(08301) Cálculo integral

 MATERIA
CÓDIGO
REQUISITOS
PROGRAMAS
PERÍODO ACADEMICO
INTENSIDAD HORARIA
CREDITOS
Cálculo Integral
08301
Cálculo Diferencial (Código 08300)
Administración de Empresas, Contaduría y Finanzas Internacionales,
Economía y Negocios Internacionales, Economía y Políticas Públicas,
Mercadeo Internacional y Publicidad.
2016-2
4 horas semanales.
4
1.
OBJETIVO GENERAL
Al finalizar el curso el estudiante estará en capacidad de identificar y aplicar técnicas básicas de
integración en una variable, de solución de ecuaciones diferenciales y de programación lineal, para
resolver problemas en las áreas de administración, economía y finanzas.
2.
OBJETIVOS TERMINALES
2.1
Identificar y aplicar el concepto de antiderivada o integral de una función como opuesta al de
derivada de la función y utilizar adecuadamente los métodos básicos de integración (sustitución, por
partes) para calcular la antiderivada más general de una función dada.
2.2
Identificar y aplicar el concepto de integral definida de una función dada y utilizar adecuadamente el
teorema fundamental del cálculo, para determinar áreas entre curvas y resolver problemas de
aplicación en la administración, la economía, las ciencias naturales y las ciencias sociales.
2.3
Utilizar adecuadamente la terminología asociada con ecuaciones diferenciales y su solución, resolver
ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes, y de variables
separables.
2.4
Usar integrales impropias en problemas aplicados donde su uso es pertinente.
2.5
Reconocer los componentes esenciales de una función de varias variables, esbozar su gráfica y
analizar sus curvas de nivel en el caso de funciones propias de las ciencias económicas.
2.6
Utilizar las derivadas parciales en el análisis marginal en economía.
2.7
Manejar adecuadamente las series aritméticas y geométricas convergentes y algunas aplicaciones:
anualidades y amortización.
2.7
Reconocer y utilizar los elementos de algebra lineal en la solución de sistemas de ecuaciones y
manejar adecuadamente el álgebra de matrices en contextos donde sea útil.
3.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE FORMACION ACADÉMICA
3.1
UNIDAD 1: Cálculo de varias variables
1.1.1
1.1.2
1.1.3
Definir y examinar funciones de dos o más variables.
Explorar gráficas t curvas de nivel de funciones de dos variables.
Estudiar la función de producción de Cobb-Douglas, isocuantas y curvas de indiferencia en
economía.
Calcular e interpretar derivas parciales.
Aplicar derivadas parciales para estudiar problemas de análisis marginal en economía.
Calcular derivadas parciales de segundo orden.
Usar la regla de la cadena de derivadas parciales para encontrar tasas de cambio y hacer
aproximaciones incrementales.
Ubicar y clasificar extremos relativos para una función de dos variables empleando el criterio de
segundas derivadas.
Examinar problemas aplicados que impliquen la optimación de funciones de dos variables.
Analizar y aplicar la propiedad del valor extremo para funciones de dos variables con el fin de
determinar los extremos absolutos en una región cerrada y acotada.
1.1.4
1.1.5
1.1.6
1.1.7
1.1.8
1.1.9
1.1.10
1.1.11
1.1.12
Estudiar el método de multiplicadores de Lagrange como un procedimiento para localizar los puntos
sobre una gráfica donde puede ocurrir una optimación restringida.
Usar el método de los multiplicadores de Lagrange en problemas aplicados que incluyen utilidad y
recursos de asignación.
3.2
UNIDAD 2: Integración indefinida y ecuaciones diferenciales
3.2.1
3.2.3
3.2.3
3.2.4
3.2.5
3.2.6
Usar el significado de la expresión informal “la derivada neutraliza el efecto de la integral”, para
comprobar el cálculo de una integral.
Calcular la forma general de la integral indefinida de algunas funciones dadas, bien en abstracto o
bien como ingreso, costo o utilidad marginales.
Determinar si una función dada es o no solución de una ecuación diferencial dada.
Examinar ecuaciones diferenciales y problemas de valor inicial.
Plantear y resolver ecuaciones diferenciales separables.
Usar el método de sustitución para encontrar integrales indefinidas.
Explorar un modelo de ajuste de precio en economía.
