I.T. INDUSTRIAL METODOS ESTADÍSTICOS FORMULARIO I

I.T. INDUSTRIAL
METODOS ESTADÍSTICOS
FORMULARIO
I. ESTADISTICA DESCRIPTIVA
X v.a
k modalidades x1 , x2 , ..., xk ; n datos
Media
i=1
x̄ =
k
P
i=1
2
Varianza poblacional
σ =
S2 =
Varianza muestral
Coeficiente de Asimetría
γ1 =
Coeficiente de Apuntamiento
γ2 =
Covarianza
"
ni xi
n
ni x2i
− x̄2
n
k
P
ni (xi − x̄)2
k
P
(xi − x)3 ni
i=1
n−1
i=1
k
P
i=1
nσ 3
(xi − x)4 ni
Cov(X, Y ) =
Coeficiente de correlación lineal
Recta de regresión de Y sobre X
k
P
nσ4
p
K P
P
i=1 j=1
nij xi yj
N
Cov(X, Y )
ρ=
σxσy
#
"
−3
− x̄ȳ
#
Cov [X, Y ]
Cov [X, Y ]
ŷ =
x + ȳ −
x̄
V ar (X)
V ar (X)
1
II. PROBABILIDAD
Operaciones con sucesos
Suceso Ocurre siempre que
−
Probabilidad
µ ¶
−
no ocurre A
A
A/B
A∩B
A∪B
P A = 1 − P (A)
P (A ∩ B)
ocurre A si ya ha ocurrido B P (A/B) =
P (B)
P (A ∩ B) = P (A)P (B/A)
ocurra A o B
P (A ∩ B) = P (B)P (A/B)
ocurren A y B
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Si A y B son incompatibles
P (A/B) = 0
P (A ∩ B) = 0
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
Si A y B independientes
P (A/B) = P (A)
P (A ∩ B) = P (A)P (B)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A)P (B)
Teorema de la probabilidad total y fórmula de Bayes
Probabilidad total P (A) =
k
P
P (A/Bi )P (Bi )
i=1
Fórmula de Bayes
P (Bi /A) =
P (A ∩ Bi )
P (A/Bi )P (Bi )
= k
P
P (A)
P (A/Bi )P (Bi )
i=1
2
ALGUNAS DISTRIBUCIONES IMPORTANTES
Distribución Función masa de probabilidad/función de densidad EX
U(n)
B(n, p)
P
1
P [X = xi ] =
n
P [X = k] =
Xi
n
à !
n k
p (1 − p)n−k
k
;
np
k = 0, 1, 2...n
P (λ)
H(N, n, p)
e−λ λk
P [X = k] =
; k = 0, 1, 2...
k!
à !Ã
!
Np
Nq
k
n−k
à !
P [X = k] =
N
λ
,
np
n
max{0, n − Nq } ≤ k ≤ min{n, Np }
Ã
!
BN(K, p)
K +x−1 k
P (X = x) =
p (1 − p)x ; x = 0, 1, 2....
x
G(p)
P (X = x) = pqx ; x = 0, 1, 2....
N(µ, σ 2 )
N(0, 1)
G(α, λ)
χ2n
−1
2
1
f(x) = √
e 2σ2 (x−µ) , x ∈ R
2πσ
1 −1 2
f(z) = √ e 2 z , z ∈ R
2πα
λ
xα−1 e−λx , x > 0
f (x) =
Γ(α) R
Γ(α) = 0∞ xα−1 e−x dx
f(x) =
1
n
Γ( n2 )2 2
n
x
x 2 −1 e− 2 , x > 0
Γ(α + β) α−1
x (1 − x)β−1 ; 0 < x < 1
Γ(α)Γ(β)
B(α, β)
f(x) =
tn
Γ( n+1
)
t2 n+1
f(t) = √ 2 n (1 + )−( 2 ) ; t ∈ R
nπΓ( 2 )
n
Fn1,n2
g(f ) =
n +n
Γ(n1 + n2 ) n21 n22 n1 −2
−( 1 2 2 )
;f > 0
n1
n2 n1 n2 f 2 (n1 f + n2 )
Γ( )Γ( )
2
2
3
kq
p
q
p
µ
0
α
λ
n
α
α+β
0
n2
n2 − 2
III. INFERENCIA ESTADISTICA
INTERVALOS DE CONFIANZA
Intervalo de confianza para la media de una normal
Varianza conocida
(σ 20 )
Varianza desconocida
"
#
σ0
µ ∈ x ± √ z1− α2
n
"
#
S
−
µ ∈ x ± √ t1− α2
n
−
Intervalo de confianza para la varianza de una normal
Media conocida (µ0 )
Media desconocida
P
n

