Cálculo

Cálculo
Problemas 4
El problema 15 es para entregar el sábado 16/03/13
1. Para las siguientes funciones halle los valores máximo y mı́nimo ası́ como los máximos y mı́nimos locales, si existen, en el
intervalo dado.
(b) g(x) = x3 − 3x + 1, (− 23 , 3)
(a) f (x) = (2x3 + 3x2 − 12x)/5, [−3, 3]
2
2
(d) f (x) = 1/(1 + x ), (−∞, ∞)
(f) s(t) = sen t − cos t, [0, π]
(e) f (x) = x/(1 + x ), (−1, 4)
3
(g) f (x) = x − 2 sen x, [−2π, 2π],
(c) h(r) = 1/r, [−1, 3]
2
(h) |x − 6x + x + 2|, [−1, 5]
(i) | cos x + x sen x + 2|, [−1, 5].
2. Determine los intervalos en los cuales las siguientes funciones son crecientes y decrecientes y los intervalos de convexidad y
concavidad. Determine también sus puntos de inflexión.
(a) f (x) = x3 + 1
3
(b) f (x) = x2 − 2x + 8
(e) f (x) = x + x − 2
2
(i) f (z) = z −
1
z2
4
(c) f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)
2
(f) f (x) = x − 3x + 1
2
2
3
(g) f (x) = −x + 2x + 1
2
(j) g(x) = 2x + cos x
2
(k) 24x + 12 sen x
(d) f (x) = sen x + cos x
(h) f (x) = sen x (0 ≤ x ≤ 2π)
(l) f (x) = 3x3 − 18x.
3. Para las siguientes funciones halle el máximo y el mı́nimo (i) para todo x (ii) en el intervalo dado. Además (iii) halle los
intervalos en los que cada función es creciente o decreciente.
√
(d) (x − 4)5 , [3, 6]
(a) x2 − 2x − 9, [0, 4]
(b) x2 − 2x + 1, [−1, 4]
(c) 3x − x3 , [−2, 3]
√
√
(e) x4 − 2x2 , [−2, 1] (f) (x − 1)1/3 + (1/2)(x + 1)2/3 , [−2, 7] (g) x2/5 + 1, [−1, 1] (h) x2 + 1, [0, 8]
4. Sean f y g dos funciones diferenciables en (a, b). Suponga que f 0 (x) > g 0 (x) para todo x en el intervalo y que existe un número
c en (a, b) tal que f (c) = g(c). Demuestre que si x ∈ (a, b) entonces f (x) > g(x) si x > c y f (x) < g(x) si x < c.
5. Exprese el número 4 como suma de dos números positivos de modo que la suma del cuadrado del primero y el cubo del
segundo sea tan pequeña como sea posible.
6. Un alambre de 24 cm. se corta en dos; una parte se dobla en forma de un cı́rculo y la otra en forma de un cuadrado. ¿Cómo
debe cortarse el alambre si la suma de las áreas del cı́rculo y el cuadrado deben ser (i) mı́nima, (b) máxima.
7. Demuestre que (2, 2) es el punto en la gráfica de la ecuación y = x3 − 3x que está más cerca del punto (11, 1).
8. Determine los puntos de inflexión de las funciones sen x y cos x.
9. Determine los intervalos de convexidad y concavidad de las siguientes funciones y haga una gráfica de las mismas.
(a) y = x + x1 ,
(b) y =
x
x2 +1
(c) y =
x
x2 −1
10. Sea f, g funciones definidas en R y convexas. Suponga que f es creciente. Demuestre que f ◦ g es convexa.
11. En los cuatro problemas siguientes dibuje la gráfica de una función continua f en [0, 6] que satisfaga todas las condiciones
que se indican.
(a) f (0) = 8, f (6) = −2, decreciente en el intervalo (0, 6), punto de inflexión en (2, 3), convexa en el intervalo (2, 6)
(b) f (0) = 3; f (3) = 0; f (6) = 4; f 0 (x) < 0 en (0, 3); f 0 (x) > 0 en (3, 6); f 00 (x) > 0 en (0, 5); f 00 (x) < 0 en (5, 6).
(c) f (0) = f (4) = 1; f (2) = 2; f (6) = 0; f 0 (x) > 0 en (0, 2); f 0 (x) < 0 en (2, 4) ∪ (4, 6); f 0 (2) = f 0 (4) = 0; f 00 (x) > 0 en
(0, 1) ∪ (3, 4); f 00 (x) < 0 en (1, 3) ∪ (4, 6).
(d) f (0) = f (3) = 3; f (2) = 4; f (4) = 2; f (6) = 0; f 0 (x) > 0 en (0, 2); f 0 (x) < 0 en (2, 4) ∪ (4, 5); f 0 (2) = f 0 (4) = 0; f 0 (x) = −1
en (5, 6); f 00 (x) < 0 en (0, 3) ∪ (4, 5); f 00 (x) > 0 en (3, 4).
12. Use el método de bisección para hallar la solución de las siguientes ecuaciones en el intervalo dado con una precisión de dos
decimales. (a) x3 + 2x − 6 = 0, [1, 2]
(b) x4 + 5x3 + 1 = 0, [−1, 0]
(c) 2 cos x − sen x = 0, [1, 2].
13. Use el método de Newton para hallar la solución de las siguientes ecuaciones en el intervalo dado con una precisi’on de cinco
decimales. (a) La mayor raı́z de x3 + 6x2 + 9x + 1 = 0 (b) La raı́z real de 7x3 + x − 5 = 0
(c) La raı́z positiva más
pequeña de 2 cos x − sen x = 0.
14. Halle los siguientes lı́mites aplicando la regla de L’Hôpital.
(d) lı́mx→0
sen x−tan x
x2 sen x
(a) lı́mx→0
(e) lı́mx→π/2 (tan x · ln(sen x)) (f) lı́mx→∞
(ln x)2
2x
x−sen x
tan x
(b) lı́mx→−2
x2 +6x+8
x2 −3x−10
(c) lı́mx→π/2
ln(sen x)3
(π/2)−x
2
(g) lı́mx→0+ (3x)x (g) lı́mx→π/2 (sen x)cos x
15. Considere la función f (x) = x2 (x − 4). Determine dónde es creciente y dónde decreciente esta función. Halle sus valores
extremos, los extremos locales y los puntos de inflexión. Halle los intervalos de convexidad y concavidad.
1