3.3
UNIDAD 3: Integral definida y sus aplicaciones
3.3.1
3.3.2
3.3.3
3.3.4
Evaluar integrales definidas dadas y aplicar propiedades de la integral definida
Enunciar el teorema fundamental del cálculo y usarlo en el cálculo de integrales definidas.
Usar el teorema fundamental para resolver problemas aplicados que impliquen variación total.
Encontrar el área entre dos curvas y usarla para calcular la utilidad excedente total la distribución de
la riqueza total (curvas de Lorenz)
Obtener y aplicar una fórmula para el valor promedio de una función.
Interpretar el valor promedio en términos de la tasa y el área.
Usar la integración para calcular el valor futuro y presente de un flujo de ingresos.
Definir la disposición del consumidor a gastar como una integral definida y usarla para explorar el
excedente de los consumidores y el excedente de los productores.
Examinar las funciones de supervivencia y renovación.
Reconocer algunas aplicaciones de la integración a las ciencias sociales y naturales.
Usar la integración por partes para encontrar integrales y resolver problemas aplicados.
Evaluar integrales impropias con límites de integración infinitos.
Usar integrales impropias en problemas aplicados.
3.2.2
3.3.5
3.3.6
3.3.7
3.3.8
3.3.9
3.3.10
3.3.11
3.3.12
3.3.13
3.4
UNIDAD 4: Progresiones aritméticas y geométricas
3.4.1
3.4.2
Aplicar el concepto de sumatoria y sus propiedades, para determinar sumas específicas.
Determinar los parámetros que definen una progresión aritmética, a partir de datos
suficientes para ello
Calcular la suma de un número finito de términos de una progresión aritmética.
Determinar los parámetros que definen una progresión geométrica, a partir de datos
suficientes para ello.
Calcular la suma de un número finito de términos de una progresión geométrica o la suma
de los términos de una progresión geométrica convergente.
3.4.3
3.4.5
3.4.6
3.5
UNIDAD 5: Ecuaciones lineales y matrices (algunas aplicaciones)
3.5.1
3.5.2
3.5.3
3.5.4
3.5.5
3.5.6
3.5.7
Resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas.
Definir el concepto de matriz.
Definir las operaciones básicas de matrices.
Analizar las propiedades de las operaciones con matrices.
Determinar la naturaleza de las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales.
Definir y calcular la matriz inversa.
Otras aplicaciones: Cadenas de Markov y Modelo cerrado de Leontief.
3.6
UNIDAD 6: Determinantes
3.6.1
3.6.2
3.6.3
3.6.4
Definir el determinante de una matriz.
Examinar las propiedades de los determinantes
Calcular el determinante de una matriz utilizando el desarrollo por cofactores.
Calcular la inversa de una matriz utilizando la matriz adjunta.
3.6.5
3.6.5
Calcular el determinante de una matriz utilizando la regla de cramer
Determinar en la solución de un sistema la conveniencia de la eliminación gaussiana o la regla de
Cramer.
4
CONTENIDO: El contenido total del curso se detalla por temas en la parcelación que se adjunta a
este programa.
5
METODOLOGÍA
5.1
El enfoque: En concordancia con los propósitos de la Universidad , en desarrollo de este curso se
considera que el aprendizaje es el resultado de un proceso que tiene como centro al estudiante y como
guía al profesor. Por lo anterior, en la última media hora de cada sesión de clase el profesor
presentará a los estudiantes los conceptos y ejemplos de los ejercicios que se trabajarán en la
siguiente sesión. El estudiante, por su parte, deberá estudiarlos, aprenderlos y aplicarlos para
responder las preguntas y resolver los ejercicios que se plantean para la clase siguiente.
5.2
Los momentos de la clase: Las sesiones de dos horas de duración tendrán los siguientes momentos:




Recordar los objetivos de la sesión de clase: Al inicio de cada clase, el profesor recordará los
objetivos específicos de aprendizaje que se trabajarán durante la sesión, y motivará el trabajo
individual y colectivo del grupo.