(xi − µ0 )2
i=1
σ2 ∈ 

χ2
;n
1− α
2
n
P
, i=1
χ2α ;n
2


(n − 1)S 2 (n − 1)S 2 
σ2 ∈  2
,
χ1− α ;n−1
χ2α ;n−1
2

(xi − µ0 )2 


2
Intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos poblaciones normales e independientes

−
−
−
−
µx − µy ∈ x − y ± z1− α2
Varianza conocidas
"
s
Varianza desconocidas pero iguales (σ 2 ) µx − µy ∈ x − y ± t1− α2 ;nx +ny −2 Sp
v
u
u (nx − 1)Sx2 + (ny − 1)Sy2
con Sp = t
nx + ny − 2
4

σx σy 
+
nx ny
s
1
1
+
nx ny
#
Intervalo de confianza para el cociente de varianzas de dos poblaciones normales e independientes
Medias conocidas
Medias desconocidas

ny ³
P
´2
ny ³
P
´2

y i − µy
yi − µy

σ 2y 
nx
nx
 i=1

i=1
α
α


∈
F
,
F
;n
,n
1−
;n
,n
x
y
x
y
n
n
x
x
2
P
P
2
2


σx
(x − µ )2 ny
(x − µ )2 ny
σ 2y
∈
σ 2x
i
x
i=1
" 2
Sy F α2 ;nx −1,ny −1
,
Sx2
i=1
Sy2 F1− α2 ;nx −1,ny −1
Sx2
Intervalo de confianza para una proporción

ˆ
p∈
p

v
uˆ
ˆ
up
t (1− p) 

