TEMA 5 Integrales 2008

PROBLEMAS RESUELTOS
SELECTIVIDAD ANDALUCÍA
2008
MATEMÁTICAS II
TEMA 5: INTEGRALES

Junio, Ejercicio 2, Opción A

Junio, Ejercicio 2, Opción B

Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B

Reserva 1, Ejercicio 2, Opción A

Reserva 1, Ejercicio 2, Opción B

Reserva 2, Ejercicio 2, Opción A

Reserva 2, Ejercicio 2, Opción B

Reserva 3, Ejercicio 1, Opción B

Reserva 3, Ejercicio 2, Opción A

Reserva 3, Ejercicio 2, Opción B

Reserva 4, Ejercicio 2, Opción A

Reserva 4, Ejercicio 2, Opción B

Septiembre, Ejercicio 2, Opción A

Septiembre, Ejercicio 2, Opción B
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−1
dx
− 2 ( x − x )( x − 1)
MATEMÁTICAS II. 2008. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN A
Calcula
∫
2
R E S O L U C I Ó N
Las raíces del denominador son: x = 0 ; x = 1 ; x = 1
Descomponemos en fracciones simples:
A ( x − 1) 2 + Bx( x − 1) + Cx
A
B
C
1
= +
+
=
x ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x − 1) x x − 1 ( x − 1) 2
x ( x − 1) 2
Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A, B y C
sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores
x = 0 ⇒1= A
x =1⇒1= C
x = 2 ⇒ 1 = A + 2 B + C ⇒ B = −1
Con lo cual:
∫
−1
−2
dx
=
2
( x − x )( x − 1)
∫
−1
−2
1
dx +
x
∫
−1
−2
−1
dx +
x −1
∫
−1
−2
1
1 

dx = ln x − ln( x − 1) −
2
x − 1 
( x − 1)

−1
= ln
−2
3 1
+
4 6
Sea f : » → » la función dada por f ( x ) = e − 2 x
a) Justifica que la recta de ecuación y = −2ex es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de
1
abscisa x = − .
2
b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de ordenadas y la recta tangente del
apartado anterior.
MATEMÁTICAS II. 2008. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN B
R E S O L U C I Ó N
a) La recta tangente en x = −
1
1
 1
 1 
es y − f  −  = f '  −  ⋅  x + 
2
2
 2
 2 
 1
f −  = e
 2
 1
f '( x) = − 2 e − 2 x ⇒ f '  −  = − 2e
 2
1

Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y − e = − 2e ⋅  x +  ⇒ y = − 2ex
2

b) Hacemos el dibujo
∫
0
1
−
2
(e
− 2x
 e − 2x

+ 2ex ) dx =  −
+ ex 2 
 2

0
−
1
2
 1  e e e 1
= −  −− +  = − u 2
 2  2 4 4 2
Sea f : » → » la función definida por f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d
Se sabe que tiene un máximo local en x = 1 , que el punto (0,1) es un punto de inflexión de su
1
9
gráfica y que
f ( x ) dx = .Calcula a, b, c y d.
4
0
MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.
∫
R E S O L U C I Ó N
Calculamos la primera y segunda derivada de la función.
f '( x) = 3ax 2 + 2bx + c ; f ''( x) = 6ax + 2b
Vamos aplicando las condiciones del problema.
- Máximo en x = 1 ⇒ f '(1) = 0 ⇒ 3a + 2b + c = 0
 Pasa por (0,1) ⇒ d = 1
- Punto de inflexión en (0,1) ⇒ 
 f ''(0) = 0 ⇒ b = 0
-
∫
1
0
9
f ( x) dx = ⇒
4
∫
1
1
 ax 4 3ax 2

a 3a
9
(ax − 3ax + 1) dx = 
−
+ x = − +1 =
2
4
 4
0 4 2
3
0
Resolviendo el sistema formado por estas ecuaciones sale: a = − 1 ; b = 0 ; c = 3 ; d = 1
Sea
Dadas las funciones f : [ 0, + ∞ ) → » y g : [ 0, + ∞ ) → » definidas por
f ( x ) = x y g( x ) = 3 x
calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.
MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 1. EJERCICIO 2.OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
Calculamos los puntos de corte de dichas funciones
x=
3
x ⇒ x 3 = x 2 ⇒ x 2 ( x − 1) = 0 ⇒ x = 0 ; x = 1
1
A=∫
1
0
(
3
x−
3 
 4
x3 x2 
3 2 1 2
x dx =  −  = − =
u
4
3
4
3
12


