4 7 6 5 1 2 9 3 8 4 7 6 5 173 Estas secciones tienen como finalidad ayudar al alumno a ordenar los conceptos fundamentales de la Unidad motivándole para emplear correctamente el lenguaje matemático dentro de su contexto.