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SUPERFICIES
SUPERFICIES
Se puede considerar una superficie, como una lámina infinitamente delgada, que recubre un cuerpo, separa dos medios o
dos regiones del espacio.
Una Superficie puede estar engendrada de dos maneras:
1º.- Como lugar geométrico de las posiciones de una línea cualquiera, que se mueve en el espacio.
2ª.- Como envolvente de las sucesivas posiciones de otra superficie, que se mueve a su vez en el espacio.
En general, tanto las líneas como las superficies generatrices, pueden permanecer con forma inalterable, o variar en
función de su posición en el espacio.
CLASIFICACION DE LAS SUPERFICIES
Prisma
Radiadas -------------------------------Pirámide
SUPERFICIES
Tetraedro
Cubo
Poliédricas
Regulares -------------------------------
Octaedro
Dodecaedro
Desarrollables
Icosaedro
Irregulares
Cono
Regladas
Radiadas
-----------------------
De Revolución
2º Grado
Hiperboloide Elíptico ------------------
De 1 hoja o Reglado
2º Grado
Cuerno de Vaca
O Paso Inferior
Cilindro
Polares
Rectificantes
Tangenciales --------------
Helizoide desarrollable
De Igual Pendiente
De 3 Directrices
------------------
Paraboloide Hipérbolico
Alabeadas
De Plano Director
Conoide (de Wallis)
Helizoide de Plano Director
De Cono Director
Helizoides de Cono Director
Esfera
Elipsoide
De 2º Grado
Revolución
Paraboloide Elíptico
Hiperboloide Hiperbólico
Toro
Curvas
Escocia
Helizoides Curvos
Varias
Serpentines
Complejas
Superficies Regladas: Son aquellas superficies engendradas por el movimiento de una recta.
Regladas desarrollables son las que:
1º Pueden extenderse (superponerse) sobre un plano.
2º Dos generatrices infinitamente próximas se cortan.
3º El plano tangente en un punto lo es también a lo largo de la generatriz que pasa por él.
Regladas alabeadas son las que:
1º No pueden extenderse sobre un plano (no desarrollables).
2º Dos generatrices infinitamente próximas se cruzan.
3º El plano tangente en un punto lo es sólo para ese punto de la generatriz. Para cada generatriz existe un haz de
planos tangentes.
De tres directrices: Aquellas en que las generatrices se apoyan en tres curvas, rectas o rectas y curvas.
De plano director: Cuando las generatrices se apoyan en dos directrices propias y una impropia, esto es, se
mantienen paralelas a un plano.
De cono director: Aquellas cuyas generatrices se apoyan en dos directrices propias y se mantienen paralelas a las
correspondientes generatices de un cono de referencia.
Superficies Curvas: Son las engendradas por el movimiento de una línea curva.
Poliedros: Son superficies limitadas por caras planas. Poliedros regulares aquellos cuyas caras son polígonos regulares.
Radiadas: Son superficies engendradas por el movimiento de una recta que se apoya en un punto (llamado Vértice) y en
una directriz.
Atendiendo al tipo de directriz y posición del vértice tenemos los siguientes casos:
DIRECTRIZ
VERTICE
SUPERFICIE
Polígono
Curva
Polígono
Curva
Propio
Propio
Impropio (∞)
Impropio (∞)
Pirámide
Cono
Prisma
Cilindro
De revolución: Son las engendradas por el giro de una línea, recta o curva, alrededor de un eje.
Esta clasificación es la más aceptada, aunque determinadas superficies puedan tener doble o triple generación.
P. ej. El Hiperboloide elíptico: Como reglada de tres circunferencias directrices, o como de revolución de una
rama de hipérbola alrededor de su eje transverso.
CUADRICAS
Se llama cuádrica a la superficie cuya expresión matemática es una ecuación de segundo grado.
Geométricamente se caracteriza como aquella superficie cuyas secciones planas son siempre cónicas, y una recta la
intersecta a lo sumo en dos puntos.
La cuádricas son las siguientes:
REGLADAS
CURVAS
Cono.
Cilindro.
Hiperboloide Elíptico, Reglado o de una hoja.
Paraboloide Hiperbólico o Reglado.
Esfera.
Elipsoide.
Paraboloide Elíptico o de Revolución
Hiperboloide Hiperbólico o de dos hojas
TEOREMAS DE INTERSECCIÓN DE CUÁDRICAS
Para la correcta y rápida realización de las intersecciones de las cuádricas son de gran interés los los teoremas que se
exponen a continuación.
A - TEOREMAS FUNDAMENTALES.
I.- Toda sección plana de una cuádrica es una cónica.
Por tanto las secciones planas obtenidas podrán ser:
CONICA
Circunferencia
Elipse
Parábola
Hipérbola
DEGENERADA
Punto
Punto
Recta
2 Rectas secantes
II.- Dos secciones planas de una misma cuádrica son homológicas.
Es decir, entre dos secciones planas de una misma cuádrica, existe una relación de homología
Un caso interesante es el de las superficies radiadas desarrollables:
Entre dos secciones planas de una superficie radiada desarrollable, existe una relación de homología, tal que, el
centro de homología es el vértice de la superficie (radiación), y el eje (recta de puntos dobles), es la intersección
de los planos que contienen a dichas secciones. De aplicación a conos, cilindros, pirámides y prismas.
Cuando el vértice está en el infinito, estamos frente a una afinidad.
III.- La intersección de dos cuádricas es en general una curva de cuarto grado, y la proyección de esta curva sobre
cualquier plano, es en general una curva plana de cuarto grado.
La curvas planas de cuarto grado, son cerradas y continuas y carecen, por consiguiente, de los puntos de inflexión y
retroceso de las de tercer grado.
Parábola semicúbica
Parábolas cúbicas
IV.- Si dos cuádricas que se cortan, tienen una curva plana común, la intersección se completa con otra curva plana.
Si la intersección de dos cuádricas debe ser de 4º grado, según el teorema III, y tienen una cónica común,
necesariamente habrán de tener otra para que el conjunto sea de 4º grado.
En esta figura, por tener los conos
una
directriz común circunferencia C1, la curva C2
deberá ser una cónica.
Como consecuencia, si una cuádrica tiene
común con una esfera una circuferencia, el
conjunto se compone de otra circunferencia
además de la primera (curva plana de la
esfera = circunferencia).
V.- Dos cuádricas tangentes en dos puntos, se cortan según dos curvas planas que pasan por dichos puntos.
La figura presenta dos cilindros bitangentes (tangentes en dos puntos). Las intersecciones son dos elipses que se cortan
en dichos puntos (cuerda común).
VI.- La curva de tangencia entre dos cuádricas es plana.
La tangencia puede ser considerada como un caso límite de la intersección. En tal caso la tangencia es una curva doble, en
la que se confunden las curvas de entrada y de salida de la intersección. Por tanto al tratarse de una curva doble, deberá
ser de 2º grado para que se cumpla el teorema III.
Ejemplo de tangencia entre un Hiperboloide Elíptico y un Cilindro.
VII.- Si dos cuádricas que se interseccionan, tienen plano de simetría común, la proyección ortogonal de la intersección
sobre dicho plano de simetría o uno paralelo a él, es una cónica.
Intersección de Elipsoide y Cilindro, la
proyección vertical de la intersección sobre
el plano de simetría es un un arco de cónica.
VIII.- a) Si dos cuádricas que se interseccionan según dos curvas planas, tienen plano de simetría común, que también lo
es para cada una de las curvas planas, la proyección ortogonal sobre dicho plano o uno paralelo a él serán dos rectas.
Es evidente, que al proyectar una curva plana sobre su plano de simetría se obtiene una recta, ya que al proyectar dos a
dos los puntos de la curva, la línea de puntos dobles que resulta deberá ser de primer grado, es decir una recta.
