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Fisher: la primera síntesis
Introducción:
Para hablar de historia de lo que hoy llamamos Genética de Poblaciones es preciso partir
cuando menos de la segunda mitad del siglo XIX, pues es en esta época cuando aparecen
dos trabajos fundamentales para el ulterior desarrollo de la Biología y de la ciencia en
general. Se trata de la publicación, en 1859, del libro ''El Origen de las Especies...'' por
Charles Darwin, y la presentación del reporte ''Experimentos de Hibridación en Plantas'' por
Gregor Mendel en el año de 1865, ante la Sociedad para el Estudio de las Ciencias
Naturales de Brün, Austria (hoy Brno, República Checa).
La ciencia biológica anterior a la segunda mitad del siglo XIX estuvo enfocada
principalmente hacia introducir cierto orden en la clasificación de plantas y animales; había
muy poca teoría cuantitativa y muy poca especulación cualitativa sobre las causas de la
enorme variabilidad observada de formas y especies: es por esta razón que, aunque pueda
perfectamente trazarse la historia del estudio de la Genética y de los conceptos estadísticos
y matemáticos en la Biología con mucha anterioridad a las dos fechas mencionadas arriba,
pueda abordarse con legitimidad -para el objetivo de este ensayo- la historia de la Genética
Matemática a partir de estos dos fundamentales y exitosos intentos de aplicación de los
conceptos matemáticos en la teoría biológica.
En efecto, las leyes de la herencia, tal y como fueron enunciadas por Mendel, constituyen el
prototipo de teoría cuantitativa en Biología; el experimento mismo y el reporte final son
ejemplos sorprendentes de un magnífico diseño experimental y de una habilidad no común
en aquel tiempo para la inferencia estadística. Por otro lado, el trabajo de Charles Darwin,
meditado y preparado durante casi veinte años, ofrece un ejemplo de una experiencia
fascinante de observación, acopio de datos, síntesis, inferencia y especulación cualitativa
teórica sin igual hasta entonces en la historia de la Biología, a excepción, por supuesto, del
trabajo de Lyell en Geología y del trabajo paralelo de Wallace que llevó a éste a concebir,
independientemente de Darwin, a la selección natural. Es precisamente en la concepción
del fenómeno de la selección natural donde la especulación teórica se ve claramente
recompensada por la influencia del pensamiento matemático -o estadístico-, fundado en una
tradición filosófica contraria al vitalismo y al esencialismo: el ver a las especies o grupos de
seres vivos, no como formas o tipos únicos, sino como poblaciones cuyos miembros
presentan gran variabilidad, aunado al razonamiento lógico matemático, basado en la
observación de que los seres vivos se reproducen a tasas constantes, de modo tal que, en
condiciones ideales, las poblaciones crecerían explosivamente (exponencialmente, o
''geométricamente'', según las palabras de Malthus), lleva a Darwin a inferir correctamente como puede admirarse en el capítulo III de su libro- que la razón de que esto no suceda se
debe a una mortandad diferencial (o reproducción diferencial, en sentido positivo) debida a
la competencia por el alimento, la capacidad diferencial de huir del depredador, etc.,
aptitudes variables de individuo a individuo correlacionadas con la variabilidad de formas,
lo que implica que, en promedio, ''los más aptos sobrevivan''. Es claro entonces que
''selección natural'' es un concepto estadístico: las poblaciones de seres vivos se enfrentan a
la vida en un medio ambiente en el cual algunos tienen mayores probabilidades que otros
de dejar descendencia.
Mendel y el mendelismo
Desde un siglo antes de Mendel se habían hecho ya experimentos sobre hibridación en
plantas, destacando los trabajos de Koelreuter, quien explicaba las diferencias encontradas
entre las generaciones F1 y F2 en términos químicos, quizá influido por el mecanicismo
reduccionista de la época, motivado por el éxito de los métodos de Descartes y Newton;
llegó a demostrar un par de hechos importantes: que la hibridación no produce nuevas
especies y que las contribuciones genéticas de ambos progenitores -padre y madre- son
iguales, refutando así las afirmaciones de Linneo y sus seguidores, quienes suponían cosas
distintas a partir de resultados de cruzas que nunca llevaron más allá de las generaciones F1.
Otros dos investigadores anteriores a Mendel fueron Naudin y Gaertner, quienes
redescubrieron la segregación en la generación F2, consistente en los tres tipos: dos
parentales y un híbrido, pero no pusieron atención a las proporciones y vieron en sus
resultados sólo una reversión de los híbridos a las especies progenitoras. Quizá la
contribución más importante de Gaertner fue probar un gran número de especies,
mostrando que algunas eran más susceptibles que otras para la investigación genética, lo
que debió facilitar a Mendel el elegir a los famosos chícharos (Pisum sp.) para sus
experimentos, pues este género es excepcionalmente adecuado para estos propósitos. En
efecto, se sabe que Mendel poseía una copia del libro de Gaertner y que lo estudió
cuidadosamente, haciéndole posible no sólo seleccionar esmeradamente su material
experimental, sino también el plantearse las preguntas correctas que desembocarían en una
interpretación exitosa, completamente diferente, de los resultados.
Mendel realizó sus experimentos en un destartalado jardín de 40 m. de largo por unos 7 m.
de ancho que se hallaba junto a la biblioteca de su monasterio en Brün. Antes de
convertirse en monje había estudiado Filosofía en Olmütz y, ya en el monasterio, el prelado
le dio oportunidad no sólo de estudiar Botánica y hacer experimentos en el jardín, sino de ir
a Viena a estudiar Física, Matemáticas y Zoología en la Universidad. Estuvo allí casi dos
años bajo la tutela de eminentes físicos y zoólogos. Su profesor de Botánica, Franz Unger,
le enseñó no sólo Anatomía y Fisiología, sino que lo introdujo en los entonces modernos
campos de la Citología y la Embriología vegetales. Unger había adoptado la Teoría de la
Evolución y había expresado la opinión de que las variantes aparecen en las poblaciones
naturales y dan lugar a variedades y subespecies hasta que finalmente las más diferentes
alcanzan el nivel de especies distintas. Aparentemente, Mendel quiso probar la hipótesis de
Unger y tuvo que fijarse en variantes y variedades en vez de hacerlo en la ''esencia de la
especie'', como había sido hecho por sus predecesores.
Además de los resultados expresados en las leyes, una contribución fundamental de Mendel
fue su método, consistente en la contabilidad cuidadosa y sistemática de las clases
observadas y en el cálculo de las razones numéricas. Mendel tuvo una excelente educación
en Física y Matemáticas y llevó cursos en Viena con el famoso físico Doppler, sirviendo
incluso como ayudante en el Instituto de Física de la Universidad de Viena por un tiempo.
Así, debió aprender mucho de la Teoría de Probabilidades que se estudiaba en aquel
tiempo, sobre todo los modelos binomial, de Poisson y normal diseñados por los
matemáticos Bernoulli, Poisson y Gauss, quienes eran muy famosos en las principales
universidades alemanas; debió aprender también a llevar registros cuidadosos de sus
observaciones y a obtener generalizaciones numéricas. Mendel, en contraste con los
primeros hibridadores, se había construido una hipótesis de trabajo definida antes de
comenzar sus experimentos con Pisum; tal vez su primer modelo fue puramente
matemático y sólo después obtuvo razones numéricas definidas que fueron las que lo
llevaron a preguntarse qué factores dentro de los organismos podrían explicar la ocurrencia
tan precisa, definida y predecible de tales cocientes. Quizá fue entonces que propuso -y
probó una y otra vez- la hipótesis de que una planta produce dos clases de células huevo y
dos clases de polen para cada uno de sus caracteres.
En aquella pequeña parcela Mendel plantó cientos de plantas de chícharos de varios tipos:
de flores violetas y de flores blancas, altas y enanas, de semillas lisas y de semillas rugosas,
de color amarillo y de color verde, etc., y durante siete años realizó cientos de experimentos
de cruce. De entre los caracteres elegidos que cumplían con los requisitos elegidos por él
mismo (que fuesen caracteres diferenciantes constantes), elegiremos dos para seguir sus
experiencias y razonamientos: la textura del tegumento de la semilla, que podía ser liso o
rugoso, y el color del mismo, que podía ser amarillo o verde.
Cada par de los correspondientes caracteres diferenciantes mencionados fue unido por
fecundación cruzada; para la textura se hicieron 60 fecundaciones con 15 plantas; para el
color, 58 fecundaciones con 10 plantas: posteriormente observó que, de estos cruces, las
plantas hijas (F1) no eran de carácter intermedio, sino igual al de alguno de los
progenitores, siendo el carácter manifiesto siempre el mismo, al que por ello Mendel llamó
dominante, y recesivo al otro puesto que ''espera'' a manifestarse hasta la segunda
generación, como vio después. De los caracteres que aquí hemos elegido para mostrar el
razonamiento de Mendel, los dominantes eran: para la textura del tegumento, el liso; para el
color, el amarillo.
El reporte de Mendel procede a describir las cruzas de los híbridos entre sí, manteniendo
aislados a los grupos de cada carácter; apunta que los descendientes obtenidos de esta cruza
(generación F2 para nosotros) son de dos tipos: exactamente los de los individuos de las
estirpes parentales y que se hallan presentes en la proporción 3:1 ''en promedio'' (sus
palabras); esto es, 3/4 de los individuos poseen el carácter dominante y 1/4 el recesivo.
Inmediatamente subraya que ''no se observaron formas de transición en ningún
experimento''. Los resultados que registra (omitimos otros caracteres que no sean textura
del tegumento y color de la semilla) son los siguientes:
Experimento 1: Textura.- Se obtuvieron 7324 semillas de 253 híbridos; 5474 lisas y 1850
rugosas. Proporción: 2.96:1
Experimento 2: Color.- Se obtuvieron 8023 semillas de 258 híbridos; 6022 amarillas y 2001
verdes. Proporción: 3.01:1
Mendel hace notar que el carácter dominante ''puede tener doble significado: parental o
híbrido'' (homócigo o heterócigo, diremos nosotros), mientras que aquellas plantas con
carácter recesivo producen progenie constante con ese carácter en todas las generaciones
sucesivas. El siguiente experimento trata de confirmar que, de los dominantes, un tercio es
con carácter dominante constante (como en los recesivos) y los dos tercios restantes se
comportan como híbridos (dan progenie de dos tipos en la proporción 3:1) y apunta que
''aparece determinada con certeza la razón media de 2:1'' y que ''queda claro ahora que los
híbridos forman semillas que tienen uno u otro de los caracteres diferentes y que de éstos
una mitad se desarrolla de nuevo en forma híbrida, mientras que la otra mitad da plantas
que permanecen constantes y que reciben en igual cantidad los caracteres dominante o
recesivo''.
Mendel procede entonces a elaborar un modelo matemático representando con mayúsculas
a los caracteres dominantes y con minúsculas a los recesivos, conviene en que el símbolo
Aa se refiere a los híbridos y las letras solas A y a se refieren a los caracteres constantes y
postula que ''la expresión A + 2Aa + a representa los términos de la serie de la progenie de
los híbridos de dos caracteres diferenciantes...'' que se hallan en las proporciones 1:2:1.
Registra enseguida los experimentos sobre progenie de híbridos con varios caracteres
diferentes asociados y concluye que ''la progenie de los híbridos en los que hay combinados
caracteres esencialmente distintos presenta los términos de una serie de combinaciones en
las que están unidas las series evolutivas de cada par de caracteres diferentes'', haciendo ver
que en el mismo experimento se concluye que ''la relación de cada par de caracteres
diferentes de la unión híbrida es independiente de las otras diferencias de las dos razas
paternas originales'' y concluye esta parte del reporte diciendo que ''queda demostrado
prácticamente que los caracteres constantes que aparecen en las distintas variedades de un
grupo de plantas pueden obtenerse en todas las asociaciones que sean posibles según las
leyes [matemáticas] de combinación mediante fertilización artificial repetida...''.
Por último, en el capítulo final del reporte, redondea y da forma a su teoría postulando la
manera en que los caracteres se hallan presentes en las células germinales, llamando
''factores'' a los entes responsables (''genes'' para nosotros) y es capaz de predecir con
absoluta precisión los resultados de diversas cruzas en las que se hallan involucrados dos
caracteres. Siguiendo su nomenclatura (y con los caracteres que elegimos arriba) denota
como A - lisas, a - rugosas; B - amarillas, b - verdes, y realiza los siguientes experimentos
de fecundación:
1.- híbridos con polen de AB
2.- híbridos con polen de ab
3.- AB con polen de híbridos
4.- ab con polen de híbridos
y dice: ''Si la teoría fuese correcta, debería cumplirse en las células huevo y polen de los
híbridos la presencia de las formas AB, Ab, aB y ab y se combinarían:
1.- células huevo AB}, Ab}, aB y ab con polen AB
2.- células huevo AB, Ab, aB y ab con polen ab
3.- células huevo AB con polen AB, Ab, aB y ab
4.- células huevo ab con polen AB, Ab, aB y ab
y resultarían solamente las siguientes formas:
1.- AB, ABb, AaB, AaBb
2.- AaBb, Aab, aBb, ab
3.- como en 1
4.- como en 2''
y apunta, después de explicar su razonamiento: ''La cosecha colmó plenamente estas
esperanzas. Se obtuvo:
- En el primer experimento: 98 semillas exclusivamente lisas y amarillas
- En el segundo: 31 semillas lisas y amarillas, 26 lisas verdes, 27 rugosas y amarillas, 26
rugosas verdes
- En el tercero: 94 semillas exclusivamente lisas y amarillas
- En el cuarto: 24 semillas lisas y amarillas, 25 lisas verdes, 22 rugosas amarillas y 27
rugosas verdes.
...por tanto, queda confirmada experimentalmente la teoría de que los chícharos híbridos
forman células polen y huevo que, en su constitución, manifiestan en números iguales todas
las formas constantes que resultan de la combinación de los caracteres unidos por
fertilización.''
Es en ese momento cuando nace la primera teoría matemática en Biología: la Genética
Mendeliana.
El principal resultado de esta fascinante investigación fue el descubrimiento de que ciertos
caracteres paternos son transmitidos sin variación, ''sin atenuación ni fusión'' (Huxley, J.)
porque son transportados por cierta unidad distintiva o partícula. Desde un principio
Mendel pudo ver la necesidad de determinar ''el número de formas distintas bajo las que
aparecen los descendientes de los híbridos'', ''sus relaciones estadísticas'' y ''sus
proporciones numéricas''. Este énfasis en la definición precisa, cuantitativa, es lo que
distingue sus métodos y sus resultados, así como la correcta interpretación de aquéllos, de
todos sus predecesores y de los investigadores posteriores (antes de 1900) imbuidos todavía
por el pensamiento esencialista. Del trabajo se desprenden dos conclusiones fundamentales
(las ''leyes de Mendel''): En cada individuo los genes se encuentran formando pares, los
genes contenidos en esos pares, ya sean dominantes o recesivos, son entidades
independientes ''que emergen separadas y sin cambio en los gametos para cooperar en el
zigoto'' (primera ley); cuando las células sexuales maduran, los pares se disuelven y los
genes se separan unos de otros; esta separación da la oportunidad de que se combinen
caracteres diferentes porque los miembros de cada par de genes se separan
independientemente de los otros pares -durante la gametogénesis- y se mezclan y
distribuyen también independientemente de los otros pares al momento de la formación del
zigoto (segunda ley).
Así pues, ''sin ningún conocimiento de citología cromosómica, sin los análisis teóricos de
Weismann, y sin el beneficio de muchos otros descubrimientos seminales hechos entre
1865 y 1900, él [Mendel] descubrió una nueva manera de ver la herencia expresándola en
términos del comportamiento de caracteres unitarios y usó ese interés para llegar a
generalizaciones de largo alcance. Su éxito fue uno de los más brillantes en toda la historia
de la ciencia'', como resalta Mayr (1973) su admiración por el inspirado trabajo de Mendel;
sin embargo, este mismo autor apunta que la contribución más significativa de Mendel no
fue -contrariamente a lo que muchos biólogos suponen- el demostrar la realidad de una
teoría corpuscular o discreta de la herencia, sino su insistencia en que ''cada carácter está
representado en un zigoto por sólo dos factores, uno derivado del padre y el otro de la
madre'', lo que ''fue la idea que revolucionó la Genética'' (Mayr, 1973).
Esta pertinente aclaración de Mayr es importante pues, desde el mismo Darwin y en los
trabajos de Weismann -e incluso en los de De Vries y Bateson anteriores a 1900- se
sostenía que existían numerosos factores idénticos determinantes para un carácter dado, en
cada célula (teoría de los pangenes o Pangénesis). Según la Pangénesis, cada célula del
cuerpo producía un ''germen'' que se instalaba en las células gaméticas con el fin de
reproducir el fragmento del futuro individuo que cada una representaba en la generación
siguiente. Una vez refutada por Mendel esta hipótesis -aunque habría que esperar hasta el
siguiente siglo para su conocimiento universal- era necesario el trabajo minucioso en
Citología para sentar las bases materiales de la nueva Genética Mendeliana.
Otra característica significativa de su trabajo es que la Estadística, con Mendel, entra a
jugar un papel esencial en la Biología, del modo en que, con Boltzmann, lo hizo en la
Física. No es el desarrollo de un individuo y el comportamiento de sus características
hereditarias en relación a sus ancestros lo importante, sino es el comportamiento de tales
características en las poblaciones, entre una y otra generaciones, lo que ofrece ante los
nuevos científicos una fenomenología susceptible de ser cuantificada. Esta actitud, con la
que Mendel se adelantó a su época, es la que a finales del siglo comienza a ser adoptada y
rápidamente extendida (y no es casual entonces que en diversos lugares e
independientemente se comience a trabajar con ella), siguiendo la misma metodología
experimental de procesamiento de datos e inferencia estadística para llegar finalmente a las
mismas conclusiones, ''redescubriendo'', así, en Alemania, en Holanda, en Austria, los
resultados del trabajo de Mendel. Son hibridadores de nuevo, De Vries, Correns,
Tschermark, quienes independientemente llegan, al mismo tiempo, a las mismas
conclusiones no tan casualmente; la comunicación de los resultados se propaga con rapidez
y todos ceden el honor del descubrimiento original al monje austriaco fallecido sin pena ni
gloria años atrás.
Simultáneamente, los avances hechos en Citología por Fleming, Waldeger, Van Beneden,
etc., habían llevado a los naturalistas a proponer una drástica separación entre ''soma'' y
''germen'' y a los citólogos a identificar el papel central del núcleo celular primero, y luego
definitivamente de los cromosomas -por Boveri- como responsables de la transmisión de
los caracteres hereditarios. Así , Weismann afirma que las células germinales pueden dar
origen a células somáticas y germinales, mientras que las somáticas sólo dan origen a
células somáticas; esto último tiene una implicación importante: las alteraciones sufridas
por las células somáticas no tienen nada que ver con la herencia, ''todos los cambios
debidos a influencias exteriores son pasajeros y desaparecen con el individuo'', lo que refuta
definitivamente la teoría lamarkiana y será la pauta para rechazar eventualmente toda
hipótesis sobre ''herencia suave'' que se relacionaba con la pangénesis original adoptada por
Darwin.
Confluyen en este momento tres tendencias distintas en la Biología: los estudios
estadísticos sobre la herencia, la búsqueda de la sustancia responsable de la estabilidad de
las especies y de la variabilidad dentro de las poblaciones, y los trabajos de laboratorio en
Citología, que apuntaban hacia los cromosomas como los entes idóneos para sustentar las
bases materiales de los factores mendelianos y cuya variación en distribución u
ordenamiento fueran responsables de las fluctuaciones observadas en las poblaciones reales
sobre las que actuaría la selección natural.
No fue, sin embargo, tan inmediato y directo el camino que llevaría a esta síntesis de la
ciencia evolutiva, que habría de esperar todavía cuarenta años; hubo un sinnúmero de
confusiones y malentendidos que analizaremos brevemente. En cuanto al camino que
trazaron los hibridadores primero, y luego los genetistas de laboratorio, puede decirse que,
aun cuando en un principio éstos siguieron los métodos mendelianos, la falla en uno de los
pasos fundamentales -el elegir a los especímenes adecuados- llevó a los mendelianos a
proponer como primordial -si no única- causa directa y creadora del proceso evolutivo a los
eventuales cambios, azarosos y bruscos (mutaciones) en el contenido factorial (o
''genético'', según Johannsen) de las especies. Así , por ejemplo, De Vries afirma que las
mutaciones se dan al azar, tanto progresivas como regresivas, ''en todas direcciones, unas
útiles y otras perjudiciales, la mayoría neutras'', de modo que proporcionan ''un material
considerable para la actuación de la selección natural'', la que se convierte en una fuerza
''meramente pasiva, sin dirección'' (Bateson). Esta actitud, contraria a la sostenida por los
naturalistas darwinistas, llevó a discusiones acres y violentas, durante mucho tiempo, entre
mendelianos y naturalistas y biómetras. Las razones principales fueron la incapacidad de
los mendelianos de pensar en términos poblacionales -pues, contradictoriamente a la
tradición estadística que pretendían heredar de Mendel, casi todos ellos pensaban en las
especies como ''tipos'' o ''formas'' dadas, invariables y únicas-, por un lado, y la reticencia
inicial de los biómetras y naturalistas a ver en la dinámica mendeliana el complemento -y
sustento genético- de la necesaria variabilidad y estabilidad sobre las que actuase la
selección natural. El concepto de ''mutación'' sería poco a poco modificado por los
investigadores posteriores en Genética, como Müller y Morgan -sobre todo este últimohasta admitir mutaciones que cambian sólo ligeramente la composición (fenotípica) de los
individuos, haciendo posible así la conciliación entre la Genética mendeliana y la Biometría
de Galton y Pearson. Sólo añadimos, a manera de anécdota, que en lo que falló De Vries en elegir adecuadamente los sujetos experimentales- lo consiguió Morgan exitosamente al
hallar a la famosa mosca de la fruta (Drosophyla sp.) como sujeto idóneo. Así entonces,
uno de los conceptos por revisar con detalle (con Fisher) es el que desacreditó a los
mendelianos (ante los naturalistas darwinianos) durante años: el de mutación.
La Escuela Biométrica Inglesa
En la última parte del siglo XIX los estudios de Genética se concentraron en la cruza de
plantas (principalmente Horticultura) y los investigadores se veían abrumados por las
innumerables sutilezas y variaciones manifiestas en los caracteres cuantitativos, pero
estaban intrigados por los cambios en las frecuencias de rasgos continuos tal y como se
transmiten a través de generaciones sucesivas en las poblaciones humanas. Francis Galton
(primo de Darwin) y Karl Pearson (un protegido de Galton, originalmente economista)
desarrollaron los fundamentos de la Biometría, precursora de la ciencia bioestadística
moderna -a la que legaron conceptos fundamentales como los de covarianza y correlaciónmotivados principalmente por problemas planteados por la Teoría de la Evolución y la
Eugenesia.
Durante los primeros años del siglo XX el campo de la Biología Evolutiva se hallaba en un
estado de controversia (como hoy) y desorden. Los encuentros personales entre sus
protagonistas exacerbaron las ya de sí profundas divisiones sobre las cuestiones relevantes
de la evolución y no alcanzaba a verse la posibilidad de una conciliación. La causa
principal, como hemos dicho, fue el redescubrimiento de las leyes de Mendel, lo que
reforzó una previa división entre los biólogos acerca de la naturaleza de la evolución, ya
que cuando fue publicado ''El Origen de las Especies...'', aparte de las controversias de
índole no científica que provocó, puso a los científicos en posiciones encontradas con
respecto a varios aspectos de la teoría. El hecho de que la evolución ocurriese no fue, en
general, cuestionado; lo más controvertido fue la aseveración de que el agente que la
llevaba a cabo fuese la selección natural e, incluso dentro de los seleccionistas, la
controversia estaba en la forma en que debía darse el cambio evolutivo. El punto de vista de
Darwin fue el ''gradualista'', consistente en postular que los cambios en la naturaleza de los
organismos en las poblaciones son graduales y por incrementos. Curiosamente, algunos de
quienes defendieron la teoría de Darwin, como T.H. Huxley y Francis Galton, fueron, sin
embargo, ''saltacionistas''; esto es, pensaban que los cambios evolutivos ocurrían más
frecuentemente ''a saltos'' de magnitud no despreciable. Se desarrollaron, por tanto, dos
escuelas de pensamiento a partir de estos puntos de vista, cuyos argumentos intentaremos
describir brevemente.
Siendo desconocido el mecanismo de la herencia antes de 1900, existía una visión común
acerca de ella, consistente en pensar que las características de un individuo son -o tienden a
ser- una mezcla de las de sus padres. Esta hipótesis ''mezcladora'' atrajo quizá la más
sustancial objeción científica a la teoría de Darwin. Es fácil ver que, ante la hipótesis de
apareamientos aleatorios, la varianza de una característica en una población, bajo la
herencia mezcladora, decrecería en un medio en cada generación. La consecuente
uniformidad de características que rápidamente se obtendría no dejaría lugar a la variación
sobre la cual actuase la selección natural. Esa tasa de decremento tan rápida en la varianza
se modificaría sólo muy ligeramente ante hipótesis de apareamientos no aleatorios. Puesto
que tal uniformidad no se observa en las poblaciones reales, el argumento queda
incompleto y, dado que el grado de variación observado sólo puede explicarse entonces
postulando la existencia de otros factores de notable efecto que hiciesen que las
características de la progenie se desviasen de las de sus padres, entonces no se podría
argumentar razonablemente que los padres favorecidos positivamente por la selección
produjesen descendencia que se les pareciese cercanamente y que por ello fuese también
favorecida por la selección. Este argumento fue reconocido por Darwin como un gran
obstáculo para su teoría de la evolución mediante selección natural y resulta interesante el
notar que las versiones posteriores a 1859 de ''El Origen...'' se vieron claramente
influenciadas por dicho argumento.
Galton jugó un papel ambiguo en la controversia entre gradualistas y saltacionistas. Por un
lado, él mismo era un convencido de la teoría de los saltos y esto debió inducirle a llegar a
proponer a Darwin, en una carta que escribió a este último en 1875, una teoría de herencia
en mucho similar a la mendeliana y basada solamente en especulaciones y razonamiento
abstracto. No obstante, tenía una relación intelectual y personal muy cercana con Darwin y,
debido a ella, intentó cuantificar el proceso de la evolución gradualista; esto lo llevó a
introducir los conceptos estadísticos de correlación y de regresión, que se convirtieron
pronto en las principales herramientas del grupo de científicos después conocidos como
biómetras, quienes fueron en cierto sentido los herederos de la teoría gradualista
darwiniana. El trabajo de investigación matemática de este grupo comenzó en 1890 bajo el
liderazgo de W.F.R. Weldon y Karl Pearson. Al mismo tiempo, los saltacionistas ganaron
muchos adeptos, entre los que sobresale William Bateson, y la disputa entre estos dos
grupos llegó, en el final del siglo, a un clímax.
Habiéndose redescubierto el mendelismo en 1900, la naturaleza particular de esta teoría
fue, por supuesto, muy atractiva para los saltacionistas. Muchos biólogos comenzaron a
pensar en un proceso no darwiniano de evolución a través de saltos mutacionales. Por otro
lado, los biómetras continuaban convencidos por la teoría darwiniana de evolución gradual
mediante selección natural y estaban, por ello, reacios a creer en el mecanismo mendeliano
de herencia, o por lo menos a pensar que éste fuese de importancia fundamental para la
evolución. Incluso los argumentos brillantes de Yule (1902), basados en un análisis
matemático del sistema mendeliano, acerca de que el mendelismo y el darwinismo podrían
conciliarse, fueron largamente ignorados. Sin embargo, como veremos, no solamente fue
esta conciliación posible, sino inmensamente fructífera para la Teoría de la Evolución en la
forma de lo que llamamos la Genética Matemática de Poblaciones.
La Ley de Hardy-Weinberg
Considérese una población monoica que se reproduce formando parejas al azar, lo
suficientemente grande (infinita, en teoría) como para que las frecuencias génicas puedan
determinarse de modo exacto y sin desviaciones debidas a ''errores de muestreo''; céntrese
la atención en un locus génico dado donde pueden presentarse dos alelos, digamos A1 y A2.
Supóngase que en cualquier generación las proporciones de los tres genotipos: A1A1, A1A2,
A2A2, son d, h y r, respectivamente. Debido a la hipótesis de apareamientos aleatorios, la
frecuencia de los apareamientos A1A1 × A1A1 es d2, la de A1A1 × A1A2 es 2rh, la de A1A1 ×
A2A2 es 2dr, etc. Ahora considérense los resultados de estos apareamientos. Si se ignora la
muy pequeña probabilidad de mutación, y si no hay diferencias en adecuación para estos
genotipos, las elementales reglas mendelianas indican que el resultado del primer
apareamiento debe ser progenie tipo A1A1 en el cien por ciento, que la mitad de la progenie
del segundo apareamiento debe ser de tipo A1A1 y la otra mitad de tipo A1A2, que toda la
progenie del tercer apareamiento debe ser de tipo A1A2, etc., con resultados similares para
el resto de los apareamientos posibles.
Entonces, puesto que la progenie A1A1 sólo puede obtenerse de apareamientos A1A1 ×
A1A1 (con frecuencia 1 para tales apareamientos), de apareamientos A1A1 × A1A2 (con
frecuencia 1/2) y de apareamientos A1A2 × A1A2 (con frecuencia 1/4), y puesto que las
frecuencias de tales apareamientos son: d2, 2dh, h2, respectivamente, la frecuencia d’ de
A1A1 en la siguiente generación es:
d’ = d2 + ½ (2dh) + ¼ h2 = d2 + dh + ¼ h2 = (d + ½ h) 2
… (1)
Consideraciones similares dan las frecuencias h’ de A1A2 y r’ de A2A2 como:
h’ = ½ (2dh) + ½ h2 + 2dr + ½ (2rh) = 2(d + ½ h) (r + ½ h)
… (2)
r’ = ¼ h2 + ½ (2rh) + r2 = (r + 1/2 h)2
… (3)
Las frecuencias d’’, 2h’’, r’’ para la siguiente generación se encuentran remplazando d’, h’,
r’ por d’’, h’’, r’’ y d, h, r por d’, h’, r’, teniéndose:
d’’ = (d’ + ½ h’) = ((d + ½ h))2 + (d + ½ h)(r + ½ h))2 =
= ((d + ½ h)((d + ½ h) + (r + ½ h)))2 =
= ((d + ½ h)(d + h + r))2 = ((d + ½ h)(1))2 = (d + ½ h)2 = d’
… (4)
De manera similar se encuentra que h’’ = h’, r’’ = r’. Por tanto, las frecuencias genotípicas
establecidas en la segunda generación se mantienen en la tercera y consecuentemente en
todas las generaciones subsecuentes. Nótese que las frecuencias que tienen esta propiedad
pueden caracterizarse por satisfacer la relación
h’2 = 4d’r’
… (5)
Claramente, si esta relación se da desde la primera generación, de modo que
h2 = 4dr
… (6)
entonces no sólo no habría cambios en las frecuencias genotípicas entre la segunda y la
tercera generaciones, sino que estas frecuencias también serían las mismas que las de la
primera generación. Las poblaciones para las cuales la relación (6) se cumple, se dice que
tienen sus frecuencias genotípicas en equilibrio Hardy-Weinberg.
