Práctico 4 1. Calcular ∫ f(z)dz en los siguientes casos: . . . . . 2
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Centro de Matemática Facultad de Ciencias Universidad de la República 1. Calcular Análisis complejo - Curso 2009 Práctico 4 f (z)dz en los siguientes casos: R γ f (z) = z+2 z ; z γ(t) = 2eit , t ∈ [0, π]. f (z) = e ; γ(t) = (1 + i)t, t ∈ [0, 1]. f (z) = 1/z γ(t) = 2eit , t ∈ [0, 2π]. f (z) = 1 z 2 +9 ; γ(t) = i + 3eit , t ∈ [0, 4π]. f (z) = sen(z); γ(t) = t + t2 i, t ∈ [0, 1]. R 2. Calcular la integral γ zez dz , siendo γ : la curva que va de i a −i + 2 en línea recta. a curva que une 0 y 1 + i a través de la parábola y = x2 . 3. Calcular la integral de z1 en una curva que une 1 y −10 sin pasar por 0 y que está contenida en el semiplano superior. Hacer lo mismo con una curva contenida en el semiplano inferior. Demostrar que no hay ninguna primitiva de z1 denida en un dominio que contenga a ambas curvas. 4. Sea f (x) = eix donde se asumirá x ∈ R. Calcular [0,x] f (t)dt. Demostrar que |eix − 1| ≤ |x| para todo x ∈ R. Demostrar que si pn (x) es el polinomio de Taylor 1 de grado n de f en 0 se tiene |eix − pn (x)| ≤ (n+1)! |x|n+1 . R 5. Calcular (siempre orientando las curvas Ren sentido antihorario): R R R z a) |z|=2 z2dz−1 ; b) |z|=r Re(z)dz ; c) |z|=1 ez dz ; d) |z|=1 z n z̄ m dz (n, m ∈ N). 6. Integrando f (z) = 1/z sobre la elipse γ : γ(t) = acos(t) + ibsen(t), mostrar que Z 0 2π 2π dt = a2 cos2 (t) + b2 sen2 (t) ab 7. Calcular(con las curvas orientadas en sentido horario): ez dz |z|=1 z R dz . |z|=2 z 2 +1 R R |z|=1 2z 2 −z−2 dz . z z 2 +2z dz , |z−2|=1 (z−a)3 R a ∈ C \ D(2, 1). 1
