CUESTIONES RESUELTAS 3. INTEGRACIÓN FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS. 1º GRADO GESTIÓN AERONAÚTICA INTEGRAL DEFINIDA. REGLA DE BARROW. 1. Sea f(x) una función discontinua en x=0 y continua en el resto de puntos del intervalo [-1,1]. Entonces f(x) es integrable en [-1,1] y tiene primitiva en dicho intervalo. 1 verifica las condiciones del enunciado, no es integrable en [-1,1] x a. Falso, la función f ( x) = y no tiene primitivas en este intervalo. b. Es cierto que la función es integrable en [-1,1] ya que cumple la condición suficiente de integrabilidad en el intervalo, sin embargo no tiene primitiva en [-1,1] ya que no es continua en x=0. c. Verdadero, f(x) es integrable en [-1,1] ya que cumple la condición suficiente de integrabilidad, y una de sus primitivas es su función integral en dicho intervalo. 2. Sea f ( x) una función continua en el intervalo [-2,2] tal que que la función g(x)=|f(x)| es integrable en [-2,2] y además ∫ 2 −2 ∫ 2 −2 f ( x)dx = 0 . Entonces, se verifica g ( x)dx = 0 . a. Verdadero, ya que g(x) es continua (y, por tanto, integrable) en [-2,2], al ser composición de funciones continuas. pues g(x)=h(f(x)) donde h(x)=|x|. Además, aplicando las propiedades de las funciones integrables, resulta que 2 2 −2 −2 g ( x)dx ∫ ∫= | f ( x) | dx = 2 f ( x)dx ∫= −2 0. b. Es falso, ya que aunque g(x) es integrable en [-2,2], no es cierto que demuestra ∫ 2 −2 la función 0 2 −2 0 f(x)=x para la cual ∫ 2 −2 xdx = 0 ∫ 2 −2 g ( x)dx = 0 como lo y, sin embargo | x | dx = ∫ (− x)dx + ∫ xdx = 2 + 2 = 4 ≠ 0 . c. Falso, pues bajo las hipótesis del enunciado no podemos garantizar la integrabilidad de la función g(x) en el intervalo [-2,2]. 3. Sean las funciones f(x) y F(x) definidas por x2 1 ≤ x < 2 f ( x) = 6 − x 2 ≤ x ≤ 3 x3 + 1 1≤ x < 2 2 . ; F ( x) = 2 6 x − x − 20 2 ≤ x ≤ 3 2 3 Entonces, F(x) es una primitiva de f(x) en [1,3]. a. Falso, pues F(x) no es la función integral de f(x) en el intervalo [1,3] ya que F(1)=1≠0. b. Verdadero, pues f es continua, F(x) es su función integral en [1,3] y por tanto por el Teorema Fundamental del Cálculo F(x) es una de sus primitivas en [1,3]. c. Verdadero, pues F(x) es continua y derivable en [1,3] y F’(x)=f(x) en dicho intervalo. d. Falso, pues F(x) no es continua en [1,3]. 4. La función F ( x) = Ln [3,5]. x−6 ( x + 2) 2 + Ln 2 es una función primitiva de f ( x) = 2 x−2 x −4 en el intervalo a. Falso, F no puede ser la primitiva de f en [3,5] porque F no es continua. b. Verdadero, pues F(x) es derivable en el intervalo [3,5] y además se verifica que F ' ( x) = f ( x) en el intervalo [3,5]. c. Falso, pues f(x) no está acotada en x=2 y en consecuencia no puede ser integrable en el intervalo [3,5] ni tener una primitiva en dicho intervalo. x2 −1 0 ≤ x ≤ 1 entonces 5. Sea f ( x) = − ln( x) 1 < x ≤ e ∫ e 0 5 f ( x)dx = − . 3 (a) Falso, dado que la integral representa el área de una región del plano y no puede ser negativa. x3 −x 0 ≤ x ≤1 (b) Verdadero, f es continua en el intervalo [0,e], F ( x) = 3 es una función x(1 − ln( x)) 1 < x ≤ e primitiva de f en [0,e] y aplicando la regla de Barrow, se tiene que 5 f ( x)dx = F (e) − F (0) = − 3 e 1 2 (c) Verdadero, pues ∫ ( x 2 − 1)dx = − y ∫ (− ln( x))dx = −1 [− x ln x + x]xx==1e = 0 1 3 ∫ e 0 (d) Falso, la función f no es integrable por no ser continua. x − 1 si − 2 ≤ x ≤ −1 6. La función f ( x) = x 3 si − 1 ≤ x < 1 es integrable en el intervalo [-2,2]. x + 1 si 1≤ x ≤ 2 a. Verdadero, pues como − 3 ≤ f ( x) ≤ 3 para todo x ∈ [− 2,2] entonces f es acotada en [-2,2] y toda función acotada es integrable. b. Falso, ya que f no es continua en el intervalo [-2,2]. c. Verdadero, dado que f es una función acotada y discontinua en x=-1 y x=1, por tanto en un número finito de puntos de [-2,2], luego es integrable. 7. Sean las funciones f(x) y F(x) definidas por x −1 ≤ x < 0 f ( x) = 2 − x − 1 0 ≤ x ≤ 1 4 x5 ; F ( x) = 3 5 − x − x + 1 3 5 −1 ≤ x < 0 . 0 ≤ x ≤1 Entonces, F(x) es la función integral de f(x) en el intervalo [-1,1] y F(x) es una primitiva de f(x) en dicho intervalo. a. Falso, pues f(x) no es continua y, por tanto, no es integrable en [-1,1] por lo que no existe su función integral. También es falso que F(x) sea primitiva de f(x) en [-1,1] ya que F (−1) ≠ 0. b. Verdadero, pues f es continua, F(x) es su función integral en [-1,1] y por tanto por el Teorema Fundamental del Cálculo F(x) es una de sus primitivas en [-1,1]. c. Falso. F(x) no es la función integral de f(x) pues F(-1)=-1/5. Tampoco es una primitiva de f(x) en [-1,1], ya que F(x) no es derivable en x=0. e x +1 −1 ≤ x ≤ 0 3 x + 2 0 < x ≤ 1 8. Sea f ( x) = se verifica que: es integrable en el intervalo [−1,1] ya que es continua en dicho intervalo. a. f (x) b. e x + x +1 −1 ≤ x ≤ 0 F ( x) = x 4 4 + 2 x + 2 0 < x ≤ 1 es la función integral de f (x) en el intervalo [−1,1] . c. La función f (x) no tiene primitiva en [−1,1] ya que no es continua en x=0. 9. Sean las funciones f(x) y F (x) definidas por: x2 − 2 x si − 2 ≤ x < 0 F ( x) = 24 x + 5 x si 0 ≤ x ≤ 2 4 x − 2 si −2 ≤ x < 0 f ( x) = 3 0≤ x≤2 x + 5 si Entonces se verifica: a. no tiene primitiva en el intervalo [−2,2] . b. F (x) es una primitiva de f (x) puesto que f (x) es integrable en [−2,2] y se verifica que F ' ( x) = f ( x) para todo x ∈ [−2,2] . c. f (x) es integrable en el intervalo [−2,2] por lo que existe función integral en dicho intervalo que es la función x2 − 2 x − 6 − 2 ≤ x ≤ 0 G ( x) = 24 . x + 5x − 6 0 < x ≤ 2 4 CÁLCULO DE PRIMITIVAS 2 10. Sea la función f ( x) = xe 2 x se verifica que: 1 a. F ( x) = e 2 x + 7 es una primitiva de f (x) ya que F ' ( x) = f ( x) . 2 1 2 x 2 x2 b. ∫ f ( x)dx = e 2 x + C 4 c. ∫ f ( x)dx = 4 e +C 2 x −1 es una función primitiva de f ( x) = 2 en el intervalo [2,5]. x +1 x −1 (a) Falso, pues como F(x)=ln(x-1)-ln(x+1) entonces F’(x)≠f(x). 11. La función F ( x) = ln (b) Falso, F no puede ser la primitiva de f en [2,5] porque F no es derivable en [2,5] pues no es continua en dicho intervalo. (c) Verdadero, pues la integral indefinida de f es 2 1 1 dx = ∫ − dx = −1 x −1 x +1 x −1 = ln( x − 1) − ln( x + 1) + C = ln + C. x +1 ∫ f ( x)dx = ∫ x 12. Dada la integral ∫ sen x cos 2 3 2 xdx se verifica que sen3 x sen5 x − +C 3 5 (a) Verdadero, pues efectuando el cambio de variable t = sen( x) se verifica que dt = cos( x)dx y por dt tanto despejando dx se tiene que dx = por lo que cos( x) 2 3 ∫ sen x cos xdx = 2 3 2 2 2 4 ∫ sen x cos xdx = ∫ t (1 − t )dt = ∫ (t − t )dt = t3 t5 sen3 x sen5 x − +C = − +C 3 5 3 5 2 3 (b) Falso, pues la función f ( x) = sen x cos x no tiene primitivas ya que se trata de una función no integrable. (c) Falso, pues aplicando el método de descomposición por partes, si tomamos por u 2 sen = xcos 2 x y por dv cos xdx se obtiene que du = 2 ∫ sen x cos 2 3 xdx = ( sen 2 x cos 2 x)( senx) − ∫ 2senx cos x dx y v=sen(x) por tanto senx cos x dx = senx xdx ( sen3 x cos 2 x) − 2 senx + C = ( sen3 x cos 2 x) − 2 ∫ cos = ≠ sen3 x sen5 x − +C 3 5 13. Se verifica que 3 ∫ cos xdx = sen( x) − sen 3 ( x) + C. 3 , sen3 ( x) 3sen 2 x (a) Falso, ya que − + sen( x) = − + cos( x) = − sen 2 x + cos x ≠ cos3 x. 3 3 3 (b) Falso, pues cos ( x) no tiene primitivas. (c) Verdadero, pues efectuando el cambio de variable t = sen( x), dt = cos( x)dx y teniendo en cuenta que sen 2 x + cos 2 x = 1 entonces t3 sen 3 ( x) 3 2 ∫ cos xdx = ∫ (1 − t )(dt ) = t − 3 + C = sen( x) − 3 + C INTEGRALES IMPROPIAS 1 1− x , entonces se verifica que ∫ f ( x)dx es convergente. 0 x 11− x (a) Verdadero, puesto que ∫ dx = β (0, 2) , y por tanto es convergente. 0 x 11 1 1− x 1 (b) Falso, ya que = − 1 y como ∫ (−1)dx es convergente y ∫ dx es divergente, 0 x 0 x x 14. Dada la función f ( x) = entonces resulta que la integral de la suma es divergente. ( x) ln( x) − x es una primitiva de f en (0,1], y como (c) Falso, la función F= entonces la integral dada es divergente. 1− x ≥ 1 − x ≥ 0 , y como la integral x 11− x 1 ∫0 (1 − x)dx es convergente, por el criterio de comparación se tiene que ∫0 x dx es (d) Verdadero, pues para todo x ∈ (0,1] se verifica que convergente. x 15. Sea f(x) una función continua en [0, ∞) tal que para todo x ≥ 0 se cumple: 0 < f ( x) ≤ e Entonces podemos asegurar que la integral I = (a) Verdadero, pues como ∫ ∞ 0 ex dx es divergente. f ( x) ex ex ≥ 1 entonces, si existe, lim ≥ 1 y por tanto distinto de cero; x →∞ f ( x ) f ( x) por ello la integral es divergente. (b) Falso, pues si f ( x) = 1 entonces ∫ ∞ 0 ∞ ex dx = e x dx = Γ(1) = 1. ∫ 0 f ( x) (c) Verdadero, pues si f ( x) = e entonces x ∫ ∞ 0 ∞ ex dx = ∫ 1dx y esta integral es divergente. 