2 0
 3
)
Sea g : (0, + ∞ ) → » la función dada por g ( x ) = ln x (ln x denota logaritmo neperiano).
1
a) Justifica que la recta de ecuación y = x es la recta tangente a la gráfica de g en el punto de
e
abscisa x = e .
b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g, el eje de abscisas y la recta tangente
del apartado anterior.
MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 1. EJERCICIO 2.OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a) La recta tangente en x = e es y − g (e) = g '(e) ⋅ ( x − e)
g (e) = Ln e = 1
1
1
g '( x) = ⇒ g '(e) =
x
e
1
1
Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y − 1 = ⋅ ( x − e) ⇒ y = x
e
e
b) El área de la región pedida es:
1 
A =  x  dx −
0e 
∫
e
∫
e
x2 
e
e
( ln x ) dx =   − [ x ln x − x ] 1 = − 1u 2
2
1
 2e  0
e
Sea f : » → » y g : » → » las funciones definidas mediante
Sean
f ( x ) = x 3 − 4 x y g( x ) = 3 x − 6
a) Determina los puntos de corte de las gráficas de f y g.
b) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.
MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 2. EJERCICIO 2.OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos los puntos de corte de dichas funciones
x 3 − 4 x = 3x − 6 ⇒ x 3 − 7 x + 6 = 0 ⇒ x = 2 ; x = 1 ; x = − 3
b)
1
2
 x 4 7x 2

 x 4 7x 2

131 2
A = ∫ ( x − 7 x + 6 ) dx + ∫ ( − x + 7 x − 6 ) dx =  −
u
+ 6 x  + − +
− 6x =
−3
1
2
2
4
4
 −3  4
1
1
3
2
3
Calcula
∫
1
x ln( x + 1) dx .
0
MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 2. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
Vamos a calcular la integral I =
u = ln ( x + 1); du =
dv = x dx ; v =
I =
∫
∫ x ⋅ ln( x + 1) dx , que es una integral por partes.
1
dx
x +1
x2
2
x ⋅ ln ( x + 1) dx =

x2
x2
x2
1
1  x2
⋅ ln ( x + 1) −
dx =
⋅ ln ( x + 1) −  − x − ln( x + 1)  + C
2
2 ( x + 1)
2
2 2

∫
Por lo tanto, la integral que nos piden es:
∫
1
 x2
x 2 x ln ( x + 1) 
1
x ln( x + 1) dx =  ln ( x + 1) −
+ −
=

4 2
2
0
2
0 4
1
 x x si x ≤ 2
Sea f : » → » la función definida por: f ( x ) = 
 6 − x si x > 2
a) Esboza la gráfica de f.
b) Estudia la derivabilidad de f.
c) Calcula el área comprendida entre la gráfica de f y el eje de abscisas.
MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
− x 2 si x < 0
 x x si x ≤ 2  2
=  x si 0 ≤ x ≤ 2
a) Lo primero que hacemos es abrir la función. f ( x) = 
6 − x si x > 2 
6 − x si x > 2

b) Por el dibujo vemos que la función es continua en x = 0 y en x = 2 . Vamos a estudiar la
derivabilidad en esos dos puntos.
− 2 x si x < 0

f '( x) =  2 x si 0 < x < 2
 − 1 si x > 2

f '(0 − ) = 0 
−
+
 ⇒ f '(0 ) = f '(0 ) = 0 ⇒ Derivable en x = 0 .
+
f '(0 ) = 0 
f '(2 − ) = 4 
−
+
 ⇒ f '(2 ) ≠ f '(2 ) = 0 ⇒ No derivable en x = 2 .
+
f '(2 ) = − 1 
c) Ahora, calculamos la integral que nos piden:
A=
∫
2
x dx +
2
0
∫
6
2
2
6
 x3 

x2 
8
32 2
(6 − x) dx =   + 6 x −  = + (36 − 18) − (12 − 2) =
u
2 2 3
3
30 
Sea f : » → » y g : » → » las funciones dadas por
Sean
f ( x ) = x 2 y g( x ) = a (con a > 0 )
Se sabe que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f y g es
4
. Calcula el
3
valor de la constante a.
MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 3. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
Calculamos los puntos de corte de dichas funciones
x=
3
x ⇒ x 3 = x 2 ⇒ x 2 ( x − 1) = 0 ⇒ x = 0 ; x = 1
1
3 
 4
3
2 
1

