Programación lineal (+ extensiones). Objetivos y panorama del curso.

Programación lineal (+ extensiones). Objetivos y
panorama del curso.
Departamento de Matemáticas. ITAM. 2008.
Programación lineal (+ extensiones). Objetivos y panorama del c
Introducción
Programación lineal http://allman.rhon.itam.mx/∼jmorales
La programación lineal es una de las aportaciones de la
matemática con alto impacto en las aplicaciones. El problema por
resolver es el siguiente:
minimizar
sujeta a
f (x) = c T x
Ax = b,
(1)
x ≥ 0,
Programación lineal (+ extensiones). Objetivos y panorama del c
en donde
Programación lineal (+ extensiones). Objetivos y panorama del c
en donde
x ≥ 0 indica xi ≥ 0,
i = 1, 2, . . . , n
Programación lineal (+ extensiones). Objetivos y panorama del c
en donde
x ≥ 0 indica xi ≥ 0,
i = 1, 2, . . . , n
c es el vector de costos
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en donde
x ≥ 0 indica xi ≥ 0,
i = 1, 2, . . . , n
c es el vector de costos
A es una matriz de m × n con m < n
Programación lineal (+ extensiones). Objetivos y panorama del c
en donde
x ≥ 0 indica xi ≥ 0,
i = 1, 2, . . . , n
c es el vector de costos
A es una matriz de m × n con m < n
b es un vector m-dimensional.
Programación lineal (+ extensiones). Objetivos y panorama del c
en donde
x ≥ 0 indica xi ≥ 0,
i = 1, 2, . . . , n
c es el vector de costos
A es una matriz de m × n con m < n
b es un vector m-dimensional.
El vector x es llamado el vector de variables de decisión
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en donde
x ≥ 0 indica xi ≥ 0,
i = 1, 2, . . . , n
c es el vector de costos
A es una matriz de m × n con m < n
b es un vector m-dimensional.
El vector x es llamado el vector de variables de decisión
la función f es conocida como la función objetivo
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en donde
x ≥ 0 indica xi ≥ 0,
i = 1, 2, . . . , n
c es el vector de costos
A es una matriz de m × n con m < n
b es un vector m-dimensional.
El vector x es llamado el vector de variables de decisión
la función f es conocida como la función objetivo
El conjunto determinado por Ax = b, x ≥ 0 es llamado la
zona factible.
Programación lineal (+ extensiones). Objetivos y panorama del c
Objetivos
En este curso nos concentraremos en los siguientes aspectos de la
programación lineal:
Programación lineal (+ extensiones). Objetivos y panorama del c
Objetivos
En este curso nos concentraremos en los siguientes aspectos de la
programación lineal:
Estudiar diversos problemas que se pueden formular como (1)
Programación lineal (+ extensiones). Objetivos y panorama del c
Objetivos
En este curso nos concentraremos en los siguientes aspectos de la
programación lineal:
Estudiar diversos problemas que se pueden formular como (1)
Estudiar las condiciones teóricas que aseguran la existencia de
una solución de (1)
Programación lineal (+ extensiones). Objetivos y panorama del c
Objetivos
En este curso nos concentraremos en los siguientes aspectos de la
programación lineal:
Estudiar diversos problemas que se pueden formular como (1)
Estudiar las condiciones teóricas que aseguran la existencia de
una solución de (1)
Utilizar las condiciones de optimalidad para diseñar algoritmos
prácticos que resuelvan eficientemente (1)
Programación lineal (+ extensiones). Objetivos y panorama del c
Contenido del curso
1
Introducción. Motivación.
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Contenido del curso
1
Introducción. Motivación.
2
Propiedades de un PL. Soluciones básicas. El teorema
fundamental de la PL.
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Contenido del curso
1
Introducción. Motivación.
2
Propiedades de un PL. Soluciones básicas. El teorema
fundamental de la PL.
3
Dualidad. Teorema de dualidad. Condiciones de optimalidad
de KKT.
Programación lineal (+ extensiones). Objetivos y panorama del c
Contenido del curso
1
Introducción. Motivación.
