2008 - EMESTRADA, exámenes de selectividad de Andalucía

PROBLEMAS RESUELTOS
SELECTIVIDAD ANDALUCÍA
2008
MATEMÁTICAS II
TEMA 5: INTEGRALES

Junio, Ejercicio 2, Opción A

Junio, Ejercicio 2, Opción B

Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B

Reserva 1, Ejercicio 2, Opción A

Reserva 1, Ejercicio 2, Opción B

Reserva 2, Ejercicio 2, Opción A

Reserva 2, Ejercicio 2, Opción B

Reserva 3, Ejercicio 1, Opción B

Reserva 3, Ejercicio 2, Opción A

Reserva 3, Ejercicio 2, Opción B

Reserva 4, Ejercicio 2, Opción A

Reserva 4, Ejercicio 2, Opción B

Septiembre, Ejercicio 2, Opción A

Septiembre, Ejercicio 2, Opción B
www.emestrada.net

1
dx
 2 ( x  x )( x  1)
MATEMÁTICAS II. 2008. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN A
Calcula
2
R E S O L U C I Ó N
Las raíces del denominador son: x  0 ; x  1 ; x  1
Descomponemos en fracciones simples:
A ( x  1) 2  Bx( x  1)  Cx
1
A
B
C
 


x  ( x  1)  ( x  1) x x  1 ( x  1) 2
x ( x  1) 2
Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A, B y C
sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores
x  0 1  A
x  11  C
x  2  1  A  2B  C  B  1
Con lo cual:

1
2
dx

2
( x  x)( x  1)

1
2
1
dx 
x

1
2
1
dx 
x 1

1
2
1
1 

dx  ln x  ln( x  1) 
2
x  1 
( x  1)

1
 ln
2
3 1

4 6
www.emestrada.net
Sea f :  la función dada por f ( x )  e  2 x
a) Justifica que la recta de ecuación y  2ex es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de
1
abscisa x   .
2
b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de ordenadas y la recta tangente del
apartado anterior.
MATEMÁTICAS II. 2008. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN B
R E S O L U C I Ó N
a) La recta tangente en x  
1
1
 1
 1 
es y  f     f '      x  
2
2
 2
 2 
 1
f    e
 2
 1
f '( x )   2 e  2 x  f '      2e
 2
1

Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y  e   2e   x    y   2ex
2

b) Hacemos el dibujo

0
1

2
e
 2x
 e  2x

 2ex  dx   
 ex 2 
 2

0

1
2
 1  e e e 1
         u 2
 2  2 4 4 2
www.emestrada.net
Sea f :  la función definida por f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d
Se sabe que tiene un máximo local en x  1 , que el punto (0,1) es un punto de inflexión de su
1
9
f ( x ) dx  .Calcula a, b, c y d.
gráfica y que
4
0
MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.

R E S O L U C I Ó N
Calculamos la primera y segunda derivada de la función.
f '( x)  3ax 2  2bx  c ; f ''( x)  6ax  2b
Vamos aplicando las condiciones del problema.
- Máximo en x  1  f '(1)  0  3a  2b  c  0
 Pasa por (0,1)  d  1
- Punto de inflexión en (0,1)  
 f ''(0)  0  b  0
-

1
0
9
f ( x) dx  
4

1
1
 ax 4 3ax 2

a 3a
9
(ax  3ax  1) dx  

 x   1 
2
4
 4
0 4 2
3
0
Resolviendo el sistema formado por estas ecuaciones sale: a  1 ; b  0 ; c  3 ; d  1
www.emestrada.net
Sea
Dadas las funciones f :  0,    
y g :  0,    
definidas por
f ( x )  x y g( x )  3 x
calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.
MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 1. EJERCICIO 2.OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
Calculamos los puntos de corte de dichas funciones
x  3 x  x 3  x 2  x 2 ( x  1)  0  x  0 ; x  1
1
A
1
0

3
x
3 
 4
x3 x2 
3 2 1 2
x dx       
u
4
3
4
3
12


2 0
 3

www.emestrada.net
Sea g : (0,   ) 
la función dada por g( x )  ln x (ln x denota logaritmo neperiano).
1
a) Justifica que la recta de ecuación y  x es la recta tangente a la gráfica de g en el punto de
e
abscisa x  e .
b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g, el eje de abscisas y la recta tangente
del apartado anterior.
MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 1. EJERCICIO 2.OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a) La recta tangente en x  e es y  g (e)  g '(e)  ( x  e)
g (e)  Ln e  1
1
1
g '( x)   g '(e) 
x
e
1
1
Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y  1   ( x  e)  y  x
e
e
b) El área de la región pedida es:
1 
A   x  dx 
0e 

e

e
x2 
e
e
 ln x  dx      x ln x  x 1   1u 2
2
1
 2e  0
e
www.emestrada.net
Sea f :
Sean

y g:

las funciones definidas mediante
f ( x )  x 3  4 x y g( x )  3 x  6
a) Determina los puntos de corte de las gráficas de f y g.
b) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.
MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 2. EJERCICIO 2.OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) Calculamos los puntos de corte de dichas funciones
x 3  4 x  3x  6  x 3  7 x  6  0  x  2 ; x  1 ; x   3
b)
1
2
 x 4 7x 2

 x 4 7x 2

131 2
A    x  7 x  6  dx     x  7 x  6  dx   
 6 x    
 6x 
u
3
1
2
2
4
4
 3  4
1
1
3
2
3
www.emestrada.net
Calcula

1
x ln( x  1) dx .
0
MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 2. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N

Vamos a calcular la integral I  x  ln( x  1) dx , que es una integral por partes.
u  ln ( x  1); du 
1
dx
x 1
x2
dv  x dx ; v 
2