Puesto que d + h + r = 1, sólo dos de las frecuencias d, h, r, son independientes. Si, además,
la relación H-W (6) se cumple, sólo una de las frecuencias es independiente. Un breve
análisis de las relaciones (1) - (3) nos lleva a que la cantidad más conveniente para
considerarla como independiente es p = d + ½ h ; esto es, la frecuencia (gamética) del alelo
A1.
Los resultados de arriba pueden resumirse en la forma de un teorema:
Teorema (Hardy-Weinberg).- Bajo las hipótesis establecidas, una población con
frecuencias genotípicas d (de A1A1), h (de A1A2) y r (de A2A2) alcanza, después de una
generación de apareamientos aleatorios, las frecuencias genotípicas estables p2, 2pq y q2,
donde p = d + ½ h, q = r + ½ h = 1 - p . Si las frecuencias iniciales d, h, r están en la forma
p2, 2pq, q2, entonces éstas serán estables en todas las generaciones.
Castle (1905) -quien posiblemente conocía el teorema en toda su generalidad- proporcionó
ejemplos numéricos, así como Yule (1906) y Pearson (1904). La primera prueba general
fue publicada por Hardy (1908) y por Weinberg (1908), y es por ello que el teorema lleva el
nombre de estos últimos.
Este teorema es importante por dos razones diferentes, una meramente técnica, la cual ha
oscurecido su valor principal. La razón técnica consiste en que, si la relación (6) es
verdadera, entonces el comportamiento matemático de la población puede examinarse en
términos del parámetro p, en vez del vector (d,r), lo cual es en efecto muy conveniente,
pero no fundamentalmente importante. La parte realmente importante del teorema yace en
el comportamiento de equilibrio estable: si no actúan fuerzas externas, no hay ninguna
tendencia intrínseca para que las variaciones presentes en la población desaparezcan
(variaciones dadas por la existencia de diferentes genotipos). Esto indica inmediatamente
que la principal crítica al darwinismo, esto es, el hecho de que la variación decrece
rápidamente bajo la teoría mezcladora, no se aplica con la herencia mendeliana. Es claro a
partir de la Ley de Hardy-Weinberg que, bajo un sistema mendeliano de herencia, la
variación tiende a mantenerse. (Claro que la acción de la selección a menudo tiende a
destruir tal variación, y esto es importante, pero ya se verá que el grado de disminución de
la variación bajo cualquier esquema mendeliano realista es mucho menor que bajo
cualquier esquema mezclador también realista)
La Ley de H-W muestra que, lejos de ser incompatible, el darwinismo y el mendelismo son
casi inseparables. Sería difícil pensar en un proceso hereditario diferente del esquema
''cuántico'' mendeliano en el cual la selección natural pudiese actuar con tal eficiencia,
mientras que, por otro lado, las diferencias en adecuación entre los genotipos generalmente
darán por resultado cambios en las frecuencias genotípicas y por tanto evolución. La Ley de
Hardy-Weinberg puede ser generalizada de muchas maneras.
En este momento histórico comenzaba a quedar claro que no sólo era posible una
reconciliación entre darwinismo y mendelismo, sino que de hecho era inevitable. En 1911
esto era muy aparente para un joven estudiante de matemáticas que en ese año dio una
conferencia sobre ''Herencia'' en la Sociedad de Eugenesia de la Universidad de Cambridge,
en la cual subrayaba la necesidad de tal reconciliación. Se requería interpretar, con base en
principios mendelianos, el gran número de datos recopilados por los biómetras acerca de la
correlación entre parientes para varias características físicas. Varios años después, este
joven, Ronald Aylmer Fisher, escribió un artículo seminal en Genética de Poblaciones en el
cual se estableció dicha reconciliación.
Antes ya habían sido tratados casos especiales de tales correlaciones por Pearson y Yule,
pero el artículo de Fisher fue el primero en considerar el problema con un alto grado de
generalidad. Consideraremos entonces su aproximación al problema pues muchas de las
cantidades que juegan un papel clave en su argumentación han resultado ser de importancia
fundamental para consideraciones evolutivas.
La Correlación entre Parientes
Considérese cualquier carácter cuantitativo medible, digamos m, que esté determinado
enteramente por un locus A en donde puedan hallarse los alelos A1 o A2. Supóngase que
todos los individuos A1A1 tienen medida m11, todos los individuos A1A2 tienen medida m12
y todos los individuos A2A2 tienen medida m22. Supóngase de momento que no hay
ninguna contribución ambiental a este carácter, por lo que, conociendo el genotipo, puede
conocerse de inmediato el fenotipo (el valor de esta medida). Supóngase también que, con
respecto a este carácter, los apareamientos son aleatorios y que las frecuencias de A1A1,
A1A2 , A2A2 son, inicialmente: p2, 2pq, q2, respectivamente. Entonces el valor medio de m
es:
m = p2m11 + 2pqm12 + q2m22
… (7)
y la varianza:
σ2 = p2(m11 -m) + 2pq(m12 -m) + q2(m22 -m)
… (8)
¿Cuál es la covarianza entre padre e hijo con respecto a esta medida?
Supóngase que el padre es A1A1; entonces el hijo será A1A1 (con probabilidad p) o A1A2
(con probabilidad q); el padre es A1A1 con probabilidad p2, etc. De este modo es posible
construir una tabla con las probabilidades asociadas a las varias combinaciones padre-hijo
y, por tanto, del carácter medido entre ellos:
GENOTIPO
PADRE
A1A1
A1A2
A2A2
FENOTIPO
m11
m12
m22
A1A1
m11
p3
p2q
0
HIJO
A1A2
m12
p2q
pq
pq2
A2A2
m22
0
pq2
q3
La covarianza entre la medida del padre y la del hijo, suponiendo que no hay cambio en la
frecuencia de A1 entre las dos generaciones es entonces:
p3m112 + 2p2qm11m12 + pqm122 + 2pq2m12m22 + q3m222 =
= pq(pm11 + (p - q)m12 -qm22)2
… (9)
La correlación entre las dos medidas, que es el cociente de la covarianza entre la varianza
(ya que la varianza es la misma en ambas generaciones, tanto para padres como para hijos),
es entonces:
pq(pm11 + (p - q)m12 - qm22)2/σ2
… (10)
Considérese ahora cuáles serían los cambios en el carácter m si se hiciese el reemplazo de
un alelo A1 por uno A2. El efecto de esto depende de si el reemplazo se hace en un
individuo A1A1 o en un individuo A1A2. En el primer caso este efecto sería m12 - m11,
mientras que en el segundo sería m22 - m12, y éstos, en general, no tienen por qué ser
iguales. Para hallar una expresión que describa este efecto, supóngase que los valores m11,
m12, m22 pueden aproximarse mediante expresiones de la forma µ + 2α1, µ + α1 + α2, µ +
2α2, respectivamente, con la restricción: pα1 + qα2 = 0 (pues pensamos que los valores α
son desviaciones de un hipotético valor medio µ y que corresponderían al efecto de cada
alelo). Si derivamos la expresión:
S(µ, α1, α2) = p2(m11 - µ - 2α1)2 + 2pq(m12 - µ - α1 - α2)2 + q2(m22 - µ - 2α2)2
(que se interpreta como un tipo particular de varianza) con respecto a µ, hallamos que el
valor mínimo para µ es µ = m. Diferenciando ahora la expresión lagrangiana:
S(m, α1, α2) - 4λ(pα1 + qα2) =
= p2(m11 - m - 2α1)2 + 2pq(m12 - m - α1 - α2)2 + q2(m22 - m - 2α2)2 - 4λ(pα1 + qα2)
con respecto a α1 y a α2 (siendo λ el ''multiplicador'' del método lagrangiano), obtenemos:
α1 = p(m11 - m) + q(m12 - m)
… (11)
α2 = p(m12 - m) + q(m22 - m)
y podemos entonces definir al efecto promedio de sustituir a A1 por A2 como:
α2 - α1 = p(m12 - m11) + q(m22 - m12)
… (12)
El valor mínimo para S es:
σD2 = p2q2(2m12 - m11 - m22)2
… (13)
Ahora bien, regresando a la expresión para la varianza σ2 , si a esta última (la suma de
cuadrados) restamos el término recién obtenido σD2 (la suma de cuadrados residual), se
tiene:
σ2 - σD2 = σA2 = 2pq(pm11 + (q - p)m12 - qm22)2
… (14)
Entonces, puesto que σA2 ha resultado ser un término de la varianza total, siendo el otro la
suma de los residuales, se le llama varianza génica aditiva, ya que viene a ser la parte de la
varianza total en cuanto al carácter medido que puede achacarse a los efectos promedio de
los alelos A1 y A2, mientras que a σD2 -la suma de residuales- se le denomina varianza de
dominancia; esta denominación proviene de la forma específica en que aparecen en ella la
medida de los caracteres fenotípicos (nótese que para una dominancia completa, digamos
de A1, se tendría que m12 = m11 y σD2 = p2q2(m11 -m22)2, mientras para una ausencia
completa de dominancia, esto es, para m12 = ½ (m11 + m22), se tendría σD2 = 0.). Ahora bien,
recordando el resultado (9), podemos escribir, para la correlación entre padre e hijo:
corr(padre, hijo) = ½ (σA2 /σ2) = ½ ρ2
… (15)
y decir que la correlación entre padres e hijos es la mitad del cociente entre la varianza
genética aditiva y la varianza total, denotando a dicho cociente por ρ2. Esta correlación
siempre es no negativa, y sólo tomaría el valor cero cuando p = (m12 - m22)/(2m12 - m11 m22), una posibilidad que puede darse sólo si m12 > m11, m22, o m12 < m11, m22. Se debe
enfatizar el hecho de que esta correlación ha sido hallada basando todos los cálculos en la
naturaleza mendeliana del proceso hereditario. Puede hacerse una tabla análoga a la
anterior para el caso de hermanos de padre y madre y mostrar que, bajo las mismas
condiciones de arriba:
corr(hermano, hermano) = ½ ρ2 + ¼ δ2
… (16)
donde δ2 = σD2 /σ2. Consideraciones similares usando tablas mendelianas de asociación
también similares -aunque más complicadas- nos llevarían, bajo las mismas hipótesis, a
que:
corr(tío, sobrino) = ¼ ρ2
… (17)
corr(primos dobles) = ¼ ρ2 + 1/16 δ2
… (18)
y así.
Con estos resultados, Fisher consideró situaciones más complejas, en particular casos con
más de dos alelos por locus, donde los caracteres son determinados por alelos en varios
loci, y casos donde se suponen apareamientos preferenciales. En cuanto al caso de alelos
múltiples, Fisher mostró que las fórmulas de correlación (15), (16), (17) y (18) permanecen
inalteradas si es que las varianzas aditiva y de dominancia se definen de la manera natural a
través del procedimiento de mínimos cuadrados descrito arriba.
El problema de los caracteres determinados por muchos loci es en principio más complejo
puesto que deben tomarse en cuenta los efectos interactivos o epistásicos. En el caso de un
carácter relacionado con la adecuación, es muy difícil determinar cuán importantes pueden
ser estos efectos. Si el carácter no está correlacionado con la adecuación, puede suponerse
razonablemente que
frec(AiAjBkBl....) = frec(AiAj) × frec(BkBl) × ....
… (19)
donde Ai, Aj, ... son los alelos posibles en el A que determinan parcialmente ese carácter,
Bk, Bl , ... son los posibles alelos en el locus B que también determina parcialmente ese
mismo carácter, etc. (Hablando en sentido estricto, suponemos que ninguno de estos alelos
tiene efectos en la adecuación).
La ecuación (19) implica que la frecuencia de cualquier cromosoma puede escribirse como
el producto de las frecuencias de sus alelos constituyentes. En este caso puede hallarse la
varianza aditiva τ2 simplemente sumando las varianzas aditivas de cada uno de los loci
individuales (τ2 = ∑ σA2 ), con un resultado similar para la varianza total (ϖ2 = ∑ σ2 ).
Entonces, suponiendo que (19) es cierta, la correlación entre padres e hijos en el carácter
medido sería:
corr(padre, hijo) = ½ (τ2 / ϖ2)
… (20)
que es la generalización natural de (15), teniéndose también valores similares para las otras
relaciones en este caso. Es muy posible que, mientras estos resultados son estrictamente
verdaderos (bajo las hipótesis dadas), sólo cuando el carácter en cuestión, y los alelos que
lo determinan, no están correlacionados con la adecuación, puede demostrarse que estos
valores darían una aproximación satisfactoria aun cuando existiese tal correlación (Ewens,
1980).
Hasta ahora no hemos tomado en cuenta a la varianza ambiental. En la práctica esto es
extremadamente difícil, debido a la muy alta correlación ambiental para padres e hijos,
hermanos, etc. (esto es, no se encuentran dispersos al azar, sino que, en general, viven
juntos, en el mismo ambiente, al menos una buena parte de su vida). Ignorando la
correlación ambiental, Fisher usó las fórmulas de arriba en conjunción con las correlaciones
observadas para estimar las varias componentes de la varianza en cualquier carácter. Bajo
estos supuestos simplificadores, el componente genético de la correlación entre parientes
está dado en términos de dos parámetros y los patrones de correlación concuerdan -para los
datos usados por Fisher- razonablemente bien con los observados, por lo que puede decirse
que Fisher comenzó una significativa síntesis entre la biometría y la genética mendeliana y
por tanto la fusión de éstas en una sola disciplina. A partir de entonces, la Genética de
Poblaciones Teórica comenzó con una base firme, siendo fundamentales las variables
usadas por Fisher en esta síntesis para una cuantificación del proceso evolutivo.
Evolución
Veamos ahora las consecuencias evolutivas de la dinámica genética mendeliana. Los hitos
de la teoría darwiniana de la evolución son la variación y la selección natural; la variación
es dada, bajo el sistema mendeliano, en última instancia por la mutación: en todas las
poblaciones naturales la mutación provee de una fuente continua de variación genética.
Puesto que los diferentes genotipos creados de tal modo tendrán diferentes adecuaciones
(diferirán en viabilidad, éxito reproductivo y fertilidad), la selección natural podrá actuar.
El objetivo de Fisher era cuantificar este proceso, y su trabajo realizado durante las décadas
de los 1920 y 1930 (paralelamente al de Haldane y Wright) estaba encaminado en esa
dirección. Tal cuantificación implicó una descripción científica de la teoría darwiniana en
términos mendelianos.
Como un primer paso, es necesario hacer una serie de suposiciones y aproximaciones
acerca de los procesos evolutivos considerados. Por ello, aunque hemos dicho que la
mutación es esencial para la evolución, y puesto que las tasas de mutación son
normalmente muy pequeñas, entonces, para ciertos problemas específicos puede
ignorársele. Además, aunque la adecuación de un individuo está determinada de un modo
complejo por su acervo genético completo (y aun así diferirá de un ambiente a otro), se
supondrá, como una primera aproximación, que su adecuación depende de su genotipo en
un solo locus, o que al menos puede hallarse ''sumando'' las contribuciones de varios loci a
la adecuación. También es difícil el trabajar con la componente de la adecuación que se
relaciona con la fertilidad, y se harán suposiciones especiales acerca de esto.
Supóngase entonces que las adecuaciones de los tres genotipos A1A1, A1A2, A2A2, en cierto
locus A, están dadas por:
genotipo
adecuación
frecuencia
A1A1
ω11
p2
A1A2
ω12
2pq
A2A2
ω22
q2
Nótese que se han escrito las frecuencias de estos genotipos en la forma apropiada a la
suposición de apareamientos aleatorios. Las frecuencias Hardy-Weinberg se aplican sólo en
el momento de la concepción puesto que a partir de entonces las viabilidades diferenciales
alteran las frecuencias genotípicas de su forma H-W. Por esta razón contamos a la
población al momento de la concepción en cada generación y por tanto también se está
haciendo implícitamente la suposición extra de un modelo de generaciones ''separadas''.
La cuestión más interesante es el comportamiento de la frecuencia p del alelo A1 bajo la
selección natural. Puesto que se piensa que la unidad fundamental del proceso evolutivo es
el reemplazo de un alelo ''inferior'' por uno ''superior'', esta cuestión es esencial para la
comprensión del proceso evolutivo. Esta cuestión fue atacada por primera vez, en ciertos
casos específicos, por Norton y después, con mayor detalle, por Haldane. Se considerarán
aquí sólo los casos más simples. Antes, nótese que se requiere de explicar dos fenómenos
aparentemente contradictorios. Por un lado debe poder explicarse el proceso dinámico de la
sustitución de un alelo por otro y, por otro lado, debe explicarse la existencia observada de
polimorfismo génico considerable, aparentemente estable. La primera cuestión es hallar la
frecuencia p’ de A1 en la siguiente generación.
Considerando las adecuaciones de cada individuo y todos los apareamientos posibles, se
encuentra fácilmente que
p’- p = (pq(ω11p + ω12(q - p) - ω22q)) / (ω11p2 + 2ω12pq + ω22q2)
… (21)
La iteración de la relación de recurrencia (21) da los valores sucesivos que toma la
frecuencia de A1. Desafortunadamente no siempre es posible dar expresiones explícitas
(como funciones dependientes del tiempo) y sólo puede contarse con aproximaciones.
Antes, nótese que p’ depende de los cocientes de las adecuaciones ωij , más que de sus
valores absolutos, por lo que p’ permanecerá sin cambio si se multiplica a cada ωij por
alguna constante. Por tanto, es posible escalar a las ωij en cualquier forma conveniente.
Diferentes escalas son convenientes para diferentes propósitos, como se verá. Abajo se
indican dos escalas alternativas para los valores de adecuación:
A1A1
ω11
1+s
1 – s1
A1A2
ω12
1 + sh
1
A2A2
ω22
1
1 – s2
… (22)
Normalmente se supone que, excepto en casos extremos (tal vez implicando letalidad) los
diferenciales de adecuación s, sh, s1, s2, son pequeños, tal vez del orden del 1 %. En este
caso se ignorarán términos de orden superior en estos parámetros. Usando el esquema
(22)(3er renglón), en la relación de recurrencia (21) puede escribirse, con suficientemente
buena aproximación:
p’ – p = spq(p + h(q - p))
… (23)
además, si se mide el tiempo en unidades de una generación, esta ecuación puede
aproximarse por la ecuación diferencial: dp/dt = spq(p + h(q - p)), o mejor:
dp / dt = sp(1 - p)(p + h(1 - 2p))
…(24)
Si se denota por t(p1, p2) al tiempo requerido para que la frecuencia de A1 cambie del valor
p1 al valor p2, entonces:
t(p1, p2) = ∫12 (sp(1 - p)(p + h(1 - 2p)))-1dp
… (25)
Aun cuando es posible obtener una expresión explícita para t(p1, p2), es más conveniente
usar la expresión (25) directamente. Supóngase primero que s > sh > 0; entonces, de (24), la
frecuencia de A1 se incrementará hasta valer 1. Sin embargo, cuando esta frecuencia se
aproxima a la unidad, el tiempo requerido para incluso pequeños cambios será muy grande,
debido al factor 1 - p en el denominador del integrando en (25). Este comportamiento es
aun más marcado en el caso h = 1 (A1 dominante con respecto a A2 en adecuación), ya que
entonces el integrando contiene un término (1 - p)-2. Esta tasa muy lenta de incremento se
debe al hecho de que una vez que p está cerca de la unidad, la frecuencia del genotipo A2A2
(en contra del cual actúa la selección) es extremadamente baja. En el caso particular h = ½
(no dominancia en adecuación), la ecuación (25) toma la forma:
t(p1, p2) = ∫12 (½ (sp(1 - p))-1 dp
… (26)
A partir de las ecuaciones (25) y (26) es posible evaluar los tiempos requeridos para
cualesquiera cambios en la frecuencia de A1 (ver tabla abajo). Los tiempos mostrados en la
tabla apoyan las conclusiones dadas y, mientras actúa la selección hasta que la variación es
destruida, los tiempos requeridos son usualmente muy largos, mucho más de los que se
requieren bajo la teoría mezcladora de la herencia.
rango
10-3 – 10-2
10-2 – 10-1
0.1 – 0.5
0.5 – 0.9
0.9 – 0.99
0.99
0.999
h
½
1
462
232
480
250
439
309
439
1020
480
9240
462
90631
–
Se puede esperar observar un polimorfismo genético considerable en las poblaciones aun
cuando estén sujetas a selección natural direccional: los artículos de Haldane ofrecen
valores análogos a los de la tabla en condiciones cada vez más complejas (p. ej. endogamia,
adecuaciones diferenciales dependientes del sexo, etc.) Este procedimiento cuantifica,
aunque sea aproximadamente, al proceso unitario microevolutivo del reemplazo de un alelo
por otro.
Es claro que si s < sh < 0, sucederá un proceso paralelo al anterior, con el alelo A2
reemplazando al alelo A1. Este proceso es la imagen especular del anterior y no requiere
más comentario. Un comportamiento completamente diferente sucede cuando la
adecuación ω12 del heterócigo es mayor que las adecuaciones de los dos homócigos. Este
caso puede tratarse de manera más conveniente usando el esquema (22) (4º renglón) con s1,
s2 >0. Aquí la relación de recurrencia (21) puede ser reescrita, con suficiente aproximación,
como:
p’ – p = p(1 - p)(s2 - p(s1 + s2))
… (27)
Es claro que no habrá cambio en la frecuencia p de A1 si p toma el valor particular
p* = s2 / (s1 + s2) = (ω22 - ω12) / (ω11 + ω22 - 2ω12)
… (28)
Nótese además que si p < p*, entonces p < p’ < p*, mientras que si p > p*, entonces p* < p’
< p. Por tanto, p* es un punto de equilibrio estable y, cualquiera que sea su valor inicial, la
frecuencia p de A1 se aproximará a p*. No es difícil ver que si s1 < 0, s2 < 0, entonces p*
sigue siendo un punto de equilibrio del sistema de recurrencia (20), pero en este caso se
trata de un equilibrio inestable y por ello es de poco interés. La frecuencia de A1 caerá a
cero si su valor inicial es menor que p* y subirá a uno si es mayor que p*. Todas estas
consideraciones muestran que una condición necesaria y suficiente para que exista un
equilibrio estable de la frecuencia de A1 en el intervalo (0,1) es que el heterócigo tenga una
mayor adecuación que los dos homócigos. Este hecho tan importante fue establecido por
Fisher en 1922 y brinda una posible explicación para la ocurrencia de frecuencias alélicas
estables en las poblaciones. Puede decirse que en la década de 1920 ya se habían dado los
primeros grandes pasos para explicar y cuantificar en términos mendelianos las que quizá
sean las dos principales propiedades de las poblaciones biológicas: su capacidad de
evolucionar y su capacidad de mantener la variación por lapsos muy largos.