2
Propiedades de un PL. Soluciones básicas. El teorema
fundamental de la PL.
3
Dualidad. Teorema de dualidad. Condiciones de optimalidad
de KKT.
4
Método simplex I. Teorı́a.
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Contenido del curso
1
Introducción. Motivación.
2
Propiedades de un PL. Soluciones básicas. El teorema
fundamental de la PL.
3
Dualidad. Teorema de dualidad. Condiciones de optimalidad
de KKT.
4
Método simplex I. Teorı́a.
5
Método simplex II. Aspectos numéricos.
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Contenido del curso
1
Introducción. Motivación.
2
Propiedades de un PL. Soluciones básicas. El teorema
fundamental de la PL.
3
Dualidad. Teorema de dualidad. Condiciones de optimalidad
de KKT.
4
Método simplex I. Teorı́a.
5
Método simplex II. Aspectos numéricos.
6
Métodos de puntos interiores I. Aspectos básicos. Condiciones
de KKT modificadas. La trayectoria central.
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Contenido del curso
1
Introducción. Motivación.
2
Propiedades de un PL. Soluciones básicas. El teorema
fundamental de la PL.
3
Dualidad. Teorema de dualidad. Condiciones de optimalidad
de KKT.
4
Método simplex I. Teorı́a.
5
Método simplex II. Aspectos numéricos.
6
Métodos de puntos interiores I. Aspectos básicos. Condiciones
de KKT modificadas. La trayectoria central.
7
Métodos de puntos interiores II. Aspectos numéricos.
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Contenido del curso
1
Introducción. Motivación.
2
Propiedades de un PL. Soluciones básicas. El teorema
fundamental de la PL.
3
Dualidad. Teorema de dualidad. Condiciones de optimalidad
de KKT.
4
Método simplex I. Teorı́a.
5
Método simplex II. Aspectos numéricos.
6
Métodos de puntos interiores I. Aspectos básicos. Condiciones
de KKT modificadas. La trayectoria central.
7
Métodos de puntos interiores II. Aspectos numéricos.
8
Extensiones. Complementariedad lineal. Programación
cuadrática convexa.
Programación lineal (+ extensiones). Objetivos y panorama del c
Condiciones de optimalidad (KKT). Forma estándar
c − AT λ − s = 0
Ax − b = 0
xi si
= 0,
i = 1, 2, . . . , n
(x, s) ≥ 0
en donde
λ es el vector de multiplicadores de Lagrange asociados con
las igualdades
Ax − b = 0
s es el vector de multiplicadores de Lagrange asociados con
las desigualdades x ≥ 0.
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Condiciones de optimalidad (KKT)
.
minimizar
f (x) = c T x
sujeta a
Ax − b ≥ 0,
(2)
c − AT π = 0
(Ax − b)i πi
= 0,
i = 1, 2, . . . , m
Ax − b ≥ 0
π ≥ 0
en donde π es el vector de multiplicadores de Lagrange asociados
con las desigualdades Ax − b ≥ 0
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Ejemplo de un PL
minimizar
sujeta a
− 2x1 − x2
x1 + (8/3)x2 ≤ 4
x1 + x 2 ≤ 2
2x1
≤ 3
x
≥ 0,
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Forma estándar de un PL
minimizar
sujeta a
− 2x1 − x2
x1 + (8/3)x2 + x3 = 4
x1 + x 2 + x 4 = 2
2x1
+ x5 = 3
x
≥ 0,
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Puntos extremos de un PL
2
x =0
x =0
5
1
x =0
4
x =0
1
3
Ω
1
x2 = 0
2
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Zona factible de un PL
2
x +x =2
2x = 3
2
1
1
x =0
1
x + (8/3)x = 4
1
1
2
Ω
1
x2 = 0
2
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Zona factible e isolı́neas de un PL
x2
2.5
5
2.2
6.7
5
2
4.5
f = 2x1 + x2
1.5
5
2.2
4.5
1
Ω
x*
0.5
5
2.2
4.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x1
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