Problemas de Aplicación de Máximos y Mínimos

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO
PLANTEL “IGNACIO RAMÍREZ CALZADA” DE LA
ESCUELA PREPARATORIA
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS
ING. CONSTANTINO PINEDA VELÁZQUEZ
INTRODUCCIÓN
El Cálculo es una rama de la Matemática basada en 3 conceptos:
1. Variable
2. Función
3. Límite
En 1687 Newton y Leibniz fundan el Cálculo diferencial e Integral.
El Cálculo tiene 2 problemas centrales que son:
1. El problema de la tangente: que consiste en obtener las ecuaciones de las
rectas tangentes a una curva y este es el problema fundamental del Cálculo
diferencial.
2. El problema de la cuadratura que consiste en determinar el área limitada
por curvas y este es un problema geométrico del Cálculo Integral.
A Newton y Leibniz se les llama fundadores del Cálculo porque fueron los
primeros en ver claramente la íntima relación entre estos dos problemas.
Esta rama de la Matemáticas fue inventada precisamente para resolver más
fácilmente problemas que están más allá de los métodos algebraicos ordinarios.
PR OBLEMAS
1. Un vitral está formado por un rectángulo y en la parte superior tiene una
semicírculo, si el perímetro del vitral mide 8 m. Determinar las dimensiones
del vitral para que su área sea máxima.
Solución
A1
x
A2
2X
y
La función objetivo es el área
___________________ I
La restricción es el perímetro
_______________ II
De la ecuación II
Sustituyendo en I
Derivando
Puntos críticos
Punto crítico en
Segunda derivada
Hay mínimo
Sustituir el valor de
en y
Las dimensiones del rectángulo son:
.
y el radio del semicírculo es:
Obteniendo el valor del área
Comprobación
Sustituyendo en el perímetro
Se cumple ! ! !
2. Un terreno rectangular que tiene
va a ser cercado y dividido en
dos porciones iguales mediante una cerca adicional paralela a dos de los
lados. Encontrar las dimensiones del terreno que requieran la menor
cantidad de cerca.
Solución:
x
y
La función objetivo que se desea minimizar es el perímetro
_______________________ ( I )
La restricción es el área
_____________________ ( II )
De ( II )
___________________________ (III )
Sustituyendo en I
Derivando
Igualando a cero
Despejando a x
Así el valor crítico es
Se desecha el valor negativo.
Obteniendo la segunda derivada
Valuandola en el punto crítico
Por lo tanto hay un mínimo
Sustituyendo x en III
De lo anterior las dimensiones del terreno son:
Comprobación
Se cumple ! ! !
3. Una empresa determina que en la producción de x unidades de artículo sus
funciones de ingreso y costo son respectivamente
Encontrar la utilidad máxima.
Solución:
La utilidad para
Derivando
Igualando a cero
es:
Por lo tanto el punto crítico es
La segunda derivada
Valuandola en el punto crítico
Hay un máximo. Con este valor de x, la utilidad es:
Así
unidades.
4. Si tres lados de un trapecio miden 10 m cada uno. ¿Cuánto debe medir el
cuarto lado para que el área sea máxima?
Solución:
10 m
10 m
x
10 m
h
10 m
x
La función objetivo que se va a maximizar es el área:
Así se tiene la ecuación
_________________ ( I )
Obteniendo h de uno de los triángulos rectángulos
______________ ( II )
Sustituyendo en ( I )
Derivando
Igualando a cero
Resolviendo por fórmula general
Así
Obteniendo la segunda derivada
Valuandola en x=5
Así
Hay máximo
De lo anterior el cuarto lado debe ser 20 m
Sustituyendo
en ( II )
El área del trapecio es: