Práctico 2 1. Sea f : R → R. Las ecuaciones de la forma y = f( y x ), x

Práctico 2
1. Sea f : R → R. Las ecuaciones de la forma
y
0
y = f ( ),
x
x 6= 0
son llamadas homogéneas. Mostrar que el cambio de variable z = y/x transforma ecuaciones homgéneas
en ecuaciones de variables separables. Resolver:
i) y 2 dx + x(x − y)dy = 0.
ii) (x2 − 3y 2 )dx + 2yxdy = 0.
dy
iii) dx
= xy − xy .
2. Comprobar que las siguientes ecuaciones son homogéneas y resolverlas.
a) (x2 − 2y 2 )dx + xydy = 0.
b) x2 y 0 − 3xy − 2y 2 = 0.
c) x2 y 0 = 3(x2 + y 2 ) tan−1 xy + xy.
dy
d) x sin( xy ) dx
= y sin xy + x.
y
e) xy 0 = y + 2xe− x .
f) (x − y)dx − (x + y)dy = 0.
g) xy 0 = 2x + 3y.
h) xy 0 = (x2 + y 2 )1/2 .
i) x2 y 0 = y 2 + 2xy
0
3. Resolver y verificar (x2 y 2 − 1)y + 2xy 3 = 0 (Sugerencia: hacer el cambio de variable dependiente
y(x) = z α (x), donde el número real α se elegirá tal que la ecuación resultante sea homogénea).
4. Un caso es el de las ecuaciones diferenciales de la forma:
dy
ax + by + c
=f
dx
a1 x + b1 y + c1
(1)
Lo que impide ver a esta ecuación como una ecuación diferencial homogénea es la presencia de términos
independientes: c, c1 . El siguiente procedimiento permite convertir la ecuación (??) en una ecuación
homogénea.
Si consideramos las rectas
ax + by + c = 0
a1 x + b1 y + c1 = 0
(2)
podemos distinguir dos casos:
(a) Las rectas se cortan en el punto (x0 , y0 ) - esto ocurre cuando ab1 − a1 b 6= 0.
En este caso, si trasladamos el origen de coordenadas a ese punto, las rectas (??) se convierten en
rectas que pasan por el origen del nuevo sistema de coordenadas (los términos independientes pasan
a ser 0). Esto sugiere realizar el cambio de variables
X = x − x0
Y = y − y0
(b) Las rectas son paralelas,
En este caso se tiene
con lo cual
a1
b1
=
=λ
a
b
ax + by + c
ax + by + c
f
=f
= g(ax + by)
a1 x + b1 y + c1
λ(ax + by) + c1
que se convierte en una ecuación a variables separables haciendo el cambio de variables: u = ax + by.
¿Qué ocurre si b = 0?
1
Resolver:
0
i) (2x + 4y + 3)y = 2y + x + 1.
0
ii) (3y − 7x + 3)y = 3y − 7x + 7.
iii) (x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0.
Estos ejemplos y definiciones han sido tomados del libro Ecuaciones Diferenciales Aplicadas, de
Djairo Guedes de Figueiredo y Aloisio Freiria Neves.
Se llaman ecuaciones exactas a las de la forma
N (x, y)dy + M (x, y)dx = 0
(1)
Donde M, N : Ω → R son funciones defnidas en un abierto conexo del plano (xy) que derivan de un
potencial V (x, y), esto es, M = Vx , N = Vy , donde Vx , Vy son las derivadas parciales de V respecto
de x e y respectivamente. De este modo, la ecuación (1) puede escribirse como
Vy (x, y)dy + Vx (x, y)dx = 0
(2)
Por lo tanto, si y(x) es solución de (2), aplicando la regla de la cadena obtenemos:
d
V (x, y(x)) = 0
dx
(3)
Por lo que y(x) también será solución de la ecuación algebraica
V (x, y(x)) = c
(4)
Donde la constante c puede hallarse si conocemos una condición inicial (x0 , y0 ). ¿ Cómo saber si una
ecuación del tipo (1) es exacta?. Puede probarse que si la región es abierta y simplemente conexa (”sin
agujeros”), una condición necesaria y sufciente para que M, N (de clase C 1 ) deriven de un potencial
es My = Nx . Ilustraremos con un ejemplo como hallar el potencial V . Ejemplo Sea la ecuación
(x2 + 4y)dy + (2xy + 1)dx = 0
(5)
(Aquı́, N (x, y) = x2 + 4y, M (x, y) = 2xy + 1. Como My = Nx , la ecuación es exacta. Hallaremos el
potencial V del cual derivan M y N . Como M = Vx , si integramos M respecto a x, obtendremos V :
Z
V (x, y) = (2x + 1)dx + g(y) = x2 y + x + g(y)
Donde la función g(y) es la constante de integración respecto de x. Como además sabemos que
0
Vy (x, y) = N (x, y) = x2 + 4y, llegamos a que g (y) = 4y, de donde g(y) = 2y2 + k. Entonces
V (x, y) = x2 y + x + 2y 2 + k.
Por tanto, las soluciones de (5) satisfacen x2 y + x + 2y 2 = c donde c es una constante arbitraria.
5. Determinar cuáles de las ecuaciones siguientes son exactas y resolver aquellas que lo sean.
a)
2
y dy + ydx = 0
x3 )dx + (x + y 3 )dy
x+
b) (1 + y)dx + (1 − x)dy = 0
c) (y −
=0
d) (sin x sin y − xey )dy = (ey + cos x cos y)dx
y
x
e) dx = 1−x2 y2 dx + 1−x2 y2 dy
f ) 2x(1 + (x2 − y)1/2 )dx = (x2 − y)1/2 dy
ydy
xdx
g) (x log y + xy)dx + (y log x + xy)dy = 0 h) (x2 +y
2 )3/2 + (x2 +y 2 )3/2 = 0
3
i) 3x2 (1 + log y)dx + xy − 2y dy = 0
6. Hallar el valor de n para el cual cada una de las ecuaciones siguientes es exacta y resolverlas para ese
valor de n.
a) (xy 2 + nx2 y)dx + (x3 + x2 y)dy = 0.
b) (x + ye2xy )dx + nxe2xy dy = 0.
2