I  x  ln ( x  1) dx 

x2
1
x2
x2
1  x2
 ln ( x  1) 
dx 
 ln ( x  1)    x  ln( x  1)   C
2
2 ( x  1)
2
2 2


Por lo tanto, la integral que nos piden es:

1
x2
x 2 x ln ( x  1) 
1
x ln( x  1) dx   ln ( x  1)   


4 2
2
0
2
0 4
1
www.emestrada.net
 x x si x  2
la función definida por: f ( x )  
 6  x si x  2
a) Esboza la gráfica de f.
b) Estudia la derivabilidad de f.
c) Calcula el área comprendida entre la gráfica de f y el eje de abscisas.
MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.
Sea f :

R E S O L U C I Ó N
 x 2 si x  0
 x x si x  2  2
a) Lo primero que hacemos es abrir la función. f ( x)  
  x si 0  x  2
6  x si x  2 
6  x si x  2

b) Por el dibujo vemos que la función es continua en x  0 y en x  2 . Vamos a estudiar la
derivabilidad en esos dos puntos.
 2 x si x  0

f '( x)   2 x si 0  x  2
 1 si x  2

f '(0  )  0 



  f '(0 )  f '(0 )  0  Derivable en x  0 .

f '(0 )  0 


f '(2 )  4 



  f '(2 )  f '(2 )  0  No derivable en x  2 .

f '(2 )  1 

c) Ahora, calculamos la integral que nos piden:
A

2
x dx 
2
0

6
2
2
6
 x3 

x2 
8
32 2
(6  x) dx     6 x     (36  18)  (12  2) 
u
2 2 3
3
30 
www.emestrada.net
Sea f :
Sean

y g:

las funciones dadas por
f ( x )  x 2 y g( x )  a
(con a  0 )
Se sabe que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f y g es
4
. Calcula el
3
valor de la constante a.
MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 3. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
Como a  0 , la gráfica de g ( x )  a es un recta paralela al eje OX y por encima de él. La gráfica de
f ( x ) es una parábola con vértice en (0,0) y ramas hacia arriba.
4
Como el área encerrada por el recinto es , y sabemos que la recta g ( x )  a es mayor que cero,
3
tenemos que
A


x3 
 a  x  dx  ax  3 
a


a
a
2

 2a a  2
a

( a)3  
( a)3 
 a a 
   a a 


3  
3 

( a)3 4
  4a a  4  a 3  1  a  1
3
3
www.emestrada.net
Calcula

e
x 2 ln x dx .
1
MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 3. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N

Vamos a calcular la integral I  x 2  ln x dx , que es una integral por partes.
1
dx
x
x3
dv  x 2 dx ; v 
3
u  ln x ; du 

I  x 2  ln x dx 
x3
1
 ln x 
3
3

x3
x3
1
dx   ln x  x 3  C
x
3
9
Por lo tanto, la integral que nos piden es:

e
e
 x3
x3 
2e 3  1
x ln x dx   ln x   
9 1
9
3
2
1
www.emestrada.net
Sea
 
Considera las funciones f :  0,  
 2
y g : (0,   ) 
f ( x) 
sen x
cos 3 x
y g( x )  x 3 ln x
a) Halla la primitiva de f que tima el valor 1 cuando x 
(Se puede hacer el cambio de variable t  cos x ).
b) Calcula

definidas por

.
3
g( x ) dx
MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 4. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
a) t  cos x  dt   sen x dx
F ( x) 

sen x
dt
t 2
1
1
3
dx   3   t dt 
 2 
C
3
cos x
t
2
2t
2 cos 2 x


1
1

F   11 
 C  1   C  C  1

1
3
2cos 2
3
2
Luego, F ( x) 
1
1
2 cos 2 x
b)

x 3  ln x dx 
x 4  ln x
x4
x 4  ln x x 4

dx 

C
4
4x
4
16

1
dx
x
x4
dv  x 3dx ; v 
4
u  ln x ; du 
www.emestrada.net
Sea g :

la función dada por g( x ) 
1 3
x  x2  x.
4
a) Esboza la gráfica de g.
b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g en el punto de abscisa x  2 .
b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g y el eje de abscisas.
MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 4. EJERCICIO 2.OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a)
b) La recta tangente en x  2 es y  g (2)  g '(2)  ( x  2)
g (2)  0
g '( x) 
3x 2
 2 x  1  g '(2)  0
4
Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y  0  0  ( x  2)  y  0
c)
2
 x4 x3 x2 
1
1

A   x 3  x 2  x  dx       u 2
2 0 3
04

 16 3

2
www.emestrada.net
Sea
Dada la función g :

definida por g( x )  2 x  x 2  1 .
a) Esboza la gráfica de g.
c) Calcula

2
g( x ) dx .
0
MATEMÁTICAS II. 2008. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.
R E S O L U C I Ó N
 x 2  2 x  1 si x  1

a) Lo primero que hacemos es abrir la función. g ( x)  2 x  x 2  1   x 2  2 x  1 si 1  x  1
 x 2  2 x  1 si x  1

b)

2
0
g ( x) dx 

1
( x  2 x  1) dx 
2
0

2
1
2
 x3

 x3

( x  2 x  1) dx    x 2  x     x 2  x   6
 3
0  3
1
2
1
www.emestrada.net
Sean f :

y g:

las funciones definidas por
f ( x )  x 2  1 , g( x )  2 x  2
a) Esboza las gráficas de f y g.
b) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.
MATEMÁTICAS II. 2008. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.
R E S O L U C I Ó N
a)
b) El área pedida es:
3
 x3

32 2
A
(2 x  2  x  1) dx  ( x  2 x  3) dx    x 2  3x  
u
1
1
 3
 1 3

3
2

3
2
www.emestrada.net