VECTORES EN TRES DIMENSIONES

1
FÍSICA PARA TODOS
CARLOS JIMENEZ HUARANGA
VECTORES EN TRES DIMENSIONES
Los vectores pueden expresarse en función de
coordenadas, de la siguiente manera:
Si se tiene:
r
A = ( a; b; c)
r
r
r
o de otra forma: A = a i + b j + c k
r r r
donde: i , j , k , son vectores denominados,
vectores unitarios que indican la dirección de
los ejes “x”, “y”, “z” respectivamente.
z
c
→
A
θ
α
β
y
b
x
SUMA DE VECTORES
a
r
El módulo del vector A es igual:
r r
Entonces: A + B = (a1 + a2 ; b1 + b2 ; c1 + c2 )
Ejemplo: calcular el módulo del vector
resultante de los siguientes vectores:
r
A = ( 2; 1; − 2)
r
B = (1; − 3; 1)
r
C = (−1; 1; − 1)
La resultante de estos vectores es:
r r r r
R = A+ B +C
r
R = (2 + 1 − 1; 1 − 3 + 1; − 2 + 1 − 1)
r
R = (2; − 1; − 2)
r
r
r r
También se expresa: R = 2 i − j − 2k
El módulo de la resultante es:
R = ( 2) 2 + ( −1) 2 + ( −2) 2 = 9
R=3
A = a2 + b2 + c2
Ejemplo: El módulo del vector:
r
r r
r
A = i + 2 j + 2k
RESTA DE VECTORES
Si se tiene:
Es igual a: A = 12 + 2 2 + 2 2 → A = 3
cos2 α + cos2 β + cos2 θ = 1
a
→ a = A cosα
A
cos β =
b
→ b = A cosβ
A
cos θ =
c
→ c = A cosθ
A
α: ángulo que forma el vector
β: ángulo que forma el vector
θ: ángulo que forma el vector
r
A = (a1 ; b1 ; c1 )
r
B = (a2 ; b2 ; c2 )
r r
Entonces: A − B = ( a1 − a2 ; b1 − b2 ; c1 − c2 )
COSENOS DIRECTORES:
cos α =
r
A = (a1 ; b1 ; c1 )
r
B = (a2 ; b2 ; c2 )
r
A con el eje x
r
A con el eje y
r
A con el eje z
r r
Ejemplo: Calcular: A − B
r
Si se tiene: A = (4; − 8; 6)
r
B = (1; 4; 2)
La resta de los vectores es:
r r
A − B = ( 4 − 1; − 8 − 4; 6 − 2)
r r
A − B = (3; − 12; 4)
r
r r
r
r
También se expresa: A − B = 3 i − 12 j + 4k
El módulo del vector resta es:
r r
A − B = (3) 2 + (−12) 2 + (4) 2
r r
A − B = 169
r r
A − B =13
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2
FÍSICA PARA TODOS
PRODUCTO DE VECTORES
r r
Producto escalar ( A ⋅ B )
Al multiplicar escalarmente dos vectores, se
obtiene como resultado “un número”. Dicho
número se obtiene multiplicando los módulos
de los vectores y por el coseno del ángulo que
forman dichos vectores.
CARLOS JIMENEZ HUARANGA
r r
Producto vectorial ( A × B )
Al multiplicar vectorialmente dos vectores se
obtiene como resultado a otro vector.
El módulo de ese vector es igual al producto
de los módulos de los vectores a multiplicar y
por seno del ángulo que forman entre sí.
r r
A × B = A B senθ
→
B
θ
→
A
r r
A ⋅ B = A B cos θ
r
Ejemplo: Si los módulos de los vectores A y
r
B son A= 12, B=6 y el ángulo que forman
dichos vectores es 60º. Calcular el producto
escalar de ellos.