Presentación y evaluación de la actividad de preparación desarrollada por el estudiante: Una vez
recordados los objetivos de la clase, el profesor revisa y discute con los estudiantes los conceptos,
resultados, ejemplos resueltos y algunos ejercicios propuestos como preparación para la clase. De
esta forma se motivan y promueven el aprendizaje y responsabilidad individuales en el proceso de
adquisición de nuevo conocimiento. El profesor decidirá cuáles evaluaciones de las actividades
asignadas tienen una calificación numérica y si esta es individual o colectiva, y el momento de
aplicarla. (Se recomienda que el tiempo total dedicado a las dos actividades anteriores sea de entre
30 y 40 minutos). Se espera que al finalizar el curso cada estudiante tenga por lo menos 4
calificaciones por este concepto, pues es necesario que el estudiante adquiera y mantenga el hábito
del estudio y trabajo permanentes, indispensables para el éxito en sus cursos. A estas calificaciones
se adjuntarán las que el profesor decida por el concepto de trabajo en grupo en el salón de clase. El
promedio de las notas así obtenida será la nota del ítem Preparación para la clase y trabajo en clase.
Trabajo durante la clase (individual, o en grupo): Finalizada la actividad anterior, el profesor hace un
resumen de los conceptos y resultados más importantes del tema en discusión, profundizando en ellos
según sea necesario, y resuelve algunos ejercicios de mayor complejidad. A continuación propone
ejercicios adicionales, de mayor complejidad a los que se asignaron como preparación para la clase,
que deben ser trabajados en grupos de estudiantes. Es muy importante la labor de preparación del
profesor para esta actividad pues en ella se consolida y en cierta forma se cierra el tema. El profesor
decidirá la clase de evaluación en cada caso (un estudiante que voluntariamente resuelve un problema
difícil, un problema que se asigna para que sea resuelto y entregado por todos los estudiantes, etc.), y
si asigna una calificación numérica la considerará en el parámetro Preparación para la clase y trabajo
en clase.
Presentación del tema para la clase siguiente: Como se anotó en 5.1, en la última media hora de clase
el profesor presentará a los estudiantes los conceptos y ejemplos de los ejercicios que se trabajarán en
la siguiente.
5.3 Las actividades del estudiante:
Para el logro de los objetivos de aprendizaje, el estudiante debe desarrollar, con total responsabilidad,
un conjunto de actividades antes, durante y después de la clase, así:
 Antes de la clase: Estudiar el tema que el profesor explicó para esta clase. Esta actividad incluye el
comprender y memorizar los conceptos presentados , establecer relación con conceptos previamente
estudiados , hacer los ejercicios que se asignaron y resolver las preguntas que se hayan incluido en los
ejercicios por discutir. Es necesaria su disposición y trabajo individual para el éxito en esta primera
actividad.

Durante la clase: Participar activamente en el desarrollo de la clase, presentar inquietudes o aportes
que hayan surgido durante el proceso de estudio previo. Abstenerse de distraer la atención del grupo,
o parte de él, en actividades que no son propias de la clase, en particular, y no utilizar los recursos
tecnológicos en asuntos no pertinentes a la clase.
Después de la clase: Buscar la consolidación del nuevo conocimiento mediante la solución de
ejercicios complementarios, y establecer relaciones con el tema de la siguiente clase. No conformarse
con entender, sino profundizar en lo aprendido, para lo cual se sugiere destinar un tiempo en su
agenda personal y hacer un seguimiento de su proceso de aprendizaje.

6.
EVALUACIÓN
La calificación final del curso Cálculo Integral se obtendrá mediante los elementos de la siguiente
tabla:
Preparación para la clase y
Trabajo en clase.
Pruebas cortas (una hora)
Primer parcial
Segundo parcial
Examen final
15%
Permanente
20%
20%
20%
25%
Semana 4, 9 y 14.
Semana 6
Semana 11
Noviembre 30
Observaciones sobre los criterios de evaluación:


Preparación para la clase: Incluye todas las actividades de evaluación diferentes a las pruebas
cortas y exámenes mencionados en la tabla anterior. Por su importancia, se recomienda a los
profesores conformar esta calificación con no menos de cinco momentos de evaluación
calificada, registrada y conocida por el estudiante.
Pruebas cortas: Al momento de calcular la nota correspondiente a pruebas se anulará la nota más
baja del estudiante entre las 3 pruebas programadas para el semestre. Esto porque NO HAY
SUPLETORIO DE PRUEBAS CORTAS.
EXÁMENES SUPLETORIOS (Previa autorización que debe ser tramitada directamente por el estudiante
con su Director(a) de carrera.):
1.
2.
De exámenes parciales:
De examen final:
Octubre
29
Diciembre 05
9:30 a 12:00pm
9:30 a 12:00pm
OBSERVACIONES IMPORTANTES:



Si el estudiante obtiene 3.5 o más en el examen final, esta nota se promedia con la más baja de los
dos parciales y la calificación de este parcial se cambia por este promedio, si ello favorece al
estudiante.
Si un estudiante obtiene una nota mayor o igual a 3.3 en la evaluación final y la nota así acumulada
está entre 2.8 y 3.0, la nota definitiva del curso será de 3.0
Las calificaciones de las evaluaciones numéricas que se vayan aplicando se registran oportunamente
en el sistema de notas parciales con el fin de que el estudiante, el profesor y los funcionarios
autorizados para consultarlas, puedan acceder a ellas en cualquier momento.
BIBLIOGRAFIA
1.
2.
3.
4.
5.
Texto guía: Matemáticas aplicadas a la administración y los negocios.
Hoffman/Bradley/Sobecki/Price/Sandoval. McGraw Hill Educatión. Edición 2014
Cálculo diferencial aplicado a la administración y a la economía. Aria/Lardner/Ibarra. Pearson edición 2011
Álgebra Lineal. Kolman Bernard. Octava edición. Capítulos 1 , 2 y 3.
Aplicaciones al álgebra lineal. Stanley Grossman .Editorial Iberoamericana.
Sesiones: 7.1, 7.2 y 7.5 del texto: Matemáticas aplicadas a la administración y economía. Arya-Larnerd-Ibarra.
Quinta edición .Pearson. Se encuentra en el siguiente enlace:
http://www.icesi.edu.co/moodle/mod/folder/view.php?id=634
Parcelador Cálculo Integral 2016‐2
Sesión Tema Ejercicios a seleccionar para la clase 1 Presentación del curso Taller de repaso de derivación de funciones ( hacer por columnas) Funciones de varias 2 variables 3 Derivadas parciales 4 Optimización de funciones de dos variables. 5 Optimización con restricciones: Multiplicadores de Lagrange Multiplicadores de Lagrange 6 7 8 9 Integración indefinida Quiz 1 y retroalimentar Ecuaciones diferenciales 10 Integración por sustitución 11 12 13 Revisión taller 1 14 15 16 Primer Parcial Integral indefinida y el teorema fundamental del cálculo Aplicaciones de la integración definida La integración en los negocios La integración en las ciencias naturales y sociales. 9.1:2,10,14,18,20,24,26,3
2,34,38,42,48. 9.2:8,12,16,20,22,24,30,3
2,36,42,46,48,50,54,62,7
0,74,80. 9.3:4,6,10,16,20,24,28,30
,34,40,42,50. 9.5:2,6,10,12,16,18,20,22
,31. 9.5:28,32,36,42,52,54. 7.1: 2, 4, 8, 10, 18, 22, 26,30. SAE ( Sección a presentar para la clase siguiente) Funciones de varias variables Derivadas parciales Optimización de funciones de dos variables. Optimización con restricciones: Multiplicadores de Lagrange Multiplicadores de Lagrange Integración indefinida Ejercicios después de clase prueba Ejercicios recomendados para repasar derivación 9.1: 7,9,15,17,21,25,29,
31,33,39,41,47. 9.2:11,19,21,27,37,
41,45,47,49,51,55,
63,69. 9.3:3,5,7,13,19,21,
25,29,31,35,41,51. 9.5:3,5,7,11,15,17,
21,25. . 9.5:23,25,29,35,39, 59,61. Ecuaciones diferenciales Taller 1 7.1:5,7,11,14,17,2
3,25,29. 7.1: 32, 38, 44, 48,50. Integración por sustitución. 7.2: 2,4,8,10,22,32,42,46,48,5
2,54,58. 7.3: 4,6,8,18,22,24,36,42,46,5
3,60,62,74. 7.4:2,6,12,16,24,28,30,32
,36,40,48,53,54. 7.5:2,8,12,16,20,24,30,36
. 7.6: 2, 4, 10, 12, 16,18. Integral indefinida y el teorema fundamental del cálculo. 7.1:33,35,39,41,43