3 2 1 2
x
x
A = ∫ 3 x − x dx =  −  = − =
u
0
4
3
4 3 12


2 0
 3
Como a > 0 , la gráfica de g ( x) = a es un recta paralela al eje OX y por encima de él. La gráfica de
f ( x) es una parábola con vértice en (0,0) y ramas hacia arriba.
4
Como el área encerrada por el recinto es , y sabemos que la recta g ( x) = a es mayor que cero,
3
tenemos que
(
A=
∫
)

x3 
( a − x ) dx = ax − 3 
a

−
a
a
2
−
= 2a a − 2
a

( a)3  
( a)3 
= a a −
 −  −a a +
=

3  
3 

( a)3 4
= ⇒ 4a a = 4 ⇒ a 3 = 1 ⇒ a = 1
3
3
Calcula
∫
e
x 2 ln x dx .
1
MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 3. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
∫x
Vamos a calcular la integral I =
2
⋅ ln x dx , que es una integral por partes.
1
dx
x
x3
dv = x 2 dx ; v =
3
u = ln x ; du =
I =
∫
x3
1
x ⋅ ln x dx =
⋅ ln x −
3
3
2
∫
x3
x3
1
dx =
⋅ ln x − x 3 + C
x
3
9
Por lo tanto, la integral que nos piden es:
∫
e
e
 x3
x3 
2e 3 + 1
x ln x dx =  ln x −  =
9 1
9
3
2
1
Sea
 π
Considera las funciones f :  0,  → » y g : (0, + ∞ ) → » definidas por
 2
sen x
y g ( x ) = x 3 ln x
f ( x) =
3
cos x
π
a) Halla la primitiva de f que tima el valor 1 cuando x = .
3
(Se puede hacer el cambio de variable t = cos x ).
b) Calcula
∫ g( x ) dx
MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 4. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) t = cos x ⇒ dt = − sen x dx
F ( x) =
∫
sen x
dt
t −2
1
1
−3
dx = − 3 = − t dt =
= 2 =
+C
3
cos x
2
2t
2 cos 2 x
t
∫
∫
1
1
π
F   =1⇒1=
+ C ⇒ 1 = + C ⇒ C = −1
1
π
3
2 cos 2
3
2
Luego, F ( x) =
1
−1
2 cos 2 x
b)
∫
1
dx
x
x4
dv = x 3 dx ; v =
4
u = ln x ; du =
x 3 ⋅ ln x dx =
x 4 ⋅ ln x
x4
x 4 ⋅ ln x x 4
−
dx =
−
+C
4
4x
4
16
∫
Sea g : » → » la función dada por g ( x ) =
1 3
x − x2 + x.
4
a) Esboza la gráfica de g.
b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g en el punto de abscisa x = 2 .
b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g y el eje de abscisas.
MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 4. EJERCICIO 2.OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a)
b) La recta tangente en x = 2 es y − g (2) = g '(2) ⋅ ( x − 2)
g (2) = 0
g '( x) =
3x 2
− 2 x + 1 ⇒ g '(2) = 0
4
Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y − 0 = 0 ⋅ ( x − 2) ⇒ y = 0
c)
2
 x4 x3 x2 
1
1

A =  x 3 − x 2 + x  dx =  − +  = u 2
2 0 3
04

 16 3
∫
2
Sea
Dada la función g : » → » definida por g ( x ) = 2 x + x 2 − 1 .
a) Esboza la gráfica de g.
c) Calcula
∫
2
g ( x ) dx .
0
MATEMÁTICAS II. 2008. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
 x 2 + 2 x − 1 si x < − 1

a) Lo primero que hacemos es abrir la función. g ( x) = 2 x + x 2 − 1 = − x 2 + 2 x + 1 si −1 ≤ x ≤ 1
 x 2 + 2 x − 1 si x > 1

b)
∫
2
0
g ( x) dx =
∫
1
(− x + 2 x + 1) dx +
2
0
∫
2
1
1
2
 x3

 x3

( x + 2 x − 1) dx =  − + x 2 + x  +  + x 2 − x  = 6
 3
0  3
1
2
Sean f : » → » y g : » → » las funciones definidas por
f ( x ) = x 2 − 1 , g( x ) = 2 x + 2
a) Esboza las gráficas de f y g.
b) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.
MATEMÁTICAS II. 2008. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a)
b) El área pedida es:
3
 x3

32 2
A=
(2 x + 2 − x + 1) dx = (− x + 2 x + 3) dx =  − + x 2 + 3 x  =
u
−1
−1
 3
 −1 3
∫
3
2
∫
3
2