r r
A ⋅ B = A B cos θ = (12)(6) cos60º
r r
r r
A ⋅ B = (72)(0,5) → A ⋅ B = 36
Ejemplo: Si se tiene los vectores:
r
A = (1; 2; − 2)
r
B = (3; − 1; 2)
r r
Calcular el producto escalar A ⋅ B
r r
A ⋅ B = (1)(3) + (2)(-1) + (-2)(2)
r r
A ⋅ B = 3 -1 -4
r r
A ⋅ B = −2
2
→
A
r
r
Si los vectores A y B son dados de la
siguiente forma:
r
r
A = (1; 2; 3) y B = (4; 5; 6)
Su productor vectorial se determina así:
→ →
A×B=
i
1
4
j
2
5
k
3
6
r
r r
r
r
A × B = (2 × 6 − 5 × 3)i − (1 × 6 − 4 × 3) j + (1 × 5 − 4 × 2)k
r
r r
r
r
A × B = (12 − 15)i − (6 − 12) j + (5 − 8) k
Caso particular: Cuando dos vectores son
perpendiculares entre sí, el producto escalar
de ellos es “CERO”
r r
A⋅ B = 0
r
r
Ejemplo: Si los vectores A y B son
perpendiculares entre si, hallar el valor de
“a”
r
r
A = ( a; 2; − 2) y B = (3; − 1; a )
r r
Si son perpendiculares, se cumple: A ⋅ B = 0
Osea: (a)(3) + (2)(-1) + (-2)(a) = 0
3a – 2 – 2a = 0 → a = 2
La dirección de dicho vector es perpendicular
r
r
al plano que contiene a los vectores A y B
→ →
A×B
→
B
r
r r
r
r
A × B = −3i + 6 j − 3k
Si se desea calcular el módulo del producto
vectorial se procede a efectuar así:
r
r r
r
r
A × B = −3i + 6 j − 3k
r r
A× B = ( −3) 2 + (6) 2 + (3) 2
r r
A× B = 9 + 36 + 9 = 54
r r
A× B = 3 6
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3
FÍSICA PARA TODOS
¿Cómo se determina el vector unitario de
un vector?
r
El vector unitario de cualquier vector A
r
r A
Se expresa de la siguiente manera: u =
A
Ejemplo: Para determinar el vector unitario
r
r
r r
del vector: A = 2i + j + 2k , se determina en
primer lugar, su módulo:
A = 2 2 + 12 + 2 2 → A = 9 → A = 3
r
r
r r
r A 2i + j + 2 k
Entonces: u = =
A
3 r
El vector unitario del vector A , es igual a:
r
r r
r 2i
j 2k
u=
+ +
3 3
3
→
A
(2; 4; 1)
r
1. Calcular la resultante (R) de los siguientes
3 vectores:
r
r
r r
A = 2i + j − 3k
r
r r
r
B = i + 3 j + 2k
r
r
r r
C = −4i − j + 2k
r
r r
r
r
r
r r
A) R = i + 3 j + 3k B) R = −i + 3 j + k
r
r r
r
r r
r r
C) R = −i + 3 j − k D) R = i + 3 j + k
r
r
r r
E) R = −i + 5 j + k
r
2.- Determine el módulo del vector F , si:
r r
r
r
F = 2 A − B + 3C
r
r r r
A = 2i + j + k
r
r r r
B = i − j + 2k
r
r
r
r
C = −i + 3 j − 2 k
B) 6 2
C) 6 3
D) 6 5 E) 12
(6; 3; 5)
r
3. Si el módulo del vector A es igual a 3,
r
calcular el módulo del vector B :
r
r
A = (1; a; a) ; B = (2a; a; 4)
A) 4
D) 6 2
y
x
r
El vector A está entre los puntos:
(2; 4; 1) y (6; 3; 5)
Su ecuación vectorial se obtiene restando el
punto del extremo del vector menos el punto
del origen del vector:
r
A = (6; 3; 5) – (2; 4; 1)
r
A = (6 - 2; 3 - 4; 5 - 1)
r
A = (4; -1; 4)
r
r
r r
A = 4i − j + 4 k
PROBLEMAS PROPUESTOS
A) 6
¿Cómo se determina la ecuación vectorial
de un vector?
z
CARLOS JIMENEZ HUARANGA
B) 4 2
E) 10
C) 6
4. Determine los valores de m y n si se
cumple la siguiente relación:
r
r
r
A = mB + nC
r
r r r r
r r
A = i − j ; B = 2i + j + 3k ;
r
r r r
C = i + j + 2k
Dar como respuesta: m+ n
A) 0
B) -1
C) +1
D) +2
E) -2
r
5. Un vector A tiene su origen en el punto
(2; -1; -2) y su extremo (flecha) en un
r
punto “P”; un segundo vector B se inicia
en el punto “P” y termina en el punto
(-3; 1; 3). Calcular el módulo del vector
resultante de estos dos vectores.
A) 2 6 B) 3 6
C) 4 6
D) 5 6 E) 6 6
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FÍSICA PARA TODOS
6. Dos vectores parten de un mismo punto
“P” y uno de ellos termina en el punto
(3; -2; -1) y el otro en el punto (2; -4; -2).