En la figura, las curvas C1 y C2 habrán de ser planas
puesto que por el teorema V, las dos cuádricas
bitangentes se cortarán según dos curvas planas. Por ser
el plano PS de simetría, que también lo es para las
curvas, su proyección en PV serán dos rectas.
b) Si el plano de simetría lo es para las cuádricas pero no para las cónicas, la proyección ortogonal sobre dicho plano o uno
paralelo a él, será una cónica en la que se proyectan las dos del espacio.
Si la proyección de una cónica la realizamos sobre un plano distinto al de simetría, obtenemos otra proyección de la cónica
y no una recta. Ahora bien por poseer las dos cuádricas plano de simetría la aplicación de teorema VII, nos dice que su
proyección es una cónica, y no dos
La curvas C1 y C2 de la figura,
son planas por ser las cuádricas
bitangentes. El plano PS es de
simetría para las cuádricas pero
no para las cónicas, por lo que la
proyección
sobre
el
plano
vertical es una elipse.
IX.- Dos cuádricas Homotéticas se interseccionan según dos curvas planas una Propia y otra Impropia (en el infinito).
En al figura puede verse el caso de
intersección de dos conos homotéticos. Su
intersección propia es una hipérbola.
B - TEOREMAS SOBRE EL TIPO DE CONICA PROYECCION.
Se ha visto en el teorema VII la posibilidad de la proyección de las cuárticas que, en general producen las intersecciones
de cuádricas, como cónicas según condiciones particulares. Los siguientes teoremas se refieren a ello.
X.- Si dos cuádricas de revolución con sus ejes paralelos, se interseccionan, la proyección ortogonal de la curva
intersección sobre el plano de los ejes o uno paralelo a él, será un arco de parábola.
En el caso de que los ejes de las cuádricas coincidan, la proyección de la intersección será dos rectas paralelas, que nos
indican la dirección del punto del infinito en la parábola degenerada.
XI.- a) Si se interseccionan dos cuádricas de revolución, cuyos ejes se cortan, la proyección ortogonal de su curva de
intersección sobre el plano de los ejes o uno paralelo a él, será un arco de hipérbola.
b) En el caso particular que una de las cuádricas sea un elipsoide acahatado, la proyección de la intersección en las mismas
circunstancias, será un arco de elipse, (elipsoide achatado es aquel que tiene como eje de revolución el menor de la elipse
generadora).
Si las cuádricas que se interseccionan son tangentes en dos puntos, en el caso “a” la proyección de la curva de intersección
serán dos rectas, que nos indican la dirección de los puntos del infinito de la hipérbola degenerada; y en el caso “b”, un
punto, centro de la elipse degenerada.
NOTA: En el caso de que una de las cuádricas fuera una esfera, por sus especiales características, la aplicación de los
teoremas X y XI es ambigua
XII.- Si se interseccionan dos cuádricas de revolución de ejes paralelos, cuyos centros se hallan en una perpendicular a
ambos, la proyección de su intersección sobre un plano perpendicular a sus ejes, será un arco de circunferencia.
Si los ejes de las cuádricas coinciden, la proyección en las mismas circunstancias es una circunferencia y en el espacio
también lo es.
La proyección de la intersección de un cilindro de revolución con cualquier otra superficie, sobre un plano perpendicular al
eje del cilindro, es un arco de circunferencia.
C - TEOREMAS SOBRE CUADRICAS REGLADAS
Los teoremas que siguen se refieren a las cuádricas regladas que hemos clasificado.
XIII.- La intersección de dos cuádricas regladas, que tienen común una generatriz, se completa con una curva de tercer
grado.
Si las cuádricas son regladas desarrollables, y tienen común además el plano tangente a lo largo de la generatriz, la
intersección se completa con una curva de 2º grado.
XIV.- La intersección de dos cuádricas regladas, que tienen comunes dos generatrices concurrentes, se completa con
otras dos generatrices o una cónica.
XV.- La intersección de dos cuádricas regladas que tienen comunes dos generatrices de un mismo sistema, se completa
con otras dos generatrices del otro sistema.