Ahora será conveniente considerar brevemente el efecto de la mutación. Se supondrá que
A1 muta a A2 a una tasa µ y que A2 muta a A1 a una tasa ν. Entonces es fácil ver que, si no
hay selección,
p’ = p(1 - µ) + ν(1 - p)
… (29)
y que se alcanza un equilibrio estable cuando
p = p* = ν /(µ + ν)
… (30)
Supóngase ahora que se dan ambos fenómenos, mutación y selección; teniendo en cuenta
que las diferencias selectivas son del orden del 1 % mientras que las tasas de mutación son
del orden de 10-5 o 10-6. Considérese primero el caso en el que exista una ventaja selectiva
para el heterócigo, de modo que, con sólo selección y mutación, habrá un nuevo equilibrio
estable que diferirá sólo trivialmente del dado por (29). No se considerará este caso, por
tanto, más allá. Usando el esquema (22) (3er renglón) con s > sh > 0, es claro que habrá un
punto de equilibrio estable para cuando la frecuencia de A1 se encuentre cerca de la unidad.
Más exactamente, encontramos la fórmula aproximada
p* = 1 - (µ / (s - sh))
… (31)
mientras que si s > 0, h = 1 (A1 dominante sobre A2) la fórmula correspondiente es:
p* = 1 - √(µ / s)
… (32)
Fórmulas paralelas se aplican cuando s < sh < 0; en tal caso, para el equilibrio:
p* = ν / sh
… (33)
mientras que para s < 0, h = 1:
p* = √(ν / s)
… (34)
Todas estas fórmulas fueron obtenidas durante los años 1920; nótese que ellas implican una
segunda forma en que la variación genética puede mantenerse en una población; esto es,
por el ''balance entre selección y mutación''. Sin embargo, la frecuencia de uno u otro alelo
será muy pequeña para cualquiera de los equilibrios arriba descritos, aunque la frecuencia
del alelo menos frecuente es menos pequeña si la dominancia es completa, así que cuando
s = 0.01, µ = 10-6, la frecuencia de A2 en equilibrio será de 0.01 cuando h = 1 (dominancia
completa) y de 0.00002 cuando h = 1/2 (no dominancia).
Ya se había hecho notar antes que el sistema mendeliano de herencia permite cuantificar, al
menos a una primera aproximación, la tasa de sustitución alélica en un proceso evolutivo:
¿Es posible llegar a principios generales, derivados del sistema mendeliano, que
cuantifiquen a las dos principales características de un proceso evolutivo a través de la
selección natural darwiniana: el requerimiento de la variación y el ''mejoramiento''
alcanzado por esta población? . En su Teorema Fundamental de la Selección Natural,
Fisher (1930) intentó encontrar ambos principios. Su derivación original no está claramente
basada en un modelo explícito acerca del modo en que una frecuencia alélica cambia en el
tiempo, y por ello se da aquí una derivación basada en un modelo explícito que lleva
efectivamente a las mismas conclusiones a las que llegó Fisher.
Considérese una población para la cual la adecuación de cada individuo depende sólo de su
constitución genética en un sólo locus A. Supóngase que dos alelos, A1 y A2, son posibles
en este locus y que las adecuaciones de los tres posibles genotipos están dadas como en
(22). Se supone que la población se reproduce en generaciones separadas de modo que se
aplica la ecuación (7), con ω en vez de m. En cada generación podemos definir la
adecuación media ϖ de la población en esa generación como
ϖ = ω11p2 + 2ω12pq + ω22q2
… (34)
donde p es la frecuencia de A1 y q la de A2 en esa generación. La frecuencia p’ de A1 en la
siguiente generación puede hallarse a partir de (21) y por tanto la adecuación media ϖ’ en
esa otra generación puede computarse como
ϖ = ω11p’2 + 2ω12p’q’ + ω22q’2
… (35)
Considérese el cambio ∆ϖ = ϖ’ - ϖ en adecuaciones medias entre estas dos generaciones.
No es difícil mostrar, usando (21), que
∆ϖ = 2pq(ω11p + ω12(q - p) - ω22q)2(ω11p2 + (ω12 + ½ ω11 + ½ ω22)pq + ω22q2) / ϖ2
… (36)
Claramente ∆ϖ es no negativa, de modo que podemos concluir que la selección natural
actúa de modo que incrementa, o al menos mantiene, la adecuación media de la población.
Esta es la primera parte del Teorema Fundamental de la Selección Natural, y es claramente
una cuantificación en términos genéticos del concepto darwiniano de que ha habido un
''mejoramiento'' (''adaptación'', se puede decir) en la población, debido a la selección
natural. También podemos usar (36) para cuantificar la segunda parte del principio
darwiniano en cuanto a que la variación (en este caso la variación genética) es necesaria
para que actúe la selección natural. Claramente, ∆ϖ es cero si p = 0, o si p = 1; esto es, si no
hay variación genética en la población. Una aseveración más fuerte que ésta es posible:
nótese que si las ωij son todas cercanas a 1, puede escribirse, con buena aproximación:
∆ϖ = 2pq(ω11p + ω12(q - p) - ω22 q)2
… (37)
Ahora, la ecuación (14) muestra inmediatamente que la varianza genética aditiva en
adecuación es:
σA2 = 2pq(ω11 p + ω12 (q - p) - ω22 q)2
… (38)
y podemos entonces cuantificar en términos genéticos al segundo mayor elemento de la
teoría darwiniana: la tasa de incremento de la adecuación media es esencialmente igual a
la componente aditiva de la varianza genética en adecuación}. Si los diferenciales en
adecuación no son pequeños, se ha encontrado (Seneta, 1973) una fórmula diferente.
Inicialmente puede pensarse que la varianza total en adecuación, esto es:
σ2 = ω11p2 + 2ω12pq + ω22q2 - ϖ2
… (39)
en vez de la sola componente aditiva de la varianza, deberíaa estar relacionada con el
incremento en la adecuación media. Existen al menos dos argumentos por los cuales esto
no es así. Primero, si los valores de adecuación son de la forma (22) con s1, s2 > 0, y si la
población está en el punto de equilibrio (28), entonces la varianza total en adecuación será
positiva y, aun así, debido a que la población está en equilibrio, no habrá incremento en la
adecuación media. Segundo -y más importante- la componente aditiva de la varianza
genética es aquella porción explicada por los alelos mismos liberados, tanto como sea
posible, de desviaciones debidas a dominancia. Puesto que, en el modelo considerado, los
cambios en las frecuencias alélicas son los componentes fundamentales de la evolución, la
tasa de incremento de la adecuación media puede esperarse que esté relacionada con
aquella componente de la varianza genética total que es explicada por los alelos mismos.
BIBLIOGRAFÍA
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Dover.
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