,45. 7.2:1,5,11,17,27,3
3,35,37,41,45,47,5
3. Quiz 1 1‐7 7.3: 7,17,23,29,37,45,5
3,55,63,67,71. La integración a los negocios. La integración en las ciencias sociales y las ciencias naturales. 7.4:1,5,9,11,19,25,
29,31,35,39,45,49. 7.5: 3, 7, 11, 15, 21, 23, 27, 31,35. Integración por partes y tablas de integrales 7.6:1,3,7,11,15,17,
21,27. Aplicaciones de la integración definida 1‐10 17 Integración por partes y tablas de integrales Quiz 2 y retroalimentar Integrales impropias 8.1:2,6,10,14,20,32,40,46
,48,56,62. 20 Sumatorias y progresiones aritméticas 21 22 23 Revisión del taller 2 Parcial 2 Progresiones Geométricas (PG) Sistemas de ecuaciones y matrices 7.5:2,4,6,14,20,24. 7.1:2,4,6,14,16,18. Material de apoyo que está en el casillero de fotocopiado. 7.2:2,4,6,8,14,20,24, 26,28,30. 1.1:2, 6, 12, 18, 24, 26, T4. 1.2:2, 4,6a, 6d, T4. 18 19 24 25 26 27 28 29 30 Producto punto y multiplicación de matrices: Propiedades delas operaciones con matrices Solución de sistemas de ecuaciones lineales. La matriz inversa Cadenas de Markov Quiz 3 y retroalimentar Modelos económicos lineales 8.3: 2,4,14,20,28,32,34,40 1.3:6,8,16,22,28,32,34,T2
1.4:9,12,14,16,20,T7,T27. 1.6: 3,14,20a , 22b , 24,52.T11 1.7:4, 8, 12, 14, 19, T1, T4, 42. 2.5: 2,5, 10,12. 2.6: 2, 6,12. Integrales impropias Taller 2 Sumatorias y progresiones aritméticas Progresiones geométricas. 8.1:7,9,15,21,23,2
5,27,31,41,45,47,5
1,57. 8.3:5,9,13,15,17,2
1,27,31,33,35. Quiz 2 13‐17 7.1:3,5,7,11,19. 7.5:3,5,11,19. Sistemas de ecuaciones y matrices Producto punto y multiplicación de matrices: Propiedades de las operaciones con matrices. Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales 7.2:3,5,9,15,21, 23,25,27,31 1.1:23,25. 1.2: 3,7,9,T5,T7 13‐21 1.3:5,7,15,19,27,31
,33. 1.4:9, 13, 15, 19, T23, T32. Cadenas de Markov 1.6: 5,13,21a ,23,25,51.T12 1.7:5, 11, 17, 21, 25, T12. 2.5: 1, 5, 7, 11,13. Modelos económicos lineales Taller 3 Determinantes: definición y propiedades Desarrollo por cofactores 2.6: 1, 3,5. Determinantes: 3.1: 6, 8, 12, 16, 18, 20, 3.1:5, 11, 15, 17, definición y T8. 19, T5. propiedades 31 Desarrollo por 3.2: 4, 6, 10, 16,20. 3.2: 3, 5, 7,17. cofactores y regla de Cramer. 32 Revisión taller 3 Examen final. NOV 30 Notas: El material de apoyo 
Sesiones: 7.1, 7.2 y 7.5 del texto: Matemáticas aplicadas a la administración y economía. Arya‐
Larnerd‐Ibarra. Quinta edición .Pearson. Se encuentra en el siguiente enlace: http://www.icesi.edu.co/moodle/mod/folder/view.php?id=63493 
Capítulos 1,2 y 3: Texto Álgebra lineal. Octava edición. Bernard Kolman. Taller para revisar en la primera clase. (Trabajo de preparación previa a la primera clase. El estudiante debe desarrollar los ejercicios de la columna 1 antes de hacerlo con la columna 2) 1
Columna 1 9
⁄
8
Columna 2
⁄
6
14 ; Halle 1
2 3
; Halle 2
√
; Halle 6
3
6 ; Halle ln
; Halle √
; Halle 4 ; Halle 4
; Halle ⁄
5 ; Halle 5
; Halle ´´ 6
⁄
7
4
∙
Halle ln
5
3
⁄
7 ; Halle 2
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3 6 ⁄
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⁄
; Halle 9 2
9
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Halle 10
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