0 f ( x) 16. Sea f(x) una función acotada e integrable en [1,b] para todo b≥1 tal que lim f ( x) = 0 . Entonces x →∞ ∫ ∞ 1 f ( x)dx es convergente. (a) Verdadero, pues se cumple la condición necesaria de convergencia. (b) Falso, pues f ( x) = 1 verifica las hipótesis del enunciado y sin embargo no es x convergente. (c) Falso, pues f ( x) = 1 verifica las hipótesis del enunciado y sin embargo x4 no es convergente. (d) Falso, aunque sería cierto si lim F (b) < ∞ siendo F(x) una primitiva de f(x) en [1,b] para b →∞ todo b≥1. 2 3 dx = . 3 −1 x 4 ∫ 17. La integral I = 2 2 = 0 , entonces I es convergente x →∞ x 3 a. Verdadero, pues como lim b. Verdadero, pues −1 −1 3 2 1 1 − = − +1 = . I = ∫ 3 dx = − 2 = −1 x 4 1 4 4 x −1 2 c. Falso, f ( x) = 3 no es una función acotada en [-1,2], al no estar definida en x=0 (x=0 es x 2 2 una asíntota vertical de f(x)). Así, I es una integral impropia que puede escribirse como 2 2 2 dx + ∫ 3 dx 3 0 x −1 x I =∫ 0 y como estas dos integrales son divergentes, I también es divergente. ∫ 18. La integral I = ∞ 0 xe − x dx es convergente. a. Verdadero, pues F ( x) = −( x + 1)e − x es una primitiva de f ( x) = x ⋅ e − x en (0, ∞) y − ( x + 1) −1 = lim x = 0. x x → ∞ e e b. Verdadero, pues I = Γ(2) = 1!= 1. c. Falso, ya que lim xe − x = 1 ≠ 0 y, por tanto, no cumple la condición necesaria de lim F ( x) = lim x →∞ x →∞ x →∞ convergencia. APLICACIONES. CÁLCULO DE AREAS 19. Determinar qué integral o integrales definidas habría que calcular para obtener el área limitada por las curvas y=2x, x=2 e y=2/x tal y como se muestra en la siguiente figura: (a) 1 ∫ 2 xdx + ∫ 0 2 1 2 dx x y 1 (b) ∫ (2 − 2 )dy + ∫ (c) ∫ 0 2 1 2 ( − 2 y )dy y 2 2 y (1 − )dy + ∫ dx 0 1 x 2 2 20. Determinar qué integral o integrales definidas habría que calcular para obtener el área limitada por 2 2 las curvas y = − x , y = x + 2 , x = -1 y x = 1 / 2 (a) 1/ 2 ∫ −1 3 (b) ∫ (c) ∫−1 −1 tal y como se muestra en la siguiente figura: (2 x 2 + 2)dx ( 2 − y − − y )dy 1/ 2 0 0 1 ( x 2 + 2)dx + ∫−1 (− − y − (−1))dy + ∫−1/ 4 ( − − y )dy 2 21. Sea el área limitada por las curvas y = 9, continuación: y = 6 x − x 2 , x = 0, y = x tal y como se muestra a Determina qué integrales definidas habría que calcular para obtener el área sombreada y delimitada por estas curvas: a. b. c. 5 ∫3 (9 − (6 x − x 9 2 5 9 ))dx + ∫5 (9 − x)dx ∫0 (9 − x)dx − ∫0 (6 x − x − x)dx 9 5 2 ∫3 (9 − x)dx − ∫3 (6 x − x − x)dx 2