Pauta Control N 1 - Universidad de Santiago de Chile

Universidad De Santiago De Chile
Algebra 1
Prof: E. Rivera - R. Vargas
1er semestre 2012
Pauta Control N◦ 1
1. Considere el polinomio p(x) ∈ R[x] definido por p(x) = x4 + λx3 − 2λx + 4 donde λ ∈ R. Se pide:
a) Evaluar el polinomio en los valores {−1, 0, 1}.
b) Determine el valor de λ ∈ R, sabiendo que el polinomio q(x) = x + 2 divide a p(x).
c) Determine el conjunto S = {x ∈ R | p(x) = 0}.
Solución.
a) Tenemos que
p(−1) = (−1)4 + λ · (−1)3 − 2λ · (−1) + 4 = 5 + λ
p(0) = 04 + λ · 03 − 2λ · 0 + 4 = 4
p(1) = 14 + λ · 13 − 2λ · 1 + 4 = 5 − λ
b) Aplicando el Teorema del Resto tenemos
p(−2) = 0 ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
(−2)4 + λ · (−2)3 − 2λ · (−2) + 4 = 0
16 − 8λ + 4λ + 4 = 0
20 − 4λ = 0
λ=5
Entonces
p(x) = x4 + 5x3 − 10x + 4
c) De lo anterior, claramente x = −2 es solución de la ecuación pedida. Por otro lado notemos
que si λ = 5, entonces del item a) p(1) = 0, luego x = 1 es también solución de la ecuación.
Realizando división sintética
Potencias →
Coeficientes →
−2
Coeficientes del cociente
Potencias del cociente
x4
4
1
x3
Potencias →
Coeficientes →
1
Coeficientes del cociente
Potencias del cociente
x3
5
−2
3
x2
x3
1
1
x2
x2
0
−6
−6
x
x2
3
1
4
x
x
n◦
−10
4
12
−4
2
0
◦
n
resto
x
n◦
−6
2
4
−2
−2
0
◦
n
resto
Ası́
p(x) = x4 + 5x3 − 10x + 4 = (x + 2)(x − 1)(x2 + 4x − 2) = 0
Finalmente nos falta determinar las raı́ces de la ecuación cuadrática
p
−4 ± 16 − 4 · 1 · (−2)
2
x + 4x − 2 = 0 ⇐⇒ x =
2
√
√
⇐⇒ x = −2 − 6 ∨ x = −2 + 6
√
√
∴ S = {−2, 1, −2 − 6, −2 + 6}
2. Si la proposición
{∼ [(p ∧ r) ⇒ (p ∧ q)]} ∨ {(q∧ ∼ r) ∧ (p ⇔ q)}
(1)
es verdadera, determine el valor de verdad de la siguiente proposición:
p ∧ (q ∨ r) .
(2)
Solución. Si la proposición en (1) es verdadera entonces existen dos casos:
Caso 1. ∼ [(p ∧ r) ⇒ (p ∧ q)] es verdadera.
Si ∼ [(p ∧ r) ⇒ (p ∧ q)] es verdadera entonces [(p ∧ r) ⇒ (p ∧ q)] es falsa y la única manera
que una implicación sea falsa es que (p ∧ r) sea verdadera y (p ∧ q) sea falsa. Como (p ∧ r) es
verdadera entonces p es verdadera y r es verdadera. Finalmente por ser p verdadera y (p ∧ q) falsa
implica que q es falsa. Entonces, el valor de verdad de (2) en este caso es
p ∧ (q ∨ r) ⇔ V ∧ (F ∨ V ) ⇔ V ∧ V ⇔ V .
Caso 2. {(q∧ ∼ r) ∧ (p ⇔ q)} es verdadera.
Si {(q∧ ∼ r) ∧ (p ⇔ q)} es verdadera entonces (q∧ ∼ r) es verdadera y (p ⇔ q) es verdadera. Como (q∧ ∼ r) es verdadera entonces q es verdadera y ∼ r es verdadera, esto es, r es falsa.
Por ser p ⇔ q verdadera y q verdadera implica que p es verdadera. Entonces, el valor de verdad
de (2) en este caso es:
p ∧ (q ∨ r) ⇔ V ∧ (V ∨ F ) ⇔ V ∧ V ⇔ V .
Por lo tanto, de los casos 1 y 2 se sigue que la proposición en (2) es verdadera.