±z1− α2

n
5
i
x
#
CONTRASTES DE HIPÓTESIS
Contraste para la media de una normal con varianza conocida
Hipótesis nula
H0 : µ = µ0
Hipótesis alternativa
H1 : µ 6= µ0
H1 : µ > µ0
H1 : µ < µ0
Estadístico de contraste
X̄ − µ
√
Z=
σ0/ n
Criterios de rechazo
Z ≤ zα/2 o Z ≥ z1−α/2
Z ≥ z1−α
Z ≤ zα
Contraste para la media de una normal con varianza desconocida
Hipótesis nula
H0 : µ = µ0
Hipótesis alternativa
H1 : µ 6= µ0
H1 : µ > µ0
H1 : µ < µ0
Estadístico de contraste
X̄ − µ
√
T =
S/ n
Criterios de rechazo
T ≤ tα/2,n−1 o T ≥ t1−α/2,n−1
T ≥ t1−α,n−1
T ≤ tα,n−1
Contraste para la varianza de una normal con media conocida
Hipótesis nula
H0 : σ 2 = σ 20
Hipótesis alternativa
H1 : σ 2 6= σ 20
H1 : σ 2 > σ 20
H1 : σ 2 < σ 20
Estadístico de contraste
Pn
(xi − µ0 )2
2
χ = i=1 2
σ0
Criterios de rechazo
2
χ ≤ χ2α/2,n o χ2 ≥ χ21−α/2,n
χ2 ≥ χ21−α,n
χ2 ≤ χ2α,n
6
Contraste para la varianza de una normal con media desconocida
Hipótesis nula
H0 : σ 2 = σ 20
Hipótesis alternativa
H1 : σ 2 6= σ 20
H1 : σ 2 > σ 20
H1 : σ 2 < σ 20
Estadístico de contraste
(n − 1) S 2
χ2 =
σ 20
Criterios de rechazo
2
χ ≤ χ2α/2,n−1 o χ2 ≥ χ21−α/2,n−1
χ2 ≥ χ21−α,n−1
χ2 ≤ χ2α,n−1
Contraste para el cociente de varianzas de dos normales independientes con medias conocidas
Hipótesis nula
H0 : σ 2X = σ 2Y
Hipótesis alternativa
H1 : σ 2X 6= σ 2Y
H1 : σ 2X > σ 2Y
H1 : σ 2X < σ 2Y
Estadístico de contraste
PnX
(xi − µX )2 /nX
F = Pi=1
2
nY
i=1 (yi − µY ) /nY
Criterios de rechazo
F ≤ 1/f1−α/2,nY ,nX o F ≥ f1−α/2,nX ,nY
F ≥ f1−α,nX ,nY
2
F ≤ 1/f1−α,n
Y ,nX
Contraste para el cociente de varianzas de dos normales independientes con medias desconocidas
Hipótesis nula
H0 : σ 2X = σ 2Y
Hipótesis alternativa
H1 : σ 2X 6= σ 2Y
H1 : σ 2X > σ 2Y
H1 : σ 2X < σ 2Y
Estadístico de contraste
S2
F = 2X
SY
Criterios de rechazo
F ≤ 1/f1−α/2,nY −1,nX −1 o F ≥ f1−α/2,nX −1,nY −1
F ≥ f1−α,nX −1,nY −1
F ≤ 1/f1−α,nY −1,nX −1
7
Contraste para la diferencia de medias de dos normales independientes con varianzas conocidas
Hipótesis nula
H0 : µX − µY = δ 0
Hipótesis alternativa
H1 : µX − µY 6= δ 0
H1 : µX − µY > δ 0
H1 : µX − µY < δ 0
Estadístico de contraste
Ȳ −δ 0
Z = r X̄−
2
2
σ
n, X
nX
σ
+
n, Y
nY
Criterios de rechazo
Z ≤ zα/2 o Z ≥ z1−α/2
Z ≥ z1−α
Z ≤ zα
Contraste para la diferencia de medias de dos normales independientes con varianzas desconocidas pero iguales
Hipótesis nula
H0 : µX − µY = δ 0
Hipótesis alternativa
H1 : µX − µY 6= δ 0
H1 : µX − µY > δ 0
H1 : µX − µY < δ 0
Estadístico de contraste
X̄ − Ȳ − δ 0
T =s µ
¶
1
1
Sp2
+
nX nY
Criterios de rechazo
T ≤ tα/2,n o T ≥ t1−α/2,n
T ≥ t1−α,n
T ≤ tα,n
donde
n = nX + nY − 2
(nX − 1) S 2X + (nY − 1) S 2Y
Sp2 =
n
8
Contraste para la diferencia de medias de dos normales relacionadas (muestras apareadas) con varianzas desconocidas pero
iguales
Hipótesis nula
H0 : µX − µY = δ0
Hipótesis alternativa
H1 : µX − µY 6= δ0
H1 : µX − µY > δ0
H1 : µX − µY < δ0
Estadístico de contraste
D̄ − δ 0
T = r
2
SD
n
Criterios de rechazo
T ≤ tα/2,n−1 o T ≥ t1−α/2,n−1
T ≥ t1−α,n−1
T ≤ tα,n−1
donde D = X − Y
Contraste para una proporción
Hipótesis nula
H0 : p = p0
Hipótesis alternativa
H1 : p 6= p0
H1 : p > p0
H1 : p < p0
Estadístico de contraste
p̂ − p0
Z=s
p0 (1 − p0 )
n
Criterios de rechazo
Z ≤ zα/2 o Z ≥ z1−α/2
Z ≥ z1−α
Z ≤ zα
Contraste para la comparación de dos proporciones
Hipótesis nula
H0 : p1 = p2
Hipótesis alternativa
H1 : p1 6= p2
H1 : p1 > p2
H1 : p1 < p2
Estadístico de contraste
p̂1 − p̂2
Z=q
pT (1 − pT ) /n1 + pT (1 − pT ) /n2
Criterios de rechazo
Z ≤ zα/2 o Z ≥ z1−α/2
Z ≥ z1−α
Z ≤ zα
9
donde
n1 p̂1 + n2 p̂2
n1 + n2
p̂T =
TABLA ANOVA Y CONTRASTE DE LA F
Fuentes de Variación
Entre grupos (VE)
Suma de Cuadrados
I
P
i=1
Interna, no explicada
o residual (VNE)
TOTAL (VT)
−
ni (xi
µ
ni
I P
P
xij −
i=1 j=1
=
ni
I P
P
−
I
P
i=1
µ
i=1 j=1
− 2
x)
−
xi
¶2
ni σ 2i
¶2
−
xij − x
Grados de libertad
Varianzas
I −1
Se2 =
VE
I −1
n−I
SR2 =
V NE
n−I
n−1
Sy2 =
VT
n−1
−
donde ni denota el número de observaciones en el grupo i, xi la media
−
2
, σ i la varianza (en calculadora σ n al cuadrado), y x la media del conjunto
total de observaciones. I es el no de grupos y n el no total de observaciones.
Hipótesis nula
H0 : µ1 = ... = µI
Hipótesis alternativa
No todas las medias son iguales
10
Estadístico de contraste
S2
F = 2e
SR
Rechazar H0 si:
F > F1−α,I−1,n−I