Calcular el módulo de la resta de estos
vectores.
A) 6
B) 2
C) 3
D)
5
E) 2 6
r
7. Calcular el vector unitario del vector A .
z
→
A
x
(4; -3; -1)
A)
1r 2 r 2 r
1r 1 r 1 r
i + j + k B) i + j + k
3
3
3
6
3
3
C)
1r 2 r 2 r
1r 2 r 2 r
i + j − k D) i − j + k
3
3
3
3
3
3
1r 2 r 2 r
E) − i + j + k
3
3
3
r
8. Calcular la resultante de los vectores A y
r
B , ubicados en el siguiente cubo de 2
unidades de arista.
z
→
B
r
r
10. Si se tiene: a = (3; 1; − 4) y b = (−2; 3; 1) .
r r
Calcular: a ⋅ b
A) +7
B) -7
C) -1
D) +1
E) 0
12. En la figura se tiene a los vectores
r r
r
A ; B y C perpendiculares entre sí.
Indique la expresión correcta que
represente la figura.
→
A
→
B
→
C
r
r
r r
r r
A) A × B = C
B) C × A = B
r
r r
r r
r
C) A × C = B
D) B × C = A
r
r
r
E) B × A = − C
13. Un vector forma 60º con el eje “x”, 120º
con el eje “y”, ¿qué ángulo forma dicho
vector con el eje “z”?
A) 30º
B) 45º
C) 60º
D) 120º
E) 180º
y
x
r
r
r
A) i + 2 j + 2k
r
r
r
C) 2i + 4 j − 2k
r
r
r
E) 2i − 4 j − 2k
r
r
a = ( m; n; − 4) ; b = ( n; − 1; p ) y
r
c = (3; p; m)
A) 0
B) +1
C) -1
D) +2
E) -2
r
r
11. Si
los
vectores
A y B
son
perpendiculares entre sí, determine el
valor de “a”.
r
r
A = ( a; − 2; 3) y B = ( 2; 1; − a )
A) 0
B) +1
C) -1
D) +2
E) -2
(2; 1; 3)
y
→
A
CARLOS JIMENEZ HUARANGA
r
r
r
B) 2i + 4 j + 2k
r
r
r
D) 2i − 4 j + 2k
r r r
9. Si la resultante de los vectores a ; b y c
es nula, calcular: m + n + p.
14. El resultado de efectuar el producto
escalar de dos vectores da como resultado
una cantidad igual al módulo del producto
vectorial de los mismos vectores. ¿Qué
ángulo forman dichos vectores?
A) 30º
B) 37º
C) 45º
D) 60º
E) 90º
r
r
15. ¿Qué ángulo forman los vectores A y B
r r r r
r
si se sabe que: A = 2k y B = i + j
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FÍSICA PARA TODOS
A) 0º
D) 90º
B) 45º
E) 120º
CARLOS JIMENEZ HUARANGA
A) 0
D) +2
C) 60º
B) +1
E) -2
19. El vector ubicado en el cubo de arista
igual a 1, tiene un módulo igual a 3 3 .
Determine su ecuación vectorial.
16. ¿Qué ángulo forman los vectores:
r
r r
r
r
r r r
A = i + 2 j + 2k y B = − i + j + k
z
A) 30º
B) 60º
C) 90º
D) Arc tg 2
E) Arc tg 3
r r
17. Calcular el producto vectorial: A × B
r
r
A = ( 2; − 3; 1) y B = (1; − 2; − 1)
A) (5; 3; -1)
C) (-5; 3; 1)
E) (1; -1; 3)
→
B
y
x
B) (5; -3; -1)
D) (1; 3; -1)
18. En la siguiente figura se tiene un cubo de
arista igual a 1, y en él dos vectores.
Determine el producto escalar de dichos
vectores.
z
→
A
C) -1
y
r r r
A) i + j + k
B)
r
r
r
C) 3i + 3 j + 3k
D)
r
r
r
E) 3i + 3 j + 3k
r
r
r
2i + 2 j + 2 k
r
r
r
3i − 3 j + 3k
r
r
20. Se sabe que los vectores A y B son
r r
perpendiculares entre sí. Calcular: A × B
r
r r r r
r
r
r
A = i − aj + k y B = 2i + 2 j + ak
A) 3
D) 6 2
x
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B) 3 2
E) 12
C) 6