Centro de gravedad de un cono
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Centro de gravedad de un cono de radio R, altura H masa M Consideramos un sistema de referencia tal que su eje de revolución es el eje OZ, y la base es 1 1 el plano XOY. El volumen del cono es V = πR2 H y su masa M = ρπR 2 H 3 3 Como el cono tiene un eje de simetría, el centro de gravedad está sobre él, a una distancia zG de la base, por tanto z G = 1 M ∫∫∫ zdm V Consideramos un elemento diferencial de volumen, que es un cilindro de radio r, y altura dz situado a una distancia z de la base; su masa es dm = ρπr 2 dz , siendo r = r2 = R ( H − z ) . Por tanto H r z R2 ( H 2 + z 2 − 2 zH ) y la coordenada z del H2 centro de gravedad es zG = 1 M ∫∫∫ zdm = V 1 M ∫∫∫ zρπ R2 ρπR 2 2 2 ( H + z − 2 Hz ) dz = ( H 2 z + z 3 − 2 Hz 2 )dz 2 2 ∫ H MH 0 zG = ⎡H 2z2 z4 ρπR 2 z3 ⎤ H 2 H = + − ⎥ ⎢ 2 2 4 3 ⎦0 4 2 ⎛ ρπR H ⎞ ⎣ V H H H ⎜⎜ ⎝ 3 ⎟⎟ ⎠ dz
